4 B¨aume und Minimalger ¨uste Minimalger ¨ust Anzahl an Ger ¨usten

4. Bäume und Wälder
Charakterisierung von Minimalgerüsten
4. Bäume und Wälder
Charakterisierung von Minimalgerüsten
4 Bäume und Minimalgerüste
Anzahl an Gerüsten
Definition 4.1. Es ein G = (V, E) ein zusammenhängender Graph.
H = (V, E 0) heißt Gerüst von G gdw. wenn H ein Baum ist und E 0 ⊆ E
gilt.
Satz 4.1. [Cayley] Es gibt nn−2 verschiedene Gerüste für den
vollständigen Graphen Kn (mit n Knoten).
Bemerkung 4.1. Ein Gerüst ist also ein zusammenhängender, zykleinfreier, aufspannender Untergraph von G.
Bemerkung 4.2. Verschieden bedeutet hier wirklich verschieden und
nicht “nichtisomorph”.
2
Beispiel 4.1. Ger ¨uste f ¨ur das Haus vom Nikolaus:
c
c
d
b
d
b
2
c
1
b
2
3
1
3
1
3
d
Beweis.
a
e
e
a
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a
• Idee: Prinzip der doppelten Abzählung: In jeder Matrix ist die Summe
der Zeilensummen gleich der Summe der Spaltensummen.
e
110
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Charakterisierung von Minimalgerüsten
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4. Bäume und Wälder
112
Charakterisierung von Minimalgerüsten
Minimalgerüst
• Sei t(n, k) die Anzahl der Bäume auf V = {1, . . . , n}, in denen der
Knoten 1 den Grad k hat.
Definition 4.2. Es sei G = (V, E) ein zusammenhängender Graph mit
einer Kantengewichtsfunktion w : E → IR.
• Es wird eine Formel f ¨ur t(n, k) bestimmt. Das Ergebnis erfolgt durch
Aufsummieren ¨uber alle k.
• F ¨ur F ⊆ E heißt
w(F) :=
X
w(e)
e∈F
• B sei ein Baum mit deg(1) = k − 1, C sei ein Baum mit deg(1) =
k. (B, C) heißt verwandtes Paar gdw. C aus B entsteht, indem eine
Kante {x, y} entfernt und eine Kante {1, y} eingef ¨ugt wird.
das Gewicht der Kantenmenge F.
x
• Es sei H = (V, F) ein Ger ¨ust von G. Dann ist w(H) := w(F) das
Gewicht des Gerüstes H.
• Ein Ger ¨ust H von G heißt Minimalgerüst von G gdw. w(H) ≤ w(H0)
0
f ¨ur alle Ger ¨uste H
von G.
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111
y
x
y
1
1
B
C
• Es seien B1, B2, . . . , Bt(n,k−1) die Bäume mit deg(1) = k − 1 und
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4. Bäume und Wälder
Charakterisierung von Minimalgerüsten
4. Bäume und Wälder
• Es gibt also genau (n − 1 − n1) + · · · + (n − 1 − nk) = (k − 1)(n − 1)
Einsen in der j-ten Spalte von A.
C1, C2, . . . , Ct(n,k) die Bäume mit deg(1) = k.
• Die t(n, k − 1) × t(n, k) Matrix A = (aij) sei definiert durch:
aij :=
Charakterisierung von Minimalgerüsten
Summe der Spaltensummen von A = t(n, k)(k − 1)(n − 1).
1 falls (Bi, Cj) verwandtes Paar
0 sonst
• Das Prinzip der doppelten Abzählung liefert
t(n, k − 1)(n − k) = t(n, k)(k − 1)(n − 1)
• Aus Bi kann jede der n − 1 Kanten entfernt werden, ausgenommen
die k − 1 mit 1 inzidenten Kanten.
bzw.
t(n, k − 1) = (n − 1)
In der i-ten Zeile von A stehen so viele Einsen, wie es verwandte
Paare (Bi, C) gibt, also genau (n − 1) − (k − 1) = n − k.
• Ausgehend von t(n, n − 1) = 1 ergibt sich durch Induktion
Summe der Zeilensummen von A = t(n, k − 1)(n − k).
