Kapitel 9 Die Elektrodynamik und das Photon

148
Teilchenphysik, HS 2007-SS 2008, Prof. A. Rubbia (ETH Zurich)
" B
" zusammenhängen:
wobei die Felder φ und A folgendermassen mit E,
"
" ≡∇
" ×A
" und E
" ≡ −∇φ
" − ∂A
B
∂t
(9.4)
Die Potentiale sind Lösungen der homogenen Maxwellschen Gleichungen:
Kapitel 9
" ≡∇
" ×A
"
B
und
"
" E
" + ∂B = 0
∇×
∂t
Die Elektrodynamik und das
Photon
=⇒
=⇒
" ·B
" =∇
" · (∇
" × A)
" = 0 ok!
∇
%
&
"
"
" + ∂A = 0
∇×
E
∂t
=⇒
(9.5)
"
" + ∂ A = −∇φ
" (9.6)
E
∂t
Wir führen den antisymmetrischen elektromagnetischen Feldtensor ein:
F µν ≡ ∂ µ Aν −∂ ν Aµ
Wir sind an der Beschreibung der Wechselwirkung zwischen Elektronen, Positronen und dem Photon interessiert. Wir beginnen mit der “klassischen”
Theorie des Elektromagnetismus.
(9.7)
Mit dieser Definition können die inhomogenen Maxwellschen Gleichungen ausgedrückt werden als
∂µ F µν = J ν
"
wobei J ν ≡ (ρ, J)
(9.8)
Die Maxwellsche Theorie kann als eine klassische Feldtheorie dargestellt
werden, die mit der Relativitätstheorie übereinstimmt. Wir verwenden die
Heavyside-Lorentz Einheiten, für die gilt
Der 4-Vektor J ν ist der elektrische Ladungs-Strom-4-Vektor. In dieser
Form ist die Kovarianz der Maxwellschen Theorie explizit! Man kann leicht
beweisen, dass der elektromagnetische Feldtensor gleich


0 −Ex −Ey −Ez

Ex
0
−Bz By 

F µν = 
(9.9)
 Ey Bz
0
−Bx 
Ez −By Bx
0
c = ! 0 = µ0 = 1
(F µν )! = Λµα Λνβ F αβ
9.1
9.1.1
Klassische Maxwellsche Theorie
Das elektromagnetische 4-Potential
(9.1)
(9.2)
" B
" die elektrischen und magnetischen Felder sind, und ρ, J" die elekwobei E,
trische Ladungsdichte und die Stromdichte.
Wir definieren das (kontravariante) elektromagnetische 4-Potential
"
Aµ ≡ (φ, A)
147
(9.10)
Der Tensor enthält beide, elektrische und magnetische, Felder. Eine LorentzTransformation wird deshalb, wie erwartet, die elektrischen und magnetischen
Felder mischen.
Die Maxwellschen Gleichungen lauten damit:

"


" ·E
" =ρ ∇
" ×B
" − ∂ E = J" inhomogene
 ∇
∂t
"


