5. Teilchensysteme und Impulserhaltung 5.1 Massenmittelpunkt

5. Teilchensysteme und Impulserhaltung
5.1 Massenmittelpunkt
5.2 Impuls als Bewegungsgröße
5.3 Impulserhaltungssatz
5.4 Stoßprozesse
5.5 Raketenphysik
1
© R. Girwidz
5.1 Massenmittelpunkt
Massenmittelpunkt:
Spezialfall 1 dim. Welt:
V: 2 Wagen auf Balken
mGes  xs  m1  x1  m2  x2
Massenmittelpunkt / Schwerpunkt:
© R. Girwidz
2
–1
5.1 Massenmittelpunkt
Massenmittelpunkt:
V: 2 Wagen auf Balken
Spezialfall 1 dim. Welt:
mGes  xs  m1  x1  m2  x2
Massenmittelpunkt / Schwerpunkt:
xs 
m1  x 1  m 2  x 2  m i  x i

mGes
 mi
3
© R. Girwidz
5.1 Massenmittelpunkt
Allgemein:
mGes  r s   m i ri
i
i m i ri
rs 
i mi
© R. Girwidz
4
–2
5.1 Massenmittelpunkt
V: Schraubenschlüssel
mit Markierung
Vergleich mit Ball
Trägheitssatz und Newton II für ein System von Teilchen:
Der Massenmittelpunkt eines Systems bewegt sich unter dem Einfluss
einer resultierenden äußeren Kraft wie ein Teilchen mit der Masse:
(mGes   mi )
i
5
© R. Girwidz
5.1 Massenmittelpunkt
V: Schraubenschlüssel
mit Markierung
Vergleich mit Ball
Trägheitssatz und Newton II für ein System von Teilchen:
Der Massenmittelpunkt eines Systems bewegt sich unter dem Einfluss
einer resultierenden äußeren Kraft wie ein Teilchen mit der Masse:
(mGes   mi )
i
Spezialfall:


F  0;  v Schwerpunkt  konst ;
(d. h. der Massenmittelpunkt bewegt sich geradlinig gleichförmig oder ruht)
© R. Girwidz
6
–3
5.2 Impuls als Bewegungsgröße
Def.:
p  m v

Fext  mGes  asp
F
Fext  mGes  vsp
d
(m  v )  p
dt
Mit Hilfe des Impulses lässt sich die Grundgleichung der Mechanik
allgemein formulieren:

Fp
7
© R. Girwidz
5.2 Impuls als Bewegungsgröße

Fp
F
dp
dt
Fdt  d p
F t   p
Aussagen ablesen können
© R. Girwidz
8
–4
5.2 Impuls als Bewegungsgröße
Kraftstoß und Impulsänderung:
F
dp
dt

F
dt

d
p


p


Kraftstoß = Impulsänderung
© R. Girwidz
9
5.3 Impulserhaltungssatz (actio = reactio)
© R. Girwidz
10
–5
5.3 Impulserhaltungssatz (actio = reactio)
Theorie:
F1  F2
m1  a1  m2  a2
vereinfachend
Fi = konst.
v1
v
 m2  2
t
t
m1  v1  m2  v 2
m1 
m1 (v1 'v1 )  m2 (v 2 'v 2 )
m1  v1  m2  v 2  m1  v1 'm2  v 2 '
Gesamtimpuls vorher = Gesamtimpuls nachher
(Impulserhaltung)
11
© R. Girwidz
5.3 Impulserhaltungssatz (actio = reactio)
Allgemein:
Fa  0 
dp
 0 oder p  const.
dt
Impulssatz:
Ohne Einwirkung äußerer Kräfte bleibt in einem
System die Summe aller Impulse konstant.
© R. Girwidz
12
–6
5.3 Impulserhaltungssatz (actio = reactio)
© R. Girwidz
13
5.3 Impulserhaltungssatz (actio = reactio)
© R. Girwidz
14
–7
5.3 Stoßarten
Charakteristik
Stoßart
EKin ,nach  EKin ,vor  Q
Summe der kinetischen Energie vor
und nach dem Stoß gleich
Elastisch
Q  0
Ineleastisch
Summe der kinetischen Energie
nach dem Stoß kleiner
unelastisch
Die Körper bewegen sich nach dem Stoß
zusammen mit gleicher Geschwindigkeit
Q  0
Q  0
überelastisch
Q  0
15
© R. Girwidz
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
Experimente zum geraden unelastischen Stoß
Spezialfall:
© R. Girwidz
v 1'  v 2 '  v '
a)
m2  m1

b)
m1  2  m2 
1
v '  v1
2
2
v '  v1
3
16
–8
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
Unelastisch: Körper haften nach dem Stoß aneinander, d. h. v1' = v2' = u'
Impulssatz:
Energiesatz:
17
© R. Girwidz
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
Unelastisch: Körper haften nach dem Stoß aneinander, d. h. v1' = v2' = u'
Impulssatz:
m1  v1  m2  v 2  (m1  m2 )  v '
Energiesatz:
1
1
1
2
2
m1  v1  m2  v 2  (m1  m2 )  v '2  Q
2
2
2
Sei speziell v2=0 (ruhendes Target):
 v' 
© R. Girwidz
m1
v1
m1  m2

