¨Ubung zum Elektronikpraktikum Lösung 1

Universität Göttingen
Prof. Dr. Arnulf Quadt
[email protected]
Sommersemester 2010
Raum D1.119
Übung zum Elektronikpraktikum
Lösung 1
13. September - 1. Oktober 2010
1. Berechnen Sie mithilfe der Kirchoffschen Gesetze den Gesamtwiderstand, Rges , von
n Widerständen, Ri , welche parallel bzw. in Reihe geschaltet sind.
Bei Parallelschaltung fließt durch jeden Widerstand Ri der jeweilige Strom Ii , wobei
an allen Widerständen die gleiche Spannung U anliegt. Für das Gesamtsystem gilt
Iges = U/Rges . Nach dem 1. Kirchhoffschen Gesetz (Knotenregel) ist die Summe aller
P
Ströme in einem Knoten gleich Null, also: Iges = i Ii , wobei Ii = U/Ri . Eingesetzt
P
P
P
ergibt sich: Iges = i Ii = i U/Ri = U · i 1/Ri = U/Rges . Insgesamt ergibt sich
also Rges = P 11/Ri .
i
Bei Serienschaltung fließt durch alle Widerstände der gleiche Strom I, wobei an
jedem Widerstand die jeweilige Spannung Ui abfällt. Aus dem 2. Kirchhoffschen
P
P
P
Gesetzt (Maschenregel) ergibt sich U = Rges · I = i Ui = i Ri · I = ( i Ri ) · I.
P
Daraus ergibt sich Rges = i Ri .
2. Wie kann man sich ein zu einem Strom proportionale Spannung herstellen?
Lässt man durch einen ohmschen Widerstand R einen Strom I fließen und greift
man an ihm die Spannung ab, dann gilt:
U = R·I ∼I
(1)
3. In welcher Größenordnung liegt die typische Eingangsimpedanz (X,Y-Eingang)
eines Oszillographen?
Laut Skript (ist das wirklich schon so angegeben?) gilt für die Eingangsimpedanz
des Oszi (Y -Eingang) als Parallelschaltung Ry = 1 MΩ und Cy = 30 pF. Für den
x-Eingang gilt: Rx = 100 kΩ.
Hier könnte man noch ein Bild ergänzen
Mit Hilfe von R = 100 Ω wird eine dem Strom I proportionale Spannung U
erzeugt. Der Generator erzeugt eine Dreiecksspannung von ν = 200 Hz. Es gilt:
I ′ = (U1 − U2 )/R. (U1 − U2 ) wird auf dem y-Kanal dargestellt, auf x die Spannung,
die über der Diode abfällt.
Für die Impedanz der Oszieingänge gilt (vgl. Aufgabe 2I neu numerieren):
Zx = Rx ;
1
Zy1/2
=
1
+ iωCy
Ry
(2)
Für den tatsächlichen durch D fließenden Strom I gilt:
!
1
1
· Ux
+
I = I − IU2 = I −
Z y2 Z x
!
1
1
′
= I −
+
+ iωCy ·Ux
Ry Rx
′
′
|
{z
:=1/Zges
}
(wegenU2 = Ux )
(3)
(4)
Damit folgt:
|Zges = r
1
1
Ry
+
1
Rx
2
(5)
+
ω 2 Cy2
Uzigzag lässt sich nach Fourier in Teilschwingungen mit Frequenzen ωn = n·ωzigzag =
n · 2πν (n = 1, 2, 3, ...) zerlegen. Mit ν = 200 Hz und den Daten nach Aufgabe I2
(neu numerieren) erhält man, dass selbst für n = 69 noch gilt: ωn2 C 2 ≪
und damit
|Zges | ≈
1
Rx
1
+
1
Ry
≈ 91 kΩ
1
Ry
+
1
Rx
2
(6)
(nach n = 69 dürfte Uzigzag genügend genau angenähert sein).
