Der fiktive Snookerspieler Rollie O`Sunnivan … a) Angenommen

Der fiktive Snookerspieler Rollie O'Sunnivan …
a) Angenommen, alle Bälle seien unterscheidbar. Wie viele Reihenfolgen gibt es, die Bälle nacheinander zu versenken?
Lösung:
Bei zwölf Bällen gibt es
12! =
479001600 Reihenfolgen
b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Bälle auf die 6 Taschen eines Snookertisches zu verteilen, wenn sich Rollie für jeden Ball eine neue Tasche zufällig auswäh
Lösung:
Für den ersten Ball gibt es 6 mögliche Taschen, für den zweiten ebenfalls und so fort. Man hat also
6^12 =
2176782336 Verteilungsmöglichkeiten
c) Die roten Bälle beim Snookersport sind in Wahrheit nicht unterscheidbar, da die Bälle nicht durch Zahlen gekennzeichnet sind. Nur die 6 farbigen Bälle sind ver
Lösung:
Da aus den 12! Möglichkeiten des Aufgabenteils a) nun jeweils 6! Reihenfolgen identisch sind,
gibt es bei ununterscheidbaren roten Bällen noch
12!/6! =
665280 Reihenfolgen
d) Tatsächlich müssen beim Snooker die roten und farbigen Bälle immer abwechselnd eingelocht werden, also zuerst ein roter, dann ein farbiger, dann wieder ein
Lösung:
Die Reihenfolge der roten Bälle ist ununterscheidbar und ihre Position in der Reihe liegt fest - sie werden nämlich
als erste, dritte, fünfte, siebte, neunte und elfte Kugel gespielt. Damit brauchen nur die möglichen Reihenfolgen
der farbigen Kugel bestimmt zu werden. Dies sind
6! =
720 Reihenfolgen
e) Der Schiedsrichter weist Rollie O'Sunnivan darauf hin, dass er nur noch 3 rote und 3 farbige Bälle bis zum Sieg benötigt, da er dann uneinholbar nach Punkten
Lösung:
Hier ist der Binomialkoeffizient anzuwenden. Es gibt zur Auswahl von 3 aus 6 roten Kugeln ohne Beachtung
der Reihenfolge
(6 über 3) = 6!/(3!3!) =
20 Möglichkeiten
f) Angenommen, Rollie sucht sich die 3 zu versenkenden farbigen Bälle aus Aufgabenteil e) zufällig aus. Wie wahrscheinlich ist es, dass unter diesen 3 Bällen gen
Lösung:
Hier ist die Hypergeometrische Formel anzuwenden. Alle Möglichkeiten, drei Bälle auszuwählen, sind bereits
in Aufgabenteil e) ermittelt werden.
Für die zwei nicht pinken oder schwarzen Bälle in den drei auszuwählenden Bällen gibt es
(4 über 2) = 4!/(2!2!) =
6 Möglichkeiten
Für den pinken oder schwarzen Ball aus 2 Bällen gibt es
(2 über 1) = 2!/(1!1!) =
2 Möglichkeiten
Dann beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit
p = (4 über 2) * (2 über 1) / (6 über 3) = 6 * 2 / 20 =
0.6
g) Wie wahrscheinlich ist es, dass die drei zu versenkenden ununterscheidbaren roten Bälle in unterschiedliche Taschen des Tisches gespielt werden (also maxim
Lösung:
Wir haben es mit der Bose-Einstein-Statistik zu tun. Prinzipiell geht es darum, k Teilchen auf n Kästchen zu verteilen
(mit k ≤ n), wobei die Teilchen ununterscheidbar sind. Soll in jedem Kästchen maximal ein Teilchen liegen,
ist dies gleichbedeutend mit der Auswahl von k aus insgesamt n Kästchen (bzw. Taschen beim Snookertisch),
wobei die Reihenfolge der Kästchen keine Rolle spielt (denn die Kugeln, die nachher in ihnen landen, sind ja
ununterscheidbar). Dies lässt sich einfach mit dem Binomialkoeffizienten bestimmen. Man erhält.
wie in Aufgabenteil e)
(6 über 3) = 6!/(3!3!) =
20 Möglichkeiten
Damit ist die Frage nach den günstigen Fällen beantwortet. Für die Berechnung der möglichen Fälle ist zu fragen,
wie man die 3 Kugeln beliebig auf Taschen verteilen kann. Hier kann nicht einfach n^k gerechnet werden,
weil dabei angenommen wird, dass die Kugel unterscheidbar sind ("n Möglichkeiten für die ERSTE Kugel, n
Möglichkeiten für die ZWEITE Kugel und so fort"). Statt dessen ist der Binomialkoeffizient (n + k - 1 über k)
anzuwenden. Die Herleitung findet sich im WT-Skript auf Seite 26 bzw. Seite 40f.
Man erhält also für die möglichen Verteilungen der roten Kugeln auf Taschen
(6 + 3 - 1 über 3) = (8 über 3) = 8!/(5!3!) =
56
Damit ergibt sich
p = (6 über 3) / (8 über 3) = 20 / 56 =
0.35714286
Geschwächt durch seinen exzessiven Marihuanakonsum verliert Rollie O'Sunnivan …
a) Die Kommission soll aus 7 Personen bestehen, davon 3 Engländer, 2 Deutsche und 2 Chinesen. Wie viele Möglichkeiten zur Kommissionsbildung gibt es?
Lösung:
Man berechnet mit dem Binomialkoeffizienten
(5 über 3) * (5 über 2) * (3 über 2) =
300
Möglichkeiten, den Ausschuss zu bilden.
b) Einer der englischen Vertreter möchte auf keinen Fall mit einem der Deutschen an der Kommission beteiligt sein. Wie viele Möglichkeiten gibt es unter dieser
Lösung:
Hier gibt es zwei Lösungswege.
Lösungsweg 1. Separate Berechnung der Möglichkeiten, keinen der beiden Streithähne oder einen der beiden in den Ausschuss zu wählen.
Für die Möglichkeiten für "keinen von beiden" berechnet man
(4 über 3) * (4 über 2) * (3 über 2) =
72
Möglichkeiten, den Ausschuss zu bilden.
