Broschüre offene Aufgaben Klasse 5_6

Zur Arbeit mit
offenen Aufgaben
im Mathematikunterricht
der Klassen 5 und 6
Herausgeber:
Landesinstitut für Schule und Ausbildung
Mecklenburg-Vorpommern
Ellerried 5
19061 Schwerin
Autoren:
Lutz Hellmig
Sabine Hoffmann
Eva Kleinschmidt
Evelyn Kowaleczko
Grit Kurtzmann
Dieter Leye
Marion Lindstädt
Peter Lorenz
Marion Roscher
Prof. Dr. Hans-Dieter Sill
Druck:
cw Obotritendruck GmbH Schwerin
Umschlagfoto:
DUDEN PAETEC GmbH/Dr. Gerd Sonnenfeld
Auflage:
2. überarbeitete Auflage, September 2007
Inhaltsverzeichnis:
Vorwort ................................................................................................................................................... 4
1
Allgemeine Kompetenzen am Ende der Klassenstufe 6 ............................................................ 5
2
Zur Arbeit mit offenen Aufgaben im Mathematikunterricht ....................................................... 7
3
Stoffverteilungsvorschlag für die Klassen 5 und 6 .................................................................. 18
4
Vorschläge für die Klasse 5 ........................................................................................................ 20
4.1
Themenbereich „Natürliche Zahlen“................................................................................... 20
4.1.1
Ziele und Schwerpunkte ............................................................................................................ 20
4.1.2
Hinweise zu den Aufgaben ....................................................................................................... 23
Aufgaben zu natürlichen Zahlen............................................................................................... 28
4.2
Themenbereich „Stochastik“............................................................................................... 30
4.2.1
Ziele und Schwerpunkte ............................................................................................................ 30
4.2.2
Hinweise zu den Aufgaben ....................................................................................................... 30
Aufgaben zur Stochastik............................................................................................................ 34
4.3
Themenbereich „Gebrochene Zahlen“ ............................................................................... 35
4.3.1
Ziele und Schwerpunkte ............................................................................................................ 35
4.3.2
Hinweise zu den Aufgaben ....................................................................................................... 37
Aufgaben zu gebrochenen Zahlen........................................................................................... 40
4.4
Themenbereich „Größen“ .................................................................................................... 41
4.4.1
Ziele und Schwerpunkte ............................................................................................................ 41
4.4.2
Hinweise zu den Aufgaben ....................................................................................................... 42
Aufgaben zu Größen.................................................................................................................. 45
4.5
Themenbereich „Ebene Geometrie“ ................................................................................... 46
4.5.1
Ziele und Schwerpunkte ............................................................................................................ 46
4.5.2
Hinweise zu den Aufgaben ....................................................................................................... 48
Aufgaben zur Geometrie in der Ebene.................................................................................... 51
4.6
Themenbereich „Räumliche Geometrie“............................................................................ 52
4.6.1
Ziele und Schwerpunkte ............................................................................................................ 52
4.6.2
Hinweise zu den Aufgaben ....................................................................................................... 53
Aufgaben zur Geometrie im Raum .......................................................................................... 56
5
Vorschläge für die Klasse 6 ........................................................................................................ 57
5.1
Themenbereich „Teilbarkeit“............................................................................................... 57
5.1.1
Ziele und Schwerpunkte ............................................................................................................ 57
5.1.2
Hinweise zu den Aufgaben ....................................................................................................... 58
Aufgaben zur Teilbarkeit............................................................................................................ 61
5.2
Themenbereich „Gebrochene Zahlen“ ............................................................................... 62
5.2.1
Ziele und Schwerpunkte ............................................................................................................ 62
5.2.2
Hinweise zu den Aufgaben ....................................................................................................... 64
Aufgaben zu Gebrochenen Zahlen .......................................................................................... 68
5.3
Themenbereich „Stochastik“............................................................................................... 71
5.3.1
Ziele und Schwerpunkte ............................................................................................................ 71
5.3.2
Hinweise zu den Aufgaben ....................................................................................................... 72
Aufgaben zur Stochastik............................................................................................................ 74
5.4
Themenbereich „Geometrie“ ............................................................................................... 75
5.4.1
Ziele und Schwerpunkte ............................................................................................................ 75
5.4.2
Hinweise zu den Aufgaben ....................................................................................................... 78
Aufgaben zur Geometrie ........................................................................................................... 85
Vorwort
Im Februar 2006 hat der Landtag von Mecklenburg-Vorpommern mit dem neuen Schulgesetz die Einführung des längeren gemeinsamen Lernens an Regional- und Gesamtschulen in den Klassenstufen
5 und 6 beschlossen.
Dieses Gesetz eröffnet die Möglichkeit, Entscheidungen über den angestrebten Abschluss erst nach
dem sechsten Schuljahr treffen zu müssen und damit die Entwicklung der Schüler innerhalb zweier
wichtiger Lebensjahre angemessen berücksichtigen zu können.
Damit betreten Sie als Lehrerinnen und Lehrer der umgestalteten Orientierungsstufe Neuland. Sie
sind unter anderem in besonderem Maße gefordert, Aspekte der Binnendifferenzierung zu berücksichtigen, d.h. Lernangebote und Lernanforderungen im Rahmen der pädagogischen Förderung differenziert zu gestalten, um den unterschiedlichen Begabungen, Lernvoraussetzungen und dem unterschiedlichen Lernverhalten der Schüler gerecht zu werden. Ziel ist es, alle Schüler auf die Anforderungen der nachfolgenden Bildungsgänge gut vorzubereiten.
Offene Aufgaben bieten nach internationalen Erfahrungen ein besonders hohes Potential, um alle
Schüler einer Klasse bezogen auf ihre individuellen Fähigkeiten am Mathematikunterricht teilhaben zu
lassen. Durch die Vielfältigkeit der Lösungswege und möglichen Ergebnisse ergeben sich für die
Schüler Anlässe, Ideen zu präsentieren, zu argumentieren und gegeneinander abzuwägen. Oft wird
am Ende die Erkenntnis stehen, dass es mehrere verschiedene und jeweils akzeptable Wege gibt,
eine Aufgabe zu lösen.
Zur Unterstützung der Arbeit mit offenen Aufgaben in der Orientierungsstufe haben die Fachberaterinnen und Fachberater für Mathematik der Regionalen Schulen in Mecklenburg-Vorpommern gemeinsam mit Mathematik-Didaktikern der Universität Rostock und mit Unterstützung des Landesinstitutes
für Schule und Ausbildung Mecklenburg-Vorpommern diese Broschüre verfasst, die eine Fortschreibung einer entsprechenden Broschüre für die Klasse 5 darstellt. Die Vorschläge für die Klasse 5 wurden im Schuljahr 2006/2007 im Rahmen einer einjährigen unterrichtsbegleitenden Lehrerfortbildung
erprobt. Die dabei gesammelten Erfahrungen fließen in diese Fortschreibung ein.
Die offenen Aufgaben in diesem Heft sind vor allem danach ausgesucht worden, inwieweit sie mathematisch unterschiedlich befähigten Schülern Möglichkeiten eröffnen, die Aufgabe ihrem Wissen
und Können gemäß zu meistern. Diese Aufgaben besitzen oft pragmatische und elegante, anschauliche und abstrakte, einfache und anspruchsvolle Lösungen.
Ein Vorschlag für eine mögliche Stoffverteilung für den Mathematikunterricht der Orientierungsstufe
dient als Anregung für Ihre eigene schulinterne Planung.
Die Broschüre kann auch von der Internetplattform www.mathe-mv.de herunter geladen werden.
Ich wünsche Ihnen viel Freude und Erfolg beim Erproben der offenen Aufgaben im Unterricht.
Heidrun Breyer
Landesinstitut für Schule und
Ausbildung Mecklenburg-Vorpommern
1 Allgemeine Kompetenzen am Ende der Klassenstufe 6
1
5
Allgemeine Kompetenzen am Ende der Klassenstufe 6
Mathematische Allgemeinbildung muss sich im verständnisvollen Umgang mit Mathematik und in der
Fähigkeit zeigen, das „Werkzeug“ Mathematik funktional beim Bewältigen von mathematikhaltigen
Anforderungen in verschiedenen Kontexten zu nutzen. Für eine entsprechende Kompetenzentwicklung ist es hilfreich, zwei verschiedene, aber eng miteinander verbundene Sichtweisen zu unterscheiden. Dabei handelt es sich zum einen um die Betrachtung allgemeiner mathematischer Kompetenzen
und zum anderen um die Betrachtung inhaltsbezogener mathematischer Kompetenzen.
Mit allgemeinen mathematischen Kompetenzen sind bestimmte Leistungsdispositionen gemeint, die
Fähigkeiten, Fertigkeiten, Kenntnisse und Verhaltenseigenschaften umfassen, die zwar fachspezifisch
vom mathematischen Arbeiten geprägt sind, aber nicht an spezielle mathematische Inhalte gebunden
sind. Sie können aber nur durch inhaltsbezogene mathematische Tätigkeiten entwickelt werden und
bestimmen vor allem die Unterrichtskultur.
Zur Entwicklung der allgemeinen mathematischen Kompetenzen tragen auch viele andere Unterrichtsfächer bei, da es sich meist um fachübergreifende Zielsetzungen handelt.
Mit inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen sind bestimmte Leistungsdispositionen gemeint,
die ebenfalls Fähigkeiten, Fertigkeiten, Kenntnisse und Verhaltenseigenschaften umfassen, aber sich
auf das Bewältigen von Anforderungen in speziellen mathematischen Inhaltsbereichen beziehen.
Diese Kompetenzen werden hinsichtlich der Erwartungen am Ende der Orientierungsstufe in dieser
Broschüre jeweils zu Beginn der Stoffverteilungsvorschläge aufgeführt.
Die folgende Zusammenstellung allgemeiner Kompetenzen bezieht sich auf die Bildungsstandards der
1
KMK für den Mittleren Schulabschluss und für den Hauptschulabschluss sowie auf die fachübergreifenden Linienführungen im Rahmenplan für die Orientierungsstufe. Es werden Konkretisierungen der
Kompetenzen aus den Bildungsstandards angegeben, die am Ende der Orientierungsstufe erreicht
werden sollen.
Argumentieren, Begründen und Beweisen
Die Schülerinnen und Schüler
– sind daran gewöhnt, nach Argumenten oder Begründungen für die Wahrheit von Aussagen zu
suchen,
– sind in der Lage, einfache Aussagen zu begründen, indem sie bekannte Begriffe, Regeln oder
Sätze anwenden,
– können zu bekannten Sachverhalten die Wahrheit von Existenzaussagen durch die Angabe eines
Beispiels und die Falschheit von Allaussagen durch die Angabe eines Gegenbeispiels begründen.
Erläuterungen:
Mit einem Argument soll eine Person von der Richtigkeit einer Aussage überzeugt werden. Aus dem
Argument muss die Aussage nicht logisch exakt oder vollständig abgeleitet werden können. So sind
z. B. Messergebnisse auch im Mathematikunterricht für die Schüler überzeugende Argumente.
Mit einer Begründung wird die Richtigkeit einer einzelnen Aussage durch einen deduktiven Schluss
vollständig gesichert.
Ein Beweis ist eine lückenlose Kette von Begründungen für einen mathematischen Satz.
Lösen von Problemen
Die Schülerinnen und Schüler
– kennen eine allgemeine Schrittfolge zur Bewältigung eines auftretenden Problems, die aus folgenden vier Schritten besteht:
1. Erfassen und Analysieren des Problems
2. Suchen nach Lösungsideen und Aufstellen eines Lösungsplans
3. Ausführen des Planes
4. Kontrolle des Lösungsweges und Ergebnisses
– sind gewöhnt und befähigt, in allen geeigneten Fällen, insbesondere beim Lösen von Sachaufgaben informative Figuren (Skizzen) oder Tabellen anzufertigen,
– können das Probieren bzw. Betrachten von Beispielen und das Zurückführen auf Bekanntes als
heuristische Verfahren zum Suchen nach Lösungsideen nutzen.
Erläuterungen:
Ein Problem entsteht für einen Schüler, wenn er eine mathematische Aufgabenstellung nicht unmittelbar lösen kann. Ein Problem existiert also nicht an sich, sondern immer nur in Bezug auf die Schüler,
1
In Mecklenburg-Vorpommern entspricht dies der Mittleren Reife bzw. der Berufsreife.
6
1 Allgemeine Kompetenzen am Ende der Klassenstufe 6
die es lösen sollen. Die Befähigung zum Problemlösen umfasst deshalb auch die Bewältigung einfacher Aufgaben durch leistungsschwächere Schüler, wenn diese nicht sofort eine Lösung finden. Unter
einer Lösung werden der Lösungsweg und das Ergebnis verstanden.
Modellieren
Die Schülerinnen und Schüler
– können zu wichtigen mathematischen Begriffen Beispiele aus ihrer Erfahrungswelt angeben und
unterschiedliche Bedeutungen der Wörter erläutern,
– können bestimmte Sachzusammenhänge mit Rechenoperationen beschreiben,
– können verständnisvoll mit Näherungswerten umgehen.
Kommunizieren
Die Schülerinnen und Schüler
– können wichtige Begriffe, Sätze und Verfahren an Beispielen erläutern,
– können einfache mathematische Lehrtexte verstehen und mit eigenen Worten wiedergeben,
– sind daran gewöhnt, Antworten möglichst in vollständigen Sätzen zu geben,
– sind bei sicher zu beherrschenden Begriffen in der Lage, die mathematische Bedeutung mit umgangssprachlichen Bedeutungen zu vergleichen,
– sind daran gewöhnt, auf Äußerungen anderer Schüler einzugehen.
Darstellen und Kontrollieren
Die Schülerinnen und Schüler
– sind daran gewöhnt, die Lösungen von Aufgaben sauber, übersichtlich und in der entsprechenden
mathematischen Form darzustellen,
– sind daran gewöhnt, ihre eigenen Ergebnisse, die Ergebnisse der Mitschüler sowie die Darlegungen des Lehrers auf Richtigkeit zu überprüfen und verwenden dazu geeignete Möglichkeiten.
Strukturierung der Ziele
In den Klassen 5 und 6 ist eine große Anzahl inhaltsbezogener mathematischer Kompetenzen zu
realisieren. Fast alle wesentlichen Linienführungen des Rahmenplans beginnen in diesen Klassenstufen und es werden damit entscheidende Grundlagen für den folgenden Unterricht gelegt. Angesichts der zur Verfügung stehenden Unterrichtszeit und der Fülle der Ziele können diese nicht alle auf
dem gleichen Niveau realisiert werden. Für eine entsprechende Schwerpunktsetzung im Unterricht hat
es sich als sinnvoll erwiesen, drei Aneignungsniveaus zu unterscheiden.
Niveau 1: Sicheres Wissen und Können
Die Schüler beherrschen das Wissen und Können jederzeit auch nach der Schule ohne eine spezielle
Reaktivierung. Die Anforderungen sollten der Hauptgegenstand täglicher Übungen sowie unvorbereiteter Leistungsüberprüfungen sein.
Niveau 2: Reaktivierbares Wissen und Können
Die Schüler beherrschen das betreffende Wissen und Können sicher am Ende eines Stoffgebiets.
Nach einem gewissen Zeitraum ist jedoch z. B. zur Vorbereitung auf eine zentrale Leistungsüberprüfung eine Wiederholung und Reaktivierung des Wissens und Könnens erforderlich, bei der der schon
einmal vorhandene Beherrschungsgrad wieder erreichbar ist.
Niveau 3: Exemplarisches Wissen und Können
Die Schüler haben erste Einsichten, Vorstellungen bzw. Fähigkeiten hinsichtlich des betreffenden
Inhalts des Unterrichts. Sie können z. B. einfache Beispiele angeben, einige wichtige Merkmale nennen oder Gedanken zu einer Vorgehensweise äußern. Die Vermittlung der entsprechenden Unterrichtsinhalte sollte in der Regel nur exemplarisch erfolgen. Die Anforderungen sollten kein Gegenstand von Leistungsüberprüfungen sein.
Die Ausweisung des bei den einzelnen Kompetenzen zu erreichenden Niveaus ist ein schwieriges,
erst längerfristig und zentral zu lösendes Problem. Die Bildungsstandards wurden zunächst als Regelstandards formuliert, die in etwa dem Niveau 2 entsprechen. In Mecklenburg-Vorpommern wurden
bereits Standpunkte für inhaltsbezogene Kompetenzen, die auf dem Niveau des sicheren Wissens
und Könnens zu erreichen sind, für das Arbeiten mit Größen und das geometrische Können erarbeitet
und in Form von Broschüren an alle Schulen verteilt. Die entsprechenden Dateien können unter
www.mathe-mv.de herunter geladen werden.
2 Zur Arbeit mit offenen Aufgaben im Mathematikunterricht
2
7
Zur Arbeit mit offenen Aufgaben im Mathematikunterricht
Begriff und Rolle von Aufgaben im Mathematikunterricht
Schüler lernen nur durch eigene geistige Tätigkeit, die im Mathematikunterricht vor allem durch Aufgaben angeregt wird. Deshalb spielen Aufgaben zu Recht eine zentrale Rolle bei allen Betrachtungen
zum Mathematikunterricht.
Eine mathematische Schüleraufgabe ist eine mündliche oder schriftliche Aufforderung an Schüler zum
Ausführen von Handlungen, die mathematisches Wissen und Können zur Vervollständigung mathematischer Zusammenhänge erfordern. Die Aufgabe (bzw. synonym Aufgabenstellung) beinhaltet die
Angabe von bestimmten Ausgangsbedingungen und einem Ziel. Jeder Aufgabe können mögliche
Lösungswege und das Ergebnis bzw. die Ergebnisse der Aufgabe zugeordnet werden.
Eine einzelne Aufgabe kann nicht für sich betrachtet werden („Das ist aber eine schöne Aufgabe!“).
Ihre Wirksamkeit für den Lernprozess der Schüler ergibt sich nicht nur aus ihrem mathematischen
Gehalt oder einer schönen Verpackung, sondern hängt in erster Linie davon ab, an welcher Stelle sie
im Lernprozess eingesetzt wird, d. h. was vorher und hinterher im Unterricht passiert und davon, wie
die Schüler diese Aufgabe bearbeiten. Aufgaben sind also kein Selbstzweck, eine Menge von schönen und interessanten Aufgaben ergibt noch keinen guten Unterricht. Entscheidend sind die mit der
Aufgabe verfolgten Ziele.
Unter einem Ziel des Unterrichts verstehen wir in diesem Zusammenhang nicht solche allgemeinen
Aufgabenstellungen wie Lebensvorbereitung oder Entwicklung von Sach- und Methodenkompetenzen
oder auch solche Ziele, die die Schaffung von Voraussetzungen des Lernens betreffen, wie das Ziel,
dass alle Schüler motiviert sind und sich aktiv am Unterrichtsgeschehen beteiligen.
Ein Ziel im engeren Sinne ist die Ausbildung bzw. weitere Ausprägung bestimmter psychischer Dispositionen eines Schülers. Psychische Dispositionen sind Kenntnisse, Fähigkeiten, Fertigkeiten, Einstellungen, Gewohnheiten, Charaktereigenschaften u. a. Als Oberbegriff für könnensorientierte Dispositionen hat sich heute die Bezeichnung „Kompetenz“ etabliert, die außer einer reinen Angabe der Dispositionen auch noch einen bestimmten Grad der Aneignung intendiert. Der Kompetenzbegriff soll auf
die möglichst unmittelbare Verfügbarkeit der Dispositionen orientieren. Die Verfügbarkeit stellt allerdings nur einen Qualitätsparameter von psychischen Dispositionen dar und es ist sehr praxisfern,
diese Qualität bei allen Zielen erreichen zu wollen. Wir plädieren deshalb für eine Unterscheidung von
3 Ausprägungsgraden der Verfügbarkeit (s. S. 6).
Die Betrachtung mathematischer Schüleraufgaben führt somit zur Frage nach der Funktion dieser
Aufgabe im Lernprozess einer bestimmten Schülerpopulation, d. h. zur Frage, welchen Beitrag die
Anforderungen der Aufgabe und damit verbundene mögliche Schülertätigkeiten zur Entwicklung bestimmter psychischer Dispositionen der Schüler leisten können.
Von Pädagogen werden die Begriffe Aufgabe und Problem oft als Gegensatz definiert. Sie sprechen
von einer Aufgabe, wenn ein Zielzustand klar definiert ist, die erforderlichen Schritte zu seiner Erreichung bekannt sind und keine Barriere existiert. Eine Aufgabe soll dann als Problem bezeichnet wer2
den, wenn sie nicht im ersten Zugriff unter Nutzung einer eingeübten Routine gelöst werden kann.