• In der j-ten Spalte von A stehen so viele Einsen, wie es verwandte
Paare (B, Cj) gibt.
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k−1
t(n, k)
n−k
Charakterisierung von Minimalgerüsten
• Die in Cj mit 1 verbundenen Knoten seien y1, . . . , yr.
t(n, n − i) = (n − 1)
i−1
n−2
i−1
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4. Bäume und Wälder
Charakterisierung von Minimalgerüsten
• F ¨ur die Anzahl t(n) aller Bäume ergibt sich somit
y1
1
y4
y3
t(n) =
n−1
X
t(n, n − i)
i=1
y2
=
C
(n − 1)
i−1
(n − 1)
i
i=1
=
• Entfernt man eine der Kanten {1, yr}, so entsteht ein Graph mit zwei
ZHKs. Vr sei die ZHK, die yr enthält und nr := |Vr|.
• Ein verwandtes Paar (B, Cj) entsteht genau dann, wenn B = (Cj \
{{1, yr}})∪{{x, yr}} gilt, wobei x einer der n−1−nr Knoten in V\({1}∪Vr)
ist.
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n−1
X
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n−2
X
i=0
n−2
i−1
n−2
i
= ((n − 1) + 1)n−2 = nn−2
2
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4. Bäume und Wälder
Berechnung von Minimalgerüsten
Berechnung von Minimalgerüsten
Lemma 4.2. Es sei G = (V, E) ein zusammenhängender Graph mit
einer Kantengewichtsfunktion w : E → IR. Weiterhin sei U ⊆ V und e0
eine Kante zwischen U und V \ U mit minimalem Gewicht.
Dann existiert ein Minimalgerüst für G, das die Kante e0 enthält.
Beweis. Falls ein Minimalger ¨ust T0 die Kante e0 nicht enthält, so nehmen wir e0 zu T0 und entfernen eine Kante e1, die U und V \ U verbindet.
Wegen der Minimalitätseigenschaft von e0 erhöhen wir damit nicht das
Gewicht des Ger ¨ustes. 2
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4. Bäume und Wälder
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Berechnung von Minimalgerüsten
4. Bäume und Wälder
Berechnung von Minimalgerüsten
Algorithmus 4.1. [Prim] Es sei G = (V, E) ein zusammenhängender Graph mit V = {1, . . . , n} und Kantengewichtsfunktion w. Es gelte
w({i, j}) = ∞, falls {i, j} ∈
/ E. Der Algorithmus berechnet ein Minimalger ¨ust in B.
U := {1};
for i := 2 to n do du(i) := w({1, i});
while U 6= V do
bestimme Knoten u mit dU(u) = min{dU(v) : v ∈ V \ U};
bestimme Kante e := {x, u} mit w(e) = dU(u) und x ∈ U;
B := B ∪ {e};
U := U ∪ {u};
for all v ∈ V \ U do dU(v) := min{dU(v), w({u, v});
end
(*)
(*)
(**)
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4. Bäume und Wälder
Der Algorithmus von Prim
Berechnung von Minimalgerüsten
b
9
v0=a
5
2
c
4
6
10
4
• Wir beginnen mit einem beliebigen Knoten v, d.h. U := {v}.
• In einem Iterationsschritt berechnen wir f ¨ur alle v ∈ V \ U den Knoten
w, der am nächsten zu einem Knoten in U liegt.
Beispiel 4.2. Wir betrachten
den Graphen:
e
d
13
3
26
• Dieser Knoten w wird selektiert, die entsprechenden Kante wird in
den Baum aufgenommen und w wird in U aufgenommen.
4
5
18
g
i
2
• Dies setzen wir fort, bis alle Knoten in U sind.
f
1
h
2
Es ergibt sich in dieser Reihenfolge:
B = {{a, d}, {b, d}, {b, c}, {c, f}, {e, f}, {e, h}, {g, h}, {h, i}}
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4. Bäume und Wälder
Berechnung von Minimalgerüsten
4. Bäume und Wälder
Beispiel 4.3.
Berechnung von Minimalgerüsten
Der Algorithmus von Kruskal
b
8
m
12
f
4
12
4
l
7
11
c
a
• Beim Algorithmus von Prim baut man ausgehend von einem Knoten
den Baum sukzessive auf.