4. Berechnen Sie die Ausgangsspannung eines Spannungsteilers.
Abbildung 1: Einfacher unbelasteter Spannungsteiler.
Der Spannungsteiler ist eine Reihenschaltung aus passiven elektrischen Zweipolen, durch die eine elektrische Spannung aufgeteilt wird. Der Spannungsteiler wird
im Standardfall beschrieben durch die Reihenschaltung von zwei ohmschen Widerständen.
Zur Berechnung der Teilspannung U2 über R2 wird zunächst der Gesamtwiderstand
nach der Regel für Reihenschaltungen wie folgt berechnet:
Rges = R1 + R2 ,
Die Gesamtspannung sowie die Werte der Widerstände sind im Allgemeinen bekannt, wodurch sich nach dem Ohmschen Gesetz der Strom I bestimmen lässt:
I=
U
Rges
=
U
R1 +R2
Nach den Regeln für Reihenschaltungen (Maschenregel) ist der Strom durch alle
Bauteile identisch und somit ergibt sich das gesuchte U2 zu:
U2 = I · R2
Wird die Formel für den gemeinsamen Strom hier eingesetzt, ergibt sich die Ausgangsspannung in Abhängigkeit von den Teilerwiderständen und der Eingangsspannung. Durch Äquivalenzumformung weiter verallgemeinert folgt das Verhältnis zwischen Ein- und Ausgangsspannung in Abhängigkeit von den Teilerwiderständen.
U2 =
U
R1 +R2
· R2 = U ·
R2
R1 +R2
⇔
U2
U
=
R2
R1 +R2
Dieser Ausdruck lässt sich weiter umformen.
U
R1 +R2
=
U2
R2
An diesem umgeformten Ausdruck ist leicht erkennbar, dass das Verhältnis aus
Spannungsabfall über dem Gesamtwiderstand aus R1 und R2 und der Versorgungsspannung U identisch mit dem Verhältnis des Widerstands von R2 und dem Spannungsabfall an R2 , also U2 , ist.
Verallgemeinert auf n in Reihe geschaltete Widerstände (i = 1...n) ergeben sich
für die Teilspannung über den Widerstand k die nachfolgenden Gleichungen für die
jeweiligen Anwendungsfälle (mit n und k ganzzahlig, n ≥ 1, 1 ≤ k ≤ n).
Gleichspannungsfall: Spannungsteiler mit ohmschen Widerständen.
Bei Gleichspannung treten nur reellwertige Widerstandwerte, so genannte ohmsche
Widerstände auf.
Uk
U
=
Rk
R
mit dem Gesamtwiderstand R =
Pn
i=1
Ri
Bei Gleichspannung sind die einzelnen Teilspannungen immer kleiner als die Gesamtspannung. Das Verhältnis von Teilspannung zur Gesamtspannung nimmt Werte zwischen 0 und 1 an. Typisches Beispiel eines einstellbaren Spannungsteiler ist
ein Potentiometer, bei dem über einen verschiebbaren Kontakt auf einem durchgehenden Widerstandskörper das Teilungsverhältnis variabel eingestellt werden kann.
Teilspannungen verhalten sich proportional zu den Widerständen, über die sie abfallen. Das bedeutet, je kleiner (größer) der Widerstand ist, desto kleiner (größer)
ist die Teilspannung.
Wechselspannungsfall:
Bei harmonischer Wechselspannung mit einer konstanten Kreisfrequenz ω können
zusätzlich komplexe Widerstände, so genannte Impedanz, in Form von Kapazitäten
(kapazitiver Spannungsteiler) und Induktivitäten (induktiver Spannungsteiler) auftreten. Die Berechnung eines Spannungsteilers ist dann ein Teil der komplexen Wechselstromrechnung.