Diese Betrachtungsweise ignoriert den üblichen Sprachgebrauch sowie die Tatsache, dass von einem
Problem immer nur in Bezug auf einen Schüler gesprochen werden kann. Das Bilden der 1. Ableitung
der Funktion f(x) = x² ist für einen Schüler der 5. Klasse ein unlösbares Problem, während es für einen
Abiturienten kein Problem sein dürfte. Aber auch in einer 5. Klasse kann dieselbe Aufgabe für einige
Schüler ein großes und für anderen gar kein Problem sein. Deshalb sollte der Begriff Aufgabe im obigen Sinne allgemein als Aufforderung an Schüler verwendet werden, unabhängig davon, ob die Aufgabenstellung eindeutig ist, wie viele Lösungswege und Lösungen existieren oder ob die Schüler damit sofort zurecht kommen bzw. erst Barrieren überwinden müssen.
2
Landesinstitut für Schule und Ausbildung Mecklenburg-Vorpommern (L.I.S.A.); Dr. Gabriele Lehmann: Glossar ausgewählte pädagogische Begriffe, 2006
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2 Zur Arbeit mit offenen Aufgaben im Mathematikunterricht
Offene und geschlossene Aufgaben im Mathematikunterricht
Die Betrachtung von Ausgangsbedingungen, Lösungswegen und Ergebnissen und die Sicht auf den
die Aufgabe lösenden Schüler führen zum Begriff der offenen Aufgabe.
Sind für einen Schüler die Ausgangsbedingungen einer Aufgabe nicht vollständig, sind für ihn mehrere
Lösungswege möglich und/oder kann er zu mehreren Ergebnissen kommen, so spricht man von einer
offenen Aufgabe bezüglich des jeweiligen Schülers.
Eine Aufgabe ist für einen Schüler demzufolge nicht offen, d. h. geschlossen, wenn für ihn die Ausgangsbedingungen und die Fragestellung vollständig und eindeutig sind sowie nur ein Lösungsweg
und nur ein Ergebnis möglich sind.
Beispiel 1: Berechne für ein Quadrat mit der Seitenlänge a = 5 cm den Flächeninhalt
A in Quadratzentimetern mithilfe der Flächeninhaltsformel für Quadrate.
Die Aufgabenstellung weist auf das im Unterricht trainierte Verfahren hin und grenzt
andere Techniken wie das Auszählen des Flächeninhalts in einer zeichnerischen Darstellung oder die Interpretation des Quadrates als ein Spezialfall des Rechtecks aus.
Für einen Schüler ist nach Behandlung der Flächeninhaltsformeln für Quadrate diese
Aufgabe geschlossen.
Die Offenheit einer Aufgabe wird u. a. durch das Vorhandensein alternativer Lösungsmöglichkeiten
bestimmt. Nur wenn diese dem Schüler bewusst sind und sie von ihm genutzt werden können, ist
diese Aufgabe für den Schüler offen. Das folgende Beispiel verdeutliche dies.
Beispiel 2: Berechne den Flächeninhalt des abgebildeten Rechtecks.
Ein Schüler der Orientierungsstufe wird die Länge
der Seiten in der Regel durch Messen bestimmen,
damit er die Seitenlängen miteinander multiplizieren
kann. Wenn er im Unterricht noch keine Fähigkeiten
im Zerlegen und Ergänzen von Figuren erworben
hat, ist die Aufgabe ist für ihn geschlossen. Ansonsten könnte er den Inhalt auch ohne Messung durch
eine geschickte Zerlegung in rechtwinklige Dreiecke
bzw. Ergänzung zu einem Rechteck bestimmen.
7
Zum Abschluss der Sekundarstufe I kann der Schüler die Seitenlängen mit dem Satz des Pythagoras
rechnerisch bestimmen, während einem Schüler der
Sekundarstufe II weitere Möglichkeiten zur Flächeninhaltsberechnung offen stehen.
1
6
5
4
3
2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
1LE = 1 cm
Bereits an einfachen Beispielen wie der Aufgabe 3 · 4 = 12 lässt sich zeigen, dass im Grunde jede
mathematische Aufgabe potentiell offen ist – zumindest in Bezug auf den Lösungsweg. Ob die Aufgabe für den Schüler tatsächlich offen ist, hängt von mehreren Faktoren ab:
•
Mangels entsprechender Kenntnisse und Fähigkeiten der Schüler – bedingt durch den Entwicklungsstand der Schüler oder die Zahl der im Unterricht vermittelten Verfahren – können
alternative Lösungswege und Ergebnisse nicht gefunden werden.
•
Bei der Kontrolle von Lösungen im Unterricht wird ausschließlich der favorisierte Lösungsweg
besprochen oder ein Ergebnis genannt. Damit gelangen die Schüler sukzessive zu der irreführenden Anschauung, dass mathematische Aufgaben stets eindeutig lösbar seien.
•
Die Bearbeitung bestimmter Aufgabentypen ist soweit automatisiert worden, dass andere Lösungsansätze nicht mehr verfolgt werden. Das ist beispielsweise beim kleinen Einmaleins so.
Dieser Vorgang ist ein wichtiger und nützlicher Bestandteil des Lernprozesses und dient der
Entwicklung einer rationellen Arbeitsweise.
•
Durch eine eingrenzende Formulierung der Aufgabenstellung werden alternative Lösungswege und Ergebnisse unterbunden.
2 Zur Arbeit mit offenen Aufgaben im Mathematikunterricht
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Formen offener Aufgaben
Es gibt verschiedene Formen offener Aufgaben, die sich auch durch einen unterschiedlichen Grad der
Öffnung unterscheiden.
Aufgaben mit unvollständigen Ausgangsbedingungen und fehlender Fragestellung
Bei diesem Typ offener Aufgaben sind die Ausgangsbedingungen soweit reduziert, dass die Schüler
selbst fehlende Vorgaben vervollständigen müssen, nötigenfalls durch das Treffen von Annahmen. Zu
dieser Form gehört auch die Formulierung eigener Aufgabenstellungen durch die Schüler.
Beispiel 3: Für eine Urlaubsreise plant Familie Krajewski 380 € Benzinkosten, 970 €
für die Unterkunft, 400 € für die Verpflegung und 270 € für Ausflüge. In der
Urlaubskasse sind 1800 €.
Die Aufgabe wurde von einem Lehrer in einer Klassenarbeit in einer 5. Klasse gestellt.
Zu seinem Erstaunen gab es in der Arbeit keine Nachfragen, was denn eigentlich gesucht ist und 19 der 27 Schüler kamen nach richtigen Rechnungen zu Antworten wie
„Sie brauchen mehr Geld“, „Sie müssen noch sparen“, „Sie können nicht fahren“ oder
„Sie müssen die Ausflüge weglassen“.
Aufgaben mit verschiedenen Lösungswegen
Aufgaben dieser Kategorie besitzen klar definierte Ausgangsbedingungen und eine eindeutige Lösung, die jedoch mittels verschiedener Verfahren ermittelt werden kann.
Beispiel 4: Löse die Gleichung 15 – 2 · x = 5.
Wie jede Gleichung lässt sich auch diese durch inhaltliche Überlegungen lösen, die bereits ab Klasse 5 möglich sind oder ab Klasse 8 auch durch formale Umformungen. Inhaltliche Lösungsmöglichkeiten sind: Probieren mit geeigneten Zahlen, Zerlegen der
Zahl 5 in eine Differenz aus 15 und einer Zahl, Umkehren der Rechnung oder Veran3
schaulichen auf der Zahlengeraden.
Aufgaben mit mehreren Ergebnissen von unterschiedlicher Qualität – polyvalente Aufgaben
Aufgaben, deren Lösung mehrere Arten von Ergebnissen beinhaltet oder deren Lösungsmenge nicht
vom Schüler überblickt werden kann, bilden einen weiteren Typ offener Aufgaben.
4
Unter diesen Aufgaben gibt es einen speziellen Typ, den wir als polyvalente Aufgaben bezeichnen.
Eine Aufgabe heißt polyvalent für eine Schülergruppe, wenn sie folgende Merkmale besitzt:
(1) Jeder der Schüler findet mit hoher Wahrscheinlichkeit eine zutreffende Antwort.
(2) Die Aufgabe ermöglicht Schülerantworten unterschiedlicher Qualität.
Das höhere Niveau einer Antwort kann sich zeigen in der Anzahl der gefundenen Antworten, in dem
höheren Schwierigkeitsgrad einer gefundenen Antwort, in der Suche nach Spezialfällen und Strukturen (Systematisierungen, Fallunterscheidungen, Mustern) oder in dem Streben nach Verallgemeinerungen von gefundenen Antworten.
Diese Aufgaben sollen also von allen Schülern einer Klasse weder als zu schwer noch als zu leicht
empfunden werden, so dass möglichst viele Schüler mit der selbstständigen Bearbeitung der Aufgabe
beginnen. Diese Aufgaben ermöglichen eine implizite innere Differenzierung im frontalen Unterricht
und sind nicht an Formen der expliziten Aufgabendifferenzierung oder der Gruppenarbeit gebunden.
Es ist Anliegen dieser Broschüre, dass die vorgeschlagenen offenen Aufgaben möglichst einen polyvalenten Charakter haben. Die nach unseren
bisherigen Erfahrungen und Einschätzungen zu dieser Gruppe gehörenden
Aufgaben sind im Folgenden durch das nebenstehend abgebildete Symbol
gekennzeichnet.
3
alent
poly
Diese Aufgabe wurde in einer Vergleichsarbeit in den 7. Klassen aller Haupt- und Realschulen in MV gestellt
und nur von 20 % der Schüler richtig gelöst.
4
Die Anregungen zu diesem Aufgabentyp entnahmen wir aus dem Buch: The open-ended approach: a new proposal for teaching mathematics/edited by Jerry P. Becker, Shigeru Shimada. – National Council of Teachers of
Mathematics, Reston, 1997. Für “open-ended approach” fanden wir keine geeignete Übersetzung.
10
2 Zur Arbeit mit offenen Aufgaben im Mathematikunterricht
Beispiel 5: Zeichne verschiedene Parallelogramme.
Jeder Schüler einer 6. Klasse sollte mit seinen Zeichengeräten mindestens zwei Parallelogramme mit unterschiedlichen Seitenlängen und Winkelgrößen zeichnen können
und so zu einer vollwertigen Lösung der Aufgabe kommen. Einige Schüler können auf
die Idee kommen, auch Rechtecke oder Quadrate als Lösung anzugeben oder die Lage zu variieren (eine Kante nicht parallel zur Heftkante, α als stumpfer Winkel). Je interessierter und kreativer die Schüler sind, umso mehr Möglichkeiten werden sie finden.
Generelle Probleme der Entwicklung von polyvalenten Aufgaben
Es gibt bisher wenig erprobte Aufgaben, die im oben definierten Sinne polyvalent sind. Ein Hauptanliegen dieser Broschüre ist es, Vorschläge zur Konstruktion solcher Aufgaben zu unterbreiten und für
die einzelnen Themen der Jahrgangsstufen 5 und 6 von uns entwickelte Aufgaben vorzustellen.
Bei der Entwicklung polyvalenter Aufgaben gehen wir zum einen von bekannten Aufgaben aus und
versuchen, sie in unserem Sinne zu „öffnen“. Zu jedem mathematischen Inhalt existiert ein reicher
Fundus von wenig bis gar nicht geöffneten Aufgaben, der als "Rohstoff" für offene Aufgaben dienen
kann. Wenn im Folgenden von der "Öffnung einer Aufgabe" die Rede ist, bedeutet das die Erhöhung
des Grades der Offenheit einer wenig oder nicht geöffneten mathematischen Aufgabe. Vielfach führen
dabei Techniken wie die Umkehrung des Problems, die Variation von Daten oder Fragestellungen
oder das Weglassen oder Anreichern von Ausgangsgrößen zu geeigneten offenen Aufgaben.
Weiterhin wollen wir an Beispielen Möglichkeiten zur Neukonstruktion polyvalenter Aufgaben darstellen. Dazu gehen wir von den Bestandteilen und der Struktur der durch die Schüler anzueignenden
Wissens- uns Könnensziele aus und betrachten als Hauptgruppen von Aneignungsprozessen die
Entwicklung von Fertigkeiten, die Aneignung von Kenntnissen zu Begriffen und Zusammenhängen
und die Entwicklung von Problemlösefähigkeiten.
Beim Einsatz polyvalenter Aufgaben entsteht – wie in der Regel bei allen offenen Aufgaben – ein nicht
unerheblicher Zeitbedarf. Diese Aufgaben sollten deshalb vor allem an wesentlichen Kontenpunkten
bei der Aneignung von mathematischem Wissen und Können eingesetzt werden. Das entscheidende
Kriterium für ihren Einsatz ist ihre Wirkung auf zentrale Aneignungsprozesse bei möglichst vielen
Schülern. Zu berücksichtigen sind dabei auch die bisherigen Erfahrungen und Traditionen im Umgang
mit Aufgaben – bis hin zu den üblichen Anforderungen in Leistungsüberprüfungen.
Zur Öffnung und Konstruktion polyvalenter Aufgaben für wichtige Aneignungsprozesse
Im Mathematikunterricht geht es aus fachspezifischer Sicht vor allem um die Aneignung mathematischer Begriffe, mathematischer Zusammenhänge (Sätze) und mathematischer Verfahren und Regeln;
das Entwickeln mathematischer Denk- und Arbeitsweisen sowie um die Entwicklung bestimmter Fähigkeiten wie z.B. des räumlichen Vorstellungsvermögens oder des Abstraktionsvermögens.
Zur Entwicklung von Fertigkeiten
In Übungsstunden zur Entwicklung von Fertigkeiten sollten zur vollständigen Ausbildung der entsprechenden Handlungen folgende Aufgabentypen verwendet werden.
(1) Variation der sprachlichen Formulierungen und der Bezeichnungen
(2) Umkehraufgaben
(3) Spezial- und Extremfälle
(4) Aufgaben, die nicht mit dem Verfahren lösbar sind
(5) Aufgaben mit verschiedenen Lösungswegen
(6) Bewerten vorgelegter Aufgaben und deren Lösung
(7) Aufgabenstellungen zum Selbstbilden von Aufgaben durch Schüler
Davon sind die Typen (2), (5) und (7) oft Aufgaben mit einem hohen Grad der Offenheit, von denen
einige auch den Charakter polyvalenter Aufgaben haben.
2 Zur Arbeit mit offenen Aufgaben im Mathematikunterricht
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Begriff und Konstruktion von Umkehraufgaben
Zu einer Aufgabe erhält man eine Umkehraufgabe, wenn das Gesuchte mit dem Gegebenen bzw.
Teilen des Gegebenen der Aufgabe vertauscht wird. Umkehraufgaben dienen der Ausbildung der
Reversibilität der Handlung.
Beispiel 6: Zerlege die Zahl 12 in ein Produkt aus zwei Faktoren.
Dies ist eine Umkehraufgabe zu der Aufgabe "Wie viel ist 3 · 4?" Solche Aufgaben sind
für die Entwicklung von sicheren Rechenfertigkeiten unverzichtbar. Die Aufgabe ist polyvalent, da sie verschiedene Lösungen besitzt, jeder Schüler eine Antwort finden sollte und einige Schüler zur Suche nach allen Möglichkeiten anregen kann.
Der gleiche Aufgabentyp kann bei allen Rechenoperationen und für alle Zahlenbereiche eingesetzt
werden. Der Grad der Offenheit der Aufgabe und damit die zu erwartende Qualität einiger Schülerantworten kann durch folgende Variation der Aufgabenstellung weiter erhöht werden. "Finde möglichst
viele Multiplikationsaufgaben, deren Ergebnis 12 ist." Damit wird die Beschränkung auf 2 Faktoren
aufgehoben und es wird ein systematisches Vorgehen zum Finden von Lösungen angeregt. Pfiffige
Schüler werden erkennen, dass es durch den Faktor 1 schon im Bereich der natürlichen Zahlen unendlich viele Aufgaben gibt.
Das folgende Beispiel ist eine Umkehraufgabe der Standardaufgabe im Ablesen von Werten aus beschrifteten Skalen. Fertigkeiten im Ablesen von Skalen sind insbesondere für naturwissenschaftliche
Unterrichtsfächer eine wichtige Vorleistung des Mathematikunterrichts, mit deren Entwicklung in Klasse 5 begonnen werden sollte.
Beispiel 7: Beschrifte die übrigen Markierungen der Skalen. Finde verschiedene
Möglichkeiten.
a)
b)
10
20
Die unterschiedliche Qualität der Antworten zeigt sich in der Anzahl der gefundenen
Möglichkeiten, in der Verwendung von negativen Zahlen und in Überlegungen zur maximalen Zahl der Möglichkeiten.
Zu Aufgaben mit verschiedenen Lösungswegen
Aufgaben mit verschiedenen Lösungswegen können insbesondere der Integration der Verfahrenskenntnisse und der Ausprägung des Wechselverhältnisses von inhaltlichen und formalen Vorgehensweisen dienen.
Beispiel 8:
Finde verschiedene Begründungen für die Richtigkeit der folgenden
1 3
1
Gleichung: + = 1 .
2 4
4
Mit dieser Aufgabe können in der Klasse 6 zum einen die Kenntnisse zum Rechnen
mit Brüchen und die inhaltlichen Vorstellungen zu Brüchen und zur Addition gefestigt
werden. Es können auch zielgerichtet Fähigkeiten im Argumentieren und Begründen
entwickelt werden. Antworten sind durch Arbeiten mit Größen (Zeit, Volumen), Gegenständen, Zeichnungen oder auf formaler Ebene möglich.
Aufgaben zur Begründungen von mathematischen Zusammenhängen sind stets polyvalente Aufgaben, da sie mehrere Antworten unterschiedlicher Qualität erlauben. Sie können neben der Festigung
der betreffenden Zusammenhänge insbesondere auch zur Entwicklung von Fähigkeiten im Argumentieren und Verallgemeinern sowie der sprachlich-logischen Schulung dienen.
Zum Selbstbilden von Aufgaben durch Schüler
Eine wichtige Grundlage für die Entwicklung einer Fertigkeit in der Anwendung eines Verfahrens ist
die Aneignung der Einsatzbedingungen des Verfahrens. Vor dem Lösen einer entsprechenden Aufgabe sollte sich ein Schüler stets fragen: „Worum geht es in der Aufgabe“, um so den Typ zu erkennen.
Das Selbstbilden einer Aufgabe eines gegeben Typs ist eine dazu inverse Handlung und somit auch
ein Typ von Umkehraufgaben.
12
2 Zur Arbeit mit offenen Aufgaben im Mathematikunterricht
Beispiel 9:
Stelle deinem Banknachbarn unterschiedliche Aufgaben zur Addition
zweier Brüche und korrigiere seine Lösungen.
Bei dieser polyvalenten Aufgabe muss der Schüler den Typ „Addition zweier Brüche“
und die verschiedenen Möglichkeiten zum Bilden eines Hauptnenners realisieren.
5
Aneignung von Kenntnissen zu Begriffen
Bei der Aneignung von Begriffen geht es um die Einordnung neuer Merkmale in so genannte semantische Netze im Kopf der Schüler. Diese sind ein Modell für die vielfältigen Begriffsbeziehungen im Gedächtnis. Begriffe können Objekte, Eigenschaften, Operationen und Relationen bezeichnen.
Die grundlegenden Handlungen zur Aneignung von Begriffen sind das Identifizieren und Realisieren
von Begriffen. Beim Identifizieren geht es darum zu erkennen, ob vorgelegte Objekte Repräsentanten
des Begriffs sind oder nicht. Das Anforderungsniveau der Aufgaben wird erhöht, wenn gleichzeitig
mehrere Objekte und mehrere Begriffe in Beziehung gesetzt werden sollen. Eine typische Formulierung für polyvalente Aufgaben ist: „Vergleiche die Objekte miteinander, finde gemeinsame und unterschiedliche Eigenschaften.“ Mit dieser Aufgabenstellung werden insbesondere auch allgemein geistige Fähigkeiten der Schüler angesprochen und entwickelt.
Das folgende Beispiel zeigt Möglichkeiten der Öffnung einer geschlossenen Aufgabe für die Aneignung des Operationsbegriffs Quersumme in verschiedenen Aneignungsphasen.
Die geschlossene Grundaufgabe lautet:
Beispiel 10:
Bestimme die Quersumme der Zahlen 102, 111, 120, 210, 201 und
300!
Das Ziel dieser Aufgabe ist die Festigung des Begriffs Quersumme und des Verfahrens zur Berechnung der Quersumme einer Zahl. Die Aufgabe ist geschlossen, da Ergebnis und Lösungsweg eindeutig sind.
Mit der folgenden Öffnung der Aufgabe kann der Begriff Quersumme erarbeitet werden.
Beispiel 10a: Gegeben sind die Zahlen 102; 111; 120; 210; 201 und 300.
Finde gemeinsame Merkmale dieser Zahlen!
Hier wurde die Technik des Weglassens benutzt, um die Aufgabe zu öffnen. Das Weglassen einer Angabe aus der Aufgabenstellung (hier: Bestimmen der Quersumme) erlaubt jetzt Schülerantworten mit unterschiedlichem Anspruchsniveau wie etwa:
Alle Zahlen sind dreistellig.
Die Zahlen sind größer als 100 und kleiner oder gleich 300.
In allen Zahlen kommen nur die Ziffern 0,1,2 oder 3 vor.