10
k
5
20
7
• Beim Algorithmus von Kruskal beginnt man stattdessen mit den einzelnen Knoten. Diese stellen einen Wald dar.
17
10
3
13
d
g
j
• Man versucht nun, diese Wälder optimal zu einem Baum zusammenzusetzen.
20
3
e
i
8
h
16
9
• Hierzu sortiert man zunächst alle Kanten aufsteigend nach ihrer
Länge.
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4. Bäume und Wälder
122
Berechnung von Minimalgerüsten
2
Satz 4.3. Algorithmus 4.1 berechnet ein Minimalgerüst in Zeit O(|V| ).
Beweis. Es sind zwei Dinge zu beweisen:
• Korrektheit des Algorithmus
Wir zeigen induktiv: Nach jeder Ausf ¨uhrung von (*) (bzw. nach (**))
gibt dU(v) f ¨ur alle v ∈ V \ U den Abstand zu einem nächstgelegenen
Knoten u ∈ U an.
Korrektheit des Algorithmus folgt dann mit Lemma 4.2. Tafel ✎.
• Laufzeit
– Die dominieren Schritte innerhalb der While-Schleife: (*) und (**).
– Die While-Schleife wird |V|-mal durchlaufen.
– Schritte (*) und (**) können in O(|V|) ausgef ¨uhrt werden.
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4. Bäume und Wälder
124
Berechnung von Minimalgerüsten
• Man beginnt, in dem man die die k ¨urzeste Kante in den Wald aufnimmt. Der Wald hat jetzt eine ZHK weniger.
• In Iteration i: Falls die i-te Kante zu einem Kreis f ¨uhren w ¨urde, verwirft man sie. Andernfalls nimmt man sie in den Wald auf, wodurch
sich wiederum die Anzahl der ZHKs verringert.
• Dies macht man solange, bis ein aufspannender Baum entstanden
ist.
• Dies ist genau dann der Fall, wenn man n − 1 Kanten aufgenommen
hat (vgl. Satz 1.4 und Satz 1.5).
2
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4. Bäume und Wälder
Berechnung von Minimalgerüsten
4. Bäume und Wälder
Berechnung von Minimalgerüsten
5
Beispiel 4.4. Wir betrachten
den Graphen:
b
9
v0=a
2
c
4
6
10
4
e
d
13
f
1
3
26
4
5
18
g
i
2
h
2
Es ergibt sich in dieser Reihenfolge:
B = {{e, f}, {b, d}, {g, h}, {h, i}, {e, h}, {b, c}, {c, f}, {a, d}}
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Berechnung von Minimalgerüsten
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4. Bäume und Wälder
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Berechnung von Minimalgerüsten
Algorithmus 4.2. [Kruskal] Vorraussetzungen, Ein- und Ausgabe wie
beim Algorithmus von Prim.
Satz 4.4. Algorithmus 4.2 berechnet ein Minimalgerüst in Zeit
O(|E| log |V|).
B := ∅; ZHK := ∅; i := 0;
L := Liste der Kanten aufsteigend sortiert nach ihrer Länge;
for all v ∈ V do ZHK := ZHK ∪ {{v}};
while |ZHK| > 1 do
i := i + 1;
Es sei {v, w} das i-te Element von L;
if v und w gehören zu verschiedenen Komponenten K1 und K2 in ZHK then
ZHK := (ZHK \ {K1, K2}) ∪ {K1 ∪ K2};
B := B ∪ {v, w};
end
end
Beweis. Die Korrektheit des Algorithmus von Kruskal kann induktiv
durch wiederholte Anwendung von Lemma 4.2 gezeigt werden. Tafel
✎.
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Zeitaufwand: Der dominierende Schritt ist die Sortierung. Der Aufwand
zur Sortierung der Kanten ist
O(|E| log |E|) = O(|E| log |V|2) = O(|E| 2 log |V|) = O(|E| log |V|)
F ¨ur die effiziente Vereinigung der ZHKs und den vorangehenden
Test benutzt man Datenstrukturen f ¨ur das sogenannte Union-FindProblem. 2
129