Magnetische Felder 05 (Der Halleffekt)

4.6 Der Halleffekt
Wenn sich Elektronen mit der Geschwindigkeit
wirkt auf sie die Lorentzkraft:
durch ein magnetisches Feld der Stärke
bewegen,
Da die Lorentzkraft immer senkrecht zur Bewegungs- und senkrecht zur Feldrichtung ausgerichtet ist,
werden die Elektronen nicht beschleunigt, sondern auf eine Kreisbahn abgelenkt.
Dabei liefert die Lorentzkraft die für die Kreisbewegung erforderlicher Zentripetalkraft:
Aus der Gleichung ergibt sich ein direkter Zusammenhang zwischen magnetischer Feldstärke und
dem Bahnradius . Wird die Feldstärke größer, so verringert sich der Bahnradius, da eine größere
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Lorentzkraft und damit eine größere Zentripetalkraft auf das Elektron wirkt (gelbe Pfeile). Der
Bahnradius eines Elektrons hängt also sowohl von der Geschwindigkeit des Elektrons, als auch von
der Stärke des Magnetfeldes ab. Ziel der nachfolgenden Überlegung ist es nun ein Verfahren zur
Messung der magnetischen Feldstärke einzuführen.
Der Halleffekt:
Die Feldstärke eines magnetischen Feldes kann mit Hilfe von sog. Hallsonden gemessen werden.
Hallsonden sind Magnetfeldmessgeräte die auf dem Hall-Effekt, benannt nach dem Amerikaner
Edwin Herbert Hall (1855-1938) basieren. Dabei wird ausgenutzt, dass Elektronen in einem
magnetischen Feld wie oben beschrieben abgelenkt werden. Eine Hallsonde kann man sich sehr stark
vereinfacht als einen quaderförmigen elektrisch leitenden Körper mit dem Volumen
vorstellen durch den in Längsrichtung ein Strom aus Elektronen fließt.
Hält man die Hallsonde nun in ein magnetisches Feld der Stärke , so werden die Elektronen
zunächst von der Lorentzkraft von ihrer geradlinigen Bahn abgelenkt. Nach der Drei-Finger-Regel
werden die Elektronen in der Hallsonde hier nach oben abgelenkt. Auf der Oberseite der Hallsonde
entsteht so ein Elektronenüberschuss wohingegen auf der Unterseite ein Elektronenmangel entsteht.
Durch das Magnetfeld findet also in der Hallsonde eine Ladungsträgertrennung statt. Auf diese Weise
baut sich zwischen der Ober- und der Unterseite der Hallsonde eine Spannung auf, die sog.
Hallspannung, die mit dem angeschlossenen Voltmeter gemessen werden kann. Zusätzlich entsteht
im Inneren der Sonde ein elektrisches Feld, ähnlich zum Feld in einem Plattenkondensator. Ist eine
gewisse elektrische Feldstärke im Innern der Hallsonde erreicht, so kann die im elektrischen Feld auf
die Elektronen wirkende elektrische Kraft die Ablenkung durch die Lorentzkraft kompensieren und
die Elektronen können wieder ungestört in Längsrichtung durch die Hallsonde fließen (siehe
Zeichnung).
© M. Brennscheidt
Zwischen elektrischer Kraft und Lorentzkraft besteht nach dem Aufbau des elektrischen Feldes ein
Gleichgewicht:
Mit
(Spannung am Plattenkondensator) ergibt sich:
Dabei ist der Abstand zwischen Ober- und Unterseite der Hallsonde und
die sog. Hallspannung,
die zwischen Ober- und Unterseite mit einem Voltmeter gemessen werden kann. In dieser Gleichung
verbleibt nun als einzige Unbekannte die Geschwindigkeit der Elektronen. Diese kann aus der
Stromstärke , die durch die Hallsonde fließt hergeleitet werden:
Die Geschwindigkeit der Elektronen beträgt:
© M. Brennscheidt
Dabei ist die Länge der Hallsonde. Durch Einsetzen von ergibt sich die Geschwindigkeit:
Mit der Dichte der Ladungsträger in der Hallsonde
wird daraus:
Für die magnetische Feldstärke erhält man somit die Gleichung:
Ersetzt man nun das Volumen der Hallsonde durch
so ergibt sich:
Für die Hallspannung erhält man:
Dabei ist
die sog. Hallkonstante die vom Material der Hallsonde abhängig ist.
Ergebnis: Die magnetische Feldstärke kann bestimmt werden, indem man die durch die Hallsonde
fließende Stromstärke und die Hallspannung
misst. Die Gerätegrößen
und können in der
Regel der Betriebsanleitung der Sonde entnommen werden. Durch Umformen der Gleichung für die
Hallspannung erhält man die gewünschte magnetische Feldstärke:
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