Die Ziffern 2 und 3 kommen höchstens einmal vor, die 0 und die 1 öfter.
Die Summe der Ziffern ist bei allen Zahlen stets 3.
Alle Zahlen kann man durch 3 teilen.
Zur Festigung des Begriffes kann eine Umkehraufgabe gebildet werden, so dass die Schüler Zahlen
finden müssen, um eine gewisse Quersumme herzustellen.
Beispiel 10b:
Finde dreistellige Zahlen, deren Quersumme 3 beträgt.
Es gibt nur 6 mögliche Lösungen. Die Qualität unterschiedlicher Antworten ergibt sich
einerseits aus der Zahl der gefundenen richtigen Lösungen und andererseits aus dem
Grad der Abstraktheit weiterführender Fragestellungen. (z. B. “Sind das alle Möglichkeiten? Wie viele Möglichkeiten gibt es bei der Quersumme 4? ...)
Die Aufgabe ist also ebenso wie 10a polyvalent.
Die Öffnung der Aufgabe kann auch durch das Hinzufügen von Bedingungen erfolgen. Soll der Begriff
Quersumme mit anderen Begriffen vernetzt werden, kann die geschlossene Aufgabe z.B. so geöffnet
werden:
5
"Aneignung" umfasst sowohl die Erstvermittlung als auch die Festigung.
2 Zur Arbeit mit offenen Aufgaben im Mathematikunterricht
13
Beispiel 10c:
Denke dir eine Zahl, die größer als 10 und kleiner als 1000 ist.
Für jede Aussage, die auf deine Zahl zutrifft, erhältst du einen Punkt.
− Sie ist mehr als zweistellig.
− Alle Ziffern der Zahl sind Primzahlen.
− Sie ist ein Vielfaches von 4.
− Sie enthält eine ungerade Ziffer.
− Es ist eine gerade Zahl.
− Es ist eine Quadratzahl.
− Die Quersumme ist 3.
− Die Ziffern werden von links nach
rechts größer.
− Sie ist kleiner als 400.
Suche nach einer Zahl, auf die möglichst viele Aussagen zutreffen.
Die Schüler sollten schrittweise daran gewöhnt werden, weiterführende Aufgabenstellungen selbstständig zu entwickeln. Damit demonstrieren sie ein höheres Verständnis des Sachverhalts. Ein tieferes Nachdenken über die Aufgabe kann sich beispielsweise im Entstehen der Frage zeigen, ob es
möglich sein kann, dass eine Zahl alle Bedingungen erfüllen kann bzw. wie viele Bedingungen höchstens gleichzeitig erfüllbar sind.
Im folgenden Beispiel wird eine offene Aufgabe gezeigt, die konstruiert wurde, um in Klasse 5 eine
Festigung (Vernetzung) der Begriffe Potenz, Zehnerpotenz, Quadratzahl, Basis und Exponent zu erreichen. Die Schüler sollen Objekte identifizieren und Beziehungen zwischen ihnen herstellen. Deshalb müssen die gemeinsamen und unterschiedlichen Merkmale der Begriffe auftreten und so variiert
werden, dass sie bei einem Vergleich von je zwei Objekten in unterschiedlichen Varianten hervortreten.
Es werden also Potenzen angeboten, deren Basen 2 (zur Unterscheidung von Quadratzahl), 10 (Zehnerpotenz) oder einer beliebigen anderen Zahl (Potenz) entsprechen. Bei den Exponenten müssen
die 2 (Quadratzahl) und zur Unterscheidung andere beliebige Zahlen auftreten. Es sollten (um den
Unterschied von Basis und Exponent zu provozieren) auch Zahlen auftreten, die bereits als Basis
verwendet wurden.
Beispiel 11: Vergleiche jeweils zwei der folgenden Ausdrücke miteinander.
Finde Gemeinsamkeiten und Unterschiede.
2
(1) 3
3
(2) 10
10
2
(3) 5
2
(4) 10
(5) 2
Aneignung von Zusammenhängen
Unter der Aneignung von Zusammenhängen wird die Entwicklung von Kenntnissen über mathematische Sätze, insbesondere auch von Formeln verstanden.
Den Schülern können z. B. bestimmte Konfigurationen vorgegeben werden und sie haben die Aufgabe, in diesen Konfigurationen möglichst viele Zusammenhänge zu erkennen. Die unterschiedliche
Qualität der Ergebnisse zeigt sich in der Anzahl und dem Anspruchsniveau der gefundenen Zusammenhänge.
Die Offenheit der Aufgabe 12 entsteht durch die Offenheit des Ziels. Es sind mehrere geometrische
Objekte (Parallelogramm, Dreiecke, Winkel an geschnittenen Parallelen,…) vorhanden und es können
eine Vielzahl von Zusammenhängen auf unterschiedlichem Niveau gefunden werden.
Beispiel 12:
F
ABCD ist ein Parallelogramm, DF ist die
Verlängerung der Seite AD . BF ist die Winkelhalbierende des Winkels ABC.
Finde Beziehungen zwischen den Winkeln
und Strecken in der Figur.
D
A
E
C
B
Diese Aufgabe dient der Festigung der Winkelsätze an geschnittenen Geraden sowie Parallelen und
des Basiswinkelsatzes durch selbständiges Identifizieren von Beziehungen in der Figur. Es lassen
sich zahlreiche Eigenschaften in der Figur erkennen bis hin zur Feststellung, dass DF = AB − BC ist.
14
2 Zur Arbeit mit offenen Aufgaben im Mathematikunterricht
Entwicklung von Problemlösefähigkeiten
Zur Entwicklung von Fähigkeiten liegen bisher noch die wenigsten abgesicherten Ergebnisse vor,
insbesondere wenn es sich um allgemeine Fähigkeiten handelt. Allgemeine Fähigkeiten wie das Argumentieren, Modellieren oder Abstrahieren können nicht an sich entwickelt werden, sondern nur im
Zusammenhang mit konkreten mathematischen Tätigkeiten. Es ist deshalb auch nicht möglich, die
Entwicklung allgemeiner Fähigkeiten als Grundlage für eine Strukturierung des Unterrichts zu verwenden. Bei jeder Aufgabe werden auch immer mehr oder weniger allgemeine Fähigkeiten gefordert und
damit entwickelt.
In dieser Broschüre beschränken wir uns auf die Entwicklung von Problemlösefähigkeiten im Zusammenhang mit der Lösung von Sachaufgaben als einem zentralen Gegenstand des Unterrichts in der
Orientierungsstufe. Dabei soll es insbesondere um die Entwicklung von Fähigkeiten in der Verwendung der heuristischen Hilfsmittel Skizze und Tabelle gehen.
Für das Lösen von Sachaufgaben wurden zahlreiche unterschiedliche heuristische Orientierungsgrundlagen für Schüler vorgeschlagen. Nach unserer Auffassung ist die folgende gut geeignet. Es
werden nur für die ersten Phasen der Problembearbeitung weitere Orientierungen in Form von Fragen
eines Schülers an sich selbst angegeben.
1. Erfassen des Sachverhaltes
(1) Erfassen der Hauptinformation
Worum geht es in der Aufgabe?
(2) Klären unbekannter Begriffe und Sachverhalte
Verstehe ich alles in dem Text?
(3) Schätzen des Ergebnisses
Wie könnte vermutlich die Antwort sein?
2. Analysieren des Sachverhaltes
(1) Ermitteln des Gesuchten und Gegebenen
Was ist gesucht? Was ist gegeben?
(2) Bezeichnen des Gesuchten und Gegebenen
Wie kann ich das Gesuchte und Gegebene günstig bezeichnen?
(3) Skizzieren des Sachverhaltes
Ist eine Skizze möglich?
• Welche Situationen müsste ich skizzieren?
• Welche Beziehungen kann ich erkennen?
(4) Anfertigen einer Tabelle
Kann ich die gesuchten und gegebenen Größen in einer Tabelle erfassen?
• Wofür benötige ich Zeilen? (Welche Objekte treten auf?)
• Wofür benötige ich Spalten? (Zu welchen Eigenschaften der Objekte gibt es Aussagen?)
• Welche Beziehungen innerhalb der Zeilen und Spalten erkenne ich?
3. Suchen nach Lösungsideen und Planen eines Lösungsweges
4. Durchführen des Lösungsplanes
5. Kontrolle und Auswertung der Lösung und des Lösungsweges
Eine der Hauptursachen für die mangelnden Leistungen der Schüler im Lösen von Sachaufgaben sind
gering ausgebildete Fähigkeiten und Gewohnheiten im Arbeiten mit Skizzen und Tabellen bei der
Analyse des Sachverhaltes.
Beispiel 13: Ein Tunnel soll 3,5 km lang werden. Die Bohrung wird von beiden Seiten begonnen. Nach fünf Monaten ist der eine Bohrtrupp 1,8 km, der
andere 0,7 km vorgedrungen.
Fertige eine Skizze zu dem Sachverhalt an und beschrifte sie.
Zur Anfertigung einer Skizze muss ein Schüler zuvor den Sachverhalt erfasst haben,
d. h. er muss sich ein Tunnel (z. B. durch einen Berg) und die Arbeit eines Bohrtrupps
vorstellen. Es sind verschiedene Skizzen möglich, die einen unterschiedlichen Abstrak6
tionsgrad haben. Eine Strecke mit zwei Unterteilungen ist bereits ausreichend.
6
Die Aufgabe wurde im Rahmen einer Vergleichsarbeit aller 7. Klassen der Haupt- und Realschulen in Mecklenburg-Vorpommern im Schuljahr 1999/2000 gestellt. In einer repräsentativen Stichprobe von 1295 Schülern zeigte
sich, dass nur 34 % der Schüler eine dem Sachverhalt entsprechende Skizze angefertigt haben.
2 Zur Arbeit mit offenen Aufgaben im Mathematikunterricht
15
Unterrichten mit polyvalenten Aufgaben
Vorteile des Einsatzes offener Aufgaben
Das Öffnen von Aufgaben sollte nicht dazu dienen, ihren Schwierigkeitsgrad zu erhöhen. Vielmehr
können viele Schüler durch die Bearbeitung offener Aufgaben einen veränderten Zugang zur Mathematik erleben. Mathematik wird danach weniger als ein starres System gesehen, bei dem die Lösungen nach genau definierten Algorithmen exakt bestimmt werden müssen. Stattdessen eröffnet sich
den Schülern die Vielfältigkeit mathematisch gültiger Betrachtungen, die es prinzipiell jedem erlauben,
sich der Aufgabe seinen Fähigkeiten entsprechend zu nähern. Durch diesen Ansatz werden nicht die
Wissenslücken der Schüler betont, sondern eine Vielzahl von jeweils korrekten Schülerantworten ermöglicht eine genauso hohe Zahl von Erfolgserlebnissen – gerade bei Schülern, die das bisher im
Mathematikunterricht selten selbst erlebt haben.
Die Mannigfaltigkeit der entstehenden Lösungen für ein und dieselbe Aufgabe erfordert entsprechende didaktische Konzepte zur Sicherung der Ergebnisse. Das Besprechen unterschiedlicher Schülerantworten ist mehr als nur eine Kontrolle auf "Richtigkeit". Die der Aufgabenbearbeitung folgende Diskussion in der Klasse setzt den Lernprozess beim einzelnen Schüler fort. Der Schüler kann die Ideen
seiner Mitschüler nachvollziehen und sich zu eigen machen. Damit dient die Phase der Diskussion der
Lösungen auch dem Entwickeln allgemeiner Fähigkeiten, wie z.B. dem Argumentieren, dem Kommunizieren und dem Verwenden mathematischer Darstellungen.
Offene Aufgaben können trotz dieser Vorzüge weitgehend geschlossene Aufgabenstellungen nicht
ersetzen. Im Gegenteil, die Bearbeitung offener Aufgaben und die Gestaltung eines entsprechenden
offenen Unterrichts setzt die gründliche Beschäftigung mit geschlossenen Aufgaben und weite Strecken eines lehrerzentrierten Unterrichts voraus, um notwendige kognitiven und Verhaltenseigenschaften der Schüler für ein Arbeiten mit offenen Ausgaben auszubilden. Über diese notwendigen Voraussetzungen hinaus müssen die Schüler aber auch an die spezifischen Arbeitsweisen im Umgang mit
offenen Aufgaben und insbesondere mit polyvalenten Aufgaben gewöhnt werden.
Offene Aufgaben finden ihren Platz in verschiedensten Unterrichtsformen. Nahe liegend ist, dass im
Rahmen mathematischer Projekte, im Gruppenunterricht und in anderen freien Arbeitsformen offene
Aufgaben bearbeitet werden können. Darüber hinaus sind offene Aufgaben in besonderem Maße für
binnendifferenziertes Arbeiten in frontalen Unterrichtsphasen geeignet.
Polyvalente Aufgaben im frontalen Unterricht
Das Arbeiten mit polyvalenten Aufgaben in frontalen Unterrichtsformen erfordert zwei Arbeitsphasen.
In der ersten Phase bearbeiten die Schüler die Aufgabenstellung. Hierzu gehören das Erfassen der
Aufgabenstellung, das Entwerfen eines Lösungsplanes, die eigentliche Lösung der Aufgabe und die
Überprüfung der Lösung. Das kann für gewöhnlich in Einzel- oder auch in Partnerarbeit erfolgen.
In der zweiten Arbeitsphase stellen die Schüler ihre Ergebnisse zur Diskussion. Diese Phase erfolgt
durch eine Kommunikation im gesamten Klassenverband. Der Bedeutung dieses Prozesses ist auch
zeitlich Rechnung zu tragen. Dem selbstständigen Bearbeiten der Aufgaben und dem Besprechen der
Lösungen sollte erfahrungsgemäß jeweils die Hälfte der insgesamt geplanten Zeit zur Verfügung stehen.
Gesamtarbeitszeit
50%
50%
Bearbeiten der Aufgabenstellung in Einzel- oder
Partnerarbeit durch die Schüler
Vorstellen und Diskutieren verschiedener
Lösungen in der Klasse durch die Schüler
Wichtig für die zweite Arbeitsphase ist, dass zunächst diejenigen Schüler zum Vorstellen ihrer Ideen
aufgefordert werden sollten, die eine mathematisch weniger anspruchsvolle Lösung erarbeitet haben.
Damit sind nachfolgende Schüler nicht durch eine "perfekte Musterlösung" zum Anfang der Diskussion
gehemmt. So kann eine Vielzahl unterschiedlicher Aufgabenlösungen vorgetragen werden.
Die Aufgabe des Lehrers besteht in beiden Arbeitsphasen darin, Impulse für den Fortgang des Arbeitsprozesses zu geben. In der Bearbeitungsphase sind Fragen zum Verständnis der Aufgabe oder
Hinweise auf verschiedene Lösungsstrategien zu bevorzugen. Gezielte Tipps zu konkreten Lösungen
oder Lösungswegen sind zu vermeiden. In der Diskussionsphase wird von den Schülern erwartet, die
16
2 Zur Arbeit mit offenen Aufgaben im Mathematikunterricht
Ergebnisse vorzustellen und – als Zuhörer – kritisch zu hinterfragen und zu beurteilen. Auch hier sollte
der Lehrer anstreben, die Diskussion nur zu lenken, aber nicht selbst zu bestreiten.
Wege zu offenen Aufgaben im Unterricht
Polyvalente Aufgaben wie auch alle anderen offenen Aufgaben sollen die Freude und das Verständnis
für die Mathematik beim Schüler durch das Schaffen von Erfolgserlebnissen fördern. Der erfolgreiche
Umgang mit offenen Aufgaben im Unterricht bedarf aber einer gewissen Übung seitens der Schüler
und Lehrer. Dieser Entwicklungsprozess – beginnend mit dem Entwickeln von Fähigkeiten im Präsentieren und Diskutieren mathematischer Sacherhalte – führt über das Öffnen der Aufgabenstellung zum
Öffnen des mathematischen Sachverhaltes. Das benötigt Zeit. Sie vermeiden Aversionen der Schüler
offenen Aufgaben gegenüber, wenn Sie sie allmählich an diese Aufgabenform gewöhnen.
Die Diskussionsphase umfasst weit mehr als das pure Nennen von Ergebnissen. Das Darstellen von
Lösungswegen, das Begründen und Argumentieren sind Schülertätigkeiten, die einen festen Platz in
der gesamten Unterrichtskultur haben sollten. Dem Sprechen der Schüler vor der Klasse zu mathematischen Sachverhalten kommt in diesem Zusammenhang eine besondere Bedeutung zu.
Das Öffnen von Aufgabenstellungen sollte schrittweise erfolgen:
In der ersten Etappe lernen die Schüler, mit der Verschiedenartigkeit mathematischer Darstellungsformen umzugehen. Der mathematische Gehalt ist in dieser Phase klar umrissen. Den Schülern obliegt es, eine geeignete Form für die Darstellung des Ergebnisses zu finden. Beispielsweise kann im
Stoffgebiet Stochastik die Form der Darstellung von Daten den Schülern freigestellt werden. Als Alternativen stehen hier die Textform, Strichlisten, Tabellen oder Diagramme zur Auswahl.
Die Öffnung des mathematischen Sachverhaltes kann mit dem Weglassen der Aufgabenstellung bei
einfachen Aufgaben beginnen. Den Satz "In einer Konzerthalle stehen 84 Stuhlreihen mit je 72 Plätzen." ohne explizite Fragestellung interpretieren die Schüler in aller Regel als mathematische Aufgabe
7
für das Ermitteln der Gesamtzahl aller Sitzplätze der Konzerthalle . Die Bearbeitung der Aufgabe führt
mit hoher Sicherheit zur Multiplikation von 84 und 72, so dass der Grad der Offenheit dieser Aufgabe
noch gering ist. Die Schüler nehmen jedoch wahr, dass sie einen eigenen geistigen Beitrag zum Erfassen der Aufgabe leisten müssen. Eine wörtliche Formulierung der Aufgabenstellung durch die
Schüler führt zu verschiedenen gleichwertigen Varianten.
Im nächsten Schritt können die Schüler über die Diskussion verschiedener Lösungsverfahren für ein und dieselbe Aufgabe den
kreativen Charakter mathematischen Arbeitens intensiver erleben. Beispielsweise führt die Flächenberechnung einer zusammengesetzten Fläche wie in nebenstehender Skizze zu verschiedenen Möglichkeiten der Flächenzerlegung als Lösungsweg. Diese Alternativen können durch die Schüler in der Klasse
vorgestellt und gegeneinander abgewogen werden.
22 m
20 m
16 m
30 m
Hiernach wird den Schülern auch der Umgang mit offenen Aufgaben, die verschiedenartige Lösungen besitzen, leichter fallen. Sie akzeptieren die Vielgestaltigkeit
mathematischer Lösungen und besitzen Routine im Darstellen und Diskutieren mathematischer Sachverhalte in der Klasse. Auch Aufgaben, bei denen die Fragestellung unterschiedlich interpretiert werden kann oder die Ausgangsbedingungen unscharf formuliert oder gar nicht genannt sind, werden nun
durch die Schüler besser bewältigt.
Zur Bewertung polyvalenter Aufgaben
Obwohl polyvalente Aufgaben ursprünglich für die Beurteilung mathematischer Leistungen im höheren
Anspruchsniveau entwickelt worden sind, liegen bislang nur wenige Erfahrungswerte zu dieser Problematik vor. Der Grund dafür ist in der Charakteristik der polyvalenten Aufgaben selbst begründet.
Wollte man polyvalente Aufgaben in der gleichen Weise wie geschlossene benoten, müssten eine
Menge verschiedener Lösungswege und Lösungen im Vorfeld als Erwartungsbild mit einem Bewertungsmaßstab versehen werden. Dieses Vorgehen wäre sehr aufwändig. Hinzu kommt, dass man bei
aller Weitsicht trotzdem von unvorhergesehenen Lösungsvorschlägen der Schüler überrascht werden
kann.
7
Schüler, die routiniert mit offenen Aufgabenstellungen umgehen können, werden in der Lage sein, ein breiteres
Spektrum an Aufgabenstellungen zu entwickeln. Denkbar wären auch Fragestellungen wie: "Reichen die Plätze
für die Schüler unserer Schule?" oder "Kann man die Stühle auch gleichmäßig auf 80 Reihen verteilen?"
2 Zur Arbeit mit offenen Aufgaben im Mathematikunterricht
17
Einige Überlegungen, wie man sich dem Problem der Bewertung polyvalenter Aufgaben nähern kann,
sollen im Folgenden vorgestellt werden. Man kann die erbrachten Schülerleistungen zunächst in den
einzelnen Phasen des Aufgabenlösens betrachten.
− In der ersten Phase Aufgabenanalyse können beispielsweise die Qualität eventuell hinzugefügter
Größen und Annahmen ein Kriterium der Bewertung sein. Bei Aufgaben mit fehlender Fragestellung können die Relevanz und die Komplexität der Frage berücksichtigt werden.
− Bei der Planung und Ausführung der Lösung können je nach Aufgabentyp die Zahl der beachteten
Einflussgrößen, der Zahl der betrachteten Lösungswege, die Effizienz des Lösungsweges, der
Grad der Allgemeinheit der Lösung oder die Zahl verschiedener Lösungen bewertet werden.