Für die Möglichkeiten, den englischen Vertreter NICHT in den Auschuss zu wählen, erhält man
(4 über 3) * (5 über 2) * (3 über 2) =
120 Möglichkeiten
Für die Möglichkeiten, den deutschen Vertreter NICHT in den Auschuss zu wählen, erhält man
(5 über 3) * (4 über 2) * (3 über 2) =
180 Möglichkeiten
Nun muss man aber noch überlegen, dass in den 120 Möglichkeiten, den englischen Vertreter nicht
in den Ausschuss zu wählen, die 72 Möglichkeiten, dass auch der deutsche Vertreter nicht in den
Ausschuss kommt, enthalten sind. Ebenso sind in den 180 Mögllichkeiten, dass der deutsche
Vertreter nicht gewählt sind, die 72 Möglichkeiten, dass auch der englische nicht hineinkommt
bereits enthalten. Man muss die 72 Möglichkeiten also jeweils abziehen.
Also gibt es insgesamt
72 + (120 - 72) + (180 - 72) =
228 Möglichkeiten
Lösungsweg 2: Wenn alle Möglichkeiten, den Aussuss zu bilden, mit N bezeichnet sind und die Möglichkeiten,
tatsächlich beide Streithähne zusammen in den Ausschuss zu wählen mit M, so muss die gesuchte Anzahl von
Möglichkeiten gleich N - M sein.
Wenn also der englische und deutsche Streithahn bereits gesetzt sind, bleiben für die übrigen Plätze noch
(4 über 2) * (4 über 1) * (3 über 2) =
72 Möglichkeiten
Damit erhält man als gesuchte Anzahl exakt wie oben
300 - 72 =
228 Möglichkeiten
c) Auch zwischen Deutschen und Chinesen gibt es Animositäten. Die deutschen Vertreter wollen in den Kommissionssitzungen eigentlich nicht neben einem Ch
Lösung:
Da es 2 Deutsche und 3 Engländer in dem Ausschuss gibt, müssen Engländer und Deutsche in einem Pulk
zusammensitzen, wobei die äußeren Plätze des Pulks von Engländern besetzt werden müssen.
Dabei kann der dritte Engländer entweder mit im Pulk sitzen oder außerhalb des Pulks. Wir betrachten
diese beiden Möglichkeiten separat und addieren dann die erhaltenen Möglichkeiten.
Variante 1: Der dritte Engländer sitzt mit im Pulk, der Pulk umfasst also 5 Personen
Man kann den Pulk nun als eine Einheit auffassen, der 5 Sitzplätze benötigt. Die verbleibenden zwei Sitzplätze
werden dann von Chinesen besetzt. Da wir den runden Tisch betrachten, ist die Platzierung des ersten Elementes
egal. Wir wählen den England-Deutschland-Pulk als erstes Element. Dann gibt es noch
2! =
2
Möglichkeiten, die Chinesen auf den verbleibenden freien Plätzen anzuordnen.
Für die Besetzung der beiden äußeren Plätze des Pulks gibt es
(3 über 2) = 3!/(2!1!)
Möglichkeiten, 2 aus 3 Engländern auszuwählen. Diese beiden können aber noch vertauscht werden, so dass
man
(3 über 2) * 2! = 3!/1! = 3! =
6
Die verbleibenden 3 Personen (1 Engländer, 2 Deutsche) können dann noch auf
3! =
6
Weisen angeordnet werden, so dass man nun erhält:
((3 über 2) * 2!) * 3! * 2! = 2 * 6 * 6 =
72 Möglichkeiten
Variante 2: Der dritte Engländer sitzt außerhalb des Pulks.
Man kann den Pulk nun als eine Einheit auffassen, der 4 Sitzplätze benötigt. Die verbleibenden 3 Sitzplätze
werden dann von den Chinesen und dem dritten Engländer besetzt. Da wir den runden Tisch betrachten,
ist die Platzierung des ersten Elementes egal. Wir wählen den England-Deutschland-Pulk als erstes Element. Dann gibt es noch
3! =
6
Möglichkeiten, die Chinesen und den dritten Engländer auf den verbleibenden freien Plätzen anzuordnen.
Für die Besetzung der beiden äußeren Plätze des Pulks gibt es
(3 über 2) = 3!/(2!1!)
Möglichkeiten, 2 aus 3 Engländern auszuwählen. Diese beiden können aber noch vertauscht werden, so dass
man
(3 über 2) * 2! = 3!/1! = 3! =
6
Die 2 Deutschen können dann noch auf
2! =
2
Weisen angeordnet werden, so dass man nun erhält:
((3 über 2) * 2!) * 2! * 3! = 6 * 6 * 2 =
72 Möglichkeiten
Man hat also insgesamt
72 + 72 =
144 Möglichkeiten
Für die Anzahl der Möglichen gilt am runden Tisch wieder (n - 1)!, also
(7 - 1)! = 6! =
720
Die Wahrscheinlichkeit, dass kein Deutscher neben einem Chinesen sitzt, beträgt also
p = 144 / 720 =
0.2
Rollie vermutet, dass seine aktuelle Formschwäche weniger mit Hanf als vielmehr mit Wolle zu tun hat …
a) Zeichnen Sie einen Wahrscheinlichkeitsbaum für diese Situation. Schreiben Sie an die Äste des Baumes sowohl die relativen als auch die absoluten Häufigk
Lösung:
Zunächst sollte eine Kontingenztabelle der unbedingten absoluten Häufigkeiten erstellt werden.
Diese hat folgendes Aussehen
Hersteller A
Kammgarn
Baumwollfilz
Σ
9
1
10
Hersteller B Hersteller C Σ
10
9
10
6
20
15
28
17
45
Daraus erstellt man leicht die Kontingenztabelle der unbedingten relativen Häufigkeiten,
indem jede absolute Häufigkeit durch die Gesamtsumme (45) geteilt wird.
Kammgarn
Baumwollfilz
Σ
Hersteller A Hersteller B Hersteller C Σ
0.200
0.222
0.200
0.022
0.222
0.133
0.222
0.444
0.333
0.622
0.378
1.000
Nun kann die Tabelle der bedingten Häufigkeiten erstellt werden, indem jede unbedingte
relative Häufigkeit durch die Randsumme des Herstellers geteilt wird.
Kammgarn
Baumwollfilz
Σ
Hersteller A Hersteller B Hersteller C
0.9
0.5
0.6
0.1
0.5
0.4
1
1
1
Damit lässt sich der Wahrscheinlichkeitsbaum zeichnen. Man beachte, dass in dieser
Aufgabe noch keine Auswahlwahrscheinlichkeiten für die Hersteller angegeben sind.