Uk
U
=
Zk
Z
mit der Gesamtimpedanz Z =
Pn
i=1
Zi
Bei Wechselspannung und den auftreten Impedanzen können durch die Energiespeicherung in den Impedanzen die Teilspannungen an den Kapazitäten und
Induktivitäten durch Resonanz grß̈er als die Gesamtspannung werden. Wichtig
ist bei der Anwendung der Spannungsteilerregel mit Wechselspannung, dass die
Impedanzen, insbesondere Induktivitäten, untereinander über ihre im elektrischen
bzw. magnetischen Feld gespeicherte Energie nicht gekoppelt sind. Dieser Umstand
ist gleichbedeutend mit der Forderung von passiven Zweipolen welche keine
Spannungs- oder Stromquellen aufweisen.
5. Bestimmen Sie für die Schaltung in Abb. 2 die Gesamtimpedanz unter
Berücksichtigung der Frequenzabhängigkeit. Stellen Sie den Impedanzverlauf
als Funktion der Frequenz (nicht ω in einem Graphen zwischen 5 kHz und 30 kHz
dar. Die Impedanz ist hierbei der Betrag von Z.
L1
100 uH
C1
1.0 uF
R1
1.0 kOhm
Abbildung 2: Schaltung.
Hinweis: Rechnen Sie erst die Impedanz als komplexe Größe und bilden Sie dann
den Betrag.
Nach den oben berechneten Regeln der Parallelschaltung gilt: Z
=
1/ (1/ZR + 1/ZC + 1/ZL). Dabei gilt ZR = R, ZC = 1/iωC und ZL = iωL.
1
1
1
1
= + i · ωC −
Z = + iωC +
R
iωL
R
ωL
Somit ist der Betrag: |Z| =
r
1
R2
+ ωC −
1
ωL
2
(7)
.
6. Bestimmen Sie für die Schaltung in Abb. 3 die Ausgangsspannung UA . Wie groß ist
die Spannung, wenn alle Widerstände den gleichen Wert haben? Was ergibt sich,
wenn R1 = R3 = 2 · R2 = R4 ist?
R1
R3
U0
UA
R2
R4
Abbildung 3: Widerstandsschaltung.
Die Schaltung kann auch wie in Abb. 4 dargestellt werden, worin man leicht die
Grundschaltung eines Spannungsteilers wiedererkennt.
Für den linken bzw. rechten Spannungsteiler ergibt sich:
R2
· U0
R2 + R4
R3
· U0
=
R1 + R3
R2
R3
=
−
· U0
R2 + R4 R1 + R3
U2 =
(8)
U2
(9)
UA
(10)
Falls alle Widerstände gleich sind, ist Ua = 0 V. Falls R1 = R3 = 2 · R2 = R4 , ist
UA = ( 21 − 42 ) · U0 = 0 V.
R4
U0
R1
UA
R2
R3
Abbildung 4: Widerstandsschaltung.
7. Die Kanten eines Würfels (Abb. 5) bestehen jeweils aus einem 100 Ω Widerstand.
Die Anschlüsse befinden sich an zwei gegenüberliegenden Ecken (Raumdiagonale),
alternativ Seitediagonalen, des Würfels. Bestimmen Sie den Gesamtwiderstand des
Würfels.
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
111
000
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
11111
00000
00000
11111
Abbildung 5: Widerstandswürfel.
Hinweis: Die Aufgabe ist an sich einfach. Hinweise zur Betrachtung des Würfels
und des Problems sollten aber vom TutorIn gegeben werden. Die Studierenden
sollte nich länger als 10 Minuten daran arbeiten. Dann besser abbrechen und
selber aufmalen und erklren. Die Berechnung ist eigentlich schon in den vorherigen
Aufgaben geschehen.
Um den Widerstand des Würfels zu bestimmen, zeichne den Würfel wie hier. Von der
einen Würfelecke gehe drei Kanten (hier Widerstände) aus, die jeweils wieder in zwei
Kanten (parallel geschaltete Widerständen) münden. Diese laufen jeweils wieder in
eine Kante. Diese drei resultierenden Kanten treffen sich in der gegenüberliegenden
Ecke.
und erkenne die Äquipotentialflächen. Daraus ergibt sich, dass
RDiag =
5
R R R
+ + = R.