− In der Phase der Überprüfung der Ergebnisse kann bewertet werden, ob Fehlerdiskussionen stattgefunden haben, Betrachtungen zur Genauigkeit des Ergebnisses angestellt worden sind oder weiterführende Fragestellungen formuliert wurden.
− Bei einer möglichen Darstellung des Ergebnisses können die Wahl einer geeigneten Darstellungsform, die Anzahl verschiedener Präsentationsformen oder die sprachliche und optische Gestaltung
der Ergebnisdarstellung zur Bewertung herangezogen werden. Die Beteiligung von Schülern an
der Diskussion mit durchdachten Fragestellungen oder in Form von Hinweisen zu Lösungen kann
ein weiterer Aspekt der Bewertung sein.
Die Anwendbarkeit dieser Kriterien ist von der konkreten Aufgabenstellung abhängig. Dabei kann sich
auch zeigen, dass sich polyvalente Aufgaben unterschiedlich gut für eine Bewertung eignen. Das Bearbeiten polyvalenter Aufgabenstellungen erfordert häufig einen Mehraufwand an Zeit, die bei der
Leistungserbringung zu berücksichtigen ist. Aus diesem Grund wird es nur in wenigen Fällen möglich
sein, diese Aufgaben in schriftlichen Leistungskontrollen einzusetzen.
Für die Vergabe von Punkten wäre es denkbar, 60% der vorher festgelegten Gesamtpunktzahl für
eine richtige Lösung vergeben. Die restlichen für die Bewertung vorgesehenen Punkte können vergeben werden, wenn höherwertige Lösungen oder Ergebnisdarstellungen im Sinne der oben beschriebenen Kriterien erbracht worden sind. Eine derartige Verfahrensweise sollte vor der ersten Anwendung gemeinsam mit den Schülern besprochen werden.
Offene Aufgaben im schulischen Umfeld
Wenn Sie beginnen, offene Aufgaben zu einem Bestandteil Ihres Unterrichts zu machen, sollten Sie in
Betracht ziehen, dass diese Innovation Fragen, Irritationen und vereinzelt auch Widerstände hervorrufen können. Das ist besonders von Bedeutung, wenn Sie die Arbeit an offenen Aufgaben auch bewerten wollen. Nutzen Sie rechtzeitig Fachkonferenzen, schulinterne Fortbildungen und Elternabende,
um die anstehenden Veränderungen im Mathematikunterricht transparent zu machen und gewinnen
Sie dadurch Unterstützung für Ihr Anliegen, Mathematik etwas anders zu machen.
Zu den Aufgaben in der Broschüre
Aufgaben, die nach unserer Einschätzung einen polyvalenten Charakter haben, werden bei den Hinweisen mit dem Logo poly
gekennzeichnet. Die übrigen Aufgaben sind zwar offen, aber nicht
polyvalent, da entweder nicht alle Schüler ohne Hilfen eine zutreffende Antwort finden können oder
die Aufgabe keine Potenzen für Antworten bzw. weiterführende Gedanken höherer Qualität besitzt.
alent
Es wird bei jeder Aufgabe der mögliche Zeitbedarf für die selbstständige Schülerarbeit angegeben, zu
dem in der Regel noch einmal soviel Zeit für die Vorstellung von Schülerantworten einzuplanen ist.
Bei jeder Aufgabe wird eine große Zahl möglicher Schülerantworten angegeben, ohne dass der Anspruch auf Vollständigkeit besteht. Mit der Angabe der zahlreichen Antwortmöglichkeiten ist aber
nicht gemeint, dass alle diese Antworten auch in der Auswertung der Aufgaben zu behandeln sind.
Die Schüler müssen schrittweise an die Bearbeitung polyvalenter Aufgaben gewöhnt werden. Dazu
gehört, dass jeder Schüler weiß, dass von ihm eine mögliche Antwort erwartet wird und er sich deshalb auch sofort selbstständig mit dieser Aufgabe beschäftigt. Interessierte und befähigte Schüler
sollten sich angewöhnen, nach besonderen Antworten, Strukturen, Verallgemeinerungen oder weiterführenden Fragen zu suchen. Dazu werden in den Hinweisen teilweise Anregungen gegeben.
Für jedes Stoffgebiet geben wir weiterhin eine Auswahl besonders empfehlenswerter Aufgaben an,
die wir aufgrund ihrer Bedeutung für zentrale Aneignungsprozesse mathematischen Wissens und
Könnens und ihres ausgeprägten polyvalenten Charakters für besonders wichtig halten.
18
3
3 Stoffverteilungsvorschlag für die Klassen 5 und 6
Stoffverteilungsvorschlag für die Klassen 5 und 6
Die Stoffverteilungsvorschläge in dieser Broschüre sind als eine Unterstützung bei der Aufstellung
8
schuleigener Fachpläne zu verstehen. Dabei werden nur die fachspezifischen Kompetenzen berücksichtigt. Planungen für fachübergreifende Ziele, wie etwa der Entwicklung der Lesekompetenz können
nur ausgehend von dem schulinternen Lehrplan des Gesamtkollegiums erfolgen.
Die für das Lernen genutzte Unterrichtszeit hat sich in Untersuchungen der empirischen Bildungsforschung neben einer klaren Strukturierung des Unterrichts als eines der entscheidenden Kriterien für
9
eine hohe Qualität des fachlichen Lernens erwiesen . Die Planung der einzelnen Unterrichtszeiten, die
zur Realisierung der zahlreichen Ziele und Inhalte des Mathematikunterrichts in den Klassen 5 und 6
vorzusehen sind, ist allerdings ein sehr komplexes Problem. Dieses so genannte Stoff-Zeit-Problem
spielt in der täglichen Arbeit eines jeden Lehrers eine erhebliche Rolle. Es gibt allerdings in Mecklenburg-Vorpommern kaum Untersuchungen, Planungen und Orientierungen für zeitliche Rahmenbedingungen. Im nationalen Maßstab haben Bundesländer, deren Pläne gut durchdachte zeitliche Orientierungswerte und konkrete Anforderungen enthalten, bei nationalen und internationalen Leistungsvergleichen wesentlich besser abgeschnitten als Bundesländer, in denen dies nicht der Fall ist.
In der Schule wird das Stoff-Zeit-Problem häufig mit defizitären Sichtweisen verbunden. Die Zeit, die
einem Lehrer zur Verfügung steht, um die Unterrichtsziele auf dem von ihm persönlich erwarteten
Niveau zu realisieren, wird in der Regel als viel zu gering empfunden. Dies führt dann bei vielen Lehrern zu einem ständigen Gefühl fehlender Zeit und unbefriedigender Lernergebnisse. Untersuchungen
in Mecklenburg-Vorpommern zur realisierten Stofferteilung ergaben erhebliche Differenzen bei den
Themengebiete der Klassen 5 und 6, die bei den natürlichen und gebrochenen Zahlen bis zu 100
Stunden betrugen. Die Ausdehnung der aufgewendeten Zeit für einzelne Themen führt unweigerlich
zu einer Reduzierung der Zeit für andere Gebiete.
Wir halten langfristig eine Änderung der gegenwärtig dominierenden Sichtweise auf das Stoff-ZeitProblem für erforderlich. Die für ein bestimmtes Themengebiet und auch für einzelne Unterrichtseinheiten zur Verfügung stehende Zeit sollte als eine gegebene und im Wesentlichen nur wenig veränderbare Größe angesehen werden. Die Aufgabe eines Lehrers besteht dann darin, in der zur Verfügung stehenden Zeit möglichst optimale Ergebnisse unter Berücksichtigung der konkreten Klassensituation zu erreichen.
Die Festlegung der zeitlichen Rahmenbedingungen kann allerdings nicht aus Sicht eines einzelnen
Lehrers oder Fachkollegiums erfolgen. Sie ergibt sich als wissenschaftliches Problem aus den notwendigen Zeiten für die Aneignung der betreffenden Lerngegenstände, aus den Lernprozessen, die
im weiteren Schulverlauf zu konzipieren sind und aus der Festlegung der Anforderungen in zentralen
Leistungsüberprüfungen.
Der Begriff Unterrichtsstoff wird im engeren Sinne als Element einer wissenschaftlichen Theorie aufgefasst. Es hat sich in unserem Land aus historischen Gründen aber längst eine erweiterte Fassung
des Stoffbegriffes im Denken von Rahmenplanautoren und Lehrern durchgesetzt, die auch Vorstellungen, Fertigkeiten, Fähigkeiten bzw. geistige Tätigkeiten in den Stoffbegriff einbezieht. Wenn etwa in
einem Plan vom Bruchbegriff die Rede ist, so versteht jeder Lehrer darunter nicht nur die mathematische Definition des Begriffes Bruch, sondern die Vermittlung sämtlicher inhaltlicher Aspekte des
Bruchbegriffes und der Fähigkeiten im Umgang mit Brüchen in verschiedenen Sachsituationen. Es
macht deshalb wenig Sinn, den bewährten Stoffbegriff in einen Gegensatz zum neuen Kompetenzbegriff zu bringen. Die Aneignung jeglichen Unterrichtsstoffes ist immer mit der Ausbildung fachspezifischer Kompetenzen verbunden und Kompetenzen ohne stoffliche Inhalte gibt es nicht. Wir bleiben
deshalb bei der Bezeichnung „Stoffverteilungsplan“ und haben uns bemüht, die mit dem einzelnen
Unterrichtsstoff verbundenen Kompetenzen im Rahmen der knappen Darstellung deutlich zu machen.
Die unterbreiteten Vorschläge für die einzelnen Themengebiete beziehen sich auf 28 Unterrichtswochen. In diesen Planungen sind keine Zeiten für die Durchführung und Auswertung von Leistungskontrollen sowie von Projekten enthalten.
Zu Beginn eines jeden Gebietes werden die in den Leitideen der Bildungsstandards enthaltenen fachlichen Kompetenzen, die für dieses Thema zutreffend sind, aufgeführt.
8
9
Vgl.: Leitfaden Schulinterner Lehrplan, L.I.S.A. M-V, Schwerin 2006
Meyer, H.: Was ist guter Unterricht. – Berlin : Cornelsen Verlag, 2004
3 Stoffverteilungsvorschlag für die Klassen 5 und 6
19
Stoffverteilungsvorschlag für die Klassen 5 und 6
Klasse 5
Std.
1
Natürliche Zahlen
40
Mit Schwung ins neue Schuljahr
3
1.1 Verwenden und Darstellen nat. Zahlen
5
1.2 Rechenoperationen mit natürlichen Zah- 10
len
1.3 Rechengesetze, Rechenvorteile, Vor3
rangregeln
1.4 Schriftliche Rechenverfahren
10
1.5 Gleichungen und Ungleichungen
4
1.6 Gemischte Aufgaben
5
2
Beschreiben und Auswerten zufälli10
ger Vorgänge
2.1 Zufällige Vorgänge, Wahrscheinlichkeit
4
2.2 Durchführen und Auswerten statistischer 6
Untersuchungen
3
Gebrochene Zahlen
25
3.1 Bruchbegriff, Darstellen von Brüchen auf 4
dem Zahlenstrahl
3.2 Erweitern und Kürzen von Brüchen
3
3.3 Vergleichen und Ordnen gleichnamiger
3
Brüche;
Addieren und Subtrahieren gleichnamiger Brüche
3.4 Dezimalbrüche
2
3.5 Vergleichen, Ordnen und Runden von
3
Dezimalbrüchen
3.6 Rechnen mit Dezimalbrüchen
6
3.7 Gemischte Aufgaben
4
4
Größen
15
Rückblick
1
4.1 Währung
2
4.2 Masse
3
4.3 Zeit
4
4.4 Länge
3
4.5 Gemischte Aufgaben
3
5
Ebene Geometrie
26
Rückblick
4
5.1 Winkelbegriff
6
5.2 Das Koordinatensystem
2
5.3 Spiegelungen
3
5.4 Umfang und Flächeninhalt von Figuren
6
5.5 Gemischte Aufgaben
4
6
Räumliche Geometrie
24
Rückblick
4
6.1 Geometrische Körper – Eigenschaften
2
von Quadern
6.2 Schrägbilder von Quadern
4
6.3 Berechnen des Oberflächeninhalts von
2
Quadern
6.4 Volumen von Körpern – Einheiten des
6
Volumens
6.5 Gemischte Aufgaben
6
Summe:
140
Klasse 6
Std.
1
Teilbarkeit
12
Mit Schwung ins neue Schuljahr
2
1.1 Teilermengen und Primzahlen
3
1.2 Teilbarkeitsregeln
3
1.3 Kleinstes gemeinsames Vielfaches
3
1.4 Größter gemeinsamer Teiler
1
2
Gebrochene Zahlen
40
2.1 Rückblick; Begriff der gebrochenen Zahl
5
2.2 Gleichnamigmachen von Brüchen
2
2.3 Vergleichen und Ordnen von ungleich3
namigen Brüchen
2.4 Addieren und Subtrahieren von un5
gleichnamigen Brüchen
2.5 Multiplizieren von Brüchen
4
2.6 Dividieren durch einen Bruch
3
2.7 Dividieren von Dezimalbrüchen;
8
Periodische Dezimalbrüche
2.8 Eigenschaften gebrochener Zahlen
4
2.9 Gemischte Aufgaben
6
3
Stochastik
18
3.1 Ermitteln der Anzahl von Möglichkeiten
3
3.2 Zufällige Vorgänge, Wahrscheinlichkeit
(2)
3.3 Wahrscheinlichkeit und relative Häufig3
keit
3.4 Berechnen von Wahrscheinlichkeiten
4
3.5 Arithmetisches Mittel
4
3.6 Darstellen und Auswerten von Daten
4
4
Geometrie
70
4.1 Geometrische Abbildungen
12
4.2 Winkelbeziehungen
9
4.3 Konstruieren
3
4.4 Dreiecke
16
4.5 Vierecke
10
4.6 Körper
15
4.7 Gemischte Aufgaben
5
Summe:
140
20
4
4.1 Vorschläge zum Themenbereich „Natürliche Zahlen“ in Klasse 5
Vorschläge für die Klasse 5
4.1 Themenbereich „Natürliche Zahlen“
4.1.1 Ziele und Schwerpunkte
Forderungen der Bildungsstandards
Die Schülerinnen und Schüler
– nutzen Vorstellungen von natürlichen Zahlen entsprechend der Verwendungsnotwendigkeit,
– stellen Zahlen der Situation angemessen dar, unter anderem in Zehnerpotenzschreibweise,
– rechnen mit natürlichen Zahlen auch im Kopf,
– nutzen Rechengesetze, auch zum vorteilhaften Rechnen,
– nutzen zur Kontrolle Überschlagsrechnungen,
– runden Rechenergebnisse entsprechend dem Sachverhalt sinnvoll,
– erläutern an Beispielen den Zusammenhang zwischen Rechenoperationen und deren Umkehrungen und nutzen diese Zusammenhänge,
– wählen, beschreiben und bewerten Vorgehensweisen und Verfahren, denen Algorithmen bzw.
Kalküle zu Grunde liegen,
– prüfen und interpretieren Ergebnisse in Sachsituationen.
Planungsvorschlag
Thema
Mit Schwung ins
neue Schuljahr
1.1 Verwenden, Darstellen natürlicher
Zahlen
Verwenden natürlicher Zahlen
Zahlen auf dem
Zahlenstrahl
Vergleichen und
Ordnen
Zahlen in der Stellentafel
Std.
3
Schwerpunkte
Bemerkungen
• Interesse am Mathematikunterricht − Zu Beginn des neuen Maentwickeln
thematikunterrichts sollten
besondere Anstrengungen
• beim Lösen von unterhaltsamen
unternommen werden.
Kopfrechenaufgaben zu allen Rechenoperationen den Stand der
Rechenfertigkeiten der Schüler
feststellen
− Es sollten unterschiedliche
• Auswahl von Aufgaben nach den
Interessen der Schüler
Aufgabentypen berücksicho Rechenketten, Zahlenmauern
tigt werden, die alle durch
Kopfrechnen lösbar sind.
o Zahlenrätsel
Aufgabe 1
o Knobel- und Scherzaufgaben
o Fortsetzung von Zahlenfolgen
o Rechenspiele
o Erfassen und Auswerten von
Daten
5
• Wiederholung der Verwendungs− Aspekte das Zahlbegriffes
aspekte an Beispielen ohne explizite Systematisierung und Diskussion
• Erfassen unterschiedlicher Eintei- − Arbeit mit Skalen ist bedeutlungsmöglichkeiten und Ablesen
sam für andere Fächer
Aufgabe 2
von Skalenwerten
• Vergleichen von Zahlen durch
schrittweises Vergleichen der Stellen
• Einführen Zehnerpotenz, Basis,
Exponent
4.1 Vorschläge zum Themenbereich „Natürliche Zahlen“ in Klasse 5
Thema
Std.
Große Zahlen
Zahlensysteme
(Zusatz)
1.2 Rechenoperationen mit natürlichen Zahlen
Mündliches Addieren und Subtrahieren
(3)
Schwerpunkte
• Kenntnis der Bezeichnungen Milliarde und Billion
• Festigung der Schreibweise und
des Lesens von Zahlen
• Erleben, dass man große oder
wenig anschauliche Zahlen durch
geeignete Vergleiche erfassbar
machen kann
• erste Entwicklung eines „Zahlenvorstellungsvermögens“ über natürliche Zahlen bis zur Milliardengröße
• Vertiefung der Bildungsprinzips
von Zahlen in Positionssystemen
durch Vergleich mit Additionssystemen und dem Dualsystem
• Festigung der römischen Zahlzeichen
• Kennenlernen des Dualsystems
•
Multiplizieren im
Kopf
•
Quadratzahlen
•
•
•
Vielfache und Teiler
Dividieren im Kopf
Dividieren durch
Zehnerpotenzen
− Römische Zahlen gehören
zur Allgemeinbildung und
sollten bis zur Zahl 20 betrachtet werden.
− Verwendungsaspekte;
Bewegen auf dem Zahlenstrahl bereitet Addition /
Subtraktion rationaler Zahlen
vor
Aufgabe 3 a), b)
Festigung der Verfahren des
mündlichen Rechnens
− Verfahren des mündlichen
Rechnens
Vertraut machen mit Rechenvorteilen beim Kopfrechnen
Lösen von Gleichungen durch
Zerlegen von Zahlen
inhaltliches Verstehen der Verwen- − Rechnen mit 0 und 1
Aufgabe 3 c)
dungsaspekte der Multiplikation
Testen und Entwickeln der Kopfrechenfertigkeiten
inhaltliches Erfassen von Quadratzahl, Verbindung zur Geometrie
erkennen
Quadratzahlen bis 20 zunehmend
auswendig wissen
Sicheres Rechnen, Anfügen der
− Vorbereitung des UmrechNullen inhaltlich erfassen
nens von Größen
• inhaltliches Verstehen der beiden
Operationen
•
Potenzen natürlicher Zahlen
Bemerkungen
10
•
Multiplizieren mit
Zehnerpotenzen
21
•
• Verallgemeinern von Zehnerpotenz, Quadratzahl zu Potenz einer
natürlichen Zahl
• Wiederholen von Teiler und Vielfachem, Zusammenhang erkennen
• Zerlegen von Zahlen in Produkte
zur Bestimmung der Teiler
• inhaltliches Verstehen der Verwendungsaspekte der Division
• Testen und Entwickeln der Kopfrechenfertigkeiten
• Sicheres Rechnen, Abstreichen
der Nullen inhaltlich erfassen
− Potenzbegriff
Aufgabe 4
− vor Wiederholung der Division möglich, da Teilbarkeit
auf Multiplikation beruht
− Verwendungsaspekte
Aufgabe 3 d)
− Vorbereitung der Umrechnung von Größen
22
4.1 Vorschläge zum Themenbereich „Natürliche Zahlen“ in Klasse 5
Thema
Std.