Für die Wahrscheinlichkeit des Herstellers sind also die Randhäufigkeiten der Hersteller
anzugeben.
Kammgarn
0.9 (9)
Hersteller A
0.222 (10)
Baumwollfilz
0.1 (1)
Kammgarn
0.5 (10)
x
Hersteller B
0.444 (20)
Baumwollfilz
0.5 (10)
Kammgarn
0.6 (9)
Hersteller C
0.333 (15)
Baumwollfilz
0.4 (6)
b) Für die Weltmeisterschaft in Sheffield hatte der Ausrichter zufällig einen der Hersteller ausgewählt und von diesem den Finaltisch beziehen lassen. Wie wahr
Lösung:
Hier ist der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit anzuwenden. Dabei ist zu berücksichtigen,
dass nun die Herstellerwahrscheinlichkeit für alle Hersteller aufgrund der zufälligen Auswahl bei 1/3 liegt.
Man erhält damit
p(Kammgarn) = p(Kammgarn | Hersteller A) * p(Hersteller A) + p(Kammgarn | Hersteller B) * p(Hersteller B) + p(Kammgarn | Hersteller C) * p(He
= 1/3 * 0.9 + 1/3 * 0.5 + 1/3 * 0.6 =
0.667
c) Rollie stellt fest, dass der Tisch tatsächlich mit Kammgarnwolle bezogen ist, kann aber den Hersteller nicht mehr ermitteln. Zu welchem Hersteller sollte er ge
Lösung:
Gefragt ist nach den Wahrscheinlichkeiten für p(Hersteller | Kammgarnwolle). Man rechnet nach Bayes
zunächst die unbedingten Verbundwahrscheinlichkeiten für p(Hersteller n Kammgarnwolle) aus und erhält
p(Hersteller A n Kammgarnwolle) = p(Kammgarnwolle | Hersteller A) * p(Hersteller A) = 0.9 * 1/3 =
p(Hersteller B n Kammgarnwolle) = p(Kammgarnwolle | Hersteller B) * p(Hersteller B) = 0.5 * 1/3 =
p(Hersteller C n Kammgarnwolle) = p(Kammgarnwolle | Hersteller C) * p(Hersteller C) = 0.6 * 1/3 =
p(Hersteller A | Kammgarnwolle) = p(Hersteller A n Kammgarnwolle) / p(Kammgarnwolle) = 0.3 / 0.667 =
p(Hersteller B | Kammgarnwolle) = p(Hersteller B n Kammgarnwolle) / p(Kammgarnwolle) = 0.167 / 0.667 =
p(Hersteller C | Kammgarnwolle) = p(Hersteller C n Kammgarnwolle) / p(Kammgarnwolle) = 0.2 / 0.667 =
Der Bezugsstoff wurde also am wahrscheinlichsten von Hersteller A geliefert.
0.300
0.167
0.200
0.45
0.25
0.3
O'Sunnivans Ehefrau toleriert seine Eskapaden nicht länger …
a) Berechnen Sie den Phi-Koeffizienten sowie den normierten Phi-Koeffizienten.
Lösung:
Die gegebene Tabelle war:
verloren
keine Drogen
Drogen
Σ
gewonnen
4
13
17
Σ
9
2
11
13
15
28
Man kann daraus nun die relative Häufigkeitstabelle bestimmen, wenn man
lieber mit relativen Häufigkeiten arbeitet.
keine Drogen
Drogen
Σ
verloren
gewonnen
Σ
0.143
0.321
0.464
0.071
0.607
0.393
0.464
0.536
1
Jetzt können direkt auch die zugehörigen φ-max Tabellen bestimmt werden.
ABSOLUT
verloren
keine Drogen
Drogen
Σ
gewonnen
13
4
17
RELATIV
verloren
gewonnen
Σ
keine Drogen
0.464
0.000
Drogen
0.143
0.393
Σ
0.607
0.393
Σ
0
11
11
13
15
28
Damit gilt für den φ-Koffizienten
Phi-abs = (4 * 2 - 9 * 13) / Wurzel(17 * 11 * 13 * 15) =
Phi-rel = (0.143 * 0.071 - 0.321 * 0.464) / Wurzel(0.607 * 0.393 * 0.464 * 0.536) =
-0.571
-0.571
Und für φ-max
Phimax-abs = (13 * 11 - 0 * 4) / Wurzel(17 * 11 * 13 * 15) =
Phimax-rel = (0.464 * 0.393 - 0 * 0.143) / Wurzel(0.607 * 0.393 * 0.464 * 0.536) =
0.749
0.749
Man erhält also für φ-norm
Phi-norm = Phi / Phi-max = -0.571 / 0.749 =
-0.762
b) Was bedeutet dieses Ergebnis inhaltlich?
Lösung:
Hier gilt es die Reihenfolge der Kodierungen in der Tabelle genau zu berücksichtigen. Es besteht ein inverser
Zusammenhang zwischen den Variablen "Keine Drogen" und "Turnier verloren". Damit verliert O'Sunnivan immer dann
eher nicht, wenn er keine Drogen genommen hat. Positiv formuliert: Er gewinnt sehr viel häufiger dann, wenn er clean ist.
0.464
0.536
1
Eine Gesundheitspsychologin ist hochinteressiert an den Daten
a) Bestimmen Sie Median, Mittelwert sowie unteres und oberes Quantil für die Cannabinolmenge.
Lösung:
Die Tabelle lautete
Turnier Nr.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
cannabinol
Gewonnen
0.53
0
0.69
0
0.53
0
0.51
1
0.43
1
0.54
0
0.56
0
0.53
0
0.54
0
0.51
1
0.53
0
0.51
1
0.39
1
0.48
1
0.55
0
0.65
0
cannabinol (sortiert)
0.39
0.43
0.48
0.51
0.51
0.51
0.53
0.53
0.53
0.53
0.54
0.54
0.55
0.56
0.65
0.69
Die Anzahl von Datenwerten ist gerade, also liegt der Median der Cannabinolmenge
zwischen dem N/2-tem und N/2+1-tem Wert.