" ·B
" =0 ∇
" ×E
" + ∂ B = 0 homogene
 ∇
∂t
ist. Der Tensor transformiert sich unter der Lorentz-Transformation wie:
(9.3)
Die physikalische Grösse: wir betrachten den 4-Potentialvektor Aµ als die
" und B
"
fundamentale physikalische Grösse. Die elektromagnetischen Felder E
können aus Aµ hergeleitet werden. Wenn wir den 4-Potentialvektor Aµ verwenden, sind die homogenen Maxwellschen Gleichungen automatisch erfüllt, und
die ganze Theorie wird in einer Vektorgleichung zusammengefasst:
∂µ (∂ µ Aν − ∂ ν Aµ ) = J ν
"
wobei J ν ≡ (ρ, J)
(9.11)
Der ganze Elektromagnetismus kann daher als die Feldtheorie des Vektorfelds
Aµ zusammengefasst werden.
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9.1.2
149
9.2
Das Problem der Eichtransformation
Es gibt aber ein Problem: der 4-Potentialvektor Aµ ist nicht eindeutig definiert.
Unter der Eichtransformation
Aµ → Aµ + ∂ µ λ
∂λ " "
→ (φ +
, A − ∇λ)
∂t
(9.12)
µ
wird der elektromagnetische Feldtensor nicht geändert, wobei λ = λ(x ) eine
beliebige skalare Funktion des Raumzeitvektors ist.
F µν = ∂ µ (Aν + ∂ ν λ) − ∂ ν (Aµ + ∂ µ λ) = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ
(9.13)
" und B-Felder
"
Wir können diesen Freiheitsgrad, der keinen Effekt auf die Ehat, dazu benutzen, um eine zusätzliche Bedingung zu stellen:
∂µ Aµ = 0
Lorentz-Bedingung
∂µ F µν = J ν = ∂µ ∂ µ Aν − ∂µ ∂ ν Aµ = ∂µ ∂ µ Aν
5 67 8
(9.15)
=0
∂µ ∂ µ Aν = J ν
Maxwellsche Gleichung in Lorentz-Bedingung
Strahlungs- (oder Coulomb-) Eichung:
∂µ Aµ = 0 folgt
∂µ ∂ µ λ = 0
Aus
der
(9.16)
Ein Vektorfeld trägt einen Lorentz-Index und wird durch seine Transformationseigenschaft unter einer Lorentz-Transformation charakterisiert (Siehe
Kap. 7.2.2):
A!µ (x! ) = Λµν Aν (x) = Λµν Aν (Λ−1 x! )
(9.20)
Für eine infinitesimale Lorentz-Transformation (Siehe Kap. 4.6.5 und 7.2.3)
gilt:
x!µ = Λµν xν = (δνµ + ω µν )xν
und xµ = (Λ−1 )µν x!ν = (δνµ − ω µν )x!ν
(9.21)
In erster Ordnung erhalten wir für das Feld:
A!µ (x) = Λµν Aν ((Λ−1 )αβ xβ )
≈ (δνµ + ω µν )Aν ((δβα − ω αβ )xβ )
.
≈ (δνµ + ω µν ) Aν (x) − ω αβ xβ ∂α Aν (x)
.
= (δνµ + ω µν ) Aν (x) − ω αβ xβ ∂α Aν (x)
(9.22)
Es gilt für den zweiten Term in der eckigen Klammer (Siehe Kap. 7.2.3):
1 µν
(ω xν ∂µ + ω µν xν ∂µ )
2
1 µν
=
(ω xν ∂µ − ω µν xµ ∂ν )
2
1
i
= − ω µν (xµ ∂ν − xν ∂µ ) ≡ ω µν Lµν
2
2
wobei der Drehimpuls-Tensor gleich
(ω µν xν ∂µ ) =
Lµν ≡ i (xµ ∂ν − xν ∂µ )
(9.23)
(9.24)
ist. In ähnlicher Weise
(9.17)
Im Fall des Vakuums (J ν =0 ) stellt man oft eine zusätzliche Bedingung:
Im Vakuum:
(9.18)
∂µ ∂ µ Aν = 0 und wir setzen A0 ≡ 0
Es folgt,
Coulomb-Eichung
Vektorfelder
Lorentz-Bedingung
d.h., die möglichen Eichfunktionen werden eingeschränkt. Dies legt das Potential immer noch nicht eindeutig fest. Tatsächlich gibt es keinen sauberen Weg
diese Ambiguität aufzulösen.
" ·A
"=0
A0 ≡ 0, ∇
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(9.14)
Man spricht vom Festlegen der Eichung (“gauge fixing”). Die Maxwellschen
Gleichungen vereinfachen sich zu:
oder
150
(9.19)
Diese Bedingung ist nicht kovariant und kann deshalb nicht unabhängig vom
Beobachter definiert werden. Die physikalische Bedeutung ist aber klar, wie
wir im folgenden Abschnitt sehen werden.
(δνµ + ω µν ) = δνµ + ω αβ δαµ gβν
0
1 / αβ µ
= δνµ +
ω δα gβν − ω αβ δβµ gαν
2
i
i
= δνµ − ω αβ i(δαµ gβν − δβµ gαν ) ≡ δνµ − ω αβ (Σαβ )µν (9.25)
2
2