3
6
3
6
(11)
Als Zusatzaufgabe kann noch folgende Aufgabe bearbeitet werden:
Um den Würfel entlang einer Seitendiagonale zu berechnen, zeichne ihn wie folgt.
Linke und rechte Seite sind identisch, woraus folgt:
RSeitendiagonale =
2
R
2
6R
3
= R.
2 =
+ 3R
6+2
4
Entlang einer Kante ergibt sich für den Widerstand:
(12)
RKante =
1
1
R
+
1
2R/2+2R/5
=
R
7
R
5 =
1+ 7
12
(13)
8. Zeitlich veränderliche Signale können mit einem Funktionsgenerator erzeugt werden.
Typische Frequenzbereiche sind dabei 0.002 Hz bis 3 MHz, typische Signalformen
sind Sinus, Rechteck, Dreieck, positiver und negativer Sägezahn etc.
Die Amplitude ist regelbar. Sie beträgt maximal 20 Vss unbelastet und 10 Vss an
50 Ω Last.
Wie groß ist der Innenwiderstand des Generatorausgangs? Betrachten Sie dazu
folgende Ersatzschaltung der Generator-Spannungsquelle:
+
U0
−
Rn
Un
Ri
Es gilt dann
Un = U0 · Rn /(Ri + Rn )
(14)
und der Innenwiderstand Ri ist bestimmbar aus Messungen von Un und In bei zwei
verschiedenen Belastungen Rn :
Ri = (U2 − U1 )/(I1 − I2 )
(15)
Gleichung (14) gibt also eine Messvorschrift für Ri .
- Leiten Sie zunächst (15) aus (14) ab.
- Benutzen Sie nun die obigen Angaben über den Generator und rechnen Sie seinen
Innenwiderstand aus.
Lösung:
Es gilt nach Maschenregel:
U0 = Rn · I + Ri · I = Un + Ri · I ⇒
U0
I =
Rn + Ri
(16)
(17)
das eingesetzt ergibt:
U0 = Un +
Un =
Ri
· U0 ⇒
Rn + Ri
(18)
Rn
· U0
Ri + Rn
(19)
a) Für zwei verschiedene Belastungen gilt:
R1
und
Ri + R1
R2
U0 ·
⇒
Ri + R2
R2
R1
U0 ·
−
Ri + R2 Ri + R1
Ri + R2
R1
Ri + R1
R2
−
−
+
U0 ·
Ri + R2 Ri + R2 Ri + R1 Ri + R1
Ri
Ri
U0 ·
−
Ri + R1 Ri + R2
Ri · (I1 − I2 ) ⇒
U2 − U1
I1 − I2
U1 = U0 ·
(20)
U2 =
(21)
U2 − U1 =
=
=
=
Ri =
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
b) Mit den Angaben I1 = 0 A, U1 = 20 V und U2 = 10 V, R2 = 50 Ω ergibt sich
U2
= 0.2 A. Eingesetzt folgt daraus:
I2 = R
2
Ri =
(10 − 20) V
= 50 Ω
−0.2 A
(27)
9. Welche Beiträge gibt es zur Anstiegszeit von Signalen?
Elektrische Signale besitzen eine endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit in Kabeln,
die etwa der Lichtgeschwindigkeit c entspricht.
c ≈ 300 000 km/s = 30 cm/ns
(28)
Bei Beobachtungen kommt die endliche Anstiegszeit des Ozsillographen dazu und
die endliche Genauigkeit der Skaleneinteilung im Display.