N/2-ter Wert = 8-ter Wert =
N/2+1-ter Wert = 9-ter Wert =
0.53
0.53
Der Mittelwert daraus und damit der Median der Cannabinolmenge ist
0.53
Zur Bestimmung des 25% Quantils muss festgestellt werden, dass
N * p = 16 * 0.25 =
4
ganzzahlig ist. Damit ist das 25% Quantil definiert als Mittelwert zwischen dem 4-ten und 4+1-ten Wert.
Man erhält also
Q.25 = (0.51 + 0.51) / 2 =
0.51
Der Wert 0.51 ist also der Wert in der Cannabinolmengenstichprobe, unter dem mindestens 25% der Datenwerte
und über dem mindestens 75% der Datenwerte liegen.
Zur Bestimmung des 75% Quantils stellt man fest, dass
N * p = 16 * 0.75 =
12
ganzzahlig ist. Damit ist das 75% Quantil definiert als Mittelwert zwischen dem 12-ten und 12+1-ten Wert.
Man erhält also
Q.75 = (0.54 + 0.55) / 2 =
0.545
Der Wert 0.545 ist also der Wert in der Cannabinolmengenstichprobe, unter dem mindestens 75% der Datenwerte
und über dem mindestens 25% der Datenwerte liegen.
b) Zeichnen Sie ein Säulendiagramm für die Turniersiege.
Lösung:
Hierzu werden zunächst die Häufigkeiten für "verloren" und "gewonnen" aus obiger Tabelle bestimmt.
Man erhält
h(verloren) = h(0) =
h(gewonnen = h(1) =
N=
10
6
16
Daraus kann man die relativen Häufigkeiten bestimmen als
p(verloren) = h(0) / N =
p(gewonnen) = h(1) / N =
0.625
0.375
Man kann nun entscheiden, ob ein absolutes oder relatives Säulendiagramm gezeichnet wird.
verloren
gewonnen
Relativ
Absolut
1
12
10
8
6
4
2
0
0.8
0.6
0.4
0.2
0
verloren
verloren
gewonnen
gewonnen
c) Zeichnen Sie einen Scatterplot für den Zusammenhang zwischen Cannabinolmenge und Turniersieg. Tragen Sie auf der X-Achse die Variable "Turniersieg" a
Lösung:
Der Einfachheit halber kann die Tabelle zunächst umgestellt werden
Gewonnen
0
0.53
0.69
0.53
0.54
0.56
0.53
0.54
0.53
0.55
0.65
Cannabinol
1
0.51
0.43
0.51
0.51
0.39
0.48
Cannabinolmenge
Der Scatterplot ist damit
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-1
0
1
2
Turnier gewonnen
d) Ist der in Aufgabenteil c) erstellte Scatterplot eine inhaltlich sinnvolle Darstellung? Welchen Wirkungszusammenhang suggeriert er?
Lösung:
Nein, der Scatterplot ist so keine sinnvolle Darstellung. Intuitiv wird die X-Variable als verursachende Variable (UV) und
die Y-Variable als abhängige Variable (AV) aufgefasst. Damit suggeriert der Plot eine Kausalwirkung eines Turniersieges
auf die zugeführte Cannabinolmenge, also die exakt inverse als untersuchte Zusammenhangsrichtung
e) Berechnen Sie den punktbiserialen Korrelationskoeffizienten für diese Daten. Welche inhaltliche Aussage leiten sie aus Ihrem Ergebnis ab?
Lösung:
Zur Berechnung des Punkt-biserialen Korrelationskoeffizienten kann die in Aufgabenteil c) erstellte Tabelle herangezogen werden.
Man benötigt folgende Kennwerte:
SD(Cannabinolmenge) =
MW(Cannabinolmenge bei verloren) = MW_0 =
MW(Cannabinolmenge bei gewonnen) = MW_1 =
N_0 = h(0) =
N_1 = h(1) =
N=
0.068
0.565
0.472
10
6
16
r_pbis = (0.472 - 0.565) / 0.068 * Wurzel(10 * 6 / 16²) =
-0.661
Die Cannabinolmenge und die Zufallsvariable "Turniersieg" korrelieren negativ miteinander. Je
höher die Cannabinolmenge, des eher verliert O'Sunnivan ein Turnier.
f) In welcher Beziehung steht der punktbiseriale Korrelationskoeffizient zur Produkt-Moment-Korrelation nach Pearson? Hätten sich für beide Maße hier untersc
Lösung:
r_pbis ist lediglich eine mathematisch andere Schreibweise der Produkt-Moment-Korrelation. Daher müssen bei beiden
Kennwerten dieselbe Zahl resultieren.
Man erhält tatsächlich
r=
-0.661
g) Kann die Gesundheitspsychologin für die Cannabinolmenge Intervallskalenniveau annehmen?
Lösung:
Streng genommen kann sie das nicht. Eine physikalisch exakt gemessene Cannabinolmenge wäre zwar nicht
nur intervall, sondern sogar verhältnisskaliert (nur die Einheit wäre beliebig; gramm, milligramm etc.), allerdings
handelt es sich bei den Daten nur um geschätzte Werte. Hier korrekte Schätzungen anzunehmen ist ein
eher gewagtes Postulat.
h) Erstellen Sie einen Q-Q-Plot für die Cannabinolmenge. Sind die Daten approxmativ normalverteilt?
Lösung:
Zur Erstellung des Q-Q-Plots ist wie folgt vorzugehen
- Die Werte der Cannabinolmenge werden zunächst z-standardisiert.
- Dann werden sie sortiert.
- Daraufhin werden die erwarteten Quantilszahlen (p) berechnet.
- Anschließend die erwarteten Quantile (z-Werte der gerade berechneten p-Werte)
- Die Wertepaare aus beobachten und erwarteten z-Werten werden dann in ein
Koordinatensystem eingetragen.
- Nun kann noch die aufgeklärte Varianz r² berechnet werden.