• sichere Kenntnis der Rundungsregeln und Können im Runden auf
vorgegebene Stellenwerte
• erste Erfahrungen im sinnvollen
Runden
Runden und Näherungswerte
1.3 Rechengesetze,
Rechenvorteile,
Vorrangregeln
3
Schriftliches Multiplizieren
Schriftliches Dividieren
Lösen von Sachaufgaben
− Rechengesetze sind teilweise aus der Grundschule bekannt
• Wiederholen der Vorrangregeln,
insbesondere Arbeit mit Klammern
• Übersetzen von Texten
Vorrangregeln
Überschlagsrechnung
Aufgabe 5
• Vertraut machen mit Rechenvorteilen
Geschicktes Dividieren
Schriftliches Addieren und Subtrahieren
Bemerkungen
• Vertraut machen mit Rechenvorteilen
Geschicktes Multiplizieren
1.4 Schriftliche Rechenverfahren
Schwerpunkte
10
2
1
2
3
2
• Festigung der Verfahren des
− Bei der schriftlichen Addition
schriftlichen Addierens und Subund Subtraktion sollte kein
trahierens, Gewöhnen an KontrollÜberschlag verlangt werden.
verfahren
• Übersetzen sprachlicher Formulierungen in mathematische Form
• Festigung der Kopfrechenfertigkei- − Das Bilden und Berechnen
ten
eines Überschlags sollte vor
Wiederholung der schriftli• Durchführen sinnvoller Überschlächen Multiplikation erfolgen.
ge für Multiplikations- und Divisionsaufgaben
• Festigung des Verfahrens der
schriftlichen Multiplikation, Beherrschung und bewusste Nutzung
von Kontrollmöglichkeiten
• Festigung des Verfahrens der
schriftlichen Division mit und ohne
Rest (auch mit zweistelligem Divisor), Beherrschung und bewusste
Nutzung von Kontrollmöglichkeiten
• Festigung der Kenntnis des Zusammenhangs von Multiplikation
und Division
• Wiederholung und Vertiefung einer − Lösen von Sachaufgaben;
heuristischen Schrittfolge zum LöSchrittfolge als Methode
sen von Sachaufgaben, insbesonAufgabe 6
dere Erfassen der Hauptinformation
• Übungen im Anfertigen von Skizzen zu Sachaufgaben
• Übungen in der Arbeit mit Tabellen
• Erstes Bekanntmachen mit dem
Rückwärtsarbeiten (Ausgehen vom
Ziel)
4.1 Vorschläge zum Themenbereich „Natürliche Zahlen“ in Klasse 5
Thema
Std.
1.5 Gleichungen und
Ungleichungen
4
1.6 Gemischte Aufgaben
5
Summe
Schwerpunkte
23
Bemerkungen
• Wiederholung des inhaltlichen Ver- − Inhaltliches Lösen
ständnisses der Begriffe Glei− Vorstellung inhaltlicher Löchung, Ungleichung, Lösen einer
sungsverfahren und entspreGleichung, Lösung einer Gleichende Aufgaben zum Üben
chung
der Verfahren
• Lösen von Gleichungen durch
Probieren
• Lösen von Gleichungen durch
Zerlegen von Zahlen
• Lösen von Gleichungen durch Umkehren der Rechnungen
• Lösen von Gleichungen und Ungleichungen durch systematisches
Probieren
• Integration aller nacheinander
behandelten Rechenverfahren und
heuristischen Vorgehensweisen
durch bewusste Identifizierung des
Aufgabentyps und zielgerichtete
− Auswahl von Schwerpunkten
Reaktivierung der Regel bzw. der
entsprechend der KlassensiVorgehensweise
tuation
• Mögliche Schwerpunkte:
o Knobeleien und Scherzaufgaalle Aufgaben
ben
o Zahlenrätsel
o Fortsetzung von Zahlenfolgen
o Vergleichen, Ordnen, Stellenwertsystem
o Rechenspiele
o Überschlagen und Abschätzen
o Finden von Fehlern
o Funktionale Betrachtungen
o Schriftliches Rechnen
o Vorgehensweisen bei Sachaufgaben
o Große Zahlen
40
4.1.2 Hinweise zu den Aufgaben10
Aufgaben zum Heranführen an die Behandlung offener Aufgaben
Das Ziel dieser Aufgaben ist das Vertrautmachen der Schüler mit diesem Aufgabentyp. Der Grad der
Öffnung dieser Aufgaben ist noch gering, der Wert des Einsatzes dieser Aufgaben liegt in der Diskussion über das Erfassen der Aufgabe, der Formulieren einer Fragestellung oder mehrerer Schülerantworten. Im Allgemeinen sollten die Schüler hierzu Erfahrungen aus der Primarstufe mitbringen, so
dass sich die Notwendigkeit einer "Gewöhnungsphase" in Klasse 5 aus den konkreten Gegebenheiten
ergibt.
E1
Roy liest in der Zeitung: „In der neuen Konzerthalle gibt es 84 Reihen mit je 72 Plätzen.“
Stelle dir dazu eine Frage und beantworte sie.
Mögliche Schülerantworten und weitere Überlegungen:
Eine geschlossene Aufgabe zur Multiplikation natürlicher Zahlen gewinnt einen offenen Charakter
durch das selbstständige Finden einer Problemstellung und der sprachlichen Formulierung einer Antwort. Das Hinzufügen von Informationen erhöht den Grad der Offenheit deutlich, wie z.B.
Eine Karte kostet 10 €, Kinder zahlen die Hälfte. oder
10
vgl. Hinweise S. 17
24
4.1 Vorschläge zum Themenbereich „Natürliche Zahlen“ in Klasse 5
Die gesamten Kosten einer geplanten Veranstaltung (z.B. Künstlergagen, Bezahlung des Personals,
Technik) betragen 40 000 €.
Mögliche Fragestellungen wären
Wie hoch sind die Einnahmen, wenn genauso viele Kinder wie Erwachsene kommen? (Geht das überhaupt?) Wie hoch können die Einnahmen höchstens sein? Wie teuer ist eine Kinderkarte?
oder für den zweiten Fall
Wie teuer muss eine Karte sein, wenn das Haus ausverkauft ist? Wie viele Besucher müssen kommen, wenn eine Karte 20€ kostet?
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 5 Minuten
(Die Zeit erhöht sich, wenn wie beschrieben zusätzliche Informationen gegeben werden.)
E2
Für eine Urlaubsreise plant Familie Krajewski 380 € Benzinkosten, 970 € für die Unterkunft, 400 € für
die Verpflegung und 270 € für Ausflüge. In der Urlaubskasse sind 1800 €.
Mögliche Schülerantworten und weitere Überlegungen:
Die Offenheit der Aufgabe entsteht durch das Weglassen der Fragestellung. Damit sind die Schüler
frei in der Interpretation der Tatsache, dass die Summe der geplanten Kosten das Budget um 220 €
übersteigt. Denkbare und zu diskutierende Schülerantworten können hierbei sein: „Sie brauchen mehr
Geld“, „Sie müssen noch sparen“, „Sie können nicht fahren“ oder „Sie müssen die Ausflüge weglassen“.
Verschiedene Rechenstrategien sind ebenfalls möglich. Der Versuch des Abziehens aller Einzelpositionen vom Gesamtbudget (1800 – 380 – 970 – 400 – 270 = ?) führt ebenso zu gültigen Antworten wie
der Vergleich der gesamten geplanten Ausgaben mit der zur Verfügung stehenden Summe (380 +
970 + 400 + 270 > 1800).
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 5 Minuten
E3
Die Kinder einer 5. Klasse besuchen eine Imkerei und erfahren viel über Bienen und Honig. Lara
möchte es genau wissen und fragt den Bienenzüchter: „Wie viele Bienen sind in diesem Bienenvolk?“.
Sie bekommt zur Antwort: „Es sind etwa 20 000 Bienen.“
Lara überlegt, wie groß die Anzahl tatsächlich sein könnte.
Diese Aufgabe ermöglicht die Festigung des Arbeitens mit sinnvoller Genauigkeit, Wertschranken und
dem Runden.
Es sind Schülerantworten in zwei Richtungen möglich.
1. Überlegungen zu Fehlerschranken
In welchem Bereich könnte die tatsächliche Anzahl liegen?
Hier können als sinnvolle Fehlerschranken angegeben werden: ± 500, ± 1000 oder ± 2000
2. Überlegungen zum Runden
Durch die Rundung welcher Zahl könnte die Angabe entstanden sein?
Mögliche Schülerantworten und weitere Überlegungen wären:
– Es kann auf- bzw. abgerundet werden.
– Es kann auf Zehner, Hunderter oder Tausender gerundet werden
– Mögliche Zahlenwerte:
abgerundet, maximale Werte bei Runden auf Einer: 20 004, auf Zehner 20 049, auf Hunderter:
20 499; auf Tausender: 24 999
aufgerundet, minimale Werte bei Runden auf Einer: 19 995, auf Zehner: 19 950, auf Hunderter:
19 500, auf Tausender: 15 000
– Ist es möglich (und wichtig) zu wissen, wie groß die Anzahl der Bienen auf Einer / Zehner / Hunderter / Tausender genau ist? Es werden ständig Bienen geboren und es sterben auch einige.
– Es ergeben sich weitere Aufgabenstellungen, z. B. wie groß die maximale Differenz zwischen den
gerundeten Werten ist.
Differenzierungen ergeben sich durch das Finden verschiedener Zahlen, das Finden der Möglichkeiten zum Auf- und Abrunden sowie zum Runden auf verschiedene Stellenwerte, durch das Suchen
nach größten und kleinsten Zahlen und die Überlegungen zur sinnvollen Genauigkeit.
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 10 Minuten
4.1 Vorschläge zum Themenbereich „Natürliche Zahlen“ in Klasse 5
25
Aufgabe 1
In einer Zahlenmauer ist eine Zahl (bis auf die Zahlen der untersten Reihe) immer die Summe bzw.
das Produkt der beiden darunter stehenden Zahlen.
Fülle die linke Zahlenmauer vollständig aus.
141
62
31
21
17
14
79
31
6
4
3
48
21
10
1
200
27
15
5
100
12
49
2
10
23
100
51
26
49
25
24
Trage in die rechte Zahlenmauer die Zahlen 23; 24; 25; 26; 49; 51; 100; 200 ein. Sie können auch
doppelt vorkommen.
a) Baue selbst verschiedene Zahlenmauern.
poly
(1) Die Zahl 100 wird durch Addieren erreicht.
100
51
21
100
49
30
50
19
25
1
100
50
25
100
2
10
25
5
1
1
97
0
90
5
100
98
alent
85
100
99
1
0
98
0
100
0
100
(2) Die Zahl 180 wird durch Multiplizieren erreicht.
180
2
1
180
90
2
3
45
1
3
180
6
2
4
20
4
9
10
9
45
180
20
1
45
1
180
30
3
180
60
1
20
1
180
1
180
Ziel der Aufgabe ist das Festigen der Kopfrechenfertigkeiten im Addieren und Multiplizieren. Die Schüler trainieren auf spielerische Weise den Umgang mit den natürlichen Zahlen und wenden die Kopfrechenverfahren für die Rechenoperationen an.
Die Aufgaben a) und b) dienen dem Vertrautmachen mit Zahlenmauern. Die Aufgabe c) ist die eigentlich interessante offene Aufgabe mit möglichen Schülerantworten unterschiedlicher Qualität. Die Teilaufgaben aus c) sollten nacheinander bearbeitet und besprochen werden. Zum Besprechen der verschiedenen Lösungen hat sich der Einsatz eines Projektors und zweier Folien bewährt. Auf die untere
Folie ist eine Zahlenmauer kopiert worden, auf der oberen, verschiebbaren Folie können die Schüler
mit Folienstiften zeitsparend ihre Lösungen präsentieren.
Mögliche Schülerantworten: s. o.
Die Aufgabe a) hat eine eindeutige Lösung und im Prinzip nur einen Lösungsweg. Die Lösung der
Aufgabe b) ist ebenfalls eindeutig bis auf das Umkehren der Reihenfolge der Zahlen in der untersten
Reihe.
Bei den Aufgaben c) sind in der zweiten Zeile alle Zerlegungen der Zahl 100 in eine Summe aus zwei
Summanden bzw. der Zahl 180 in ein Produkt aus zwei Faktoren möglich. Das Ausfüllen der Mauer
erfolgt von oben nach unten.
Die unterschiedliche Qualität der Antworten ergibt sich durch die Anzahl der gefundenen Lösungen
und die Berücksichtigung von Sonderfällen, insbesondere mit den Zahlen 0 bzw. 1.
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 30 Minuten
26
4.1 Vorschläge zum Themenbereich „Natürliche Zahlen“ in Klasse 5
Aufgabe 2
Beschrifte die übrigen vier Markierungen der Skalen. Finde verschiedene Möglichkeiten.
a)
b)
10
20
c)
poly
d)
150
alent
3500
Das Ziel dieser Aufgabe ist die Entwicklung von Fertigkeiten im Ablesen von Skalen. Die Aufgabe ist
eine Umkehraufgabe der Standardaufgabe im Ablesen von Werten aus beschrifteten Skalen.
Hinweise zu möglichen Schülerantworten
Mögliche Abstände zweier benachbarter Skalenwerte:
a) 1; 2; 5; 10 b) 1; 2; 5; 10; 20
c) 1; 2; 5; 10; 20; 50
d) 1; 2; 5; 10; 20; 50; 100; 500
Die Diskussion der Schülerantworten sollte getrennt nach Teilaufgaben erfolgen. Es ist nicht nötig, alle
Teilaufgaben zu bearbeiten. Die unterschiedliche Qualität der Antworten zeigt sich in der Anzahl der
gefundenen Möglichkeiten, in der Verwendung von negativen Zahlen (analog zur Thermometerskala)
und in Überlegungen zur maximalen Zahl der Möglichkeiten.
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 10 Minuten für eine Teilaufgabe
Aufgabe 3
a) Finde verschiedene Sachverhalte, die zur Aufgabe 13 + 17 passen.
Suche dabei verschiedene Umschreibungen für das Rechenzeichen "+".
b) Finde verschiedene Sachverhalte, die zur Aufgabe 17 – 13 passen.
Suche dabei verschiedene Umschreibungen für das Rechenzeichen "–".
c) Finde verschiedene Sachverhalte, die zur Aufgabe 3 · 7 passen.
Suche dabei verschiedene Umschreibungen für das Rechenzeichen " · ".
d) Finde verschiedene Sachverhalte, die zur Aufgabe 32 : 4 passen.
Suche dabei verschiedene Umschreibungen für das Rechenzeichen " : ".
poly
alent
Ziele der Aufgabe sind das Festigen der Verwendungsaspekte von Rechenoperationen und die Entwicklung der sprachlichen Fähigkeiten.
Es ist nicht nötig, alle Teilaufgaben zu bearbeiten. Die Diskussion der Schülerantworten erfolgt separat für jede Teilaufgabe.
Mögliche Schülerantworten entstehen aus den Verwendungsaspekten der Rechenoperationen:
– Addieren: vermehren, zusammenfassen, hinzufügen, verlängern, bekommen, …
– Subtrahieren: verringern, wegnehmen, abziehen, abtrennen, verkürzen, ausgeben, …
– Multiplizieren: mehrfaches Addieren, zusammenfassen, vervielfachen, Paarbildung
– Dividieren: mehrfaches Subtrahieren, aufteilen, verteilen, halbieren, dritteln
Die unterschiedliche Qualität der Antworten zeigt sich in der Anzahl der Verwendungsaspekte und der
sprachlichen Qualität der Aufgaben.
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 10 Minuten für eine Teilaufgabe
Aufgabe 4
Suche dir von den fünf Potenzen zwei heraus und vergleiche sie miteinander.
2
(1) 10
2
(2) 5
3
(3) 10
5
(4) 2
2
(5) 3
poly
alent
Das Ziel der Aufgabe ist die Festigung der Begriffe Zehnerpotenz, Quadratzahl, Basis, Exponent und
Potenz.
Mögliche Schülerantworten:
Es können 10 Paare von Ausdrücken gebildet werden.
4.1 Vorschläge zum Themenbereich „Natürliche Zahlen“ in Klasse 5
27
Ausdrücke Gemeinsamkeiten Unterschiede
(1) und (2)
(1) und (3)
(1) und (5)
(2) und (5)
(2) und (4)
(3) und (5)
Exponent ist 2
Zehnerpotenzen
Basis verschieden, Zehnerpotenz, Quadratzahl
Exponenten verschieden
Quadratzahlen
Basis verschieden
gleiche Ziffern
Ziffer 3
Basis und Exponent vertauscht
3 als Exponent, 3 als Basis
2
Die Anzahl der gefundenen Vergleiche kann unterschiedlich sein. Das Erkennen von 10 als Zehnerpotenz und Quadratzahl ist anspruchsvoll.
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 10 Minuten (für mehrere Paarbildungen)
Aufgabe 5
Wie viele Holzstämme sind auf dem Foto zu sehen? Suche verschiedene Möglichkeiten, wie man die Anzahl bestimmen kann und beschreibe, was dabei zu
beachten ist.
poly
alent
Ziel dieser Aufgabe ist die Festigung des Schätzens als Vergleich mit Vergleichsgrößen. Ein weiterer
Schwerpunkt ist das mathematische Argumentieren und Kommunizieren. Die Schüler sollen erkennen, dass eine genaue Lösung nicht möglich und nicht sinnvoll ist, da einige Objekte nur teilweise zu
sehen sind. Über verschiedene Wege kann eine ungefähre Anzahl gefunden werden.
Hinweise zu möglichen Schülerantworten:
Es sind etwa 290 Baumstämme ganz oder teilweise zu sehen. Um diese Anzahl zu ermitteln, kann im
einfachsten Fall gezählt werden. Das Bild kann auch in gleich große Felder eingeteilt werden. Die
Anzahl der Objekte in einem Feld kann dann für das ganze Bild hochgerechnet werden. Dabei ist zu
beachten, dass man ein Feld auswählt, das möglichst repräsentativ für das Bild ist. Teilt man z. B. das
Bild in 8 Teile, so befinden sich im linken oberen Feld nur etwa 27 Baumstämme.
Weiterhin muss diskutiert werden, wann man ein Objekt noch zählt, wenn es nur sehr wenig zu sehen
ist.
Die unterschiedliche Qualität der Antworten ergibt sich aus der gefundenen Zahl von Einteilungsmöglichkeiten und der Qualität der Diskussionen zu den Bedingungen der Anzahlermittlung.
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 15 Minuten
Aufgabe 6
Denke dir zu den angegebenen Informationen Aufgaben aus.
a) In der Klasse 5a sind 23 Schülerinnen und Schüler und in der Klasse 5b sind
alent
poly
es 26.
b) Jeder der 23 Schüler der Klasse 5a soll 5 € zum Wandertag mitbringen.
c) Im Sportunterricht der Mädchen sollen für einen Wettbewerb Gruppen gebildet werden. Aus der
Klasse 5a nehmen 12 Mädchen und aus der Klasse 5b 15 Mädchen teil.
Das Ziel der Aufgabe ist die Entwicklung der sprachlichen und der Problemlösefähigkeiten. Der Lehrer
sollte eine der drei Teilaufgaben auswählen.
Hinweise zu möglichen Schülerantworten:
a) In welcher Klasse sind mehr Schüler?
Wie groß ist der Unterschied zwischen den Schülerzahlen?
Wie viele Schüler sind in beiden Klassen zusammen?
b) Wie viel Geld wird insgesamt mitgebracht?
Vier Schüler haben vergessen, Geld mitzubringen. Wie viel fehlt noch am Gesamtbetrag?
c) Wie viele Gruppen können gebildet werden, wenn eine Mannschaft aus 3 (4, 5, 6, 7) Schülerinnen
besteht? Wie viele Schülerinnen bleiben jeweils übrig?
Bei welchen Gruppengrößen bleiben keine Schülerinnen übrig?
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 20 Minuten
Aufgabenempfehlungen: Aufgaben 1, 2 und 3
28
4.1 Vorschläge zum Themenbereich „Natürliche Zahlen“ in Klasse 5
Aufgaben zu natürlichen Zahlen
E1: Roy liest in der Zeitung: „In der neuen Konzerthalle gibt es 84 Reihen mit je 72 Plätzen.“ Stelle dir dazu eine Frage und beantworte sie.
E2: Für eine Urlaubsreise plant Familie Krajewski 380 € Benzinkosten, 970 € für die Unterkunft, 400 € für Verpflegung und 270 € für Ausflüge. In der Urlaubskasse sind 1800 €.
E3: Die Kinder einer 5. Klasse besuchen eine Imkerei und
erfahren viel über Bienen und Honig. Lara möchte es genau
wissen und fragt den Bienenzüchter: „Wie viele Bienen sind in
diesem Bienenvolk?“. Sie bekommt zur Antwort: „Es sind
etwa 20 000 Bienen.“
Lara überlegt, wie groß die Anzahl tatsächlich sein könnte.
Foto: privat
1. In einer Zahlenmauer ist eine Zahl (bis auf die Zahlen der untersten Reihe) immer die
Summe bzw. das Produkt der beiden darunter stehenden Zahlen.
a) Fülle die linke Zahlenmauer vollständig aus.
31
31
21
6
14
15
2
b) Trage in die rechte Zahlenmauer die Zahlen 23; 24; 25; 26; 49; 51; 100; 200 ein.
Sie können auch doppelt vorkommen.
c) Baue selbst verschiedene Zahlenmauern.
(1) Die Zahl 100 wird durch Addieren erreicht.
100
100
100
100
100
100
(2) Die Zahl 180 wird durch Multiplizieren erreicht.
180
180
180
180
180
180
4.1 Vorschläge zum Themenbereich „Natürliche Zahlen“ in Klasse 5
29
2. Beschrifte die übrigen vier Markierungen der Skalen. Finde verschiedene Möglichkeiten.
a)
b)
10
c)
20
d)
150
3500
3. Erfinde zu jeder Rechnung eine andere Sachaufgabe und schreibe sie auf.
a) Finde verschiedene Sachverhalte, die zur Aufgabe 13 + 17 passen.
