Übungsblatt 14 Quantenmechanik (WS 2016/17)

Übungsblatt 14
Quantenmechanik (WS 2016/17)
Abgabe: Dienstag, den 7. Februar 2017 vor Beginn der Vorlesung
Auf diesem Übungsblatt betrachten wir zunächst den Zusammenhang zwischen Phasenraumvolumen und
der Zustandsdichte der Quantenzustände. Gehen wir über die mittlere Dichte hinaus, so nden wir, dass
die Zustandsdichte als Summe über periodische Bahnen geschrieben werden kann. Dies ist ein zentrales
Resultat der Theorie des Quantenchaos. In der zweiten Aufgabe lernen Sie Tight-Binding-Modelle kennen,
die in der Festkörperphysik eine wesentliche Rolle einnehmen. Wenn Sie z.B. Graphen, KohlenstoNanoröhren, topologische Isolatoren oder stark korrelierte Elektronensysteme verstehen wollen, sind solche
Modelle der ideale Startpunkt. Schlieÿlich beweisen Sie ein wichtiges Theorem der Quantenmechanik, das
die Grundlage für eine populäre (aber unkontrollierte) Näherungsmethode darstellt. Zum Beispiel beruht
auf diesem Theorem die wichtige Hartree-Fock-Näherung für wechselwirkende Vielteilchensysteme.
(5+5+5+5+5 Punkte)
In der Vorlesung haben wir gesehen, dass die Rate des β -Zerfalls wesentlich durch das Phasenraumvolumen
bestimmt ist. In dieser Aufgabe wollen wir den Zusammenhang von Phasenraumvolumen und der Anzahl
der Quantenzustände genauer diskutieren.
(a) Das Volumen des Phasenraums mit Energie kleiner als E ist als
Aufgabe 1: Phasenraumvolumen
Z
dpdxθ(E − H(p, x)),
Ω(E) =
(1)
deniert, wobei H(p, x) die Hamilton-Funktion ist. Die Verallgemeinerung auf D Dimensionen ist oensichtlich. Zeigen Sie zunächst, dass sich das Phasenraumvolumen auch als
I
Ω(E) =
dxp
(2)
schreiben lässt, wobei p(x) die Gleichung E = p2 /2m + V (x) erfüllt. Zeigen Sie nun mithilfe der BohrSommerfeld-Quantisierung, dass in einer Dimension die Anzahl der Quantenzustände N (E) mit Energie
kleiner als E näherungsweise gegeben ist durch
N (E) =
Ω(E)
.
2π~
(3)
Somit nden wir die wichtige Aussage, dass die Dichte der Zustände im Phasenraum durch 1/2π~ gegeben
ist. Wie lautet die entsprechende Aussage in D Dimensionen?
(b) Aus den Resultaten in (a) folgt, dass die Anzahl der Zustände dN in einem Energieintervall [E, E +dE]
gegeben ist durch
dN = ν(E)dE
(4)
mit der Zustandsdichte
dN
ν(E) =
=
dE
Z
dpdx
δ(E − H(p, x)).
2π~
(5)
Zeigen Sie dies und geben Sie die entsprechende Formel in D Dimensionen an.
(c) Berechnen Sie die Zustandsdichte ν(E) für freie Teilchen in einer, zwei und drei Dimensionen. Nehmen
Sie an, dass das System ein endliches Volumen V hat.
1
(d) Beweisen Sie die Poissonsche Summenformel
∞
X
Z
∞
X
f (n) =
∞
f (n)ei2πN n .
N =−∞ −∞
n=−∞
(6)
Betrachten Sie hierzu die Funktion F (α) = ∞
n=−∞ f (n + α), die oenbar periodisch in α mit Periode 1
ist. Zeigen Sie, dass die Fourierreihe der Funktion F (α) für α = 0 gerade die Poissonsche Summerformel
gibt.
(e) Betrachten Sie die exakte Zustandsdichte eines harmonischen Oszillators
P
ν(E) =
∞
X
δ(E − ~ω(n + 1/2))
(7)
n=0
und zeigen Sie, dass sich dies mit Hilfe der Poissonschen Summenformel umschreiben lässt in
∞
X
ν(E) =
N =−∞
1 i2πN [E/~ω−1/2]
e
.