Die Berechnungsschritte sind in folgender Tabelle zusammengefasst
Nr
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
MW
SD
CannabinolmeSortiert
0.53
0.69
0.53
0.51
0.43
0.54
0.56
0.53
0.54
0.51
0.53
0.51
0.39
0.48
0.55
0.65
0.530
0.068
0.39
0.43
0.48
0.51
0.51
0.51
0.53
0.53
0.53
0.53
0.54
0.54
0.55
0.56
0.65
0.69
z_beob
p
-2.048
-1.463
-0.731
-0.293
-0.293
-0.293
0.000
0.000
0.000
0.000
0.146
0.146
0.293
0.439
1.755
2.340
0.03125
0.09375
0.15625
0.21875
0.28125
0.34375
0.40625
0.46875
0.53125
0.59375
0.65625
0.71875
0.78125
0.84375
0.90625
0.96875
z_erwartet
e
-1.863
-1.318
-1.010
-0.776
-0.579
-0.402
-0.237
-0.078
0.078
0.237
0.402
0.579
0.776
1.010
1.318
1.863
Var(e) =
Var(z) =
r² = 1 - Var(e) / Var(y)=
-0.185
-0.145
0.279
0.484
0.287
0.110
0.237
0.078
-0.078
-0.237
-0.256
-0.433
-0.484
-0.571
0.437
0.477
0.114
1.000
0.886
Der Scatterplot konstruiert sich damit als
3
z_beobachtet
2
1
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
-2
-3
z_erwartet
Die aufgeklärte Varianz ist zwar recht hoch (88.63638365463%, allerdings werden bei optischer
Inspektion des Q-Q-Plots systematische Abweichungen von der Normalverteilung sichtbar.
Für niedrige Datenwerte liegen die standardisierten Werte eher über der Erwartung, für hohe
Datenwete eher darunter. Dieses Muster wird nur bei den zwei jeweils extremsten Punktend
durchbrochen. Bevor also eine Normalverteilung konstatiert wird, sollte näher auf die Daten
geschaut werden.
Nach dem erfreulichen Ergebnis aus Aufgabe 5 führt die Gesundheitspsychologin …
a) Berechnen Sie den χ²-Koeffizienten sowie Cramérs V.
Lösung:
Gegeben war eine Tabelle mit relativen Häufigkeiten. Daraus kann zunächst eine absolute
Häufigkeitstabelle erstellt werden. Dies ist aber für die Berechnung des χ² nicht relevant.
Im folgenden wird die Berechnung an der relativen Kontingenztabelle veranschaulicht.
RELATIV
Erstrundennie Niederlage in Turniersieg Σ
Cannabis
0.105
0.035
0.01
Kokain
0.145
0.06
0.015
0.045
0.105
0.02
Sonstige Drog
Keine Drogen
0.06
0.325
0.075
Σ
0.355
0.525
0.12
0.15
0.22
0.17
0.46
1
ABSOLUT
Erstrundennie Niederlage in Turniersieg Σ
Cannabis
21
7
2
Kokain
29
12
3
Sonstige Drog
9
21
4
Keine Drogen
12
65
15
Σ
71
105
24
30
44
34
92
200
Nun können die zugehörigen Indifferenztabellen über die Multiplikation der Randhäufigkeiten
bestimmt werden.
RELATIV
Erstrundennie Niederlage in Turniersieg Σ
Cannabis
0.053
0.079
0.018
Kokain
0.078
0.116
0.026
0.060
0.089
0.020
Sonstige Drog
Keine Drogen
0.163
0.242
0.055
Σ
0.355
0.525
0.120
0.150
0.220
0.170
0.460
1.000
ABSOLUT
Erstrundennie Niederlage in Turniersieg Σ
Cannabis
10.650
15.750
3.600
Kokain
15.620
23.100
5.280
Sonstige Drog
12.070
17.850
4.080
Keine Drogen
32.660
48.300
11.040
Σ
71
105
24
30
44
34
92
200
Die Berechnung des χ² verläuft in beiden Fällen exakt gleich. Es wird die Summe
aus allen Quotienten (beob - erwart)² / erwart gebildet.
χ² für die relativen Häufigkeitsdaten:
0.031
Auch Cramérs V wird in beiden Fällen gleichartig berechnet. Allerdings ist
darauf zu achten, dass der Wert für N im Falle relativer Häufigkeiten gleich 1 ist.
Man rechnet als
Cramérs V für die relativen Häufigkeitsdaten = Wurzel(χ² / (N * Min(Zeilen - 1, Spalten - 1)) =
Wurzel(0.031 / (1 * Min(4 - 1, 3 - 1)) =
0.124
b) Welche inhaltliche Aussage leiten Sie aus Ihrem Ergebnis ab? Handelt es sich um einen hohen Zusammenhang zwischen den betrachteten Variablen?
Lösung:
Es gibt einen Zusammenhang zwischen der Art konsumierter Drogen und dem Gewinn von Snookerturnieren.
Bestimmte Drogen wirken sich also stärker bzw. schwächer auf die Siegchance aus als andere.
Der Zusammenhang ist aber eher niedrig.
Infolge des dramatischen Ergebnisses der Rauschmittelevaluation seiner Ehefrau …
a) Wie wahrscheinlich ist es, dass 10 oder mehr Bälle gelocht werden? Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit sowohl exakt als auch approximativ.
Lösung:
Es ist die Binomialverteilung anzunehmen. Sie ist in der Aufgabe definiert durch die Parameter
n=
p=
q=1-p=
475
0.02
0.98
Nun kann die Wahrscheinlichkeitsverteilung aus der Binomialverteilung bestimmt werden als
k
p
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0.000
0.001
0.003
0.010
0.025
0.047
0.076
0.104
0.124
0.131
p(kumuliert)
0.000
0.001
0.004
0.014
0.039
0.086
0.162
0.266
0.390
0.521
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnet sich nun als
p(k≥10) = 1 - p(k < 9) =
1 - 0.521 =
0.479
Zur Approximation kann die Normalverteilung verwendet werden, da
n * p * q = 475 * 0.02 * 0.98 =
9.310 größer als 9 ist.
Man berechnet zunächst die Parameter der Normalverteilung als
μ=n*p=
σ = Wurzel(n * p * q) =
9.500
3.051
Nun kann die Wahrscheinlichkeit für mindestens 10 gelochte Bälle berechnet werden
Mit der Stetigkeitskorrektur wählt man aber nicht, 10, sondern
10 - 0.5 = 9.5
als Grenze.
Dies ist exakt der Wert μ, also beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit 0.5.