Suche dabei verschiedene Umschreibungen für das Rechenzeichen "+".
b) Finde verschiedene Sachverhalte, die zur Aufgabe 17 – 13 passen.
Suche dabei verschiedene Umschreibungen für das Rechenzeichen "–".
c) Finde verschiedene Sachverhalte, die zur Aufgabe 3 · 7 passen.
Suche dabei verschiedene Umschreibungen für das Rechenzeichen " · ".
d) Finde verschiedene Sachverhalte, die zur Aufgabe 32 : 4 passen.
Suche dabei verschiedene Umschreibungen für das Rechenzeichen " : ".
4. Suche dir von den fünf Potenzen je zwei heraus und vergleiche sie miteinander.
(1) 102
(2) 52
(3) 103
(4) 25
(5) 32
5. Wie viele Holzstämme sind auf dem Foto zu sehen? Suche verschiedene Möglichkeiten,
wie man die Anzahl bestimmen kann und beschreibe, was dabei zu beachten ist.
Foto: privat
6. Denke dir zu den angegebenen Informationen Aufgaben aus.
a) In der Klasse 5a sind 23 Schülerinnen und Schüler und in der Klasse 5b sind es 26.
b) Jeder der 23 Schüler der Klasse 5a soll 5 € zum Wandertag mitbringen.
c) Im Sportunterricht der Mädchen sollen für einen Wettbewerb Gruppen gebildet werden. Aus der Klasse 5a nehmen 12 Mädchen und aus der Klasse 5b 15 Mädchen
teil.
30
4.2 Vorschläge zum Themenbereich „Stochastik“ in Klasse 5
4.2 Themenbereich „Stochastik“
4.2.1 Ziele und Schwerpunkte
Forderungen der Bildungsstandards
Die Schülerinnen und Schüler
– beschreiben Zufallserscheinungen in alltäglichen Situationen,
– sammeln systematisch Daten, erfassen sie in Tabellen und stellen sie graphisch dar, auch unter
Verwendung geeigneter Hilfsmittel (wie Software),
– werten graphische Darstellungen und Tabellen von statistischen Erhebungen aus,
– interpretieren Wahrscheinlichkeitsaussagen aus dem Alltag,
– bestimmen Wahrscheinlichkeiten bei einfachen Zufallsexperimenten.
Planungsvorschlag
Thema
Std.
2.1 Zufällige Vorgänge und
Wahrscheinlichkeit
4
Schwerpunkte
•
•
2.2 Durchführen und
Auswerten statistischer Untersuchungen
6
•
•
•
•
•
Summe
Bemerkungen
Analysieren zufälliger Vorgänge (mögliche Ergebnisse,
betrachtetes Merkmal, Bedingungen)
Entwicklung des Wahrscheinlichkeitsbegriffes
einfache Zufallsexperimente
Lesen und Interpretieren von
Häufigkeitsverteilungen
(kleinster, größter, häufigster
Wert, größter Unterschied)
Anfertigen von Strichlisten und
Häufigkeitstabellen
Lesen von Diagrammen und
Anfertigen von Strecken- und
Streifendiagrammen
Vertrautmachen mit StammBlätter-Diagrammen
– Es sollte eine Prozessbetrachtung zufälliger Erscheinungen erfolgen (s.
Hinweise)
Aufgaben 1 und 2
– Die Prozessbetrachtung
sollte auch bei statistischen
Untersuchungen angewendet werden. (s. Hinweise)
Aufgaben 3 bis 7
10
4.2.2 Hinweise zu den Aufgaben11
alent
Aufgabe 1
poly
Du gehst mit deinen Eltern in einen Einkaufsmarkt.
Gib verschiedene Merkmale an, die man bei diesem Vorgang betrachten kann und nenne Bedingungen, von denen die Wahrscheinlichkeit der möglichen Ergebnisse abhängt.
Vor der Bearbeitung dieser Aufgabe müssen die Schüler mit der Prozessbetrachtung zufälliger Erscheinungen vertraut gemacht werden. Das Ziel der Aufgabe ist dann die Anwendung dieser Betrachtung auf alltägliche Vorgänge aus der Erfahrungswelt der Schüler und die Entwicklung des komparativen Wahrscheinlichkeitsbegriffes.
Mögliche Schülerantworten:
Merkmale
Zeitdauer
Anzahl der für mich gekauften Süßigkeiten
Ich darf draußen bleiben.
mögliche Ergebnisse
A: < 10 min
B: 10 bis 20 min
C: > 20 min
A: keine
B: 1 bis 3
C: > 3
A: ja
B: nein
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 10 Minuten
11
vgl. Hinweise S. 17
Bedingungen
– Art des Marktes
– Kaufwünsche
– Angebote des Marktes
– vorhandene Süßigkeiten
– Versprechungen
– meine Wünsche
– Wetter
– Spielmöglichkeiten
4.2 Vorschläge zum Themenbereich „Stochastik“ in Klasse 5
31
Aufgabe 2
Fritz behauptet: „Eine Reißzwecke fällt immer mit der Spitze nach oben.“ Anne sagt: „Es ist wahrscheinlicher, dass eine Reißzwecke mit der Spitze nach oben fällt, als dass sie auf der Seite liegt.“
Wie könnte man überprüfen, ob Fritz bzw. Anne Recht haben?
In dieser Aufgabe geht es um die Begriffe „gleichwahrscheinlich“ und „mehr oder weniger wahrscheinlich“ bei nicht symmetrischen Objekten und zwei möglichen Ergebnissen eines zufälligen Vorgangs.
Es soll die oft vorhandene Fehlvorstellungen überwunden werden, dass bei zwei Ergebnissen die
Wahrscheinlichkeiten immer gleich sind. Beim regulären Würfel oder beim Werfen von Münzen haben
die Schüler durch eine entsprechende Anzahl von Versuchen erfahren, dass die Ergebnisse alle
gleichwahrscheinlich sind.
Die Schüler festigen weiterhin die Einsicht, dass Aussagen zur Wahrscheinlichkeit durch Experimente
überprüft werden können und man nur durch eine entsprechend große Anzahl an Versuchen die Behauptungen (Hypothesen) überprüfen kann.
Mögliche Schülerantworten:
Die Aussage von Fritz kann man leicht experimentell widerlegen, indem man eine Reißzwecke so
lange wirft, bis sie zum ersten Mal auf die Seite fällt. Man kann aber auch ohne Werfen überlegen, wie
die Reißzwecke auf der Unterlage aufkommen müsste, damit sie auf die Seite fällt. Schließlich könnten die Schüler auch an Hand eigener Erfahrungen die Aussage widerlegen.
Mathematischer Hintergrund: Um die Aussage von Anne zu überprüfen, muss eine möglichst große
Zahl von Versuchen durchgeführt werden. Beim Werfen von normalen Reißzwecken beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass die Reißzwecke mit der Spitze nach oben liegt etwa 40 %. Bei 100 Würfen liegt
die zu erwartende relative Häufigkeit des Ereignisses „Die Reißzwecke fällt mit Spitze nach oben“ mit
einer Wahrscheinlichkeit von 99 % im Intervall 0,4 ± 0,13 und bei 500 Würfen im Intervall 0,4 ± 0,057.
Als Zusatz können die Schüler ein Experiment planen und zu Hause durchführen. Nach dem Durchführen des Experimentes können die Schüler nach weiteren Beispielen für Vorgänge suchen, bei denen die Gleichwahrscheinlichkeit überprüft werden kann (z. B. Dauer von Rot- und Grün-Phasen einer
Ampel).
Zeit für selbstständige Schülerarbeit (ohne Experiment): 10 Minuten
Aufgabe 3
Was könnten die Angaben in dem Diagramm bedeuten?
12
10
Diese Aufgabe kann zur Festigung des Lesens von
Diagrammen dienen. Die Schüler entwickeln eigene
Ideen, für welche Daten dieses Diagramm stehen
kann.
8
Hinweise zu möglichen Schülerantworten:
2
6
4
0
Absolute Häufigkeiten für
1
– Auswertung einer Klassenarbeit
– Notenverteilung in der Klasse
– Ergebnisse bei 28 Würfen eines Würfels
– Anzahl der Katzen bei einem Wurf
– sechs verschiedene Freizeitbeschäftigungen von Schülern
Messwerte für
– Niederschlagsmenge / Höchsttemperaturen an 6 Tagen
– Massen für 6 Körper
2
3
poly
4
5
6
alent
Die unterschiedliche Qualität der Antworten ergibt sich aus den gefundenen beiden Deutungen als
Häufigkeit oder Messwert und der Anzahl der gefundenen konkreten Beispiele.
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 15 Minuten
32
4.2 Vorschläge zum Themenbereich „Stochastik“ in Klasse 5
Aufgabe 4
Der Tourismusverband Mecklenburg-Vorpommern möchte wissen, wie viele Urlauber im September
ungefähr auf der Insel Rügen waren. Wie könnte der Tourismusverband dies ermitteln?
Diese Aufgabe kann eingesetzt werden, wenn die Schüler erste Erfahrungen zur Auswertung von
Daten gesammelt haben. Hier werden den Schülern die vielfältigen Möglichkeiten und dabei zu beachtenden Probleme des Sammelns von Daten bewusst gemacht.
Hinweise zu möglichen Schülerantworten:
Eine Idee sollte jeder Schüler finden. Weiterführende Gedanken sind die Betrachtung auftretender Probleme und die Überlegung, dass eine Vollerhebung
oder eine Stichprobe möglich sind.
poly
alent
Ideen zum Sammeln von Daten
mögliche auftretende Probleme
Befragung der Hotels und Zimmervermieter
Berücksichtigung von Übernachtungen über die Monatsgrenzen hinweg, Tagesurlauber nicht erfasst
Autos von Rüganern und Tagesbesuchern;
Ausflüge von Urlaubern aufs Festland
Nicht alle Touristen besuchen Informationen, einige
vielleicht mehrfach.
Zählen der Autos, die über den Rügendamm
fahren
Zählen der Personen, die die Tourismusinformation besuchen
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 10 Minuten
Aufgabe 5
Alle Schüler einer 5. Klasse gaben in einer Umfrage ihre Lieblingstätigkeit an.
Stelle Fragen, die man mit diesen Daten beantworten kann.
Lieblingstätigkeit
Fußball spielen
Treffen mit Freunden
Lesen
Computerspielen
Anzahl der Schüler
3
8
10
6
Diese Aufgabe kann zur Übung der Auswertung von Tabellen dienen. Die Schüler haben die Möglichkeit, diese Daten auszuwerten und dabei Auswertungskriterien zu finden.
poly
alent
Hinweise zu möglichen Schülerantworten:
Frage
Wie viele Schüler sind in der Klasse?
Welches ist die häufigste Lieblingstätigkeit?
Was ist beliebter, Treffen mit Freunden oder Computerspielen?
Antwort
27
Lesen
Treffen mit Freunden
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 15 Minuten
Aufgabe 6
Stimmt dies in deiner Klasse? Überlege, mit welchen Daten man dies untersuchen könnte.
Hinweise zu möglichen Schülerantworten:
Mit der Aufgabe können die Kenntnisse und Fähigkeiten zur Planung und Auswertung von statistischen Untersuchungen weiterentwickelt werden. Klassendaten sind eine gute Möglichkeit, die Schüler
intensiv an dem Problem arbeiten zu lassen.
Zunächst sollte mit den Schülern die Formulierung: „Wir leben auf großem
Fuß“ diskutiert werden. Hier könnten folgenden Deutungen erfolgen:
1. Es könnte die Fuß- bzw. Schuhgröße gemeint sein, die im Mittel besonpoly
ders groß ist.
2. Es könnte auch um die finanziellen Verhältnisse bei den einzelnen Schülern gehen.
3. Es könnte der finanzielle Aufwand bei Klassenveranstaltungen gemeint sein.
alent
Zum Beantworten der Frage müssen neben den Daten der Klasse auch Daten aus vergleichbaren
Populationen (Schüler der Altersgruppe; 5. Klassen) vorhanden sein. Diese werden in der Regel nicht
vorliegen, so dass nur eine Diskussion der Möglichkeiten zur Datenerfassung erfolgen kann.
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 20 Minuten
4.2 Vorschläge zum Themenbereich „Stochastik“ in Klasse 5
33
Aufgabe 7
Diese Zuschauertabelle ist nach dem letzten Spieltag einer Bundesliga-Saison entstanden.
Jede Mannschaft bestreitet in einer Saison 17 Heimspiele.
Zuschauerzahlen bei den Heimspielen der Mannschaften
Mannschaft
am letzten
Spieltag
Minimum in der
Saison
Maximum in der
Saison
FC Bayern München
66 000
22 500
66 000
1. FC Köln
20 600
20 600
50 374
MSV Duisburg
61 500
14 000
66 000
DSC Arminia Bielefeld
35 000
18 000
35 000
a) Formuliere Fragen, die man mithilfe der Angaben aus der Tabelle
beantworten kann und gib die jeweiligen Antworten an.
poly
b) Vergleiche die Zuschauerzahlen und stelle eine Reihenfolge der
Mannschaften auf.
Gib an, wie du die Mannschaften geordnet hast und was dies bedeuten könnte.
alent
Das Hauptziel der Aufgabe ist die Entwicklung der Fähigkeiten im Lesen von Tabellen und in der Formulierung von Fragen, die mit Daten beantwortet werden können. Dabei werden die sprachlichen
Fähigkeiten der Schüler entwickelt. Es werden die Wörter Minimum und Maximum geübt. Die Schüler
müssen weiterhin Zahlen lesen können und es werden die schriftlichen Verfahren der Addition und der
Subtraktion natürlicher Zahlen wiederholt und geübt. Es können auch Vorstellungen zu großen Zahlen
entwickelt werden, wenn geeignete Vergleiche etwa mit Einwohnerzahlen von Städten angestellt werden. Ausgehend von der Angabe der maximalen Zuschauerzahl beim 1. FC Köln kann auch über
sinnvolle Angaben und gerundete Werte bzw. Schätzungen diskutiert werden.
Hinweise zu möglichen Schülerantworten:
Zu a)
Bei welcher Mannschaft waren am letzten Spieltag die meisten / die wenigsten Zuschauer?
Welche der vier Mannschaften hatte in der Saison die meisten / die wenigsten Zuschauer?
Bei welcher Mannschaft ist der Unterschied zwischen Minimum und Maximum am größten / am kleinsten?
Wie viele Zuschauer waren am letzen Spieltag in den vier Stadien insgesamt anwesend? (183100)
Wie viele Zuschauer waren bei den Heimspielen von Bayern München mindestens / maximal anwesend? (22 500 · 16 + 66 000 = 426 000 / 22 500 + 66 000 · 16 = 1 078 500)
b)
M … München; K … Köln; D … Duisburg; B … Bielefeld
Reihenfolge
KBDM
Merkmal
Anzahl der Zuschauer
am letzten Spieltag
–
–
DBKM
B K D/M
BKMD
Minimum der Zuschauerzahlen
Maximum der Zuschauerzahlen
Differenz zwischen Maximum und Minimum
–
–
–
–
–
mögliche Bedeutungen
Wie spannend war es bei den Mannschaften am
letzten Spieltag?
Wie waren die Zuschauer mit dem Abschneiden
der Mannschaften zufrieden?
Wie treu sind die Fans, wenn es nicht so läuft?
Wie viele Zuschauer kommen, wenn es gut läuft
oder der Gegner interessant ist?
Wie stabil sind die Zuschauerzahlen?
Wie lassen sich die Anhänger der Mannschaften
durch die Leistungen beeinflussen?
Wie treu sind die Fans?
Bei Teilaufgabe a) können die Fragen von unterschiedlicher Qualität und die Anzahl der gefundenen
Fragen verschieden sein.
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 20 Minuten
Aufgabenempfehlungen: Aufgaben 1, 3 und 5
34
4.2 Vorschläge zum Themenbereich „Stochastik“ in Klasse 5
Aufgaben zur Stochastik
1. Du gehst mit deinen Eltern in einen Einkaufsmarkt.
Gib verschiedene Merkmale an, die man bei diesem Vorgang betrachten kann und nenne
Bedingungen, von denen die Wahrscheinlichkeit der möglichen Ergebnisse abhängt.
2. Fritz behauptet: „Eine Reißzwecke fällt immer mit der Spitze nach oben.“
Anne sagt: „Es ist wahrscheinlicher, dass eine Reißzwecke mit der Spitze nach oben fällt,
als dass sie auf der Seite liegt.“
Wie könnte man überprüfen, ob Fritz bzw. Anne Recht haben?
3. Was könnten die Angaben in dem Diagramm bedeuten?
12
10
8
6
4
2
0
1
2
3
4
5
6
4. Der Tourismusverband Mecklenburg-Vorpommern möchte wissen, wie viele Urlauber im
September ungefähr auf der Insel Rügen waren.
Wie könnte der Tourismusverband dies ermitteln?
5. Alle Schüler einer 5. Klasse gaben in einer
Umfrage ihre Lieblingstätigkeit an.
Stelle Fragen, die man mit diesen Daten
beantworten kann.
Lieblingstätigkeit
Anzahl der Schüler
Fußball spielen
3
Treffen mit Freunden
8
Lesen
10
Computerspiele
6
6. Stimmt dies in deiner Klasse?
Überlege, mit welchen Daten
man dies untersuchen könnte.
7. Diese Zuschauertabelle ist nach dem letzten Spieltag einer Bundesliga-Saison entstanden. Jede Mannschaft bestreitet in einer Saison 17 Heimspiele.
Zuschauerzahlen bei den Heimspielen der Mannschaften
Mannschaft
am letzten Minimum in der Saison Maximum in der Saison
Spieltag
FC Bayern München
66 000
22 500
66 000
1. FC Köln
20 600
20 600
50 374
MSV Duisburg
61 500
14 000
66 000
DSC Arminia Bielefeld
35 000
18 000
35 000
a) Formuliere Fragen, die man mithilfe der Angaben aus der Tabelle beantworten kann
und gib die jeweiligen Antworten an.
b) Vergleiche die Zuschauerzahlen und stelle eine Reihenfolge der Mannschaften auf.
Gib an, wie du die Mannschaften geordnet hast und was dies bedeuten könnte.
4.3 Vorschläge zum Themenbereich „Gebrochene Zahlen“ in Klasse 5
35
4.3 Themenbereich „Gebrochene Zahlen“
4.3.1 Ziele und Schwerpunkte
Forderungen der Bildungsstandards
Die Schülerinnen und Schüler
− können ein Gefühl für Zahlen entwickeln,
− können den Aufbau des Dezimalsystems verstehen,
− können die Notwendigkeit der Zahlenbereichserweiterung an Beispielen begründen,
− nutzten sinntragende Vorstellungen von gebrochenen Zahlen entsprechend der Verwendungsnotwendigkeit,
− stellen Zahlen der Situation angemessen dar,
− rechnen mit gebrochenen Zahlen, die im täglichen Leben vorkommen, auch im Kopf,
− können Messergebnisse und berechnete Größen in sinnvoller Genauigkeit darstellen,
− können gebrochene Zahlen ordnen und vergleichen,
− erkennen Beziehungen zwischen verschiedenen Darstellungsformen gebrochener Zahlen,
− nutzen zur Kontrolle Überschlagsrechnungen und andere Verfahren.
Planungsvorschlag
Thema
Std.
Schwerpunkte
Bemerkungen
3.1 Bruchbegriff, Darstellen von Brüchen auf dem Zahlenstrahl
Verwenden von
Brüchen
4
• Entwickeln inhaltlicher Vorstellungen von Brüchen durch schrittweise Anreicherung mit verschiedenen Aspekten
• Einführung der Begriffe Bruch,
Zähler, Nenner, Bruchstrich
• Brüche als Teile eines Ganzen
• Brüche als Zahlenwerte von Größen
• Bruch als Teil einer Menge
Darstellen von Brüchen auf dem Zahlenstrahl
3.2 Erweitern und
Kürzen von Brüchen
− Die Aspekte sollen nicht explizit thematisiert werden
− konkrete Handlungen zum
Teilen von Ganzen durchführen
− Verwenden von gemischten
Zahlen; Anknüpfen an Kenntnisse über Brüche als Maßzahlen
− auf ganzzahlige Anteile beschränken
− auf Teilbarkeit der Größenangabe durch Nenner beschränken
• Bruchteile von Größen
• Fertigkeiten im Bestimmen von
Bruchteilen
• Bruch als Ergebnis einer Divisions− nur als Ergänzung
aufgabe
• Einführen der Begriffe echter und
Aufgaben 1, 2 und 4
unechter Bruch
• Identifizieren von Punkten
• Darstellen für ausgewählte Nenner
3
• inhaltliche Vorstellungen vom Er− beides gleich gemischt üben
weitern und Kürzen
− Beschränken auf einfache Er• Fertigkeiten im Erweitern und Kürweiterungs- und Kürzungszen
zahlen
− ausführliche Schreibweise
lange beibehalten
− Kürzen größerer Zahlen nur
schrittweise ausführen
Aufgabe 2
36
4.3 Vorschläge zum Themenbereich „Gebrochene Zahlen“ in Klasse 5
Thema
3.3 Vergleichen und
Ordnen gleichnamiger Brüche
Std.
