Die Elektrodynamik und das Photon

Kapitel 9
Die Elektrodynamik und
das Photon
Wir sind an der Beschreibung der Wechselwirkung zwischen Elektronen, Positronen und dem Photon interessiert. Wir beginnen mit der
“klassischen” Theorie des Elektromagnetismus.
9.1 Klassische Maxwellsche Theorie
Die Maxwellsche Theorie kann als eine klassische Feldtheorie dargestellt werden, die mit der Relativitätstheorie übereinstimmt.
Wir verwenden die Heavyside-Lorentz Einheiten, für die gilt
c = ε0 = µ0 = 1
Teilchenphysik
135
Die Elektrodynamik und das Photon
Die Maxwellschen Gleichungen sind die folgenden:
r
r r ∂E r
r r
=J
∇× B−
inhomogene
∇ ⋅ E = ρ
t
∂
r
r r
r r
 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E + ∂B = 0
homogene

∂t
wobei E, B die elektrischen und magnetischen Felder sind, und ρ, J
die elektrische Ladungsdichte und die Stromdichte.
Wir definieren das (kontravariante) elektromagnetische 4-Potential
r
A µ ≡ φ, A
( )
wobei die Felder φ und A folgendermassen mit E, B zusammenhängen:
r
r r r
r
r
∂A
B ≡ ∇ × A und E ≡ −∇φ −
∂t
Die Potentiale sind Lösungen der homogenen Maxwellschen Gleichungen:
r r r
r r r r r
B ≡ ∇ × A ⇒ ∇ ⋅ B = ∇ ⋅ ∇ × A = 0 ok!
(
und
136
)
r
r
r
r r ∂B
r  r ∂A 
r ∂A
r
= −∇φ
= 0 ⇒ ∇× E +  = 0 ⇒ E +
∇× E +
∂t
∂t 
∂t

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Klassische Maxwellsche Theorie
Wir führen den antisymmetrischen elektromagnetischen Feldtensor
ein:
F µν ≡ ∂ µ Aν − ∂ν A µ
Mit dieser Definition können die inhomogenen Maxwellschen Gleichungen ausgedrückt werden als
r
wobei J ν ≡ ρ, J
∂ µ F µν = J ν
( )
Der 4-Vektor Jν ist der elektrische Ladung-Strom-4-Vektor.
In dieser Form ist die Kovarianz der Maxwellschen Theorie explizit!
Man kann leicht beweisen, dass der elektromagnetische Feldtensor
gleich
F µν
0
E
x
=
E
 y
E
 z
− Ex
0
− Ey
− Bz
0
Bz
− By
Bx
− Ez
By 

− Bx 
0 
ist. Der Tensor transformiert sich unter der Lorentz-Transformation
wie:
( F )′ = Λ
µν
µ
α
Λν β F αβ
Der Tensor enthält beide, elektrische und magnetische, Felder. Eine
Lorentz-Transformation wird deshalb, wie erwartet, die elektrischen
und magnetischen Felder mischen.
Die physikalische Grösse: wir betrachten den 4-Potentialvektor Aµ
als die fundamentale physikalische Grösse. Die gewöhnlichen Felder
Teilchenphysik
137
Die Elektrodynamik und das Photon
E und B können aus Aµ hergeleitet werden. Wenn wir den 4-Potentialvektor Aµ verwenden, sind die homogenen Maxwellschen Gleichungen automatisch erfüllt, und die ganze Theorie wird in einer
Gleichung zusammengefasst:
r
∂ µ F µν = J ν
wobei J ν ≡ ρ, J
( )
Das Problem der Eichtransformation: es gibt aber ein Problem: der
4-Potentialvektor Aµ ist nicht eindeutig definiert. Unter der Eichtransformation
A µ → A µ + ∂µλ
∂λ r r 