wobei wir den antisymmetrischen Operator Σ eingeführt haben. Es gilt:
.
A!µ (x) ≈ (δνµ + ω µν ) Aν (x) − ω αβ xβ ∂α Aν (x)
1
2
i
≈ (δνµ + ω µν ) Aν (x) − ω αβ Lαβ Aν (x)
2
41
2
3
i
i αβ
µ
µ
Aν (x) − ω αβ Lαβ Aν (x)
≈
δν − ω (Σαβ ) ν
2
2
i αβ
i αβ
µ
µ
≈ A (x) − ω Lαβ A (x) − ω (Σαβ )µν Aν (x)
(9.26)
2
2
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151
d.h. die Transformation des Felds enthält zwei Teile: der erste entspricht, wie
im Fall des skalaren Felds (Siehe Kap. 7.2.3) dem Drehimpuls des Felds. Der
zweite entspricht einem internen Freiheitsgrad, nämlich dem Spin. Der gesamte
Drehimpuls-Tensor wird definiert als
Jαβ Aµ (x) ≡ Lαβ Aµ (x) + (Σαβ )µν Aν (x)
= (Lαβ + Σαβ ) Aµ (x) (Notation)
(9.27)
152
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Wir erkennen die Klein-Gordon Gleichung (Siehe Kap. 7.2) für ein masseloses
Teilchen!
m=0
7856
(∂ µ ∂µ + m2 )φ(xµ ) = 0 −→ ∂ µ ∂µ φ(xµ ) = 0
(9.32)
Die Maxwellsche Gleichung besitzt aber vier Komponenten. Jede Komponente
des Potentials Aµ erfüllt die Klein-Gordon-Gleichung. Für ein freies Photon
nehmen wir an:
Ansatz : ebene Welle mit vierkomponentigem Polarisationsvektor
Damit gilt:
i
A!µ (x) = Aµ (x) − ω αβ Jαβ Aµ (x)
2
(9.28)
Diese letzte Gleichung beschreibt die gesamte Änderung des Vektorfelds unter
der Lorentz-Transformation. Beim Vergleich mit den allgemeinen Resultaten
des Kap. 4.6.5 interpretieren wir den J-Tensor-Operator als die Darstellung der
Generatoren der Gruppe. Der gesamte Drehimpuls ist durch die rein räumlichen
Komponenten dieses Tensors gegeben. Man kann zeigen, dass dieser intrinsische
Drehimpuls einem Spin S=1 entspricht. Es folgt:
Vektorfelder beschreiben Teilchen mit Spin 1.
Aµ (x) = ae−ip·x !µ (p)
wobei ! der Polarisations-4-Vektor ist (der nur vom 4-Impuls abhängt).
Der Polarisationsvektor hat eine Beziehung zum Spin des Photons. Es gilt für
die ebene Welle:
∂µ ∂ µ Aν = 0
Das Photon
Das Photon ist ein elementares Boson. Es ist schwierig zu sagen, wer das Photon
entdeckt hat.
=⇒
E = hν
h ≡ Plancksche Konstante
(9.29)
Einstein (1905) Quantisierung ist eine Eigenschaft der elektromagnetischen
Strahlung. Erklärt den photoelektrischen Effekt.
Compton (1923) Lichtquant wird als Teilchen mit verschwindender Masse
behandelt. Energie-Impuls-Erhaltung wird verwendet.
Photon γ ≡ elementares Teilchen
9.3.1
(9.30)
(9.34)
Wir betonen, dass !µ a priori 4 voneinander unabhängige Komponenten besitzt.
Wir wenden die Eich-Bedingungen an.
Lorentz-Bedingung:
∂µ Aµ = (−ipµ )ae−ip·x !µ (p) = 0
µ
=⇒ pµ ! = 0
(9.35)
(9.36)
Die Anzahl von unabhängigen Komponenten des Polarisationsvektors reduziert
sich auf drei.
" ·A
" = 0.
Coulomb-Eichung: A0 = 0, ∇
Es folgt,
!0 = 0 und "! · p" = 0
(9.37)
Der Polarisationsvektor "! ist zur Ausbreitungsrichtung senkrecht. Das freie
Photon ist transversalpolarisiert in der Coulombschen Eichung.
Beispiel: p"// z-Achse
9
µ
Das Potential A wird zur Wellenfunktion des Photons.
Freies Photon: (J ν =0 )
Maxwellsches freies Photon
pµ pµ = p2 = 0
Wir wählen als Basis die zwei unabhängigen Zustände
Quantenelektromagnetismus
∂µ ∂ µ Aν = 0
=⇒
Polarisation des Photons
Planck (1900) Elektromagnetische Strahlung von schwarzen Körpern
Die elektromagnetische Strahlung, die Körper emittieren, ist quantisiert und
die Beziehung zwischen Frequenz und Energie ist:
(−i)2 pµ pµ Aν = 0
Es folgt (wie erwartet), m = 0 und E = |"p|.
9.3.2
9.3
(9.33)
µ
(9.31)