3
Addieren und Subtrahieren gleichnamiger Brüche
3.4 Dezimalbrüche
Erweiterung der
Stellentafel
– Vergleiche begründen lassen,
als Begründung auch Kenntnisse über Lage echter bzw.
unechter Brüche auf dem
Zahlenstrahl nutzen
Aufgabe 3
• erste Erfahrungen im Addieren und − auch einige Beispiele mit unSubtrahieren von Brüchen
gleichnamigen Brüchen, z.B.
½ + ¼, Lösung auf anschauli• einfache Umwandlungen von gecher Grundlage
mischten Zahlen in unechte Brüche und umgekehrt durch Rückführung auf Addition gleichnamiger
Brüche
• erste Erfahrungen im Vergleichen
von Brüchen
• Einführung von Dezimalbruch und − Anknüpfen an Kommader Stellensprechweise
schreibweise bei Größenangaben
• Bedeutung der Endnullen erfassen
• Umwandeln von Dezimalbrüchen
in Zehnerbrüche und umgekehrt
• Kenntnisse zur Zuordnung bestimmter Brüche zu Dezimalbrüchen ausbilden und festigen
• Erkennen der Skaleneinteilung,
− Anknüpfen an das Darstellen
Zuordnen von Skalenwerten
natürlicher Zahlen auf dem
Zahlenstrahl
Ablesen von Skalenwerten
3.5 Vergleichen, Ordnen und Runden
von Dezimalbrüchen
Vergleichen und
Ordnen von Dezimalbrüchen
Runden von Dezimalbrüchen
3
3.6 Rechnen mit Dezimalbrüchen
Addieren und Subtrahieren von Dezimalbrüchen
6
Multiplizieren von
Dezimalbrüchen mit
Dezimalbrüchen
Bemerkungen
2
Dezimalbrüche und
Zehnerbrüche
Multiplizieren und
Dividieren von Dezimalbrüchen mit
Zehnerpotenzen
Multiplizieren von
Dezimalbrüchen mit
natürlichen Zahlen
Schwerpunkte
• Vergleichen von Dezimalbrüchen
durch schrittweisen Stellenvergleich
• Können im Runden von Dezimalbrüchen
• Festigung der Rundungsregeln
• sichere Kenntnis der Regel zum
Addieren bzw. Subtrahieren von
Dezimalbrüchen, Anwenden beim
mündlichen und schriftlichen Rechnen
• Festigung der Kopfrechenfertigkeiten mit natürlichen Zahlen
• Lösen von Gleichungen durch
Zerlegen von Zahlen bzw. Umkehrung von Rechenoperationen
• Erarbeiten der Regel
• sicheres Können im Anwenden der
Regeln, auch bei Sachproblemen
− Bezug zum Vergleichen natürlicher Zahlen
− Vorbereitung der Wertschrankenbestimmung von Näherungswerten
− Arbeit mit Pfeilen wird empfohlen
− Vorbereitung des Umrechnens von Größen
• Erarbeiten und Festigen der Regel
• Erarbeiten der Regel und erste
Fertigkeiten im Anwenden
• Gewöhnen an Kontrolle
• Festigung der Kopfrechenfertigkeiten
− Da die Multiplikation gemeiner Brüche erst in Kl. 6 erfolgt, wird eine Plausibilitätserklärung empfohlen
− Beachtung typischer Fehler
z.B. 0,3 · 0,2 ≠ 0,6!
4.3 Vorschläge zum Themenbereich „Gebrochene Zahlen“ in Klasse 5
Thema
Std.
Schwerpunkte
Bemerkungen
• Anwenden der Multiplikation von
Dezimalbrüchen
− In den Sachaufgaben werden
nur Sachverhalte benutzt, in
• Weiterführung der Warenmengedenen direkte Proportionalität
Preis-Berechnungen aus der
vorliegt.
Grundschule
Auswahl von Schwerpunkten entsprechend der Klassensituation:
Aufgaben 2 und 3
• Integration der Kenntnisse zu Brüchen und Dezimalbrüchen
• Rechengesetze und Vorrangregeln
• Integration der behandelten Rechenoperationen
• Arbeit mit großen Zahlen
• Lösen von Sachaufgaben zur Multiplikation von Dezimalbrüchen
Lösen von Sachaufgaben
3.7 Gemischte Aufgaben
37
4
Summe 25
4.3.2 Hinweise zu den Aufgaben12
Aufgabe 1
Gib gemeinsame und unterschiedliche Bedeutungen von „Bruch“ in folgenden Wortverbindungen an.
Vergleiche mit einem „Bruch“ in der Mathematik.
(1) ein Steinbruch
(2) ein Knochenbruch
(3) ein Bruchteil der Klasse
Das Ziel der Aufgabe ist die Ausbildung reichhaltiger Vorstellungen zum mathematischen Bruchbegriff und sein Einbettung in das Begriffsnetz der Schüler.
Hinweise zu möglichen Schülerantworten:
Gemeinsam ist allen Bedeutungen, dass etwas zerlegt / geteilt wird. In einem Steinbruch werden Steine von einem Gesteinsmassiv abgebrochen. Da man das gesamte Gesteinsmassiv meist nicht kennt,
kann man nicht sagen, welchen Anteil ein Stein daran ausmacht. Es gibt deshalb keine Bezüge zum
Bruchbegriff in der Mathematik. Bei (2) wird ein Gegenstand zerbrochen, in zwei oder mehrere Teile
zerlegt. Man könnte ermitteln, welchen Anteil jedes Knochenstück an der Länge, der Masse oder dem
Volumen des ganzen Knochens hat. Dies kann auch mit einem Bruch im mathematischen Sinne ausgedrückt werden. Bei (3) wird nichts zerstört oder zerbrochen, sondern es ist eine bestimmte (sehr
geringe) Anzahl von Schülern einer Klasse gemeint. Diesen Anteil gibt man in der Regel immer mit
einem Bruch im mathematischen Sinne an. (ein Fünftel der Klasse).
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 10 Minuten
Aufgabe 2
Finde gemeinsame und unterschiedliche Eigenschaften der Brüche:
1
4
, 34 , 62 , 38 , 75 und
2
8
.
Das Ziel dieser Aufgabe ist die Festigung der Begriffe Zähler, Nenner, echter Bruch und unechter
Bruch. Die Schüler verwenden die Begriffe beim Vergleich, nutzen die Eigenschaften von echten und
unechten Brüchen sowie die Darstellung natürlicher Zahlen durch einen Bruch.
Hinweise zu möglichen Schülerantworten:
–
1
4
und
3
8
sind echte Brüche, der Zähler ist bei diesen Brüchen kleiner als der Nenner, ihr Wert ist
–
kleiner als 1.
6
7
2 und 5 sind unechte Brüche, ihr Zähler ist größer als der Nenner, die Brüche sind größer als 1.
–
Bei den Brüchen
3
8
12
3
4
, 62 ,
3
8
,
7
5
haben die gleichen Nenner.
vgl. Hinweise S. 17
sind die Nenner unterschiedlich. Die Brüche
1
4
und
3
4
sowie
2
8
und
38
4.3 Vorschläge zum Themenbereich „Gebrochene Zahlen“ in Klasse 5
3
4
und 38 haben die gleichen Zähler, bei den übrigen Brüchen sind die Zähler verschie-
–
Die Brüche
–
den.
Der Bruch
6
2
stellt eine natürliche Zahl dar. Er hat den gleichen Wert wie die Zahl 3.
–
Die Brüche
1
4
und
–
2
8
haben den gleichen Wert.
Weitere Merkmale:
o Unterschied zwischen Zähler und Nenner gleich;
o Zähler/Nenner sind gerade/ungerade Zahlen;
o Nenner ist ein Vielfaches des Zählers
Hinweise zum Einsatz der Aufgabe:
Auch ohne Kenntnis des Erweiterns und Kürzens können Schüler die Äquivalenz von
1
4
und
2
8
an-
schaulich erfassen. Ein Einsatz der Aufgabe ist auch zur Festigung / Kontrolle (Komplexe Übung /
Vorbereitung der Klassenarbeit / mündliche Leistungskontrolle / tägliche Übung) der Begriffe möglich.
Die unterschiedlichen Qualitäten der Antworten ergeben sich aus der Zahl der gefundenen Gemeinsamkeiten, der sicheren Verwendung der Begriffe und dem Erkennen von Beziehungen.
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 10 Minuten
Aufgabe 3
Falte ein quadratisches Stück Papier (z.B. einen quadratischen Notizzettel) so,
dass du mit Hilfe der entstandenen Faltkanten 34 des Papiers färben kannst.
Diese Aufgabe dient der Festigung des Bruchbegriffs bzw. der Festigung von
Brüchen als Teile eines Ganzen. Es kann die Bedeutung von Zähler- und Nennerdefinitionen, die Veranschaulichung von Brüchen im Bild sowie das Erweitern von Brüchen gefestigt werden.
Hinweise zum Einsatz der Aufgabe:
– Es muss eine der Klassenstärke entsprechende Anzahl von „Notizzetteln“ bereitgestellt werden.
– Durch weiteres Falten des Blattes entsteht eine Übung zum Erweitern von Viertel- auf Achtelbrüche.
– Der gleiche Bruch repräsentiert gleich große Flächen unterschiedlicher Gestalt.
– Die gleiche Fläche kann verschiedenen Bruchdarstellungen zugeordnet werden (z.B. 21 = 24 )
Hinweise zu möglichen Schülerantworten:
Die Schüler können das Papier in verschiedener Weise
falten, so dass 4 gleiche Teile entstehen. Es ist jeweils
möglich (zumindest theoretisch), noch weiter zu falten,
so dass 8 (16, …) gleiche Teile entstehen.
– Die Kennzeichnung von 34 kann ebenfalls in verschiedenen Varianten erfolgen.
Eine Differenzierung ergibt sich aus der Anzahl der gefundenen Falt- und Färbemöglichkeiten.
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 15 Minuten
Aufgabe 4
1
1
kleiner als
ist.
3
4
Es können verschiedene Aspekte des Bruchbegriffs gefestigt werden. Die
Aufgabe erfordert Überlegungen zur Verwendung von Brüchen im täglichen
Leben. Erworbenes Wissen zum Begriff Bruch in seiner Vielfalt kann angewendet werden, ebenfalls das Vergleichen und Erweitern von Brüchen.
Finde möglichst viele verschiedene Erklärungen dafür, dass
Hinweise zu möglichen Schülerantworten:
– Vergleich über gleiche Zähler, verschiedene Nenner – je kleiner der Nenner, desto größer der
Bruch, d.h. über die Definition des Nenners
– Vergleich durch Veranschaulichung der Brüche im Bild (z. B. im Rechteck 3 cm mal 4 cm)
Auszählen der „kleinen Quadrate“
– Vergleich durch Berechnung als Teile von Ganzen (z.B. 41 / 31 von 12 kg)
–
–
Vergleich durch Darstellung auf dem Zahlenstrahl
Vergleich von 41 / 31 Liter Wasser, eventuell auch durch Abfüllen im Messbecher
4.3 Vorschläge zum Themenbereich „Gebrochene Zahlen“ in Klasse 5
–
–
39
Vergleich über die Vorstellung der Torte / der Pizza
Vergleich auch durch das Erweitern beider Brüche auf gleiche Nenner möglich (z.B.
1
3
=
4
12
, 123 <
4
12
⇒
1
4
1
4
= 123 ,
< 31 )
Hinweise zum Einsatz der Aufgabe:
Das Vergleichen ungleichnamiger Brüche sollte erst in Klasse 6 als Fertigkeit ausgebildet werden.
Diese Aufgabe bietet sich auch zum Einsatz in der Freiarbeit / Stationsarbeit an. Sie kann Teil einer
komplexen Übung zum Bruchbegriff sein.
Folgende Arbeitsmittel sollten bereitgestellt werden: Messbecher, Papier, Schere, Kreisvorlagen mit
Winkelkennzeichnung am Rand, eventuell auch ein Pizzaessen möglich
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 20 Minuten
Aufgabe 5
Beschrifte die übrigen vier Markierungen der Skalen. Finde verschiedene Möglichkeiten.
1
2
Analog zur Aufgabe aus dem Bereich der natürlichen Zahlen ist das Ziel dieser Aufgabe auch die Entwicklung von Fertigkeiten im Ablesen von Skalen. Die Aufgabe ist eine Umkehraufgabe der Standardaufgabe im Ablesen von Werten aus beschrifteten Skalen. Um mehrere Lösungen zu finden, ist die
Anwendung von Verfahren zum Erweitern und Kürzen sowie zum Umwandeln in Dezimalbrüche hilfreich.
1
4
1
2
3
4
1
5
4
0
1
2
1
3
2
2
0,4
1
2
0,6
0,7
0,8
0,3
1
2
0,7
0,9
1,1
Mögliche Schülerantworten:
Die unterschiedliche Qualität der Schülerantworten zeigt sich in der Zahl der gefundenen Lösungen,
dem Verwenden verschiedener Repräsentationen gebrochener Zahlen (gemeine Brüche, gemischte
Brüche, Dezimalbrüche), dem Einbeziehen negativer Werte und Überlegungen zur Zahl verschiedener
Lösungen.
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 15 Minuten
Aufgabe 6
a) Gib Brüche an, deren Summe 1 ergibt.
b) Gib Brüche an, deren Summe 2 ergibt
Ziel der Aufgabe ist die Entwicklung von Vorstellungen zum Bruchbegriff. Abhängig vom Wert der
Summe können sich die Summanden auf echte Brüche beschränken bzw. sind unechte Brüche nötig.
Hinweise zu möglichen Schülerantworten:
Möglich ist die Zerlegung in zwei Summanden der Form
den Summenwert 1 bzw.
m
und
2n - m
m
n
und
n-m
n
(m, n ∈ N, n ≥ m, n > 0) für
für den Summenwert 2. Für die Summe 2 ist das Rechnen
n
n
mit unechten oder gemischten Brüchen nötig. Eine Zerlegung in mehr als zwei Summanden ist eine
höherwertige Schülerantwort. Die unterschiedliche Qualität der Schülerantworten zeigt sich darüber
hinaus in der Zahl der gefundenen Lösungen, der Betrachtung von Sonderfällen (Ein Summand ist 0.)
oder allgemeinen Betrachtungen zur Lösungsmenge.
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 15 Minuten
Aufgabenempfehlungen: Aufgaben 1, 2 und 3
40
4.3 Vorschläge zum Themenbereich „Gebrochene Zahlen“ in Klasse 5
Aufgaben zu gebrochenen Zahlen
1. Gib Gemeinsamkeiten und Unterschiede in der Bedeutung des Wortes „Bruch“ in folgenden Wortverbindungen an.
(1) ein Bruchteil der Schüler
(2) ein Knochenbruch
(3) ein Steinbruch
2. Finde gemeinsame und unterschiedliche Eigenschaften der Brüche
1
4
, 3 , 6 , 3 , 7 und
4
2
8
5
2
8
.
3. Falte ein quadratisches Stück Papier (z.B. einen quadratischen Notizzettel) so, dass du
mit Hilfe der entstandenen Faltkanten 3 des Papiers färben kannst.
4
Wie viele verschiedene Möglichkeiten findest du?
4. Finde möglichst viele verschiedene Erklärungen dafür, dass
5.
6.
1
4
kleiner als
1
3
ist.
Beschrifte die übrigen vier Markierungen der Skalen. Finde verschiedene Möglichkeiten.
1
2
1
2
1
2
1
2
a) Gib Brüche an, deren Summe 1 ergibt.
b) Gib Brüche an, deren Summe 2 ergibt.
4.4 Vorschläge zum Themenbereich „Größen“ in Klasse 5
41
4.4 Themenbereich „Größen“
4.4.1 Ziele und Schwerpunkte
Forderungen der Bildungsstandards
Die Schülerinnen und Schüler
– nutzen das Grundprinzip des Messens, insbesondere bei der Längen-, Flächen- und Volumenmessung auch in außermathematischen Bereichen,
– wählen Einheiten von Größen situationsgerecht aus (insbesondere für Zeit, Masse, Geld, Länge)
und wandeln sie ggf. um,
– schätzen Größen mit Hilfe von Vorstellungen über geeignete, alltagsbezogene Repräsentanten,
– nehmen in ihrer Umwelt gezielt Messungen vor, entnehmen Maßangaben aus Quellenmaterial,
führen damit Berechnungen durch und bewerten die Ergebnisse.
Planungsvorschlag
Thema
Rückblick
Std.
1
Schwerpunkte
•
•
4.1 Währung
2
•
•
•
4.2 Masse
3
•
•
•
•
4.3 Zeit
3
•
•
•
4.4 Länge
3
•
•
Auftreten und Bestandteile einer
Größenangabe
Vorleistung aus der Grundschule:
o Kenntnisse über die qualitative Bestimmung, die wichtigsten Einheiten und Umrechnungszahlen von Größen
o Vorstellungen zu wichtigen
Einheiten der Größen Geld,
Länge, Zeit, Masse und mit
Einschränkung Volumen
Umrechnung von Größenangaben
Festigung im Addieren und Subtrahieren von Dezimalbrüchen
Festigung des proportionalen
Schließens (von der Einheit auf
die Vielheit)
–
Vertiefung der Größenvorstellung, Schätzen
Erarbeiten einer Schrittfolge zum
Umrechnen von Größenangaben
Anwenden der Schrittfolge, auch
gemischte Größenangaben
Lösen von Sachaufgaben
Vertiefung der Größenvorstellung, Schätzen
Umrechnen von Größenangaben
Berechnen von Zeitspannen,
Lesen von Fahrplänen
Vertiefung der Größenvorstellung, Schätzen, auch unter Verwendung der eigenen Körpermaße
Umrechnen von Größenangaben, auch gemischte Angaben
Bemerkungen
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Zur Entwicklung von Größenvorstellungen zur Masse
können Balkenwaagen
durch die Schüler gebaut
und ausprobiert werden.
(Die Stunden hierfür sollten
aus der Planungsreserve
genommen werden.)
42
4.4 Vorschläge zum Themenbereich „Größen“ in Klasse 5
Thema
Std.
4.5 Gemischte Aufgaben
3
Schwerpunkte
•
•
•
gemischte Aufgaben zur Umrechnung und zum Schätzen
Rechenoperationen mit Größen
komplexe Untersuchung eines
Sachverhaltes (z.B. Projekt)
Bemerkungen
Aufgaben 3 und 4
sowie Projekte:
"Aufarbeitung von Datenmaterial"
- geeignete Themen:
Planung einer Klassenfahrt
oder Wanderung
- Arbeit in Gruppen, nach Grobablauf
- empfohlen:
- Klärung des Gesamtproblems mit der Klasse
- Festlegung der zu lösenden
Teilaufgaben
- Arbeit in den Gruppen
- Vorstellung der Arbeitsergebnisse
Summe 15
4.4.2 Hinweise zu den Aufgaben13
Aufgabe 1
Vergleiche die Bedeutung des Wortes „Größe“ in den folgenden Sätzen.
(1) Die Größe von Napoleon soll 1,69 m betragen haben.
(2) Napoleon war ein großer Feldherr.
Die Aufgabe dient den Schülern zum Bewusstmachen verschiedener Aspekte des Begriffs "Größe"
und zur Erarbeitung der Merkmale für die Verwendung des Begriffs „Größe“ in der Mathematik.
In der Umgangssprache wird der Begriff Größe sowohl zur Beschreibung von messbaren Eigenschaften eines Objekts, als auch qualitativ zur Betonung einer Eigenschaft oder der besonderen Bedeutung
eines Objekts oder Ereignisses benutzt.
Diese Aufgabe eignet sich auch zum Einstieg in das Thema bzw. bei der Reaktivierung von Wissen
und Können aus der Grundschule.
Hinweise zu möglichen Schülerantworten:
Im Satz (1) ist die Körpergröße gemeint und im Satz (2) die Bedeutsamkeit von Napoleon.
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 5 Minuten
Mögliche Weiterführungen und Verallgemeinerungen:
Verwendung des Wortes Größe für nicht messbare Eigenschaften:
Größe eines Augenblicks
eine Größe in der Politik
→
→
Bedeutsamkeit einer besonderen Situation
eine besondere Persönlichkeit
Verwendung des Wortes Größe für messbare Eigenschaften:
Umgangssprache
Größe des Zimmers
Größe des Gefäßes
Schuhgröße
Größe einer Familie
Größe des Hefters
→
→
→
→
→
messbare Eigenschaft
Flächeninhalt, Volumen
Volumen, Länge (Höhe)
Länge des Schuhs
Anzahl der Personen
Flächeninhalt, Seitenlängen
Diese Aufgabe wird den unterschiedlichen Fähigkeiten der Schüler im Argumentieren und im mündlichen Ausdruck gerecht.
13
Vgl. Hinweise S. 17
4.4 Vorschläge zum Themenbereich „Größen“ in Klasse 5
43
Aufgabe 2
Anne, Boris, Carolin und
Dominik spielen oft zusammen Oldtimer-Autoquartett.