Inelastisch Stoß auf Fahrbahn:
Geschwindigkeiten messen
18
–9
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
Beispiel: Zusammenstoß LKW - PKW
m1= 15 t; v1= 100 km/h
m2= 1,5 t; v2=-100 km/h
19
© R. Girwidz
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
Beispiel: Zusammenstoß LKW - PKW
m1= 15 t; v1= 100 km/h
m2= 1,5 t; v2=-100 km/h
Frontaler Zusammenstoß, vollkommen inelastisch: v1'  v 2 '  v '
m1  v1  m2  v 2  (m1  m2 )  v '
© R. Girwidz
20
–10
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
Beispiel: Zusammenstoß LKW - PKW
m1= 15 t; v1= 100 km/h
m2= 1,5 t; v2=-100 km/h
Frontaler Zusammenstoß, vollkommen inelastisch: v1'  v 2 '  v '
m1  v1  m2  v 2  (m1  m2 )  v '
v' 
m1v1  m2 v 2
m1  m2
v' 
15 10  100  1,5 10   (100) km h
3
3
15  1,5 10
3
1
ex
v '  82 km h1  ex
Der LKW verliert nur ca. 20% seiner Geschwindigkeit
© R. Girwidz
21
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
Energieabgabe beim unelastischen Stoß:
© R. Girwidz
22
–11
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
Energieabgabe beim unelastischen Stoß:
(v 2  0; )
1
1
2
Q  m1v1  (m1  m2 )  v '2
2
2
2
1
1 m1
2
2
 m1v1 
 v1
2
2 m1  m2
23
© R. Girwidz
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
Energieabgabe beim unelastischen Stoß:
(v 2  0; )
1
1
2
Q  m1v1  (m1  m2 )  v '2
2
2
2
1
1 m1
2
2
 m1v1 
 v1
2
2 m1  m2
Q 

Q 

© R. Girwidz
1 m1  m2
2
 v1
2 m1  m2
m2
1
2
 m1v1
m1  m2 2
m2
* E1
m1  m2
Q
m2
1


m
E1 m1  m2 1  1
m2
24
–12
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
Energieabgabe:
Q
m2
1


E1 m1  m2 1  m1
m2
 Je leichter das Projektil, umso höher
Q
E1
25
© R. Girwidz
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
Energieabgabe:
m2
1
Q


m
E1 m1  m2 1  1
m2
 Je leichter das Projektil, umso höher
Spezialfälle:
© R. Girwidz
Q
E1
1
Q  E1
2
a)
m1  m2 :
b)
m1  m2 : Q  E1
26
–13
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
Weiterer spezieller Fall: m1  m2  m; v1  v 2  v
1

Q  2E1  2   m  v 2 
2

27
© R. Girwidz
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
B) Elastischer Stoß
I) Impulssatz:
m1  v1  m2  v 2  m1  v1'  m2  v 2 '
II) Energiesatz:
1
1
1
1
2
2
m1  v1  m2  v 2  m1  v1'2  m2  v 2 '2
2
2
2
2
© R. Girwidz
28
–14
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
Spezialfall:
aus IS:
aus ES:
v2 = 0
(ruhendes Target)
m1  v1  0  m1  v1 '  m2  v 2 '
1
1
1
2
m1  v1  m1  v1 '2  m2  v 2 '2
2
2
2
(1)
(2)
29
© R. Girwidz
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
(1')
(2')
© R. Girwidz
v2 '


m1
 v1  v 2 '
m2
m1 v1  v1 '2  m2  v 2 '2
2
30
–15
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
(1')
(2')
(1') in (2'):
v2 '


m1
 v1  v 2 '
m2
m1 v1  v1 '2  m2  v 2 '2
2
m1 v1  v1 'v1  v1 ' 
2
m1
v1  v1 '2
m2
m2 v1  v1 '  m1 v1  v1 '
v1 ' m1  m2   v1 m1  m2 
v 1' 
m1  m2
 v1
m1  m2
31
© R. Girwidz
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
v2 ' 
© R. Girwidz
2m1
 v1
m1  m2
32
–16
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
in (1)
m1  v1  m1
m1  m2
 v1  m2  v 2 '
m1  m2
 m  m2 
  m2  v 2 '
m1  v1 1  1
 m1  m2 
m1   2m2 