Ohne Stetigkeitskorrektur hätte man berechnet
p(k≥10) = 1 - p(k ≤ 10) =
1 - 0.565 =
0.435
und hätte damit schlechter approximiert als mit der Stetigkeitskorrektur.
b) Frau O'Sunnivan nutzt die Gelegenheit und zwingt ihren Mann zu einer Abmachung. Sie darf für jeden nicht gelochten Ball 20 cl aus Rollies reichhaltigem Whisk
Lösung:
Hier ist nach dem Erwartungswert gefragt. Die Wahrscheinlichkeit, einen Ball nicht zu lochen,
wurde oben bereits berechnet mit
q=1-p=
0.98
Bei 475 gespielten Bällen werden also
E = n * q = 475 * 0.98 =
465.5 Bälle nicht gelocht
Wenn also für jede der 465.5 nicht gelochten Bälle 20 cl weggeschüttet werden dürfen
kann Frau O'Sunnivan voraussichtlich
465.5 * 20 cl =
9310 cl vernichten dürfen, also über 9 l
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden zwischen 130 und 310 cl Whiskey in den Ausguss wandern?
Lösung
Hier gibt es zwei mögliche Lösungswege, die im folgenden beschrieben werden.
Variante 1: Umrechnung der cl Angaben
Zunächst können die Angaben in cl umgerechnet werden in die Anzahl nicht getroffener
Bälle. Wenn pro Ball 20 cl vernichtet werden, sind also
130 cl => 130 / 20 =
6.5 Bälle
und
310 cl => 310 / 20 =
15.5 Bälle
Diese Angaben können nun mit dem zuvor berechneten mu und sigma z-transformiert werden.
Hier muss aber beachtet werden, dass das gewünschte μ nun der in Aufgabenteil b) berechnete
Erwartungswert ist, also
mu = n * q = 475 * 0.98 =
465.5
Die Varianz (Wurzel(n * p *q)) bleibt natürlich dieselbe. Nun z-transformiert man über
z(6.5) = (6.5 - 465.5) / 3.051 =
z(15.5) = (15.5 - 465.5) / 3.051 =
-150.431
-147.482
Es muss also die Fläche unter der Standardnormalverteilung zwischen den Werten
-150.431 und -147.482 ermittelt werden. Diese ist mit Sicherheit
extrem klein, also kann direkt Null angenommen werden.
Variante 2: Transformation der Zufallsvariablen
Es können auch die Werte der Zufallsvariablen (also die Anzahl nicht gelochter Bälle)
in cl umgerechnet werden. Dazu wird eine neue Zufallsvariable berechnet, indem
man die Anzahl nicht gelochter Bälle mit 20 multipliziert. Diese Transformation wirkt
sich dann auf Erwartungswert μ und Standardabweichung σ der neuen Variablen aus.
Wir benennen zunächst die ZV "Anzahl gelochter Bälle" mit X und die neue ZV
"Vernichtete cl" mit X*.
Um X* zu ermitteln, würde nun einfach gerechnet
X* = 20 * X
Wir haben in der Vorlesung gesehen, dass bei dieser Transformation für den Erwartungswert
der neuen Variablen X* gilt
mu_X* = 20 * X = 20 * 465.5 =
9310
Ebenso weiß man aus der Vorlesung, dass gilt Var(a * X) = a² * Var(X) und damit direkt
SD(a * X) = Wurzel(a² * Var(X)) = a * SD(X). Man erhält also hier
sigma(X*) = sigma(20 * X) = 20 * sigma(X) = 20 * 3.051 =
61.025
Mit diesen beiden Parametern der neuen Zufallsvariablen können direkt die angegebenen
cl Werte z-transformiert werden.
z(130) = (130 - 9310) / 61.025 =
z(310) = (310 - 9310) / 61.025 =
-150.431
-147.482
und kommt zur selben Wahrscheinlichkeit.
d) Rollies Whiskeyvorrat umfasst insgesamt 375 cl. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird seine Frau den gesamten Vorrat vernichten können?
Lösung:
Hier ist zu beantworten, mit welcher Wahrscheinlichkeit mehr als 375 cl weggeschüttet werden können.
Man kann wieder zunächst in nicht getroffene Bälle umrechnen.
375 cl => 375 / 20 =
18.75 Bälle
Der z-Wert hierzu ist
z(18.75) = (18.75 - 465.5) / 3.051 =
-146.416
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man über
p(k≥18.75) = 1 - p(k ≤ 18.75) =
1-0=
1.000
Hinweis: Analog zur letzten Aufgabe kann auch wieder die Verteilung der neuen Zufallsvariablen
zur z-Standardisierung benutzt werden. Man erhielte
z(375) = (375 - 9310) / 61.025 =
und kommt zur selben Wahrscheinlichkeit.
-146.416
Unabhängig von einer Finalteilnahme O'Sunnivans beträgt die Wahrscheinlichkeit, als Zuschauer eines Snookerspiels …
a) Welche Verteilung ist hier anzunehmen?
Lösung:
Es handelt sich um ein sehr seltenes Ereignis mit zwei Ausprägungen. Ohne weitere Informationen kann zunächst
die Poisson-Verteilung angenommen werden.
b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen durch Kopfball entleibten Zuschauer pro Saison?
Lösung:
Gegeben waren diese Parameter
p=
n=
0.0000009
65000
Damit berechnet sich der Parameter λ der Poissonverteilung als
λ=n*p=
0.0585
Berechnet werden kann nun die Gegenwahrscheinlichkeit, also p(m = 0 tote Zuschauer) als
p(m ≥ 1 toter Zuschauer) = 1 - p(m = 0 tote Zuschauer) = 1 - Exp(-λ) * λ^m / m! =
1 - Exp(-0.0585) * 0.0585^0 / 0! =
Während eines desaströs verlaufenden Erstrundenspiels bei den China Open …
a) Zeichnen Sie ein relatives Histogramm für die Daten aus Tabelle 4.
Lösung:
Die gegebene Datentabelle lautete (rel. Häufigkeiten etc. werden später berechnet).
Kat. Nr.
1
2
3
4
5
Grenzen
0.93 - 1.95
1.95 - 2.29
2.29 - 2.63
2.63 - 2.96
2.96 - 3.64
Häufigkeit
10
16
23
20
16
Rel. Häufigkei Breite d
0.118
0.188
0.271
0.235
0.188
1.02
0.34
0.34
0.33
0.68
Säulenhöhe a
0.115
0.554
0.796
0.713
0.277
Die relativen Häufigkeiten werden am Beispiel der ersten Kategorie berechnet als
f(x) = h(x) / N = 10 / 85 =
0.118
Nun sind die Kategoriebreiten d zu bestimmen. Da wir es offenbar mit einer
stetigen Zufallsvariable zu tun haben, kann nicht bestimmt werden, zu welcher
Kategorie die Grenze gehört (Beispiel: Ist die obere Grenze der ersten Kategorie
gleich 1.94 oder 1.944 oder 1.9444 und so fort).