!µ(1) = (0, 1, 0, 0) ≡ (0,"!1 )
!µ(2) = (0, 0, 1, 0) ≡ (0,"!2 )
(9.38)
Von den ursprünglichen 4 unabhängigen Komponenten bleiben schliesslich nur
zwei übrig:
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153
154
9.4
Die Vektoren !µ (1 ) und !µ (2 ) entsprechen den transversalen linearen Polarisationen des Felds. Durch Überlagerung zweier um 90◦ phasenverschobenen linear
polarisierten Wellen, können links- oder rechts-zirkular polarisierte Wellen erzeugt werden, die mit den Spins m=±1 assoziiert sind, wobei die Achse der
Quantisierung des Spins in die Richtung des Impulses gerichtet wurde.
Daher besitzt das (masselose) Photon nur zwei Helizitäten: der Spin zeigt in
die Richtung oder in die entgegengesetzte Richtung des Impulses.
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Massive Vektorfelder
Wir wissen, dass das Photon ein masseloses Teilchen ist. Der Elektromagnetismus entspricht daher einer Theorie eines masselosen Vektorfelds. Im Allgemeinen kann man natürlich auch massive Vektorfelder betrachten. Wenn wir
freie Felder betrachten, dann ist es sinnvoll anzunehmen, dass das massive Feld
durch ein 4-Vektor-Feld beschrieben werden kann, wobei jede Komponente des
Felds die Klein-Gordon-Gleichung mit Masse m erfüllt:
(∂ µ ∂µ + m2 )Aν (x) = 0 (ν = 0, 1, 2, 3)
9.3.3
Die zweite Quantisierung des elektromagnetischen
Felds
" ·A
"=0
In der Coulombschen Eichung gilt: A0 = 0, ∇
Wir haben damit die Kovarianz verloren, aber das Feld ist daher eindeutig definiert. Eine allgemeine Lösung kann deshalb als eine gewöhnliche Entwicklung
in ebenen Wellen ausgedrückt werden:
"
A(x)
≡
:
d3 p"
(2π)3/2
5 67 8
Summe ueber alle M oden
;
2
>
1 <=
"!λ ("p)aλ ("p)e−ip·x + "!λ∗ ("p)a†λ ("p)e+ip·x
2Ep λ=1
(9.39)
wobei a λ die Vernichtungs- und
die Erzeugungs-Operatoren sind. Wir betonen, dass diese Form von der Eichung abhängt. Das Feld kann im Prinzip
mit anderen Eichungen ausgedrückt werden. Schliesslich müssen die messbaren
physikalischen Grössen immer unabhängig von der Wahl der Eichung sein!
a†λ
Folgende allgemeinen Resultate gelten für das quantisierte elektromagnetische
Feld:
H =
P" =
:
:
d3 p" Ep
d3 p" p"
2 =
<
λ=1
2 =
<
λ=1
>
a†λ ("p)aλ ("p)
>
a†λ ("p)aλ ("p)
(9.40)
(9.41)
d.h., die Energie und der Impuls des Zustands mit einem Photon sind gleich:
Ha†λ ("p)| 0( = Ep a†λ ("p)| 0( und P" a†λ ("p)| 0( = p"a†λ ("p)| 0(
(9.42)
Daher erzeugt der Operator a†λ ein Photon mit Energie E p , Impuls p" und
Polarisation λ. Der aλ -Operator vernichtet ein Photon mit Energie Ep , Impuls
p" und Polarisation λ.
(9.43)
mit der Lorentz-Bedingung:
∂ν Aν (x) = 0
(9.44)
Die (explizit kovariante) Lorentz-Bedingung reduziert die Anzahl von unabhängigen Komponenten auf drei. Die Zahl entspricht genau der Anzahl von
physikalisch unabhängigen Spinfreiheitsgraden eines Teilchens mit Spin 1.
Für ein freies Feld können wir eine ebene Welle als Ansatz annehmen: Aµ (x) =
ae−ip·x !µ (p). Durch Einsetzen in die Klein-Gordon-Gleichung erhalten wir die
folgende Bedingung für den Energie-Impuls-4-Vektor:
(∂µ ∂ µ +m2 )Aν = 0
=⇒
(−i)2 pµ pµ Aν +m2 Aν = 0
=⇒
p2 = m2 (9.45)
Die Lorentz-Bedingung beschränkt die möglichen Polarisationen:
∂µ Aµ = (−ipµ )ae−ip·x !µ (p) = 0
=⇒
pµ !µ = 0
(9.46)
Man erhält daher drei unabhängige Polarisationen. Wenn der Impuls z.B. parallel zur z-Achse ist, dann ist eine mögliche Wahl die folgende:
 µ