  v1  v 2 '
m2  m1  m2 
v2 ' 
2m1
 v1
m1  m2
33
© R. Girwidz
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
v 1' 
m1  m2
 v1
m1  m2
v2 ' 
2m1
 v1
m1  m2
m1  m2 ; v 2  0; zwei gleiche Massen:
© R. Girwidz
34
–17
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
v 1' 
m1  m2
 v1
m1  m2
v2 ' 
2m1
 v1
m1  m2
m1  m2 ; v 2  0; zwei gleiche Massen:
 v1'  0; v 2 '  v1 vollständige Energieübertragung
35
© R. Girwidz
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
v 1' 
m1  m2
 v1
m1  m2
v2 ' 
2m1
 v1
m1  m2
m1  m2 ; v 2  0; zwei gleiche Massen:
 v1'  0; v 2 '  v1 vollständige Energieübertragung
m1  m2 :
© R. Girwidz
El. Stoß auf Wand
36
–18
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
v 1' 
m1  m2
 v1
m1  m2
v2 ' 
2m1
 v1
m1  m2
m1  m2 ; v 2  0; zwei gleiche Massen:
 v1'  0; v 2 '  v1 vollständige Energieübertragung
m1  m2 :
El. Stoß auf Wand
v1'  v1; v 2 '  0
sehr geringer Energieübertragung
37
© R. Girwidz
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
v 1' 
m1  m2
 v1
m1  m2
v2 ' 
2m1
 v1
m1  m2
m1  m2 ; v 2  0; zwei gleiche Massen:
 v1'  0; v 2 '  v1 vollständige Energieübertragung
m1  m2 :
m1  m2 :
El. Stoß auf Wand
v1'  v1; v 2 '  0
sehr geringer Energieübertragung
v1'  v1; v 2 '  2v1
sehr geringer Energieübertragung
 Kugelpendel
© R. Girwidz
38
–19
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
–
Messung von Geschw. m. d. ballistischen Pendel
l  h 2  x 2  l 2
x 2  l 2  l 2  2 l h  h 2
l  h 
 2 l h
h
M P  646g;
M G  0,49g;
x2
2 l
l  1m;
39
© R. Girwidz
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
Impulssatz:
(für Geschoss+Pendel)
vP aus Energiebetrachtung:
mG  v G  0  mG  MP v P

vG 
1
mG  MP   v P 2  mG  MP   g  h
2
v  2g h  x g
P
 vG 
© R. Girwidz
mG  MP
 vP
mG
l
mG  MP
x g
l
mG
40
–20
5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)
Relativer Energieübertrag:
1
m
E 2 '  m 2 v 2 '2  2
2
2
E2 '
E2 '
E1
2
 2m1 v 1 
 ;
 
 m1  m 2 
1
2
E 1  m1 v 12
4 m2
4m1m2
m1


2
E1 m  m 2  m

1
2
2

1

m1 

Max. bei m1=m2
© R. Girwidz
41
5.5 Raketenphysik
© R. Girwidz
42
–21
5.5 Raketenphysik
Prinzip:
Antrieb durch Rückstoß ausströmenden Gase;
Impulserhaltung für Gesamtsystem (Rakete + ausströmenden Gas)
w w
Ausströmgeschw. der Gase
relativ zur Rakete
v(t) : Geschwindigkeit der Rakete
im raumfesten System
v G t   v t   w
Momentangschwindigkeit
mR: Masse Rakete;
mG: Masse der ausgestoßenen Gase;
43
© R. Girwidz
5.5 Raketenphysik
Aufstellen der Bewegungsgleichung für den kräftefreien Raum
Impulssatz bei momentanem Masseausstoß (dmG):
mv  dm  v  w   m  dmG   v  dv 
Gase
Rakete
Bewegungsgleichung:
mR
dv
dmG
dmR
 w
 w
dt
dt
dt
(dm * dv vernachlässigt)
Schubkraft
© R. Girwidz
44
–22
5.5 Raketenphysik
Aufstellen der Bewegungsgleichung für den kräftefreien Raum
Impulssatz bei momentanem Masseausstoß (dmG):
mv R  dm R  v w   m  dmG   v  dv 
Gase
Rakete
Bewegungsgleichung:
mR
dv
dmG
dmR
 w
 w
dt
dt
dt
(dm * dv vernachlässigt)
Schubkraft