Man berechnet die Kategoriebreiten also tatsächlich als Differenz der angegebenen
Grenzen (siehe oben), am Beispiel der ersten Kategorie
d = 1.95 - 0.93 =
1.02
Die Säulenhöhen werden am Beispiel der ersten Kategorie berechnet als
a = f(x) / d = 0.118 / 1.02 =
0.115
0.05682176
Damit kann das Histogramm gezeichnet werden.
0.93
0.93
0.8
1.95
0.7
1.95
0.6
2.29
2.29
0.5
2.63
0.4
2.63
0.3
2.96
0.2
2.96
0.1
3.64
0
0.5 3.641
0.9
0
0.115340254
0.115340254
0.553633218
0.553633218
0.795847751
0.795847751
0.713012478
0.713012478
0.276816609
0.276816609
0 2.5
1.5
2
3
3.5
4
Hier wird ein Problem des Histogramms deutlich. Ist die Klassenbreite kleiner als 1,
können die relativen Häufigkeiten der Balkenhöhen beliebig groß werden (bei beliebig kleinen
Klassenbreiten), also auch größer 1. Ein analoges Problem entsteht beim absoluten
Histogramm, wo die absoluten Häufigkeiten der Balken größer werden können als
das eigentliche N.
In solchen Fällen wäre ein einfaches Balkendiagramm der absoluten Häufigkeiten
mit gleichen (!) Klassenbreiten vorzuziehen.
b) Berechnen Sie Mittelwert und Varianz der kategorisierten Daten aus Tabelle 4. Benutzen Sie dabei als Referenzwert für eine Kategorie jeweils die Kategoriemitte.
Lösung:
Die Mitte jeder Klasse erhält man über die Formel
Klassenmitte = (OG + UG) / 2
Damit konstruiert man diese Tabelle der Klassenmitten und relativen Häufigkeiten
Nr
1
2
3
4
5
Klassenmitte
= (0.93 + 1.95) / 2 =
= (1.95 + 2.29) / 2 =
= (2.29 + 2.63) / 2 =
= (2.63 + 2.96) / 2 =
= (2.96 + 3.64) / 2 =
1.44
2.12
2.46
2.795
3.3
rel. Häufigkeit
0.118
0.188
0.271
0.235
0.188
Nun berechnet sich der Mittelwert wie bereits bei kategorisierten Daten bekannt
als die Summe der Produkte zwischen Klassenmitte ung relativer Häufigkeit.
x_quer = (1.44 * 0.118) + (2.12 * 0.188) + (2.46 * 0.271) + ( * 2.795 * 0.235) + ( * 3.3 * 0.188) =
2.513
In derselben Weise berechnet sich die Standardabweichung als
Var(x) = ((1.44 - 2.513)² * 0.118) + ((2.12 - 2.513)² * 0.188) + ((2.46 - 2.513)² * 0.271) + ((2.795 - 2.513)² * 0.235) + ((3.3 - 2.513)² * 0.188) =
Und damit
SD(x) = Wurzel(Var(x)) = Wurzel(0.301) =
0.548
c) Unter den vielen Proben O'Sunnivans befindet sich ein namentlich nicht beschriftetes Testresultat, das einen Blutalkoholwert von 1.27 ausweist. Angenommen, die Ä
Lösung:
Der angegebene Wert muss zunächst z-standardsiert werden.
z(1.27) = (1.27 - 2.513) / 0.548
-2.267
Für die Entscheidung ist zu prüfen, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein solcher z-Wert
oder ein noch extremerer (hier: kleinerer) Wert zustande gekommen wäre, angenommen
O'Sunnivan hätte die Probe abgegeben. Konkret muss also die Fläche links von dem
berechneten z-Wert unter der Standardnormalverteilung ermittelt werden. Dies ist
p(x <= -2.267) =
0.011692304
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Probe von O'Sunnivan stammt (gegeben seine
Proben sind normalverteilt mit den angenommenen Parametern), beträgt also
1.17%. Es ist ein sehr unwahrscheinliches Ereignis, so dass der Arzt
eher annehmen sollte, dass die Probe nicht von O'Sunnivan abgegeben wurde.
Mit wachsender Verzweiflung sucht Rollie O'Sunnivan nach einem Grund für seine zunehmende Formschwäche …
a) Um welches Skalenniveau handelt es sich bei den geschätzten Lautstärke- und Nervositätswerten höchstens?
Lösung:
Beide Werte sind nach subjektiver Wahrnehmung geschätzt. Insofern ist nicht einmal gesichert, dass
die Ordnung zwischen zwei unterschiedlich großen Werten tatsächlich interpretiert werden kann.
Sollte Rollie aber ein guter Schätzer sein und seine Lautstärke- und Nervositätsskalen nicht zu
fein abgestuft sind, kann man von Ordinalskalenniveau ausgehen. Höhere Skalenniveaus anzunehmen
wäre jedoch diskussionswürdig.
b) Berechnen sie Spearman's Rangkorrelation für die Daten.
Lösung:
Die Datentabelle war gegeben als
Nr.
1
2
3
4
5
6
Lautstärke (XNervosität (Y) Rang(X) Rang(Y)
2
0.966
6
22
0.207
2
7
0.345
4
13
0.276
3
3
0.759
5
30
0.069
1
1
5
3
4
2
6
d = Rang(Y) - Rang(X)
-5
3
-1
1
-3
5
Die Rangkorrelation kann nun einfach über Pearsons Produkt-Moment Korrelation zwischen
den Rangzahlen ermittelt werden. Man erhält
r=
-1
oder über die vereinfachte Rechenformel
r=
Die Summe aller quadrierten Rangdifferenzen d ist
Σ d² =
70
Damit erhält man für die Formel
r = 1 - (6 * Σ d²) / ((n² - 1) * n1 - (6 * 70) / ((6² - 1) * 6) =
-1
Die Gesundheitspsychologin erweist sich als zuverlässige Fachvertreterin …
c) Berechnen Sie eine einfache lineare Regression der Daten aus Tabelle 5.