10. Verifizieren Sie, dass Gl. (2.5) eine Lösung der Telegraphengleichung (2.3) ist.
Hinweis: Das Symbol j wird hier für die komplexe Zahl j =
nicht mit dem Strom i zu verwechseln.
u(z, t) =
uh · eγ·z + ur · e−γ·z · ej·ω·t ⇒
∂u
= uh · γ · eγ·z − ur · γ · e−γ·z · ej·ω·t
∂z
√
−1 benutzt, um es
(29)
(30)
∂2u
2
γ·z
2
−γ·z
· ej·ω·t = γ 2 · u
=
u
·
γ
·
e
+
u
·
γ
·
e
h
r
∂z 2
∂u
= j · ω · uh · eγ·z + ur · e−γ·z · ej·ω·t
∂t
∂2u
2
2
γ·z
−γ·z
· ej·ω·t
=
j
·
ω
·
u
·
e
+
u
·
e
h
r
2
∂t
(31)
(32)
(33)
Eingesetzt ergibt sich daraus:
2
∂u
′ ′ ∂ u
R G · u + (R C + L G ) ·
+LC · 2 =
∂t
∂t
R′ G′ · u + (R′ C ′ + L′ G′ ) · jω · u + L′ C ′ · j 2 ω 2 · u =
′
′
′
′
′
′
(34)
(35)
R′ G′ + (R′ C ′ + L′ G′ ) · jω + L′ C ′ · j 2 ω 2 · u =
′
′
′
(36)
′
(R + jωL ) · (G + jωC ) · u =
γ2 · u =
(37)
2
∂ u
∂z 2
(38)
11. Berechnen Sie α und β im verlustlosen Fall (R′ = G′ = 0). Was bedeutet dies
für die Dämpfung? Berechnen Sie u(z, t) für den Fall einer zeitlich periodischen
Anregung der Form u0 = a · cos(ωt) und unter der Annahme eines Kurzschlusses.
Im√verlustlosen Fall (R′ = G′ = 0) ergibt
sich γ 2 = j 2 ω 2L′ C ′ , so dass γ =
√
jω L′ C ′ = α + jβ mit α = 0 und β = ω L′ C ′ .
Was bedeutet das für die Dämpfung?
berechne u(z, t)
12. Was muss man tun, um große Verzögerungszeiten zu erreichen?
Zum einen kann man die Länge l des Kabels erhöhen, da sich mit t = l/c damit auch
die Laufzeit des Signal erhöht. Zum anderen kann man die Ausbreitungsgeschwin√
digkeit der elektromagnetischen Welle verringern. Nach c = cvac · √1ǫµ gilt t ∼ ǫµ,
d.h. es muss dabei ǫ und/oder µ erhöht werden. Da als Füllmaterial in der Regel
Stoffe benutzt werden, für die µ ≈ 1 ist, ist dann nur noch ǫ zu erhöhen. Meist liegt
ǫ zwischen 1 und 100, in einigen Fällen kann es jedoch bis zu 1000 betragen.
13. Eine weitere Möglichkeit, die Verzögerungszeit zu verändern, besteht darin, durch
Aufwickeln des Innenleiters und durch einen Ferritkern die Induktivität des Kabels
zu ändern. Welche Konsequenzen für den Wellenwiderstand haben die verschiedenen
Möglichkeiten, die Verzögerung zu verändern?
q
Eine Verlängerung des Kabels hat auf den Wellenwiderstand nach RW = CL ′ keine
Auswirkung, da L′ und C ′ die Induktivität bzw. Kapazität pro Länge sind, so dass
RW längenunabhängig ist.
′
Wenn man den Innenleiter aufwickelt und einen Ferritkern erinsetzt, eröht man
damit das µ, also auch dieqInduktivität des Kabels beträchtlich. Nach RW = RF W,vac ·
q
µ ln a/b
· 2π mit RF W,vac = µǫ00 vergrößert eine Erhöhung von µ den Wellenwiderstand,
ǫ
während eine Erniedrigung von ǫ in erhöht. Theoretisch wäre es also möglich, µ und
ǫ gleichmäßig zu verändern, so dass RW konstant bleibt. Es ist aber schwierig, solche
Materialien zu finden.
14. Wie hängt der Reflexionsfaktor der Optik R =
n−1
n+1
2
hiermit zusammen?
