Höhere Quantenmechanik und Quantenelektrodynamik

Übungsaufgaben zur Vorlesung
Höhere Quantenmechanik und Quantenelektrodynamik“
”
Prof. Dr. Peter van Dongen
KOMET 337, Institut für Physik, Johannes Gutenberg-Universität
Aufgabenblatt 04, Abgabe: 23. 11. 2004
Aufgabe 7. Green’sche Funktionen und Zustandsdichte für ein freies Teilchen (5 Punkte)
In dieser Aufgabe berechnen wir die Green’schen Funktionen und die Zustandsdichte für ein
freies Teilchen in einem großen, jedoch endlichen Hyperkubus D = [0, L]d im d-dimensionalen
Raum. Der Hamilton-Operator hat in diesem Fall die Form
H=−
~2
∆
2m
d
;
∆≡
X ∂2
∂2
=
,
∂x 2
∂x2ℓ
ℓ=1
wobei ∆ den d-dimensionalen Laplace-Operator darstellt. Wir wählen periodische Randbedingungen. In diesem Fall sind die Eigenfunktionen bekanntlich durch φk (x) = V −1/2 eik·x gegeben,
wobei V = Ld das Volumen des Hyperkubus bezeichnet, die Eigenwerte die Form Ek = ~2 k2 /2m
Zd gegeben sind. Die retardierte
haben, und die erlaubten k-Werte durch k = 2π
L n, n ∈ Z
Green’sche Funktion folgt nun aus der in der Vorlesung behandelten allgemeinen Theorie als:
Z
1 X eik·(x−y)
1
eik·(x−y)
GR (x|y; z) =
=
,
(1)
dk
+
d
V
z − Ek + i0
(2π)
z − Ek + i0+
k
und die (lokale) Zustandsdichte kann aus dem Imaginärteil der lokalen Green’schen Funktion
berechnet werden:
1
(2)
ν(x; E) = − Im GR (x|x; E) .
π
(a) Warum weiß man im Voraus schon, dass die lokale Zustandsdichte ν(x; E) in diesem Fall
ortsunabhängig ist?
(b) Berechnen Sie die Zustandsdichte ν(x; E) explizit, ausgehend von (2) und der Integraldarstellung (1) für die retardierte Green’sche Funktion. Hinweis: Um die Oberfläche der
d-dimensionalen
Einheitskugel zu bestimmen, bietet es sich an, das d-dimensionale Integral
R
2
−x
sowohl in kartesischen als auch in Kugelkoordinaten zu berechnen.
dx e
Aufgabe 8. Feldoperatoren (15 Punkte)
Betrachten Sie ein System von N beweglichen Teilchen (Fermionen oder Bosonen), die sich in
einem ortsabhängigen Potential U (x) bewegen und paarweise miteinander wechselwirken. Der
entsprechende Hamilton-Operator lautet also in 1. Quantisierung“:
”
N
X
X
p̂2i
v(x̂i − x̂j )
H=
+ U (x̂i ) + 12
2m
i=1
i6=j
und in 2. Quantisierung“ in der (beliebigen) Einteilchenbasis |λi:
”
X
X
p̂2
µ1 µ2 v(x̂ − x̂′ ) λ1 λ2 a†µ1 a†µ2 aλ2 aλ1 .
+ U (x̂)|λi a†µ aλ + 21
H=
hµ| 2m
µλ
µ1 µ2 λ1 λ2
Wir werden den Hamilton-Operator
im FolgendenPmit Hilfe der aus der Vorlesung bekannten
P
Feldoperatoren ψ̂(x) = λ φλ (x)aλ und ψ̂ † (x) = λ φ∗λ (x)a†λ umformulieren. Hierbei entsprechen die Wellenfunktionen φλ (x) den Basisvektoren |λi in der Ortsdarstellung: φλ (x) = hx|λi.
Es gilt bekanntlich die Vertauschungsrelation: [ψ̂(x), ψ̂ † (x′ )]−ζ = δ(x − x′ ).
(a) Zeigen Sie Rdurch Anwendung der Vollständigkeitsrelation für die Eigenvektoren des Ortsoperators, dx |xihx| = 1,I dass :
Z Z
p̂2
H = dx dy ψ̂ † (x)hx| 2m
+ U (x̂)|yiψ̂(y) +
Z
Z
Z
Z
1
dx1 dx2 dy1 dy2 ψ̂ † (x1 )ψ̂ † (x2 ) x1 x2 |v(x̂ − x̂′ )|y1 y2 ψ̂(y2 )ψ̂(y1 ) .
2
(b) Zeigen Sie durch Berechnung der Matrixelemente hx| · · · |yi und (x1 x2 | · · · |y1 y2 ), dass
Z
Z Z
i
h 2
~
∆ + U (x) ψ̂(x) + 21 dx dx′ ψ̂ † (x)ψ̂ † (x′ )v(x − x′ )ψ̂(x′ )ψ̂(x) .
H = dx ψ̂ † (x) − 2m
(c) Zeigen Sie,
die Form
PNdass der Operator der Teilchendichte, der im N -Teilchen-Hilbert-Raum
†
n̂(x) = i=1 δ(x − x̂i ) hat, in 2. Quantisierung die Form ψ̂ (x)ψ̂(x) erhält. Was ist also die
Form des Gesamtteilchenzahloperators in Abhängigkeit von den Feldoperatoren?
Der Feldoperator in der Heisenberg-Darstellung ist nun: ψ̂(x, t) ≡ eiHt/~ψ̂(x)e−iHt/~.
(d) Zeigen Sie, dass ψ̂(x, t) die folgende sogenannte Feldgleichung erfüllt:
i~
h
i
∂
ψ̂(x, t) = − eiHt/~ H, ψ̂(x) e−iHt/~
∂t
−
Z
2
~
=
− 2m ∆ + U (x) ψ̂(x, t) + dx′ ψ̂ † (x′ , t)v(x − x′ )ψ̂(x′ , t)ψ̂(x, t) .
Wie lautet die Feldgleichung für den adjungierten Feldoperator ψ̂ † (x, t)? Hinweis: Verwenden Sie bei Bedarf die Operatoridentitäten [AB, C]− = A[B, C]−ζ + ζ[A, C]−ζ B.
(e) Zeigen Sie, dass der Operator der Teilchendichte in der Heisenberg-Darstellung, n̂(x, t) =
ψ̂ † (x, t)ψ̂(x, t), eine Kontinuitätsgleichung der Form ∂∂tn̂ (x, t) + ∇ · ̂(x, t) = 0 erfüllt. Was
ist also die Form der Teilchenstromdichte ̂(x, t) in Abhängigkeit von den Feldoperatoren?