5. Elektrische Netzwerke - ate.uni

-129-
Grundlagen der Elektrotechnik GET 2
5. Elektrische Netzwerke
• Topologische Grundbegriffe
• Kirchhoffsche Regeln
• Netzwerkgleichungen
• Reihen- und Parallelschaltungen von Netzwerkelementen
• Spannungsteiler-, Stromteiler-, und Brückenschaltungen
• Stern-Dreieck-Umwandlung
• Reale Spannungs- und Stromquellen
• Reihen- und Parallelschaltungen von realen Quellen
[Buch GET 2: Seiten 1-71]
• Leistungsanpassung
Topologische Grundbegriffe I
-130-
Elektrische Netzwerkelemente
(1) Schaltsymbol und Zugriff:
Klemme
Klemme
(2) Netzwerkelemente:
(A) Passive Netzwerkelemente:
i
• Der Widerstand
u
(3) Elektrische Netzwerke:
• Der Zugriff auf das Netzwerkelement
erfolgt von aussen über die Klemmen.
• Elektrische Netzwerkelemente werden
über die Klemmen zu elektrischen
Netzwerken zusammengeschaltet.
• Entsprechend der Netzwerkelemente gibt
es aktive und passive Netzwerke.
• Der Kondensator
• Die Spule
• Der Transformator
(B) Aktive Netzwerkelemente:
• Die Spannungsquelle
• Die Stromquelle
• Die gesteuerte Spannungsquelle
• Die gesteuerte Stromquelle
1
-131-
Topologische Grundbegriffe II
Elektrische Netzwerke
Zugriff auf elektrische Netzwerke:
• Das Klemmenpaar
definiert zwei Pole.
• Durch die Klemme
gegebene Querschnittsfläche definiert das (Einfalls-)
Tor für die elektromagnetische Welle.
Zweipol bzw.
Vierpol
Eintor bzw.
Zweitor
Es gilt das Verbraucherbezugspfeilsystem.
Topologische Grundbegriffe III
-132-
Betrachtungen am Beispielnetzwerk
(1) Zweige und Knoten:
R4
i5
i4
i3
R5
i1
R1
i2
R2
Z
K
i0
R3
u0
Brückenschaltung
• Verknüfung der Netzwerkelemente geschieht
an den Klemmen. Diese Verknüpfungsstellen
heissen Knoten (K) des elektrischen Netzwerks.
• Verbindung eines Knotens mit einem anderen
Knoten (durch Netzwerkelemente) wird als
Zweig (Z) bezeichnet.
• Es gild das Verbraucherpfeilsystem, d.h.:
• Urgrösse und Bezugspfeile der Quelle(n) sind
vorgegeben. u und i sind entgegengesetzt
gerichtet.
• Restliche Bezugspfeile in den «Verbrauchern»
haben willkürliche Richtung, einzig dass die
Strom- und Spannungspfeile im einzelnen
Verbraucher jeweils die gleiche Richtung
aufweisen müssen.
2
-133-
Topologische Grundbegriffe IV
Betrachtungen am Beispielnetzwerk
(2) Gerichteter Graph (Digraph) des elektrischen Netzwerks:
K4
Z4
• Topologische Struktur des Netzwerks wird
durch den gerichteten Graphen (Digraph)
symbolisch wiedergegeben.
Z3
K1
• Die Knoten Ki werden beliebig durchnummeriert.
K3
Z5
• Die Zweige Zi enthalten die Richtung des
Beszugspfeils des elektrischen Stromes.
Zweige auch beliebig durchnummeriert.
Z2
Z1
K2
Der Digraph ist ein zusammenhängendes
Gebilde aus Zweigen und Knoten.
Von jedem Knoten zum anderen Knoten
gibt es mindestens eine gerichtete Verbindung (die Zweige und Knoten des
Graphen enthält).
Z0
Digraph
(mit k = 4 Knoten und z = 6 Zweigen)
-134-
Topologische Grundbegriffe V
Betrachtungen am Beispielnetzwerk
K4
(3) Die Maschen des Digraphen:
Ein geschlossener Weg,
K1
d.h. eine in sich geschlossene Folge von Zweigen
und Knoten innerhalb des
Digraphen eines Netzwerks,
in der jeder Knoten mit
zwei benachbarten Zweigen verbunden ist, wird als
Masche M bezeichnet.
• Den Maschen Mi wird ein
Umlaufsinn zugeordnet
(Bezugspfeil der Masche).
• Fünf mögliche Maschen
des Digraphen.
K4
K4
Z3
Z4
Z5
M1
M2
Z1
Z3
Z4
K3
K3 K1
Z2
K2
M4
K2
Z0
K4
Z4
K1
K3
Z1
K2
K1
K3
Z5
Z2
Z2
K2
M3
M5
Z0
Z0
3
-135-
Topologische Grundbegriffe VI
Betrachtungen am Beispielnetzwerk
K4
(3) Die Maschen des Digraphen:
K4
Z3
Z4
• M1 {Z1, Z4, Z5}
Z5
M1
K1
• M2 {Z2, Z5, Z3}
M2
Z1
• M3 {Z1, Z2, Z0}
K4
Z3
Z4
K3
K3 K1
Z2
K2
• M4 {Z0, Z3, Z4}
M4
K2
Z0
• M5 {Z0, Z4, Z5 , Z2}
(1) Reihenfolge {M1, M2}:
neu: Z2, Z3
K1
(2) Reihenfolge {M1, M2, M3}:
neu: Z0
• Anzahl Zweige zM der Masche
entspricht der
zM = kM
K4
Z4
Knotenanzahl kM.
K3
Z1
K2
K1
K3
Z5
Z2
Z2
K2
M3
M5
Z0
Z0
Topologische Grundbegriffe VII
-136-
Betrachtungen am Beispielnetzwerk
(3) Die Maschen des Digraphen:
Beispiel:
{M1, M2, M3}: lin. unabh.
{M1, M2, M3 , M4}: lin. abh.
Beispiel:
{M2, M3 , M4}: vollständig
(siehe auch Folie 138)
Beispiel:
k = 4, z = 6
m=6–4+1=3
drei lin. unabh. Maschen
Eine Anzahl von Maschen wird als linear unabhängig bezeichnet, wenn es eine Reihenfolge der Maschen so gibt,
dass jede Masche mindestens einen Zweig enthält, der in
der vorhergehenden Masche nicht enthalten ist.
Eine (Reihen-) Folge von Maschen wird als vollständig bezeichnet, wenn jede Masche genau einen Zweig enthält,
der in der vorhergehenden Maschen nicht enthalten ist.
Ein Digraph mit k Knoten und z Zweigen enthält genau
m linear unabhängige
m = z k +1
Maschen, die ein vollständiges System bilden.
