5.1 Massenmittelpunkt 5.2 Impuls als Bewegungsgröße 5.3

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5. Teilchensysteme und Impulserhaltung
5.1 Massenmittelpunkt
5.2 Impuls als Bewegungsgröße
5.3 Impulserhaltungssatz
5.4 Stoßprozesse
5.5 Raketenphysik
R. Girwidz
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1
5.1 Massenmittelpunkt
Spezialfall 1 dim. Welt:
R. Girwidz
V: 2 Wagen auf Balken
2
1
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5.1 Massenmittelpunkt
Allgemein:
mGes  r s   m i ri
i
i m i ri
rs 
i mi
R. Girwidz
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3
3
5.1 Massenmittelpunkt
V: Schraubenschlüssel
mit Markierung
Vergleich mit Ball
Trägheitssatz und Newton II für ein System von Teilchen:
Der Massenmittelpunkt eines Systems bewegt sich unter dem Einfluss
einer resultierenden äußeren Kraft wie ein Teilchen mit der Masse:
(mGes   mi )
i
R. Girwidz
4
2
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5.1 Massenmittelpunkt
V: Schraubenschlüssel
mit Markierung
Vergleich mit Ball
Trägheitssatz und Newton II für ein System von Teilchen:
Der Massenmittelpunkt eines Systems bewegt sich unter dem Einfluss
einer resultierenden äußeren Kraft wie ein Teilchen mit der Masse:
(mGes   mi )
i
Spezialfall:


F  0;  v Schwerpunkt  konst ;
(d. h. der Massenmittelpunkt bewegt sich geradlinig gleichförmig oder ruht)
R. Girwidz
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Def.:
5
5.2 Impuls als Bewegungsgröße
p  m v
Fext  mGes  asp
Fext  mGes  vsp

allg. :
d
F  (m  v )  p
dt
Mit Hilfe des Impulses lässt sich die Grundgleichung der Mechanik
allgemein formulieren:
R. Girwidz
6
3
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5.2 Impuls als Bewegungsgröße

Fp
F
Fdt  d p
dp
dt
F t   p
Aussagen ablesen können
R. Girwidz
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7
5.2 Impuls als Bewegungsgröße
Kraftstoß und Impulsänderung:
F
dp
dt

 Fdt   d p  p
Kraftstoß = Impulsänderung
R. Girwidz
8
4
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5.3 Impulserhaltungssatz (actio = reactio)
R. Girwidz
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9
5.3 Impulserhaltungssatz (actio = reactio)
Theorie:
R. Girwidz
10
5
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5.3 Impulserhaltungssatz (actio = reactio)
Allgemein:
Fa  0 
dp
 0 oder :
dt
p  const .
Impulssatz:
Ohne Einwirkung äußerer Kräfte bleibt in einem
System die Summe aller Impulse konstant.
R. Girwidz
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R. Girwidz
11
5.3 Impulserhaltungssatz (actio = reactio)
12
6
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5.3 Impulserhaltungssatz (actio = reactio)
R. Girwidz
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13
5.4 Stoßprozesse
Stoßart
elastisch
Charakteristik
EKin ,nach  EKin ,vor  Q
Summe der kinetischen Energie vor
und nach dem Stoß gleich
Q  0
ineleastisch
Summe der kinetischen Energie
nach dem Stoß kleiner
unelastisch
Die Körper bewegen sich nach dem Stoß
zusammen mit gleicher Geschwindigkeit
überelastisch
R. Girwidz
Q  0
Q  0
Q  0
14
7
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5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
Experimente zum geraden unelastischen Stoß
v 1'  v 2 '  v '
Spezialfall:
a)
m2  m1

b)
m1  2  m2

R. Girwidz
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15
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
a) Unelastische Stöße
(Körper haften nach dem Stoß aneinander, d. h.
v1' = v2' = u' )
Impulssatz:
Energiesatz:
R. Girwidz
16
8
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5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
a) Unelastische Stöße
(Körper haften nach dem Stoß aneinander, d. h.
v1' = v2' = u' )
m1  v1  m2  v 2  (m1  m2 )  v '
Impulssatz:
Energiesatz:
1
1
1
2
2
m1  v1  m2  v 2  (m1  m2 )  v '2  Q
2
2
2
Sei speziell v2=0 (ruhendes Target):
 v' 
m1
v1
m1  m2

Inelastisch Stoß auf Fahrbahn:
Geschwindigkeiten messen
R. Girwidz
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17
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
Beispiel: Zusammenstoß LKW - PKW
m1= 15 t; v1= 100 km/h
m2= 1,5 t; v2=-100 km/h
Frontaler Zusammenstoß, vollkommen inelastisch:
R. Girwidz
18
9
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5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
Energieabgabe beim unelastischen Stoß:
R. Girwidz
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19
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
Relative Energieabgabe:
R. Girwidz
20
10
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5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
Relative Energieabgabe:
Weiterer spezieller Fall:
m1  m2  m; v1  v 2  v
R. Girwidz
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21
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
B) Elastische Stöße
I) Impulssatz:
II) Energiesatz:
R. Girwidz
m1  v1  m2  v 2  m1  v1'  m2  v 2 '
1
1
1
1
2
2
m1  v1  m2  v 2  m1  v1'2  m2  v 2 '2
2
2
2
2
22
11
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5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
B) Elastischer Stoß - Spezialfall: v2 = 0
(ruhendes Target)
R. Girwidz
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23
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5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
B) Elastischer Stoß - Spezialfall: v2 = 0 (ruhendes Target)
v1 ' 
m1  m2 ; v 2  0;
R. Girwidz
m1  m2
 v1
m1  m2
v2 ' 
2m1
 v1
m1  m2
(gleiche Massen)
24
12
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5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
Relativer Energieübertrag:
E2 '
E1
1
m
E 2 '  m 2 v 2 '2  2
2
2
E2 '
2
 2m1 v 1 
 ;
 