! = (0, 1, 0, 0)

 (1)
;
!µ(2) = (0, 0, 1, 0)
wobei Ep = p2 + m2
(9.47)

1

 !µ(3) = (p, 0, 0, Ep )
m
Die Basisvektoren sind reell, raum-artig und haben eine Normierung gleich –1.
Im Schwerpunktssystem des Teilchens sind die Vektoren gleich:
 µ
 !(1) = (0, 1, 0, 0)
!µ = (0, 0, 1, 0)
(im SP)
(9.48)
 µ(2)
!(3) = (0, 0, 0, 1)
d.h., sie beschreiben drei Polarisationen in die x -, y- und z -Richtungen. Wie
im Fall des elektromagnetischen Felds entsprechen !µ (1 ) und !µ (2 ) den transversalen Polarisationen des Felds. Der dritte Vektor !µ (3 ) entspricht einer longitudinalen Polarisation, die nicht erlaubt wäre, wenn das Teilchen, wie das
Photon, masselos wäre.
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156
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Natürlich ist auch eine andere Wahl der Basisvektoren möglich. Die Polarisationsvektoren können in bestimmten Fällen komplizierter aber praktischer sein.
Schliesslich müssen die messbaren physikalischen Grössen immer unabhängig
von der Wahl der Polarisationsbasis (oder der Eichung!) sein.
Mit Hilfe der Euler-Lagrange-Gleichung (Siehe Kap. 6.2) erhalten wir:
3
4
∂Lf rei
∂Lf rei
µ
−
∂
= 0 =⇒ ∂ µ Fµν = 0 ok!
(9.52)
∂Aν
∂(∂ µ Aν )
Wir vergleichen dieses Ergebnis mit dem Fall des elektromagnetischen Felds
(Siehe Kap. 9.3.2).
b) Masseloses Feld mit Quelle:
Die Wahlfreiheit bei der Eichung erlaubt die Lorentz-Eichung zu fordern. Im
Allgemeinen liefert die Bedingung eine zusätzliche Gleichung, die die Anzahl
von unabhängigen Komponenten des Felds von vier auf drei reduziert. Das
massive Feld besitzt daher drei unabhängige Polarisationsrichtungen.
Im Fall des elektromagnetischen Felds verlangte das Festlegen der Eichung
zwei Bedingungen: die Lorentz- und die Coulomb-Bedingung. Daher besitzt
das Photon nur zwei unabhängige Polarisationsrichtungen.
Wir addieren einen Term, der das Feld mit der Quelle J µ koppelt:
1
L = Lf rei + LQuelle = − Fµν F µν − Jµ Aµ
4
Wir erhalten,
∂LQuelle
∂LQuelle
= 0 und
= −Jν
∂(∂ µ Aν )
∂Aν
und es folgt aus der Euler-Lagrange-Gleichung:
∂ µ Fµν = Jν
9.5
9.5.1
Lagrange-Formalismus der Elektrodynamik
a) Masseloses freies Feld:
(9.49)
Wir nehmen das Potential Aµ als fundamentales Feld. Es gilt,
1
2
1
∂Lf rei
∂
− (∂α Aβ − ∂β Aα )(∂ α Aβ − ∂ β Aα )
=
µ
ν
µ
ν
∂(∂ A )
∂(∂ A )
4
.
∂
1
= −
(2∂α Aβ ∂ α Aβ − 2∂α Aβ ∂ β Aα )
4 ∂(∂ µ Aν )
1
2
1
∂
∂
α β
β α
= − 2
(∂
A
∂
A
)
−
(∂
A
∂
A
)
α
β
α
β
4 ∂(∂ µ Aν )
∂(∂ µ Aν )
1
= − 2 [2(∂µ Aν − ∂ν Aµ )] = −(∂µ Aν − ∂µ Aν )
(9.50)
4
∂Lf rei