4
-137-
Topologische Grundbegriffe VIII
Betrachtungen am Beispielnetzwerk
(4) Der Baum:
Ein zusammenhängender Teilgraph des
Digraphen, der alle dessen Knoten enthält, jedoch keine Maschen wird als
Baum bezeichnet.
• Aus dieser «Konstruktionsregel» ergibt
sich, dass jeder Baum einen Knoten
mehr hat, als die Anzahl zB seiner Zweige.
k = zB + 1
zB = k 1
• Beispiel:
k=4
zB = 3
Jeder Baum hat jeweils drei Zweige.
-138-
Topologische Grundbegriffe IX
Betrachtungen am Beispielnetzwerk
(5) Bestimmung einer vollständigen Folge linear unabhängiger Maschen:
• Wird vom Baum mit zB Zweigen ausgegangen, werden im Digraphen dadurch
Maschen gewonnen, indem man neue
Verbindungszweige im Baum einführt.
1
M1
• Diese Maschen sind linear unabhängig,
da aus jedem neuen Verbindungszweig
neue Maschen im Digraphen entstehen.
• Die Folgen dieser Maschen sind vollständig,
weil genau eine neue Masche pro einem
eingeführtem Verbindungszweig entsteht.
• Dadurch wird die Anzahl zV der Verbindungszweige gleich der Anzahl m der
linear unabhängigen Maschen.
zV = m
1
3
M1
2
M2
M3
1
M1
2
M2
5
-139-
Topologische Grundbegriffe X
Betrachtungen am Beispielnetzwerk
(6) Zusammenfassung:
• Zum Baum:
zV = m
# Zweigverbindungen
zB = k 1
# Baumzweige
z = zB + zV
# Zweige im Digraphen
3
M3
1
M1
2
M2
• Zum Digraphen:
z = k 1+ m
m = z k +1
Durch die Wahl eines Baumes innerhalb des Digraphen wird
eindeutig eine vollständige
Folge von m linear unabm = zk +1
hängigen Maschen festgelegt.
Die Kirchhoffsche Knotenregel I
-140-
Strombilanz am Netzwerk-Knoten
(1) Anordnung:
i1 + i2 i3 + i4 i5 = 0
i5
i1
K
• Im stationären Fall kann der Knoten keine
Ladung speichern.
i4
i2
i3
n
i
=1
Knoten μ
(KCL)
=0
• Ladungen sind mit Masse verknüpft und
können deshalb nicht erzeugt oder vernichtet
werden (Massen- bzw. Ladungserhaltung als
andere Form der Energieerhaltung).
Kirchhoff
current law
• Was zufliesst muss abfliessen.
• Stromstärken werden positiv gezählt, wenn
ihre Bezugspfeilrichtungen auf den Knoten
zuweisen und sind negativ, wenn sie davon
wegweisen (geht auch umgekehrt!).
Kirchhoffsche Knotenregel: Die Summe
aller elektrischen Stromstärken, die in einen
Knoten des elektrischen Netzwerkes fliessen,
ist in jedem Zeitpunkt gleich Null.
6
Die Kirchhoffsche Knotenregel II
-141-
Knotengleichungen
(1) Anwendung der Knotenregel:
K4
R4
i4
K1
Knotenregel für die Knoten K1 bis K4:
R3
i5
i3
R5
i1
R1
K3
i2
R2
( K1 ) :
(K2 ) :
(K3 ) :
(K4 ) :
K2
u0
i0 + i1 + i2 + i3 i4 + i5 = 0
i0 i1 i2 + i3 i4 + i5 = 0
i0
+ i2 i3 i4 + i5 = 0
i0 + i1 + i2 + i3 + i4 i5 = 0
=0
i0
• (Spaltenweise) Addition der Ströme
bzw. der Gleichungen ergibt Null.
• Addition von drei Gleichungen ergibt jeweils die (u.U. negative) vierte Gleichung.
Die Kirchhoffsche Knotenregel III
-142-
Knotengleichungen
(2) Erkenntnisse aus den Knotengleichungen:
K4
R4
i4
K1
R3
i5
i3
R5
i1
R1
i0
i2
R2
K2
u0
• Zur letzten Aussage (Folie 141): Die vierte
Gleichung enthält demnach keine neuen
Informationen zu den Stromstärken.
K3
• Die 4 Gleichungen des Gleichungssystems
sind linear abhängig.
In einem Netzwerk mit k Knoten sind nur
k–1 Knotengleichungen linear unabhängig. Dies, weil bis zur k–1-ten Knotengleichung jeweils mindesten ein neuer Zweigstrom hinzukommt.
In einem Netzwerk mit k Knoten müssen
nur k–1 Knotengleichungen berechnet
werden. Die k-te Knotengleichung ist
zwangsläufig erfüllt.
7
-143-
Die Kirchhoffsche Maschenregel I
Betrachtungen zur Umlaufspannung
(1) Grundgesetz der elektrostatischen Felder:
4
• Gegeben sei eine beliebige Masche M im
Digraphen eines elektrischen Netzwerks.
• Auch für diesen geschlossenen Umlauf
3
1
muss gelten (kein veränderliches Magnetfeld):
1
3
2
Grundgesetz der
elektrostatischen
Felder (cf. Folie 1-83)
E ds = 0
4
M
• Will heissen: Umlaufspannung = 0
M 2
• In diesem Sinn kann das Umlaufintegral
als Summe über eine zusammenhängende,
«geschlossene» Folge von Knotenpotenzialdifferenzen (i – i+1) interpretiert werden:
( 2 4 ) + ( 4 1 ) + (1 3 ) + ( 3 2 ) = 0
-144-
Die Kirchhoffsche Maschenregel II
Betrachtungen zur Umlaufspannung
(2) Betrachtungen am elektrischen Netzwerk:
Zweigspannungen:
K4
R4
i4
K1
Passiver Zweig:
i
R3
i5
i3
R5
i1
R1
i2
R2
K2
u0
K3
uz = u
Aktiver Zweig:
i
R
i0
a)
u
i 0
u0
uz = u u0
b)
Spulen?
Gilt nur für Netzwerke mit Quellen,
Widerständen und Kondensatoren.
• Das Umlaufintegal
besteht demnach aus
Linienintegralen über
die entsprechenden
Zweige der Masche.
• Das Linienintegral längs
eines Zweiges ergibt die
Zweigspannung uz.
• Wird das Netzwerk nicht
von einem veränderlichen Magnetfeld
durchsetzt, dann gilt:
u
z Masche μ
=0
8
-145-
Die Kirchhoffsche Maschenregel III
Betrachtungen zur Umlaufspannung
(3) Netzwerke mit Spulen:
K4
u4
u3
i4
K1
Bezugspfeile von uL und iL haben
den gleichen Richtungssinn
L
u5
i1
i5
R3
i2
K3
i1 R1
u2
u1
u0
i0
uz
b)
a)
E ds = u
u L = u4
K1
R2
K2
m
i L = i4
i3
R5
R1
u1
L
K2
• Gemäss Folie 1-261
gilt dann für die Umlaufspannung:
K4
R5 i5
u5
=0
Masche μ
=
C
d
dt
• C in Richtung von i4.