, A − ∇λ
→ φ +


∂t
wobei λ=λ(xµ) eine beliebige Funktion des Raumzeitvektors ist, wird
der elektromagnetische Feldtensor nicht geändert:
F µν = ∂ µ ( Aν + ∂ν λ ) − ∂ν ( A µ + ∂ µ λ ) = ∂ µ Aν − ∂ν A µ
Wir können diesen Freiheitsgrad, der keinen Effekt auf die E und B
Felder hat, dazu benutzen, um eine zusätzliche Bedingung zu stellen:
∂µ Aµ = 0
Lorentz − Bedingung
Man spricht vom Festlegen der Eichung (“gauge fixing”). Die Maxwellschen Gleichungen vereinfachen sich zu:
∂ µ F µν = J ν = ∂ µ ∂ µ Aν − ∂ µ ∂ν A µ = ∂ µ ∂ µ Aν
123
=0
138
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Klassische Maxwellsche Theorie
oder
∂ µ ∂ µ Aν = J ν Maxwellsche Gleichung in Lorentz − Eichung
Strahlungs- (oder Coulomb-) Eichung: die Lorentz-Bedingung ist
nicht genügend, um das Potential eindeutig zu definieren. Wir können
noch den Gradient einer skalaren Funktion λ zum 4-Potential addieren, wobei
∂µ∂µλ = 0
gelten muss so dass,
∂µ Aµ = 0
wenn A µ → A µ + ∂ µ λ
Tatsächlich gibt es keinen sauberen Weg diese Ambiguität aufzulösen. Im Fall des Vakuums (Jν=0) stellt man oft eine zusätzliche
Bedingung:
Im Vakuum:
∂ µ ∂ µ Aν = 0
Es folgt,
A 0 ≡ 0,
und wir setzen
r r
∇⋅ A = 0
A0 ≡ 0
Coulomb − Eichung
Diese Bedingung ist nicht kovariant, und kann deshalb nicht unabhängig vom Beobachter definiert werden. Die physikalische Bedeutung ist aber klar, wie wir im folgenden Kapitel sehen werden.
Teilchenphysik
139
Die Elektrodynamik und das Photon
9.2 Das Photon
Das Photon ist ein elementares Boson. Es ist schwierig zu sagen, wer
das Photon entdeckt hat.
Planck (1900) Elektromagnetische Strahlung von schwarzen Körpern
Die elektromagnetische Strahlung, die Körper emittieren, ist quantisiert und die Beziehung zwischen Frequenz und Energie ist:
E = hν
h ≡ Plancksche Konstante
Einstein (1905) Quantisierung ist eine Eigenschaft der elektromagnetischen Strahlung. Erklärt den photoelektrischen Effekt.
Compton (1923) Lichtquant wird als Teilchen mit verschwindender
Masse behandelt. Energie-Impuls-Erhaltung wird verwendet.
Photon γ ≡ elementares Teilchen
9.2.1 Quantenelektromagnetismus
Das Potential Aµ wird zur Wellenfunktion des Photons.
Freies Photon: (Jν=0)
∂ µ ∂ µ Aν = 0
Maxwellsches freies Photon
Wir erkennen die Klein-Gordon Gleichung (Siehe Kap. 5.2) für ein
masseloses Teilchen!
(∂ ∂
µ
140
µ
)
+ m2 φ( x µ ) = 0
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Das Photon
Die Maxwellsche Gleichung besitzt aber vier Komponenten.
Ansatz: ebene Welle mit vier komponentigem Polarisationsvektor
A µ ( x µ ) = ae − ip ⋅xε µ ( p)
wobei εµ der Polarisations-4-Vektor ist. Der Polarisationsvektor hat
eine Beziehung zum Spin des Photons.
∂ µ ∂ µ Aν = 0 ⇒ (−i) 2 pµ p µ Aν = 0 ⇒
Es folgt (wie erwartet),
m = 0 und
pµ p µ = p 2 = 0
r
E= p
Polarisation: εµ besitzt 4 Komponenten.
Lorentz-Bedinung:
∂ µ A µ = (−ipµ ) ae − ip ⋅xε µ ( p) = 0
pµε µ = 0
⇒
Die Anzahl von unabhängigen Komponenten des Polarisationsvekrots reduziert sich auf drei.
Coulomb-Eichung:
A 0 ≡ 0,
Es folgt,
ε0 = 0
Teilchenphysik
und
r r
∇⋅ A = 0
r r
ε⋅p=0
141
Die Elektrodynamik und das Photon
Der Polarisationsvektor ε ist zur Ausbreitungsrichtung senkrecht.
Das freie Photon ist transversalpolarisiert in CoulombscherEichung.
Beispiel: p // z-Achse
zwei unabhängige Zustände
ε(µ1) = (0,1, 0, 0)
und
ε(µ2 ) = (0, 0,1, 0)
Von den ursprünglichen 4 unabhängigen Komponenten bleiben