~ω
(8)
(Wenn Sie etwas mutiger sind, können Sie auch versuchen, eine entsprechende Formel allgemeiner für
eindimensionale Systeme mit Hilfe der Bohr-Sommerfeld-Quantisierung herzuleiten.) Der N = 0 Term
ist gerade die mittlere Zustandsdichte, die durch das Phasenraumvolumen gegeben ist. Die weiteren
Terme lassen sich als Beiträge der klassischen periodischen Orbits interpretieren. In diesem Fall sind die
periodischen Orbits einfach ein ganzzahliges Vielfaches einer kompletten Schwingung mit Periodendauer
TN = 2πN/ω . Der Beitrag eines periodischen Orbits gibt einen als Funktion der Energie oszillierenden
Beitrag . Die Periode dieser Oszillationen ist h/TN : je länger der periodische Orbit, desto schneller die
Oszillationen.
Dies ist ein Bespiel einer Gutzwillerschen Spurformel. Während die Semiklassik, die wir in der Vorlesung
kennengelernt haben, nur auf klassisch integrable Systeme anwendbar ist, lassen sich Gutzwillersche Spurformeln auch für klassisch chaotische Systeme ableiten. Es gibt auch erstaunliche Verbindungen zur
Riemannschen ζ -Funktion und den Primzahlen (s. Riemann's zeta function: A model for quantum chaos
von M.V. Berry.)
(10+10+10 Punkte)
Betrachte einen eindimensionalen Kristall aus (identischen) Atomen mit je einem Orbital |ni der Energie
0 = 0. (Die Wahl der Energie ist einfach eine Wahl des Energienullpunkts.) Die Orbitale benachbarter
Atome überlappen schwach, so dass Elektronen mit Amplitude −t zwischen diesen Orbitalen hüpfen
können. Dies führt auf den Hamilton-Operator
Aufgabe 2: Tight-Binding-Modell
H = −t
∞
X
{|nihn + 1| + |n + 1ihn|} .
(9)
n=−∞
(a) Zeigen Sie, dass dieser Hamilton-Operator mit dem Translationsoperator T̂ deniert über
T̂ |ni = |n + 1i
(10)
kommutiert.
(b) Das Bloch-Theorem besagt nun, dass die gleichzeitigen Eigenzustände der Translationen und des
Hamilton-Operators die Gleichung
T̂ |ki = e−ik |ki
(11)
2
erfüllen. (Hier unterdrücken wir den Band-Index, da es in diesem Fall nur ein Band gibt.) Zeigen Sie, dass
hieraus folgt, dass die Eigenfunktionen die explizite Form
|ki = N
X
eikj |ji
(12)
j
annehmen, wobei N ein Normierungsfaktor ist.
(c) Benutzen Sie nun diese Form der Wellenfunktion, um die Bandstruktur zu berechnen. Skizzieren Sie
die Bandstruktur.
3
(10+10+10 Punkte)
Das Variationstheorem der Quantenmechanik besagt, dass die Grundzustandsenergie E0 eines Quantensystems mit Hamilton-Operator H nicht gröÿer sein kann als der Erwartungswert des Hamilton-Operators
in einem beliebigen Zustand |ψi,
E0 ≤ hψ|H|ψi.
(13)
Aufgabe 3: Variationstheorem
Über dieses Theorem können wir leicht eine obere Schranke für die Grundzustandsenergie angeben, indem
wir den Erwartungswert des Hamilton-Operators für geeignete Wellenfunktionen auswerten. Häug kommen diese Schranken der exakten Grundzustandsenergie recht nahe, auch wenn die Wellenfunktion noch
stark von der exakten Wellenfunktion abweicht.
(a) Beweisen Sie dieses Theorem. Benutzen Sie hierzu, dass Sie ψ in die Eigenzustände von H entwickeln
können.
(b) Geben Sie eine obere Schranke für die Energie des anharmonischen Oszillators mit Hamilton-Operator
H=
p2
1
+ αx4 ,
2m 2
(14)
indem Sie eine geeignete Variationswellenfunktion ansetzen. (Diese Aufgabe hat keine eindeutige Lösung.)
(c) Warum können Sie für diesen Hamilton-Operator auch eine obere Schranke für den ersten angeregten
Zustand angeben? Finden Sie eine geeignete Variationswellenfunktion und geben Sie eine explizite Schranke
an.
4