realistisch:
dmR dmG

 0; w  0;
dt
dt
dm
 const .; w  const .
dt
 Fs  0;
 Fs  const .
45
© R. Girwidz
5.5 Raketenphysik
Rakete im Schwerefeld (Raketenstart)
äußeres Kraftfeld
FG  m g
kommt hinzu;
Bewegungsgleichung:
m
dv
dmG
w
 mg
dt
dt
Schubkraft Schwerkraft
Fs>0
FG<0
man beachte: m =m (t)!
© R. Girwidz
46
–23
5.5 Raketenphysik
Integration der Bewegungsgleichung:
dv  w
dmG
 g  dt
mR
v
m
t
dmR
0 dv  w m m(t )  g 0 dt
0
v (t )  w  ln
mo
 g t
m(t )
mit m0=m(t=0)=Masse der vollgetankten Rakete bei Zündung
47
© R. Girwidz
5.5 Raketenphysik
Diskussion:
a) Bedingung für Abheben:
dv
0
dt

FS  FG
entscheidende Parameter für Schubkraft: w und
dm
;
dt
w hängt von Brennkammerdruck und -temperatur sowie vom verwendeten
Gasgemisch ab;
© R. Girwidz
48
–24
5.5 Raketenphysik
Diskussion:
a) Bedingung für Abheben:
dv
0
dt

FS  FG
entscheidende Parameter für Schubkraft: w und
dm
;
dt
w hängt von Brennkammerdruck und -temperatur sowie vom verwendeten
Gasgemisch ab;
In der Praxis:
km 
dm

fl. H2  fl. O2  hohes w  ~ 4,5
, aber kleines
s
dt


dm
km 

Kerosin - fl. O2  kleines w  ~ 2,5
, aber höheres
dt
s


49
© R. Girwidz
5.5 Raketenphysik
b) Endgeschwindigkeit vE (=Geschwindigkeit bei Brennschluss t = tE)
v E  w  ln
m0
 g  tE
mE
mit
mE  mt  tE  Masse der leergebrannten Rakete bei Brennschluss
entscheidende Parameter: w
© R. Girwidz
und
m0
mE
50
–25
5.5 Raketenphysik
b) Endgeschwindigkeit vE (=Geschwindigkeit bei Brennschluss t = tE)
v E  w  ln
m0
 g  tE
mE
mit
mE  mt  tE  Masse der leergebrannten Rakete bei Brennschluss
entscheidende Parameter: w
In der Praxis:
und
w  2,5 bis 4,5
m0
mE
km
s
(siehe oben)
m0
6
mE
 vE  8
km
s
zum Vergleich: Fluchtgeschwindigkeit vmin=11,2 km/s  Mehrstufenprinzip!
51
© R. Girwidz
5.5 Raketenphysik
Daten der Saturn V (Apollo-Projekt)
mo  2950t;
mTreibstoff  2000t;
m0 2900

 4;
700
mE
1. Stufe: Kerosin + fl. O2
w  2,2
km
;
s
dm
t
 15 ;
dt
s
Fs  3,3  107 N;
Brenndauer: tE  2 min
2., 3. Stufe: fl. H2 + fl. O2
© R. Girwidz
52
–26
5.5 Raketenphysik
Endgeschwindigkeit vE
nach 1. Stufe ------ 2 km/s
nach 2. Stufe ------ 6,8 km/s
nach 3. Stufe ------ 7,85 km /s
Umlaufbahn in 185 km Höhe
Beschleunigung der Rakete:
a) am Anfang (kurz nach Start:
m
Fs  m0  g
 2 2  0,2  g ;
s
m0
b) am Ende (kurz vor Brennschluss):
aA 
aE 
© R. Girwidz
Fs  mE  g
m
 40 2  4  g ;
mE
s
53
5.5 Raketenphysik
Die heißen Verbrennungsgase strömen
aus den Brennkammern nach hinten aus.
© R. Girwidz
54
–27
5.6 Stöße - zweidimensional
55
© R. Girwidz
5.6 Stöße - zweidimensional
Stoßart
Charakteristik
gerade
Geschwindigkeitsvektoren liegen auf einer
Geraden
schief
Geschwindigkeitsvektoren liegen in einer Ebene
und schließen einen Winkel ein
zentral
Die Schwerpunkte liegen auf der Stoßnormalen
(Senkrechte zur Stoßebene)
exzentrisch
© R. Girwidz
Die Schwerpunkte liegen nicht auf der
Stoßnormalen => Rotation
56
–28
5.6 Stöße - zweidimensional
© R. Girwidz
57
5.6 Stöße - zweidimensional
Bei gleichen Massen stehen die Geschwindigkeitsvektoren
nach dem Stoß senkrecht aufeinander.
© R. Girwidz
58
–29
5.6 Stöße - zweidimensional
© R. Girwidz
59
5.6 Stöße - zweidimensional
© R. Girwidz
60
–30