Lösung:
Gegeben ist diese Tabelle
Nr
1
2
3
4
5
6
x
y
Lautstärke (XNervosität (Y)
2
0.966
22
0.207
7
0.345
13
0.276
3
0.759
30
0.069
Daraus sind zunächst die deskriptiven Statistiken zu berechnen
x
mw
var
sd
cov(x,y)
r
y
12.833
104.472
10.221
0.437
0.101
0.318
-2.801
-0.862
Nun können die Parameter der linearen Regression berechnet werden.
a
b
r²
-0.027
0.781
0.744
d) Zeichnen Sie die Daten sowie die Regressionslinie samt wichtiger Punkte (Mittelwert, Y-Achsenabschnitt) in einen Scatterplot ein.
Lösung:
Der folgende Scatterplot enthält die Datenpunkte sowie alle Regressionsgeraden/-kurven der
folgenden Aufgabenteile.
1.200
1.000
Nr
y = -0.0268x + 0.7808
R2 = 0.7439
0.800
1
2
3
4
5
6
0.600
0.400
0.200
Sortierte Daten für die Grafik
Log-Daten
Logit-Daten
x
y_dach
y_dach
2
1.052
0.827
3
0.750
0.802
7
0.369
0.681
13
0.220
0.449
22
0.142
0.161
30
0.109
0.050
0.000
0
5
10
15
20
25
30
35
-0.200
e) Deutet der Verlauf der Daten eher ein exponentielles oder ein logistisches Regressionsmodell an?
Lösung:
Die Daten sind weniger ogivenförmig, sondern fallen eher exponentiell ab. Daher wäre vermutlich
das Exponentialmodell die richtige Wahl.
f) Berechnen sie zunächst eine logistische Regression. Ist das logistische Regressionsmodell, unabhängig vom Ergebnis der Regressionsanalyse, bei den vo
Lösung:
Nach Umformung in Logits erhält man folgende Tabelle:
Nr
x
1
2
3
4
5
6
MW
Var
SD
logit(Y)
2
22
7
13
3
30
3.332
-1.344
-0.642
-0.965
1.145
-2.603
12.833
104.472
10.221
-0.179
3.691
1.921
y_dach e
0.827
0.161
0.681
0.449
0.802
0.050
0.495
0.092
0.303
-0.139
-0.046
0.336
0.173
0.044
-0.019
0.058
0.024
0.156
Daraus erhält man als Regressionskoeffizienten der logistischen Regression:
cov(x, logit(y))
r_logit
a
b
r²
-16.796
-0.855
-0.161
1.884
0.759
Unabhängig vom Ergebnis ist die logistische Regression kein a priori sinnvolles
Modell für die Daten. Die y-Variable (Nervosität) wird auf einer Skala von 0 bis 2
gemessen (siehe Aufgabe). Die logistische Regression in der hier berechneten
Form hat jedoch nur einen Wertebereich auf der y-Variable von 0 bis 1. Ohne
eine Datentransformation der y-Werte ist also die logistische Regression hier per
se kein sinnvolles Modell für die Daten.
g) Berechnen Sie eine nichtlineare Regression mit dem Modell y=kx^m. Geben sie den Determinationskoeffizienten an. Was bedeutet das Ergebnis inhaltlich?
Lösung:
Nach Logarithmierung erhält man folgende Tabelle mit den deskriptiven Statistiken
(y_dach und e werden später berechnet):
Nr
Ln(X)
1
2
3
4
5
6
MW
Var
SD
Ln(Y)
0.693
3.091
1.946
2.565
1.099
3.401
-0.035
-1.576
-1.065
-1.288
-0.276
-2.674
2.132
0.982
0.991
-1.152
0.756
0.870
y_dach e = (y - y_dach)
1.052
-0.087
0.142
0.065
0.369
-0.024
0.220
0.056
0.750
0.009
0.109
-0.040
0.440
0.120
0.347
-0.004
0.003
0.053
Die (hier mit dem natürlichen Logarithmus Ln) logarithmierte nichtlineare Regressionsgleichung hat folgende Gestalt:
Ln(y) = Ln(k) + m * Ln(x)
Man setzt nun günstigerweise
k' = Ln(k)
Daraus erhält man als Regressionskoeffizienten der nicht linearen Regression:
cov(Ln(x), Ln(y
r(Ln(x), Ln(y)) =
-0.821
-0.953
Steigungsparameter m =
-0.836
Nun kann die logarithmierte Gleichung verwendet werden, um den Y-Achsenabschnitt zu berechnen.
Man formt zunächst um: k' = Ln(y) - m * Ln(x) und setzt dann die Mittelwerte der logarithmierten
x- und y-Daten ein.
Y-Achsenabschnitt k' = Ln(y)_quer - m * Ln(x)_quer = -1.152 - 2 * -0.836 * 2.132 =
0.631
Der k' Koeffizient muss nun noch rücktransformiert werden über (e^k').
k=
1.879
Nun ist der Determinationskoeffizient zu berechnen als (1 - Var(e) / Var(y)). Zur Bestimmung von Var(e)
müssen zunächst die Abweichungen der vorhergesagten zu den beobachteten y-Werten bestimmt werden
(siehe Tabelle oben). Achtung: Die beobachteten y-Werte sind die Originaldaten, nicht die logarithmierten
y-Werte. Zusätzlich ist zu beachten, dass der Mittelwert der Fehler aufgrund der Linearisierung nicht Null
ist. Daher muss wie üblich die Varianz der Fehler berechnet werden als 1 / N * Σ(e - e_quer)².
r² =
0.972
h) Für welches Regressionsmodell entscheiden Sie sich? Kann aus diesem Ergebnis geschlossen werden, dass das gewählte Regressionsmodell "wahr" ist, d
Lösung:
Sowohl nach optischer Inspektion als auch nach Betrachtung der aufgeklärten Varianzen
erweist sich das Exponentialmodell als gut passend. Es handelt es sich dabei aber
weiterhin lediglich um ein Modell, das den Verlauf der Daten gut approximiert. Es hat
keine theoretische Erklärungskraft und sagt nichts über Art und Form des tatsächlichen
Zusammenhangs zwischen die betrachteten Variablen aus.