• Vom Standpunkt des
Verbraucherpfeilsystems
( induktive Spannung)
E
ds + uL = 0
C
Das Umlaufintegral berüchsichtigt
nur Spannungen an Widerständen
und Kondensatoren
ind
uL = +
d
dt
Die Kirchhoffsche Maschenregel IV
-146-
Betrachtungen zur Umlaufspannung
(4) Netzwerk, welches selbst von einem magnetischen Fluss durchsetzt wird:
uC
iC
K2
K3
C
M
u1
n
R1
i1
K1
• Die vorhin gemachten Überlegungen zum
Verbraucherpfeilsystem und zur induktiven
Spannung gelten auch in diesem Fall.
m
i2
u2
R2
uind
• Die Zweigspannungen sind im Maschenumlaufsinn zu summieren:
R3
i3
K4
u3
u0
u
z Masche M
• Maschenumlaufsinn wird im Rechtsschraubensinn zum Flächennormalenvektor (der
durch die Masche aufgespannten Fläche)
angesetzt.
uC + u2 + u0 u3 + u1 +
d m
=0
dt
uL
=0
• Die Masche selbst kann hier als eine «verteilte Spule» (mit einer Windung) aufgefasst
werden.
9
Die Kirchhoffsche Maschenregel V
-147-
Formulierung der Maschenregel
(1) Zusammenfassung der bisherigen Erkenntnisse:
• Die Beziehungen , und sind «Reproduktionen»
einer einzigen Gesetzmässigkeit, nämlich der Maschenregel.
Kirchhoffsche Maschenregel: Die Summe aller
Zweigspannungen uz ( =1,2,…,n) in einer Masche
eines elektrischen Netzwerks, die in beliebigem
Umlaufsinn durchlaufen wird, ist in jedem Zeitpunkt
gleich Null.
(KVL)
n
u
=1
z Masche μ
=0
Kirchhoff
voltage law
Die Kirchhoffsche Maschenregel VI
-148-
Maschengleichungen
(1) Anwendung der Maschenregel:
i4
R4
u4
i1
M1
i5
u5
R1
u1
M4
i0
u3
R3
M3
u0
R5 M2 i2
R2
u2
Maschenregel für die Maschen M1 bis M4:
i3
( M1 ) : u0 + u1 + u2 + u3 + u4 + u5 =0
( M 2 ) : u0 + u1 u2 u3 u4 u5 = 0
( M 3 ) : u0 u1 + u2 + u3 u4 + u5 = 0
( M 4 ) : u0
+ u2 + u 3 u 4 + u5 = 0
=0
• (Spaltenweise) Addition der Spannungen
bzw. der Gleichungen ergibt Null.
• Addition von drei Gleichungen ergibt jeweils die (u.U. negative) vierte Gleichung.
10
Die Kirchhoffsche Maschenregel VII
-149-
Maschengleichungen
(2) Erkenntnisse aus den Maschengleichungen:
i4
R4
u4
M1
i1
u3
R3
i5
u5
• Zur letzten Aussage (Folie 148): Die vierte
Gleichung enthält demnach keine neuen
Informationen zu den Spannungen.
i3
• Die 4 Gleichungen des Gleichungssystems
sind linear abhängig.
R5 M2 i2
R1
R2
u1
• Linear unabhängige Gleichungen ergeben
sich durch die Menge linear unabhängiger
Maschen (Begründung: Folien 138, 139).
u2
M3
M4
In einem Netzwerk mit z Zweigen und k
Knoten müssen die Maschengleichungen
für nur m = z – k + 1 linear unabhängige
Maschen berechnet werden. Die Maschengleichungen für die anderen Maschen sind
zwangsläufig erfüllt.
u0
i0
Die Netzwerkgleichungen I
-150-
Die vollständige Beschreibung des Netzwerks
(1) Netzwerkbeispiel:
K4
R4
i4
K1
u4
u5
u1
i1
(a) Elektrische Stromstärken:
R3
i5
R5 u3
u2
R1
i3
i2
(b) Elektrische Spannungen: (m Gleichungen)
u0
= 1, 2,…, 5
(c) Für die Zweigelemente:
i0 + i1 + i2 + i3 i4 + i5 = 0
i0 i1 i2 + i3 i4 + i5 = 0
i0 + i2 i3 i4 + i5 = 0
R2
K2
i0
K3
( K1 ) :
(K2 ) :
(K3 ) :
u = R i
( M1 ) : u0 + u1 + u2 + u3 + u4 + u5 =0
( M 2 ) : u0 + u1 u2 u3 u4 u5 = 0
( M 3 ) : u0 u1 + u2 + u3 u4 + u5 = 0
11
-151-
Die Netzwerkgleichungen II
Die vollständige Beschreibung des Netzwerks
(1) Fazit:
K4
R4
i4
K1
u4
u5
u1
i1
• Die angegebene, vollständige Beschreibung des elektrischen Netzwerks enthält 11 Gleichungen für 11 Unbekannte.
R3
i5
R5 u3
u2
R1
i3
K3
i2
• Im Prinzip ist das Problem, d.h. die
Bestimmung der Strom- und Spannungsgrössen damit gelöst.
R2
K2
u0
i0
• Die Unbekannten sind hier u und i mit
= 1, 2,…, 5 und i0.
• Aber: Eine direkte Lösung der angegebenen Gleichungssysteme ist unnötig aufwändig.
• Bessere Lösungstrategien vermittelt
hierzu die Netzwerkanalyse.
-152-
Einfache elektrische Netzwerke I
Die Reihenschaltung von Netzwerkelementen
(1) Betrachtung der Stromstärken (im Widerstandsnetzwerk):
K1
i
i1
Reihenschaltung
(Serieschaltung)
u1
R1
u0
M
i1
i2
K2
u2
u
R2
i
i2
• Für den Zusammenhang zwischen ZweigStröme und Zweigspannungen gilt demnach das Ohmsche Gesetz.
• Das Netzwerk hat drei entartete Knoten
(Knoten ohne Stromverzweigung).
• Anwendung der Kirchhoffschen
Knotenregel:
K3
Die Stromstärken in den
in Reihe geschalteten
Netzwerkelementen sind
gleich gross.