schliesslich nur zwei übrig.
9.3 Lagrange-Formalismus der
Elektrodynamik
9.3.1 Elektromagnetismus
Wir suchen nun die Lagrange-Dichte-Funktion, die die Maxwellschen Gleichungen liefert.
Die L-Dichte muss Lorentz- und eichinvariant sein, so dass
die Theorie auch Lorentz- und eichinvariant sein wird.
a) Freies Feld:
1
L frei = − Fµν F µν
4
Proca − Lagrange − Funktion
Die Lagrange-Dichte ist Lorentz- und eichinvariant.
142
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Lagrange-Formalismus der Elektrodynamik
Wir nehmen das Potential Aµ als fundamentales Feld. Es gilt,
1
L frei = − Fµν (∂ µ Aν − ∂ν A µ )
4
1
= − Fµν ∂ µ Aν
( antisymmetrisch)
2
1
=−
∂ A (∂ µ Aν ) − ∂ν Aµ (∂ µ Aν )
2 µ ν
((
)
(
)
)
Es folgt,
∂L frei
∂(∂ A
µ
ν
)
= − Fµν
und
∂L frei
=0
∂Aν
Mit Hilfe der Euler-Lagrange-Gleichung (Siehe Kap. 8.2) erhalten
wir:
 ∂L frei 
∂L frei
µ
= 0 ⇒ ∂ µ Fµν = 0 ok!
ν −∂ 
µ ν 
∂A
 ∂(∂ A ) 
b) Feld mit Quelle:
Wir addieren einen Term, der das Feld mit der Quelle Jµ koppelt:
1
L = L frei + L Quelle = − Fµν F µν − J µ A µ
4
Wir erhalten,
∂L Quelle
∂(∂ A
µ
Teilchenphysik
ν
)
=0
und
∂L Quelle
= − Jν
∂Aν
143
Die Elektrodynamik und das Photon
und es folgt aus der Euler-Lagrange-Gleichung:
⇒ ∂ µ Fµν = Jν
ok!
D.h, die ganze Maxwellsche elektromagnetische Theorie kann in der
folgenden Lagrange-Funktion zusammengefasst werden:
1
L Maxwell = − Fµν F µν − J µ A µ
4
Wir bemerken, dass die Kontinuitätsgleichung auch folgt, weil:
ν µ
∂ µ Fµν = Jν ⇒ ∂ν Jν = ∂{
∂
symmetrisch
Fµν
{
=0 !
antisymmetrisch
9.3.2 Teilchen im elektromagnetischen Feld
In der klassischen Elektrodynamik kann die Bewegung eines geladenen Teilchens der Ladung e in einem elektromagnetischen Potential
durch die kanonische minimale Substitution des Impulses und der
Energie
r
r
r
p → p − eA und E → E − eφ
in der Lagrange-Funktion gewonnen werden.
Wir können diese Methode erweitern zu
p µ → p µ − eA µ
oder als Ersatz des Operators
i∂ µ → i∂ µ − eA µ
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Lagrange-Formalismus der Elektrodynamik
Die minimale Substitution legt nahe, dass die Dirac-Gleichung in
Anwesenheit eines elektromagnetischen Feldes so
[γ (i∂
µ
µ
) ]
− eAµ − m ψ = 0
Dirac − Gleichung im äusseren Feld
erweitert werden muss.
Wir können deshalb die gesamte Lagrange-Dichte-Funktion der
Quantenelektrodynamik (QED) bauen (Siehe Kap. 8.4 und 9.3) als
L QED = L Dirac + L Maxwell + L Wechselwirkung
[ (
) ]
= ψ γ µ i∂ µ − eAµ − m ψ −
[
1
F F µν − J µ Aµ
4 µν
]
1
= ψ γ µ i∂ µ − m ψ − Fµν F µν −( J µ + eψγ µψ ) Aµ
42444
3
1442443 144243 144
freies Dirac − Feld
Quellen und
Wechselwirkung
zwischen Dirac − Feld
und e .m . − Feld
freies
elektromagnetisches
Feld
Wenn wir das Potential Aµ variieren, erhalten wir die Maxwellschen
Gleichungen mit der folgenden Ladungs-Strom-Dichte
∂ µ Fµν = Jν + eψγ νψ
= Jν + ejν
wobei
j µ ≡ ψγ µψ
wobei wir den Dichtestrom-4-Vektor der Dirac-Gleichung jµ (Siehe
Kap. 6.4) erkennen. Diese Gleichung definiert den Ausdruck der
elektromagnetischen Wechselwirkung eines Dirac-Teilchens als das
Produkt der Ladung e und der bilinearen Kovarianten (Siehe
Kap. 7.4.4) der Vektor-Form, d.h.
e{
Strärke
zur Ladung
proportional
Teilchenphysik
×
ψγ ψ )
(12
4 4
3
µ
Form des Stroms:
Vektor
145
Die Elektrodynamik und das Photon
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