2. ¨Ubungsblatt zur Wahrscheinlichkeitstheorie I Aufgabe 1. Zeigt die

2. Übungsblatt zur Wahrscheinlichkeitstheorie I
WS 2004/2005, Prof. R. Dahlhaus, A. Rohde
Aufgabe 1. Zeigt die folgenden Eigenschaften eines Maßes µ auf (Ω, A) (Bemerkung 1.14 des Skripts): Für A, B, An ∈ A gelten
(i) Monotonie: A ⊂ B =⇒ µ(A) ≤ µ(B);
(ii) σ-Subadditivität: µ
S
∞
n=1
An ≤
P∞
n=1
Aufgabe 2. Eine Abbildung ν : P(Ω) →
µ(An )
R̄+ ∪ {∞} mit den Eigenschaften
(i) ν(∅) = 0,
(ii) A ⊂ B =⇒ ν(A) ≤ ν(B)
(ii) ν(
∞
S
n=1
An ) ≤
∞
P
n=1
ν(An )
für alle Mengen A, B, An ⊂ Ω, heißt äußeres Maß auf Ω. Eine Menge A ⊂ Ω heißt
ν-messbar (ν ein äußeres Maß), falls
ν(C) = ν(C ∩ A) + ν(C ∩ A) für alle C ∈ P(Ω)
Für ein äußeres Maß ν auf Ω gelten:
(a) die Menge A∗ (ν) der ν-meßbaren Mengen ist eine σ-Algebra;
(b) die Einschränkung von ν auf A∗ (ν) ist ein Maß.
Hinweise zu (a):
1. Durch geschicktes Einsetzen in die definierende Gleichung zeigt man zuerst, dass
A∗ (ν) eine Algebra ist.
2. Dann überlege man sich, dass die Definitionsgleichung der ν-Messbarkeit durch
ν(C) ≥ ν(C ∩ A) + ν(C ∩ A) für alle C ∈ P(Ω)
ersetzt werden kann.
3. Mithilfe der Subadditivität beweist man, dass A∗ (ν) ein Dynkin-System ist.
4. Eine Algebra, die ein Dynkin-System ist, ist bereits eine σ-Algebra.
Aufgabe 3. Beweist die Existenzaussage im Maßerweiterungssatz (Satz 1.17 im
Skript): Ist µ ein Prämaß auf der Algebra G, so existiert ein Maß µ̂ auf A(G) mit
µ̂ |G = µ.
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Betrachtet dazu die Abbildung
P(Ω) 3 B 7→ µ∗ (B) := inf
∞
nX
µ(An ) ;
n=1
∞
[
An ⊃ B , A n ∈ G
o
n=1
Beweist und benutzt:
(a) µ∗ ist ein äußeres Maß (s. Aufgabe 2);
(b) µ∗ |G = µ.
und verwendet das Ergebnis aus Aufgabe 2.
Aufgabe 4. Sei µ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf der Borel’schen σ-Algebra der
reellen Zahlen. Zeigt folgende Eigenschaften der Abbildung F (x) := µ((−∞, x]):
(i) F ist monoton wachsend.
(ii) F ist rechtsseitig stetig.
(iii) lim F (x) = 0 ;
x→−∞
lim F (x) = 1
x→∞
(iv) F ist stetig in a ⇐⇒ µ({a}) = 0.
(v) F hat höchstens abzählbar viele Sprungstellen.
Abgabetermin: Donnerstag, 4.11.04 in der Vorlesung
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