• Ohne Einschränkung der Allgemeinheit
werden die Netzwerkelemente als Widerstände angenommen.
i1 = i2 = i
( K1 ) :
(K2 ) :
(K3 ) :
i i1 = 0
i1 = i
i1 i2 = 0
i2 i = 0
i1 = i2
i2 = i
12
Einfache elektrische Netzwerke II
-153-
Die Reihenschaltung von Netzwerkelementen
(2) Zu den Spannungen im Widerstandsnetzwerk:
K1
i
i1
• Anwendung der Kirchhofschen
Maschenregel:
u1
( M ) : u0 + u1 + u2 = 0
R1
u0
M
i1
i2
K2
• Daraus folgt:
u
u2
u0 = u1 + u2
R2
i
• Die von aussen durch die Urspannungsquelle angelegte Gesamtspannung ist
gleich der Summe der Teilspannungen
an den beiden Widerständen.
i2
K3
Die an einer Reihenschaltung von n Netzwerkelementen anliegende Gesamtspannung u ist gleich der Summe der einzelnen
Teilspannungen an den Netzwerkelementen.
• Für eine Reihenschaltung von n Netzwerkelementen
n
gilt demnach:
u = u
=1
Einfache elektrische Netzwerke III
-154-
Die Reihenschaltung von Netzwerkelementen
(3) Äquivalenter Gesamtwiderstand der Reihenschaltung:
K1
K1
i1
• Der Strom, welcher aus Knoten K1 in die
Reihenschaltung und aus Knoten K3 zurück
in die Quelle fliesst hat die Stromstärke i.
i
• Die Spannung zwischen den Knoten K1 und
ist K3 gerade die Gesamtspannung u.
u1
R1
i2
u
R
u2
R2
K3
• Ein äquivalenter Widerstand R (Ersatzwiderstand), der bei der selben Gesamtspannung
u eine Stromstärke von i aufweist berechnet
sich demnach gemäss:
u u1 + u2 u1 u2
=
= +
i
i
i
i
u u
= 1 + 2 = R1 + R2
i1 i2
R=
K3
13
-155-
Einfache elektrische Netzwerke IV
Die Reihenschaltung von Netzwerkelementen
(3) Äquivalenter Gesamtwiderstand der Reihenschaltung:
K1
K1
i1
i
u1
R1
i2
u
R
u2
R2
n in Reihe geschaltete elektrische
Widerstände können bezüglich ihrer
äusseren Klemmen durch einen
äquivalenten Gesamtwiderstand R
ersetzt werden (heisst demnach
auch: Ersatzwiderstand). Der äquivalente Gesamtwiderstand R ist
gleich der Summe der n in Reihe
geschalteten Einzelwiderstände.
Der Gesamtwiderstand R ist grösser
als der grösste Teilwiderstand.
n
K3
R = R
=1
K3
äquivalenter
Gesamtwiderstand
der Reihenschaltung
(Ersatzwiderstand)
Einfache elektrische Netzwerke V
-156-
Die Reihenschaltung von Netzwerkelementen
(4) Spannungsteilerschaltung:
K1
• Durch die in Reihe geschalteten Widerstände R1 und R2 wird die Gesamtspannung u in Teilspannungen u1 und u2 aufgeteilt.
K1
i1
i
u1
R1
i2
u
R
u1 R1 i1 R1 i
R1
=
=
=
u
Ri
R i R1 + R2
u2
R2
K3
u1 R1 i1 R1 i R1
=
=
=
u2 R2 i2 R2 i R2
K3
R
u2 R2 i2 R2 i
R2
=
=
=
u
Ri
R i R1 + R2
14
Einfache elektrische Netzwerke VI
-157-
Die Parallelschaltung von Netzwerkelementen
(1) Betrachtung der Stromstärken (im Widerstandsnetzwerk):
K1
i1
i
u0
M2
i2
u2
u1 G2
M1 G1
• Anwendung der Kirchhoffschen
Knotenregel:
G =
• Der Gesamtstrom i wird in die Teilströme
i1 und i2 aufgeteilt.
Der durch die Parallelschaltung von n
Netzwerkelementen fliessende Strom i
ist gleich der Summe der
n
Stromstärken der durch
i
=
i
die Netzwerkelemente
=1
fliessenden Teilströme.
K2
Leitwerte:
( K1 ) : i i1 i2 = 0 i = i1 + i2
1
R
Einfache elektrische Netzwerke VII
-158-
Die Parallelschaltung von Netzwerkelementen
(2) Zu den Spannungen im Widerstandsnetzwerk:
K1
i1
i
u0
M1 G1
M2
u1 G2
• Anwendung der Kirchhoffschen
Maschenregel:
i2
u2
K2
Alle Widerstände/Leitwerte liegen
an der gleichen Spannung.
(M1 ) : u0 u1 u2 = 0 u1 = u0
(M 2 ) : u0 u1 u2 = 0 u2 = u0
In einer Parallelschaltung von n Netzwerkelementen sind die an den einzelnen Netzwerkelementen anliegenden
elektrischen Spannungen gleich gross.
u = u1 = u2 =… = un
15
Einfache elektrische Netzwerke VIII
-159-
Die Parallelschaltung von Netzwerkelementen
(3) Äquivalenter Gesamtleitwert/Gesamtwiderstand der Parallelschaltung:
K1
i1
i
u0
M2
i2
u2
u1 G2
M1 G1
• Der äquivalente Gesamtleitwert G ermittelt
sich durch die Forderung, dass durch ihn
bei der Spannung u = u0 der Gesamtstrom
i fliessen soll.
G=
K2
äquivalenter
Gesamtleitwert
der Parallelschaltung
n
G = G
=1
i i1 + i2 i1 i2
=
= + = G1 + G2
u
u u
u
Der äquivalente elektrische Gesamtleitwert G von n parallel geschalteten
elektrischen Leitwerten ist gleich der
Summe der parallel geschalteten Einzelleitwerte.
Einfache elektrische Netzwerke IX
-160-
Die Parallelschaltung von Netzwerkelementen
(3) Äquivalenter Gesamtleitwert/Gesamtwiderstand der Parallelschaltung:
K1
i1
i
u0
M1 G1
M2
u1 G2
• Der äquivalente Gesamtwiderstand R der
Parallelschaltung von n Widerständen
berechnet sich demnach gemäss:
i2
u2
K2
Merke: Der Gesamtwiderstand R
ist kleiner als der kleinste
Teilwiderstand.
n
n
1
1
G = G =
R =1 R
=1
1
R= n
1
R
=1 äquivalenter
Gesamtwiderstand
der Parallelschaltung
(Ersatzwiderstand)
16
-161-
Einfache elektrische Netzwerke X
Die Parallelschaltung von Netzwerkelementen
(4) Stromteilerschaltung:
K1
i1
i
u0
M2
i2
u1 G2
M1 G1
• Durch die parallel geschalteten Leitstände G1 und G2 wird die Gesamtstromstärke i in Teilstromstärken i1 und
i2 aufgeteilt.
u2
i1 G1 u1 G1 u G1
=
=
=
i2 G2 u2 G2 u G2
i1 G1 u1 G1 u
G1
=
=
=
i
Gu
G u G1 + G2
K2
G
i2 G2 u2 G2 u
G2
=
=
=
i
Gu
G u G1 + G2
Einfache elektrische Netzwerke XI
-162-
Die Spannungsteilerschaltung
(1) Der unbelastete Spannungsteiler:
• Widerstände R1 und R2 sind
einstellbar.
i
R1
u1
R2
u2
u0
• Abhängigkeit der Klemmenspannung u11’ von R1 bzw. R2.