 m1  m 2 
1
2
E 1  m1 v 12
4 m2
4m1m2
m1


2
E1 m  m 2  m

1
2
1  2 m 
1

Max. bei m1 = m2
R. Girwidz
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25
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
Messung von Geschwindigkeiten mit dem ballistischen Pendel
M P  646g;
R. Girwidz
MG  0,49g;
l  1m;
26
13
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5.5 Raketenphysik
t + t
t
R. Girwidz
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27
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Prinzip:
5.5 Raketenphysik
Antrieb durch Rückstoß der ausströmenden Gase;
Impulserhaltung für Gesamtsystem (Rakete + ausströmenden Gas)
w  w : Ausströmgeschw. der Gase relativ zur Rakete
v(t) : Geschwindigkeit der Rakete im raumfesten System
v G t   v t   w
Momentangeschwindigkeit
mR: Masse Rakete;
mG: Masse der ausgestoßenen Gase;
R. Girwidz
28
14
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5.5 Raketenphysik
Aufstellen der Bewegungsgleichung für den kräftefreien Raum
R. Girwidz
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29
5.5 Raketenphysik
Rakete im Schwerefeld (Raketenstart)
( äußeres Kraftfeld: FG  m g kommt hinzu )
R. Girwidz
30
15
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5.5 Raketenphysik
Integration der Bewegungsgleichung:
R. Girwidz
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31
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5.5 Raketenphysik
Diskussion:
a) Bedingung für Abheben:
dv
0
dt

entscheidende Parameter für Schubkraft:
FS  FG
w und
dm
;
dt
w hängt von Brennkammerdruck und -temperatur
sowie vom verwendeten Gasgemisch ab;
In der Praxis:
fl. H 2  fl. O 2 
Kerosin - fl. O 2 
R. Girwidz
km 
dm

hohes w  ~ 4,5
, aber kleines
s 
dt

dm
km 

kleines w  ~ 2,5
, aber höheres
dt
s 

32
16
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5.5 Raketenphysik
Diskussion:
b) Endgeschwindigkeit vE (d.h. Geschwindigkeit bei Brennschluss t = tE)
v E  w  ln
m0
 g  tE
mE
entscheidende Parameter: w
In der Praxis:
und
w  2,5 bis 4,5
mit mE  m t  t E 
Masse der leergebrannten
Rakete bei Brennschluss
m0
mE
km
s
(siehe oben)
m0
6
mE
 vE  8
km
s
zum Vergleich: Fluchtgeschwindigkeit vmin=11,2 km/s  Mehrstufenprinzip!
R. Girwidz
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33
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5.5 Raketenphysik
Daten der Saturn V (Apollo-Projekt)
mo  2950t;
mTreibstoff  2000t;
m0 2900

 4;
700
mE
1. Stufe: Kerosin + fl. O2
w  2,2
km
;
s
dm
t
 15 ;
dt
s
Fs  3,3  107 N;
Brenndauer: tE  2 min
2., 3. Stufe: fl. H2 + fl. O2
R. Girwidz
34
17
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5.5 Raketenphysik
Endgeschwindigkeit vE
nach 1. Stufe ------ 2 km/s
nach 2. Stufe ------ 6,8 km/s
nach 3. Stufe ------ 7,85 km /s
Umlaufbahn in 185 km Höhe
Beschleunigung der Rakete:
a) am Anfang (kurz nach Start:
m
Fs  m0  g
 2 2  0,2  g ;
s
m0
b) am Ende (kurz vor Brennschluss):
aA 
aE 
R. Girwidz
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Fs  mE  g
m
 40 2  4  g ;
mE
s
35
5.5 Raketenphysik
Die heißen Verbrennungsgase strömen aus
den Brennkammern nach hinten aus.
R. Girwidz
36
18
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5.6 Stöße - zweidimensional
R. Girwidz
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Stoßart
37
5.6 Stöße - zweidimensional
Charakteristik
gerade
Geschwindigkeitsvektoren liegen auf einer
Geraden
schief
Geschwindigkeitsvektoren liegen in einer Ebene
und schließen einen Winkel ein
zentral
Die Schwerpunkte liegen auf der Stoßnormalen
(Senkrechte zur Stoßebene)
exzentrisch
R. Girwidz
Die Schwerpunkte liegen nicht auf der
Stoßnormalen => Rotation
38
19
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5.6 Stöße - zweidimensional
R. Girwidz
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39
5.6 Stöße - zweidimensional
Bei gleichen Massen stehen die Geschwindigkeitsvektoren
nach dem Stoß senkrecht aufeinander.
R. Girwidz
40
20
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5.6 Stöße - zweidimensional
R. Girwidz
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R. Girwidz
41
41
5.6 Stöße - zweidimensional
42
21