= −Fµν
∂(∂ µ Aν )
und
(9.55)
∂Lf rei
=0
∂Aν
(9.51)
(9.56)
Wir bemerken, dass die Kontinuitätsgleichung auch folgt, weil:
∂F µν = Jν
=⇒
∂ ν Jν =
ν µ
∂
5 67∂ 8
Fµν
5678
=0 !
(9.57)
symmetrisch antisymmetrisch
9.5.2
Proca-Lagrange-Funktion
Die Lagrange-Dichte ist Lorentz- und eichinvariant.
Es folgt,
ok!
LM axwell = − 14 Fµν F µν − Jµ Aµ
Die L-Dichte muss Lorentz- und eichinvariant sein, so dass die Theorie auch
Lorentz- und eichinvariant sein wird.
Lf rei = − 14 Fµν F µν
(9.54)
D.h, die ganze Maxwellsche elektromagnetische Theorie kann in der folgenden
Lagrange-Funktion zusammengefasst werden:
Der Elektromagnetismus
Wir suchen nun die Lagrange-Dichte, die die Maxwellschen Gleichungen liefert.
(9.53)
Teilchen im elektromagnetischen Feld
In der klassischen Elektrodynamik kann die Bewegung eines geladenen Teilchens der Ladung e in einem elektromagnetischen Potential durch die kanonische minimale Substitution des Impulses und der Energie
" und E → E − eφ
p" → p" − eA
(9.58)
in der Lagrange-Funktion gewonnen werden. Wir können diese Methode erweitern zu
pµ → pµ − eAµ
(9.59)
oder als Ersatz des Operators
i∂ µ → i∂ µ − eAµ
(9.60)
Die minimale Substitution legt nahe, dass die Dirac-Gleichung in Anwesenheit
eines elektromagnetischen Feldes so
[γ µ (i∂µ − eAµ ) − m] Ψ = 0
Dirac-Gleichung mit äusserem Feld
(9.61)
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157
erweitert werden muss.
Wir können deshalb die gesamte Lagrange-Dichte der Quantenelektrodynamik (QED) bauen (Siehe Kap. 6.3 und 9.5) als
LQED = LDirac + LM axwell + LW echselwirkung
= Ψ̄ [γ µ (i∂µ − eAµ ) − m] Ψ − 41 Fµν F µν − J µ Aµ
/
0
1
− J µ + eΨ̄γ µ Ψ Aµ
= Ψ̄ [γ µ i∂µ − m] Ψ − Fµν F µν
5
67
8 5 4 67 8
67
8
5
f reies Dirac−F eld
f reies e.m. F eld
Quellen und W W zwischen Dirac und e.m.−F eld
(9.62)
Wenn wir das Potential Aµ variieren, erhalten wir die Maxwellschen Gleichungen mit der folgenden Ladungs-Strom-Dichte
∂ µ Fµν = Jν + eΨ̄γν Ψ
= Jν + ejν wobei j µ ≡ ψ̄γ µ Ψ
(9.63)
wobei wir den Dichtestrom-4-Vektor der Dirac-Gleichung j µ (Siehe Kap. 8.4)
erkennen. Der Strom J ν beschreibt eventuell vorhandene makroskopische
Ströme. Diese Gleichung definiert den Ausdruck der elektromagnetischen
Wechselwirkung eines Dirac-Teilchens als das Produkt der Ladung e und der
bilinearen Kovarianten (Siehe Kap. 9.4.4) der Vektor-Form mit dem Vektorpotential Aµ :
e
5678
Staerke zur Ladung proportional
×
(Ψ̄γ µ Ψ)
5 67 8
F orm des Stroms:V ektor
×Aµ
(9.64)
206
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