1
u11
1
2 Fälle:
2 Fälle:
R1 ist einstellbar,
R2 ist konstant:
Abhängigkeit der
Klemmenspannung
R2 ist einstellbar,
R1 ist konstant:
Abhängigkeit der
Klemmenspannung
u11 =
R2
u0
R1 + R2
17
-163-
Einfache elektrische Netzwerke XII
Die Spannungsteilerschaltung
(2) Der unbelastete Spannungsteiler – Variation von R1:
R1 ist einstellbar:
Abhängigkeit der
Klemmenspannung
i
R1
u1
u0
R2
1
u2
u11 =
u11
1
u0
R1 1+ R2 1
-164-
Einfache elektrische Netzwerke XIII
Die Spannungsteilerschaltung
(3) Der unbelastete Spannungsteiler – Variation von R2:
R2 ist einstellbar:
Abhängigkeit der
Klemmenspannung
u11 =
R2 R1
u0
1+ ( R2 R1 )
i
R1
u1
R2
u2
u0
1
u11
1
18
Einfache elektrische Netzwerke XIV
-165-
Die Potentiometerschaltung
(4) Der unbelastete Spannungsteiler – gleichzeitige Variation von R1 und R2:
• Gleichzeitige und «gegenläufige» Variation der Widerstände R1 und R2.
• Summe der Widerstände R1 und R2 bleibt
konstant.
lineare
Abhängigkeit!
u11 =
R2
u0 R2
R1 + R2
R=const .
Einfache elektrische Netzwerke XV
-166-
Die belastete Spannungsteilerschaltung
(1) Analyse des belasteten Spannungsteilers:
• Reale Spannungsteiler werden
an einem Verbraucher R3
betrieben.
• Der belastete Spannungsteiler
weist demnach keine lineare
Abhängigkeit der Klemmenspannung u11’ mehr auf!
• Kirchhoffsche Regeln:
m=z–k+1=3 –2+1= 2
i1 = i2 + i3
u0 = R1i1 + R2i2
i2 = [ R3 R2 ]i3
u0 = R1 ( R1 + R2 ) R2 i3 + R3i3
( K1 ) : i1 i2 i3 = 0
(M1 ) : u0 R1i1 R2i2 = 0
(M 2 ) : R2i2 R3i3 = 0
19
Einfache elektrische Netzwerke XVI
-167-
Die belastete Spannungsteilerschaltung
(1) Analyse des belasteten Spannungsteilers:
• Stromstärke i3:
i3 =
R2 u0
R1 R2 + R1 R3 + R2 R3
• Klemmenspannung u11’ :
u11 = u3 = R3 i3
R2 R3 u0
u11 =
R1 R2 + R1 R3 + R2 R3
R1 R2
:
R3
bewirkt Nichtlinearität im Verhalten
von u11’ als Funktion von R2.
u11 =
R2
RR
R1 + R2 + 1 2
R3
u0
R=const .
Einfache elektrische Netzwerke XVII
-168-
Die belastete Spannungsteilerschaltung
(2) Lastabhängigkeit der Klemmenspannung:
Nichtlinearität «spürbar» ab R3 < R1 + R2
u11
1
=
u0 R1 + R2 + R1
R2
R3
R2 = x R; R1 = (1 x ) R
u11
1
=
u0 1 + 1 x R
( )
R3
x
u11
1
=
u0 1 + 1 x 1
( )
R3 R
x
20
-169-
Einfache elektrische Netzwerke XVIII
Die Brückenschaltung
(1) Analyse der Brückenschaltung:
K4
u4
i4
K1
i1
(a) Knotengleichungen:
u3
R4 u5
M1
R1
i5
R3
R5
i0
K3
M2
R2
u1
M3
i3
i2
( K1 ) :
(K2 ) :
(K4 ) :
i0 + i1 + i2 + i3 i4 + i5 = 0
i0 i1 i2 + i3 i4 + i5 = 0
i0 + i1 + i2 + i3 + i4 i5 = 0
(b) m unabhängige Maschengleichungen:
u2
( M1 ) : u0 u1 + u2 + u3 u4 u5 =0
( M 2 ) : u0 + u1 + u2 + u3 u4 + u5 = 0
( M 3 ) : + u0 + u1 u2 + u3 u4 + u5 = 0
K2
u0
m=z–k+1=6–4+1=3
(c) Zweigrelationen:
u = R i
Einfache elektrische Netzwerke XIX
-170-
Die Brückenschaltung
(2) Das Gleichungssystem:
(1) :
i0 + i1 i4
=0
( 2 ) : i1 i2 + i5
=0
( 3 ) : i3 + i4 i5
=0
( 4 ) : R1i1 R4 i4 R5 i5 = 0
( 5 ) : + R2 i2 + R3i3 + R5 i5 = 0
( 6 ) : + R1i1 R2 i2
= u0
Gleichungssystem für die 6 unbekannten Stromstärken i0,…,i5.
Die Urspannung u0 ist gegeben.
Gesucht ist die Stromstärke i5.
z.B.
Kramersche
Regel
(3) Die Abgleichbedingung:
i5 = 0 R1 R3 R2 R4 = 0
R1 R3 R2 R4
i5 =
u0
R1 R2
R3 R4
( R3 + R4 ) ( R1 + R2 ) R + R + R + R + R5 1 2
3
4
unabhängig
von u0 !
R1 R4
=
R2 R3
21
Einfache elektrische Netzwerke XX
-171-
Die Brückenschaltung
(3) Wheatstonesche Messbrücke:
• Abgleichbedingung, so dass
der Querstrom i5 = 0:
R1 Rx
=
R2 Rn
geeichter NormalWiderstand.
=
x
R1 = R = R
x
x
R2 =
R = (1 ) R
• Widerstandsbestimmung für Rx:
Rx =
R
R1 R3
=
R
R2
(1 ) R n
ohne
Kenntnis
von R !
Rx =
R
(1 ) n
Die Stern-Dreieck Umwandlung I
-172-
Widerstands-Sternschaltung und Dreieckschaltung
(1) Einführende Betrachtungen:
• Schaltungen mit grosser Bedeutung in der Elektrotechnik.