Eine elektromagntische (Licht-)Welle der Amplitude (des elektrischen Feldvektors)
Ee durchlaufe ein Medium der Brachzahl n1 und werde an einer Grenzfläche zu
einem Medium der Brechzahl n2 senkrecht mit der Amplitude Er reflektiert. Dann
gilt:
h =
Er
n2 − n1
=−
Ee
n2 + n1
(39)
und für das Feflexionsvermögen:
I2
E2
n2 − n1
R = h = r2 = r2 =
Ee
Ie
n2 + n1
2
2
,
(40)
2
n−1
wobei I die Intensität der Welle ist. Die angegebene Formel R = n+1
ist für
den Spezialfall
gültig,
dass
die Welle
aus dem Vakuum einfällt (n1 = 1). Wegen
1
1
1
1
U2← · RA + RW = U2→ · RW − RA ergibt sich für den Reflexionsfaktor p:
p :=
U2←
RA − RW
=
U2→
RA + RW
Daran sieht man, dass offensichtlich R gerade p2 und
indices n2 bzw. n1 entsprechend.
(41)
1
RA
Man kann auch sagen, dass n die relative Brechzahl n =
bzw.
n2
n1
1
RW
den Brechungs-
ist, so dass n=
ˆ RRWA .
15. Wann sind Eingangswiderstand und Wellenwiderstand gleich?
2←,0
1←,0
1→,0
= − UI2←,0
= − UI1←,0
(InDer Wellenwiderstand RW ist gegeben durch RW = UI1→,0
dex 0 bdeutet Scheitelwert) unabhängig von Ort und Zeit. Der Eingangswiderstand
+U1←
ist durch R1 = UI1→
gegeben (der Generator ist dem Kabel angepasst).
1→ +I1←
Für verlustfreie Kabel ist U1⇀
↽ = U2⇀
↽ . Weiter gilt U2←,0 = p · U2→,0 . Mit
U1→ = U1→,0 · exp (i [ωt − kx]) und
U1← = U1←,0 · exp (i [ωt − kx]) = p · U1→,0 · exp (i [ωt − kx]) und
I1← = I1←,0 · exp (i [ωt − kx]) = −p · I1→,0 · exp (i [ωt − kx]) .
(42)
(43)
(44)
Wegen I2←,0 = p · I2→,0 und I1⇀
↽ = I2⇀
↽ folgt:
R1 =
U1→,0 1 + pei2kx
1 + pei2kx
·
=
R
·
W
I1→,0 1 − pei2kx
1 − pei2kx
(45)
Also gilt R1 = RW für p = 0, d.h. Ra = RW . Dann wird nämlich die gesamte
Eingangsleistung an RA aufgezehrt und nichts reflektiert.
16. Seit RA = RW : Wie hängt der Eingangswiderstand von der Länge des Kabels ab?
Für RA = RW ist der Reflexionsfaktor p = 0 und damit R1 = RW , unabhängig von
der Länge des Kabels, da diese keine Rolle spielt, wenn nichts reflektiert wird.
17. Wie hängt der Eingangswiderstand (=Lastwiderstand) eines verlustfreien Kabels
mit RW = 50 Ω und einem offenen Leitungsende von der Länge L des Kabels ab
(0 < K < 2λ)?
Für RA = ∞ (offenes Leitungsende) ist p = 1. Mit der Eulerformel eiφ = cos φ +
i2kL
dass, falls L ein ungeradzahliges bzw.
i · sin φ sieht man aus R1 = RW · 1+e
1−ei2kL
geradzahliges Vielfaches von der Null kennzeichnenden Amplitudenwerte λ = c/ν =
2πc
√ 1
= 2π
ist, R1 = 0 bzw. R1 = ∞ gilt. Für alle anderen Fälle spaltet sich R1
ω
ω ǫǫ0 µµ0
in einen Wirk- und einen Blindwiderstandsanteil auf, die beide von RW abhängen.