• Problemstellung: Wie müssen die Netzwerkelemente
gewählt werden, damit sich die Schaltungen von den
Klemmen her besehen (nach aussen) identisch verhalten?
22
Die Stern-Dreieck Umwandlung II
-173-
Umrechnungen
(2) Gleichsetzen der eingesehenen
äquivalenten Widerstände:
Klemmen 1-2:
R10 + R20 =
Klemmen 2-3:
R20 + R30 =
Klemmen 3-1:
R30 + R10 =
R12 ( R23 + R31 )
R12 + R23 + R31
R23 ( R31 + R12 )
R12 + R23 + R31
R31 ( R12 + R23 )
R12 + R23 + R31
• Ausdrücke sind durch zyklisches Vertauschen
der Widerstände ineinander überführbar.
• Drei Gleichungen für die entsprechenden
drei Widerstände.
Die Stern-Dreieck Umwandlung III
-174-
Umrechnungen
(3) Dreieck Stern :
R12 R31
R12 + R23 + R31
R23 R12
R20 =
R12 + R23 + R31
R31 R23
R30 =
R12 + R23 + R31
R10 =
(4) Stern Dreieck :
R10 R20
R30
R R
R23 = R20 + R30 + 20 30
R10
R R
R31 = R30 + R10 + 30 10
R20
R12 = R10 + R20 +
• Auch hier sind Ausdrücke durch zyklisches Vertauschen der Widerstände
ineinander überführbar.
• Die Stern-Dreieck-Umwandlung wird in der Netzwerkanalyse vielfach
verwendet um Netzwerkprobleme zu vereinfachen.
23
-175-
Die reale Spannungsquelle I
Ersatzschaltbild z.B. einer Energieversorgungsstrecke
(1) Aufgliederung:
• Kraftwerk mit Generator und Freileitungen,
die zur Fabrik, zu den
Haushalten führen.
• Signalquelle mit Übermittlungskabel und
Empfänger.
Ideale Quelle
(Urspannungsquelle)
Widerstandsbehafteter
Draht
Die Last (die Senke) kann
nie direkt an die Klemmen
1-1’ angeschlossen werden
-176-
Die reale Spannungsquelle II
Ersatzschaltbild z.B. einer Energieversorgungsstrecke
(2) Ersatzspannungsquelle (reale Spannungsquelle):
• Bezüglich der Klemmen 2-2’ steht
dem Verbraucher keine ideale
Spannungsquelle (Urspannungsquelle) mehr zur Verfügung.
• Bezüglich der Klemmen 2-2’ wird
eine Urspannungsquelle mit vorgeschaltetem Innenwiderstand Ri
«eingesehen».
• Mit Abschlusswiderstand Ra:
i=
u0
Ri + Ra
Spannungsabfall ui:
Klemmenspannung u:
Ri
ui = Ri i =
u0
Ri + Ra
Ra
u = Rai =
u0 = u0 ui
Ri + Ra
: Stromstärke
Spannungsabfall
24
-177-
Die reale Spannungsquelle III
Belastung der Quelle mit einem Abschlusswiderstand
(1) Stromstärke und Klemmenspannung aus der Sicht des Verbrauchers:
u0 =
u + ui
• Die Maximalstromstärke
bei Ra = 0 heisst
Kurzschlussstromstärke.
ik =
u0
Ri
• Die maximale Spannung
bei Ra heisst
Leerlaufspannung.
u = u0
-178-
Die reale Spannungsquelle IV
Belastung der Quelle mit einem Abschlusswiderstand
(2) Das u-i-Diagramm (oft auch: Die Strom-Spannungskennlinie):
Arbeitspunkt
u = Ra i
aber
(Folie 176)
Die Belastungskennlinie:
u = u0 Ri i
25
-179-
Die reale Spannungsquelle V
Das Verhalten der realen Spannungsquelle
(1) Die eindeutige Charakterisierung der realen Spannungsquelle:
Wie aus der (linearen) u-i- Kennlinie
hervorgeht, genügen
für die eindeutige
Bestimmung der
realen Quelle die
beiden spezifischen
Arbeitspunkte
(a) «Leerlauf» und
(b) «Kurzschluss».
u = u0
ik =
u0
Ri
Messvorschrift für die
Bestimmung realer
Spannungsquellen.
-180-
Die reale Spannungsquelle VI
Das Verhalten der realen Spannungsquelle
(2) Messvorschrift zur eindeutigen Bestimmung von realen Spannungsquellen:
Die «Blackbox»
reale Spannungsquelle ist durch
die Messung von
u und ik eindeutig
bestimmbar.
Bestimmung der
Leerlaufspannung
u := u0
Bestimmung des
Kurzschlusstromes
u
ik := 0
Ri
Parameter der realen
Spannungsquelle
u0 = u
Ri =
u0
ik
26
Die reale Spannungsquelle VII
-181-
Das Verhalten der realen Spannungsquelle
(3) Abschliessende Betrachtungen:
Ri
(A) Alternative Bestimmung des Innenwiderstandes:
Schliesse die Urspannungsquelle kurz, d.h.
ersetze die Urspannungsquelle durch ein Stück
ideal leitenden Draht.
Der dabei eingesehene Widerstand entspricht
dann gerade dem Innenwiderstand Ri.
u = u0 i =
u0
Ra
(B) Kleiner Innenwiderstand: (Ri << Ra)
Die reale Spannungsquelle verhält sich zunehmend wie eine (ideale) Urspannungsquelle.
i = i0
u0
Ri
(C) Grosser Innenwiderstand: (Ri >> Ra)
Die reale Spannungsquelle verhält sich zunehmend wie eine (ideale) Urstromquelle.
i=
-182-
Die reale Stromquelle I
Ersatzschaltbild z.B. einer Signalübertragungsstrecke
(1) Aufgliederung:
• Die Stromstärke
iq stellt hier einen
Querstrom dar,
welcher von der
verbleibenden
Leitfähigkeit im isolierenden
Dielektrikum (mit
r) herrührt.
• Unerwünschte
Stromabzweigung.
Ideale Quelle
(Urstromquelle)
Koaxialleitung
mit leitfähigem
Dielektrikum
Die Last (die Senke) kann
nie direkt an die Klemmen
1-1’ angeschlossen werden
27
-183-
Die reale Stromquelle II
Ersatzschaltbild z.B. einer Signalübertragungsstrecke
(2) Ersatzsstromquelle (reale Stromquelle):
• Für die «
Stromabzweigung»
kann nun eine Ersatzschaltung gefunden werden: der
Querleitwert der Stromquelle, bzw. deren Innenleitwert.
u=
i0
Gi + Ga
i=
Ga
i0 = Ga u
Gi + Ga
ii =
Gi
i0 = Gi u
Gi + Ga
i = i0 ii
-184-
Die reale Stromquelle III
Belastung der Quelle mit einem Abschlussleitwert
(1) Stromstärke und Klemmenspannung aus der Sicht des Verbrauchers:
i0 =
i + ii
• Die maximale Spannung
bei Ga = 0 S ist die
Leerlaufspannung.
u =
i0
Gi
• Maximalstromstärke
bei Ga ist die
Kurzschlussstrom.
ik = i0
28
-185-
Die reale Stromquelle IV
Belastung der Quelle mit einem Abschlussleitwert
(1) Belastungskennlinie der realen Stromquelle:
i0 fliesst
durch
Last
ik
u
i = i0 Gi u
i = Ga u
i0 fliesst durch
Innenleitwert
-186-
Die reale Stromquelle V
Das Verhalten der realen Stromquelle
(1) Die eindeutige Charakterisierung der realen Stromquelle:
Die «Blackbox»
reale Stromquelle ist durch
die Messung von
u und ik eindeutig
bestimmbar.
Parameter der
realen Stromquelle:
Bestimmung der
Leerlaufspannung
u :=
i0
Gi
Bestimmung des
Kurzschlusstromes
ik := i0
i0 = ik
Gi =
ik
u
29
-187-
Die reale Stromquelle VI
Das Verhalten der realen Stromquelle
(2) Abschliessende Betrachtungen:
(A) Alternative Bestimmung des Innenleitwertes:
Nehme die Urstromquelle heraus, d.h.
ersetze die Urstromquelle durch einen Leerlauf.
Der dabei eingesehene Leitwert entspricht
dann gerade dem Innenleitwert Gi.
Gi
i = i0
i
u= 0
Ga
(B) Kleiner Innenleitwert: (Gi << Ga)
Die reale Stromquelle verhält sich zunehmend wie eine Konstantstromquelle, bzw.
wie eine Urstromquelle.
u = u0
i
u= 0
Gi
(C) Grosser Innenleitwert: (Gi >> Ga)
Die reale Stromquelle verhält sich zunehmend wie eine Konstantspannungsquelle,
bzw. wie eine Urspannungsquelle.
-188-
Die reale Spannungs-/Stromquelle
(Klemmen-)Äquivalenz der beiden Quellentopologien
Reale Stromquelle:
Reale Spannungsquelle:
u = u0
ik =
u =
u0
Ri
u0 =
i0
Gi
i0
Gi
ik = i0
u0
Ri
( u0 , Ri )
i0 =
1
Gi
( i0 ,Gi )
Ri =
Gi =
1
Ri
30
Verschaltung elektrischer Quellen I
-189-
Reihen- und Parallelschaltungen idealer Quellen
Urspannungsquellen
mit ungleichen Urspannungen dürfen
nicht parallel, sondern
nur in Reihe geschaltet
werden.
n
u0 = u0
=1
Urstromquellen mit
ungleichen Urstromstärken dürfen nicht
in Reihe, sondern nur
parallel geschaltet
werden.
n
i0 = i0
=1
Verschaltung elektrischer Quellen II
-190-
Verschaltung von gemischten idealen Quellen
Reihen- und Parallelschaltung einer Urspannungs- und einer Urstromquelle:
Überlegung:
Welche
Grösse
der Urquelle
ist jeweils
starr und
welche ist
variabel?
Diese Reihenschaltung
verhält sich wie eine
Urstromquelle mit ik = i0
Bei Belastung gilt i = i0 :
u = Ri0 u0
Diese Parallelschaltung verhält sich wie eine Urspannungsquelle mit u = u0
Bei Belastung gilt u = u0 :
i = G u0 i0
31
Verschaltung elektrischer Quellen III
-191-
Reihenschaltung von realen Spannungsquellen
Klemmenäquivalenz der beiden Schaltungen:
• Originalquellen:
u = u01 + u02
u +u
ik = 01 02
Ri1 + Ri 2
Ersatzquelle:
u = u0
ik =
u0
Ri
• Klemmenäquivalenz bezüglich 1-1':
u0 = u01 + u02
Ri = Ri1 + Ri 2
Ri
n
u0 = u0
Klemmenäquivalenz: Leerlaufspannungen und
Kurzschlussströme müssen übereinstimmen.
=1
eingesehener
Innenwiderstand
(cf. Folie 181)
n
Ri = Ri
=1
Verschaltung elektrischer Quellen IV
-192-
Parallelschaltung von realen Stromquellen
Klemmenäquivalenz der beiden Schaltungen:
i02
i01
Gi1
• Originalquellen:
i01 + i02
Gi1 + Gi 2
ik = i01 + i02
u =
Gi2
Gi
Gi
Ersatzquelle:
u =
i0
i0
Gi
ik = i0
• Klemmenäquivalenz bezüglich 1-1':
i0 = i01 + i02
Gi = Gi1 + Gi 2
n
i0 = i0
=1
eingesehener
Innenleitwert
(cf. Folie 187)
n
Gi = Gi
=1
32
Verschaltung elektrischer Quellen V
-193-
Parallelschaltung von realen Spannungsquellen
Umwandlung in eine reale Spannungsquelle in drei Schritten:
Umwandlung in
drei reale Stromquellen.
Zusammenfassen
der Stromquellen.
Umwandlung in
eine äquivalente
Spannungsquelle.
Verschaltung elektrischer Quellen VI
-194-
Parallelschaltung von realen Spannungsquellen
Umwandlung in eine reale Spannungsquelle in drei Schritten:
Umwandlung der drei realen Spannungsquellen in drei reale Stromquellen:
(siehe hierzu Folie 188)
i0 =
u0
Ri
Gi =
3
u0
=1 Ri
i0 = i0 = =1
in eine reale Spannungsquelle:
(siehe hierzu Folie 188)
i0 3 u0 = Gi =1 Ri geschalteten reale Stromquellen:
(siehe hierzu Folie 192)
3
1
Ri
Umwandlung der realen Stromquelle
u0 =
Zusammenfassen der drei parallel
3 1 R =1 i
3
3
1
=1 Ri
Gi = Gi = =1
Ri =
3 1 1
=1 Gi
=1 Ri 33
-195-
Verschaltung elektrischer Quellen VII
Reihenschaltung von realen Stromquellen
Umwandlung in eine reale
Stromquelle in drei Schritten:
Umwandlung der zwei realen
Stromquellen in zwei reale
Spannungsquellen.
Zusammenfassen der zwei realen
Spannungsquellen zu einer realen
Spannungsquelle.
Umwandlung der realen Spannungs-
Quelle in eine äquivalente Stromquelle.
-196-
Verschaltung elektrischer Quellen VIII
Reihenschaltung von realen Stromquellen
Umwandlung in eine reale Stromquelle in drei Schritten:
Umwandlung der zwei realen
Zusammenfassen der zwei realen
Stromquellen in zwei reale
Spannungsquellen.
u0 =
i0
Gi
Ri =
Spannungsquellen zu einer realen
Spannungsquelle.
3
1
Gi
=1
Umwandlung der realen SpannungsQuelle in eine äquivalente Stromquelle.
i0 =
u0 3 i0 = Ri =1 Gi 3
i0
=1 Gi
u0 = u0 = 3 1 G =1
i
3
3
1
=1 Gi
Ri = Ri = =1
Gi =
3 1 1
=1 Ri
=1 Gi 34
Verschaltung elektrischer Quellen IX
-197-
«Auflösung» eines Knotens
Verschieben der Urspannungsquelle:
u = 0V
Merke: Die
grössen i01
und i02 sind
verschieden!
Liegt eine Urspannungsquelle direkt zwischen zwei Knoten, so
kann ein Knoten im Sinne von (b) oder (c) aufgelöst werden.
Verschaltung elektrischer Quellen X
-198-
«Auflösung» eines Zweiges
Verschieben der Urstromquelle:
i = 0A
Merke: Die
grössen u01
und u02 sind
verschieden!
Liegt eine Urstromquelle direkt in einem Zweig (zwischen zwei Knoten),
so kann der Zweig im Sinne von (b) oder (c) aufgelöst werden.
35
-199-
Leistungsanpassung I
Reale Spannungsquelle an einem Lastwiderstand
(1) Experimentalanordnung mit variablem Lastwiderstand:
• Wird ein Lastwiderstand angeschlossen, so fliesst ein Strom i,
welcher an Innenwiderstand Ri die
Leistung pi in Wärme umwandelt.
• Ra 0 u 0: es wird keine
Leistung pa in der Last umgesetzt,
dafür auschliesslich im Innenwiderstand Ri.
pa = u i = i 2 Ra =
2
u
>0
Ra
ui2
>0
pi = ui i = i Ri =
Ri
2
• Ra i 0: es wird keine
Leistung pa in der Last umgesetzt.
• Da die Verlustleistung positiv definit
ist, existiert für ein bestimmtes
endliches Ra eine Maximum der in
der Last umgesetzten Verlustleistung pa.
-200-
Leistungsanpassung II
Reale Spannungsquelle an einem Lastwiderstand
(2) In Wärme umgesetzte Leistungen als Funktion des Lastwiderstandes:
(A) Strom, Spannung und Leistung:
u=
Ra
u0
Ri + Ra
pa = u i =
i=
Ra
( Ri + Ra )
2
u0
Ri + Ra
u02
(B) Extremum der Verlustleistung:
dpa ( Ri + Ra ) 2Ra ( Ri + Ra ) 2 !
=
u0 = 0
dRa
( Ri + Ra )4
2
Standpunkt der Verbrauchers:
Bei gegebenem konstanten Ri
ist der Lastwiderstand Ra gesucht, welcher die in der Last
umgesetzte Leistung maximiert.
( Ri + Ra )2 2Ra ( Ri + Ra ) = Ri2 Ra2 = 0
Ri2 Ra2 = 0 Ra = Ri
36
-201-
Leistungsanpassung III
Reale Spannungsquelle an einem Lastwiderstand
(2) In Wärme umgesetzte Leistungen als Funktion des Lastwiderstandes:
(D) Verfügbare Leistung:
(A) Leistungsanpassung:
Anpassungsbedingung
Ri = Ra
u02
p0 :=
4Ri
(B) Maximale Verlustleistung an Ra:
pamax =
Ri = Ra
u02
u2
= 0
4Ra 4Ri
(C) Maximale Verlustleistung an Ri:
u02
pi =
4Ri
Dies ist auch die
Maximalleistung,
die von der Quelle
überhaupt abgegeben werden kann.
-202-
Leistungsanpassung IV
Reale Spannungsquelle an einem Lastwiderstand
(3) Zu den Quellenleistungen:
• Zur Anpassungsbedingung:
pa =
pi =
Ra
( Ri + Ra )2
Ri
( Ri + Ra )
2
u02
u02
verfügbare Leistung
u02 4Ri u02 Ri = Ra
4Ri R =R
i
a
• Die Urspannungsquelle unter der Anpassbedingung:
1
u2
Ri = Ra
pu = u0 i =
u02 0
2Ri
Ri + Ra
Nur bei Leistungsanpassung
kann der realen Quelle die
maximale Leistung, d.h. die verfügbare Leistung entzogen werden. Der gleiche Leitungsanteil
wird dabei am Innenwiderstand
in Wärme umgesetzt.
Bei Leistungsanpassung
liefert die Urspannungsquelle
die doppelte verfügbare Leistung, d.h. einmal die verfügbare
Leistung an die Last und einmal an den Innenwiderstand.
37
-203-
Leistungsanpassung V
Reale Spannungsquelle an einem Lastwiderstand
(4) Der Wirkungsgrad:
Kompromiss:
(Energieübertragung)
1,0
Anpassung:
(Nachrichtentragung)
0,5
Ra = 3Ri
= 0.75
pa = 0.75 p0
Anpassungsbedingung
=
Leistungsanpassung
Leistungsanpassung = 0.5
pa
Ra
=
pu Ri + Ra
0
0
1
2
3
4
5
Ra Ri
-204-
Leistungsanpassung VI
Reale Spannungsquelle an einem Lastwiderstand
(5) Aus der Sicht des Energieerzeugers:
• Der Energieerzeuger hat
Zugriff auf den Innenwiderstand Ri.
• Umformen der Leistungsausdrücke und des Wirkungsgrades im Hinblick
auf Ri / Ra.
• Die in der Last umgesetzte Leistung wird maximal
für Ri = 0 (absolutes Maximum).
38
-205-
Leistungsanpassung VII
Leistungsanpassung mit idealem Transformator
(1) Strom- und Spannungsverhältnisse:
(A) Übersetzungsverhältnis n:
u1 w1
=
:= n
u2 w2
i1
w
1
= 2 := i2
w1
n
2
2
w 1
w u w u w
Re = 1 = 1 u2 1 = 1 2 = 1 Ra
i1 w2 w2 i2 w2 i2 w2 Re = n 2 Ra Eingangsua = u2 ia = i2 Ra = ua ia
widerstand
-206-
Leistungsanpassung VIII
Leistungsanpassung mit idealem Transformator
(2) Verlustlose Leistungsanpassung:
• Dadurch lassen sich beliebige Lastwiderstände Ra auf den Wert Re
transformieren.
• In diesem Sinne lässt sich auch
eine beliebige Last Ra auf den Wert
Ri transformieren, bzw. anpassen.
Re = n 2 Ra := Ri
n=
Ri
Ra
u1
( i1n )
n
= u1i1 = n 2i12 Ra i12 Re = n 2i12 Ra = pe
pa = ia2 Ra = uaia = u2i2 = verlustlose
Anpassung
39