Sie haben die Daten Ihrer
Lieblingslimousinen in
einer Tabelle zusammengestellt und können sich
nicht einigen, welches
Auto das Größte ist.
Wie würdest Du entscheiden? Begründe!
Höchstgeschwindigkeit in km/h
Länge in mm
Breite in mm
Höhe in mm
Leistung in kW
Umdrehungszahl in U/min
Hubraum
Baujahr
Anne
174
4100
1620
1360
70
5750
1490
1983
Boris
188
3500
1650
1100
96
5400
1962
1980
Carolin
173
3700
1610
1400
71
6500
1290
1955
poly
Dominik
180
4100
1600
1400
83
6500
1570
1962
alent
Ziel der Aufgabe ist das Entwickeln von Vorstellungen zur Bedeutung verschiedener Größen. Vor Bearbeitung der Aufgabenstellung durch die Schüler sollte die Bedeutung aller verwendeten Größen geklärt werden. Dabei kann auf das Vorwissen an
Technik interessierter Schüler zurückgegriffen werden. Als weiterführende Aufgabe bietet sich der
Vergleich dieser Daten mit denen heutiger Automodelle an.
Hinweise zu möglichen Schülerantworten:
Im einfachsten Fall kann die Größe des Autos als seine Höhe oder seine Länge interpretiert werden.
Je nach verwendetem Kriterium sind Carolins und Dominiks (Höhe je 1400 mm), Boris' (Breite = 1650 mm) oder Annes und Dominiks (Länge jeweils 4100 mm) das größte Auto. Die Hinzuziehung eines zweiten Kriteriums zur endgültigen Entscheidung kennzeichnet ein höheres Niveau der
Aufgabenlösung. Qualitativ hohe Schülerantworten können durch die simultane Berücksichtigung
mehrerer Eigenschaften wie Länge, Breite und Höhe entstehen. Obwohl kein Auto quaderförmig ist,
könnte – ähnliche Karosserieformen der Limousinen vorausgesetzt – das Produkt aus Länge, Breite
und Höhe als Vergleichswert für den Rauminhalt des Autos dienen. In diesem Fall wäre Dominiks
Auto das größte. Das Einbeziehen interner technischer Daten, wie der Größe des Hubraums, ist eine
weitere denkbare Interpretationsmöglichkeit. Die Qualität der sprachlichen Darstellung ist ein weiterer
qualitativer Aspekt der Schülerantwort.
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 15 Minuten
Aufgabe 3
Anja muss 1,23 € bezahlen. Sie gibt der Kassiererin 2 € und erhält 6 Münzen zurück. Ist das möglich?
Begründe. Kann die Kassiererin das Wechselgeld mit weniger Münzen herausgeben?
Hinweise zu möglichen Schülerantworten:
Diese Aufgabe kann bei der Größe Währung eingesetzt werden. Anhand einer Alltagssituation sollen
die Schüler nachweisen, dass sie im Umgang mit Münzen sicher sind und verschiedene Lösungen,
Überlegungen, Lösungswege und Ergebnisse beschreiben und verständlich darstellen können. Die
Aufgabe ist für den Einstieg in das Stoffgebiet geeignet.
Hinweise zu möglichen Schülerantworten:
poly
alent
77 ct (6 Münzen):
→
77 ct (5 Münzen):
77 ct (4 Münzen):
→
→
50 ct + 10 ct + 10 ct + 5 ct + 1 ct + 1 ct
50 ct + 20 ct + 2 ct + 2 ct + 2 ct + 1 ct
50 ct + 20 ct + 5 ct + 1 ct + 1 ct
50 ct + 20 ct + 5 ct + 2 ct
Mit dieser Aufgabe können die Unterschiede der Schüler in den allgemeinen geistigen Fähigkeiten wie
dem Analysieren, dem schöpferischen Denken, dem systematischen Darstellen und der Anstrengungsbereitschaft berücksichtigt werden.
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 10 Minuten
Aufgabe 4
Gib Paare von Einheiten an, deren Umrechnungszahl 10 (100, 1000, 60) ist.
Finde verschiedene Möglichkeiten.
Diese Aufgabe ist eine Umkehraufgabe zum Umrechnen von Größen. Notwendig zum Lösen ist eine
inhaltliche Vorstellung von Größen und deren Einheiten. Sinnvoll ist in diesem Zusammenhang, zu
jeder Einheit jeweils ein Vergleichsobjekt prototypisch zu verinnerlichen, welches dann automatisch
ins visuelle Arbeitsgedächtnis gerufen wird. Diese Aufgabe kann bei allen Größen eingesetzt werden.
44
4.4 Vorschläge zum Themenbereich „Größen“ in Klasse 5
Hinweise zu möglichen Schülerantworten:
Die Reihenfolge der Einheiten kann auch vertauscht werden.
Umrechnungszahl
Einheitenpaare
1000
100
10
60
t – kg; kg – g; g – mg; km – m; mm – m;m – l; l – ml; cm – mm ; …
€ - ct; dt – kg; cm – m; km² - ha; m² - dm²; cm² - mm²; hl – l; …
t – dt; m – dm; cm – dm, cm – mm; …
h – min; min – s
3
3
3
Eine Differenzierung ergibt sich durch die Anzahl der gefundenen Einheitenpaare.
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 30 Minuten
Aufgabe 5
a) Nenne Eigenschaften eines Brotes, die du mit mathematischen Größen beschreiben kannst.
Gib die Größe und sinnvolle Einheiten der Größe an.
b) Finde andere Gegenstände, auf die du die Aufgabenstellung übertragen kannst.
In dieser Aufgabe müssen die Schüler zeigen, dass sie mit den Größen sinnvoll umgehen und diese
im Alltag anwenden können. Dabei wird der mathematische Größenbegriff gefestigt. Die Schüler üben
sich im Beschreiben und verständlichen Darstellen ihrer Überlegungen, Lösungswege und Ergebnisse. Diese Aufgabe kann bei der Bearbeitung aller Größen eingesetzt werden, aber auch bei gemischten Aufgaben am Ende des Stoffgebietes.
Hinweise zu möglichen Schülerantworten:
Objekt
a) Brot
b) z.B. Glühlampe
z.B. Kühlschrank
Eigenschaft
Preis
Gewicht
Größe
Länge
Backdauer
Preis
Betriebsdauer
Höhe
Durchmesser
Preis
Stellfläche
Länge/ Breite/ Höhe
Größe
Größe
Währung
Masse
Volumen
Länge
Zeit
Währung
Zeit
Länge
Länge
Währung
Flächeninhalt
Länge
Volumen
sinnvolle Einheiten
€; ct
g; kg
cm³; l
cm
min; h
€, ct
h
cm
cm
€
m²
m; cm
l
Es ist möglich, dass die Schüler den Größen nur Einheiten zuordnen, aber auch zugehörige Zahlenwerte angeben.
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 30 Minuten
Aufgabe 6
Frau Müller will mit der Bahn von Schwerin nach Stralsund fahren. Frau Müller muss um 10:00 Uhr in
Stralsund sein. Für die Fahrt zum Bahnhof benötigt sie eine halbe Stunde. Wann sollte sie ihre Wohnung spätestens verlassen haben?
Hinweise zu möglichen Schülerantworten:
Die Aufgabe dient dem Entwickeln von Größenvorstellungen zur Zeit. Binnendifferenziertes Arbeiten
ergibt sich durch Unterschiede in der Einbeziehung verschiedener Einflussgrößen, wie z.B.: „Wie erfolgt die Fahrt zum Bahnhof – mit Fahrrad, Auto, öffentlichen Verkehrsmitteln?“, „Was umfasst die
Fahrt zum Bahnhof – nur die reine Fahrzeit oder auch Wartezeiten für ÖPNV bzw. Parkplatzsuche
und Weg zum Bahnsteig?“, „Muss Frau Müller noch eine Fahrkarte kaufen und wie lange könnte das
dauern?“, „Wo in Stralsund findet das Treffen statt: direkt am Bahnhof oder an einem anderen Ort?
Muss der Wege zum Treffpunkt berücksichtigt werden?“, „Für welchen Zug entscheidet sich Frau Müller - schnell, bequem (ohne Umsteigen) oder preiswert?“
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 30 Minuten
Aufgabenempfehlungen: Aufgaben 2, 5 und 6
4.4 Vorschläge zum Themenbereich „Größen“ in Klasse 5
45
Aufgaben zu Größen
1. Vergleiche die Bedeutung des Wortes „Größe“ in den folgenden Sätzen.
(1) Die Größe von Napoleon soll 1,69 m betragen haben.
(2) Napoleon war ein großer Feldherr.
2. Anne, Boris, Carolin und Dominik spielen oft
zusammen Oldtimer-Autoquartett. Sie haben
die Daten Ihrer Lieblingslimousinen in einer
Tabelle zusammengestellt und können sich
nicht einigen, welches Auto das Größte ist.
Wie würdest Du entscheiden? Begründe!
Abb. mit freundlicher Genehmigung von www.best-classics.de
Anne
174
4100
1620
1360
70
5750
1490
1983
Höchstgeschwindigkeit in km/h
Länge in mm
Breite in mm
Höhe in mm
Leistung in kW
Umdrehungszahl in U/min
Hubraum
Baujahr
Boris Carolin Dominik
188
173
180
3500
3700
4100
1650
1610
1600
1100
1400
1400
96
71
83
5400
6500
6500
1962
1290
1570
1980
1955
1962
3. Anja muss 1,23 € bezahlen. Sie gibt der Kassiererin 2 € und erhält 6 Münzen zurück.
Ist das möglich? Begründe.
Kann die Kassiererin das Wechselgeld mit weniger Münzen herausgeben?
4. Gib Paare von Einheiten an, deren Umrechnungszahl 10 (100, 1000, 60) ist.
Finde verschiedene Möglichkeiten.
5. a) Nenne Eigenschaften eines Brotes, die du jeweils mit einer mathematischen Größe
beschreiben kannst.
b) Finde andere Gegenstände, auf die du die Aufgabenstellung übertragen kannst.
6. Frau Müller will mit der Bahn von Schwerin nach Stralsund fahren. Im Internet hat Frau
Müller folgende Zugverbindungen gefunden:
Strecke
Zeit
Schwerin Hbf
Stralsund
Schwerin Hbf
Stralsund
Schwerin Hbf
Stralsund
Schwerin Hbf
Stralsund
Schwerin Hbf
Stralsund
Schwerin Hbf
Stralsund
ab 05:46
an 07:58
ab 06:55
an 09:26
ab 07:46
an 09:58
ab 08:37
an 10:41
ab 09:46
an 11:58
ab 10:37
an 12:51
Dauer Umsteigen
Zug
Preis
2:12
0
RE
24,60 € RE: Regionalexpress
2:31
1
RE
24,60 €
2:12
1
2:04
0
IC
30,00 € IC: Intercity
2:12
1
RE
24,60 €
2:14
0
IC
30,00 €
RE, NZ 30,00 € NZ: Nachtzug
Frau Müller muss um 10:00 Uhr in Stralsund sein. Für die Fahrt zum Bahnhof benötigt sie
eine halbe Stunde. Wann sollte sie ihre Wohnung spätestens verlassen haben?
46
4.5 Vorschläge zum Themenbereich „Ebene Geometrie“ in Klasse 5
4.5 Themenbereich „Ebene Geometrie“
4.5.1 Ziele und Schwerpunkte
Forderungen der Bildungsstandards
Die Schülerinnen und Schüler
− erkennen und beschreiben geometrische Strukturen in der Umwelt,
− operieren gedanklich mit Strecken, Flächen und Körpern,
− können ebene Figuren nach Eigenschaften sortieren und Fachbegriffe zuordnen,
− stellen geometrische Figuren im kartesischen Koordinatensystem dar,
− beschreiben und begründen Eigenschaften und Beziehungen geometrischer Objekte (wie Symmetrie, Lagebeziehungen) und nutzen diese im Rahmen des Problemlösens zur Analyse von
Sachzusammenhängen,
− wenden Sätze der ebenen Geometrie bei Konstruktionen und Berechnungen an,
− zeichnen und konstruieren geometrische Figuren unter Verwendung angemessener Hilfsmittel wie
Zirkel, Lineal, Geodreieck oder dynamischer Geometriesoftware,
− berechnen Flächeninhalt und Umfang von Rechtecken.
Planungsvorschlag
Thema
Rückblick
Std.
• Unterscheiden der Begriffe
Strecke, Strahl, Gerade
• Erzeugen und Zeichnen zueinander paralleler bzw. senkrechter Geraden
• Identifizieren zueinander paralleler bzw. senkrechter Geraden und Strecken
• Wiederholen der Begriffe „Abstand von Punkten“, „Abstand
eines Punktes von einer Geraden“; Einführung von Streifen
• Erzeugen von Figuren durch
Schnitt zweier Streifen
• Identifizieren von Vierecken
• Wiederholung der Begriffe
Kreis, Radius, Durchmesser
• Zeichen von Kreisen
Streifen, Abstand,
Vierecke
Kreis
Winkelbegriff, Winkelmaß, Winkel- und
Dreiecksarten
Bemerkungen
4
Strecke, Gerade,
Strahl
5.1 Winkelbegriff
Schwerpunkte
Aufgaben 1 und 2
− Der sichere Umgang mit
dem Zirkel ist eine wichtige Voraussetzung für
die weiteren Abschnitte.
6
• Wiederholung „rechter Winkel“, „senkrecht zueinander“
• Einführen des Begriffes „Winkel“, Bestandteile eines Winkels
• Bezeichnen von Winkeln, Übungen im Sprechen und
Schreiben von griechischen
Buchstaben
• Einführungen eines Winkelmaßes
• zu Winkelarten,
• Einteilung der Dreiecke nach
Winkeln
− keine Übungen zu überstumpfen Winkeln
− Mit einem beweglichen
Winkelmodell kann die
Stofffülle durch Visualisierung besser bewältigt
werden.
− Hinweis auf Bedeutungen des Winkelbegriffs
im Alltag
Aufgabe 3
4.5 Vorschläge zum Themenbereich „Ebene Geometrie“ in Klasse 5
Thema
Std.
Vergleichen, Messen
und Zeichnen von
Winkeln
5.2 Das Koordinatensystem
2
5.3 Spiegelungen
4
Spiegelung
5.4 Umfang und Flächeninhalt von Figuren
Der Umfang von
Figuren
Schwerpunkte
Bemerkungen
• Vergleichen von Winkeln nach
Augenmaß, mit Transparentpapier und durch Antragen
• erste Fertigkeiten im Messen
von Winkeln
• Hinweis auf Messfehler
• Schätzen von Winkelgrößen
• erste Fertigkeiten im Zeichnen
von Winkeln mit dem Geodreieck
• weitere Entwicklung der Fertigkeiten im Messen von Winkeln
• erste Bekanntschaft mit dem
Koordinatensystem als Möglichkeit, die Lage von Punkten
genau zu beschreiben
• erste Übungen im Ablesen
und Einzeichnen von Punkten
− Verdeutlichen, dass Größe eines Winkels unabhängig von Schenkellängen ist
− keine Übungen zu überstumpfen Winkeln
• Einführen von „achsensymmetrisch“ (symmetrisch) und
„Symmetrieachse"
• Untersuchen von Figuren auf
Achsensymmetrie
• Untersuchen von Vierecken
und Kreisen auf Symmetrie
• Verwenden von „Originalfigur“,
„Bildfigur“, „deckungsgleich“
• Einführen von „Spiegelung an
einer Geraden“, Merkmale der
Spiegelung
• Identifizieren von Spiegelungen
• Anwenden der Merkmale der
Spiegelung zum Zeichnen von
Spiegelbildern
• Entwicklung des Raumvorstellungsvermögens
Achsensymmetrische
Figuren
− Günstig ist, vor der
Zeichnung das Bild aus
der Vorstellung heraus
dünn zu skizzieren
− eine Kontrolle ist mit einem halbdurchlässigen
Spiegel möglich
6
• Vertiefen des Umfangsbegriffes; Berechnung von Umfängen geradlinig begrenzter Figuren; Hinweis auf nicht geradlinig begrenzte Figuren
• Berechnen des Umfangs von
Quadraten und Rechtecken inhaltlich und mithilfe einer Formel, Einführen eines Lösungsschemas
Der Flächeninhalt
von Figuren
47
• Vertiefung des Begriffes Flächeninhalt, Vergleichen und
Bestimmen von Flächeninhalten durch Auslegen und Auszählen, Hinweis auf Flä-
− Ausgehen vom Begriff
„Körperumfang“ (Kopfumfang, Bauchumfang)
möglich, inhaltliches Verständnis erreichen, nicht
auf Umfang bzw. Umfangsformel für Rechtecke einengen
− erstmaliges Arbeiten mit
einer Formel in der Geometrie
Aufgabe 5
48
4.5 Vorschläge zum Themenbereich „Ebene Geometrie“ in Klasse 5
Thema
Std.
Schwerpunkte
•
•
•
•
Berechnung des Flächeninhalts von
Rechtecken
•
5.5 Gemischte Aufgaben
4
•
•
Summe
cheninhalt nichtgradlinig begrenzter Figuren
Einführen der Flächeneinheiten und Umrechnungszahlen
Entwicklung von Größenvorstellungen zu wichtigen Einheiten
Umrechnen von Größenangaben
Kennenlernen von Formeln für
den Flächeninhalt eines Quadrates und eines Rechtecks,
Anwenden der Formeln, Festigen der Arbeit mit Formeln
formale und Sachaufgaben zur
Flächenberechnung
Integration der Kenntnisse zu
Längen und Flächeneinheiten
Integration der Kenntnisse zur
Umfangs- und Flächeninhaltsberechnung
Bemerkungen
− Finden der Formeln
durch Auslegen
Aufgaben 4 und 6
26
4.5.2 Hinweise zu den Aufgaben14
Die Aufgabenbeispiele berücksichtigen die Erfahrungswelt der Schüler und die fachspezifischen Leitideen Messen, Raum und Form sowie funktionaler Zusammenhang. Die Aufgaben 1 und 2 sind zur
Wiederholung und Festigung grundlegender mathematischer Begriffe geeignet, die die Schüler mit
bekanntem Wissen über ihre Umwelt in Beziehung bringen sollen. Sie sollen bei allen Aufgaben erkennen, dass Wörter völlig unterschiedliche Bedeutungen haben können, sowohl gleiche als auch unterschiedliche Bedeutungsteile besitzen können und dass die mathematischen Begriffe Idealisierungen realer Objekte darstellen. Dies führt zu Diskussionen, die auf unterschiedlichem Anspruchsniveau
geführt werden können. Es werden die sprachlichen Fähigkeiten der Schüler entwickelt.
Es geht nicht darum, dass alle aufgeführten Bedeutungen auch im Unterricht besprochen werden.
Aufgabe 1
Schreibe verschiedene Redewendungen auf, in denen das Wort „Punkt“ vorkommt und vergleiche ihre
Bedeutungen.
Hinweise zu möglichen Schülerantworten:
alent
Mit dem Wort Punkt kann ein kleiner kreisrunder Fleck bzw. Tupfen, ein
poly
punktförmiges Zeichen beim Schreiben, ein geographischer Ort, ein Zeitpunkt
bzw. Stadium innerhalb eines Prozesses (jetzt ist der Punkt gekommen, ein
toter Punkt) oder die Bestandteile eine Liste (die Punkte in einer Rede) bezeichnet werden.
Gemeinsame Bedeutungen einiger Objekte sind: es handelt sich um etwas Rundes, Kreisförmiges,
das in der Regel sehr klein ist; es handelt sich um etwas Bestimmtes, genau Festgelegtes (um einen
bestimmten Ort oder um einen bestimmten Zeitpunkt). Es können reale Objekte (Schriftzeichen) oder
auch nur gedankliche Objekte (Zeitpunkt, Punkte einer Rede) sein. Manchmal ist im Wort die Bedeutung enthalten, dass etwas zu einem bestimmten Abschluss gebracht wird (Punkt am Satzende, auf
den Punkt kommen).
In der Mathematik gehört der Begriff Punkt zu den nicht definierten Grundbegriffen. Ein Punkt besitzt
als ideelles Objekt keine Ausdehnung, lässt sich aber zeichnerisch darstellen und hat bei dieser Darstellung im Unterschied zum Denkobjekt immer auch eine bestimmte Fläche.
Man kann mit den Schülern über die Darstellung von Punkten sprechen. Es gibt dafür verschiedene
Möglichkeiten: ein Kreuz: ×, ein kleiner nicht ausgefüllter Kreis: ◦, ein kleiner ausgefüllter Kreis: •, ein
kleiner Strich senkrecht zu einer Linie (
) oder der Schnitt zweier beliebiger Linien. Es ist üblich,
aber nicht erforderlich, dass der Punkt auch beschriftet ist.
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 10 Minuten
14
vgl. Hinweise S. 17
4.5 Vorschläge zum Themenbereich „Ebene Geometrie“ in Klasse 5
49
Aufgabe 2
Finde Gemeinsamkeiten und Unterschiede in der Bedeutung des Wortes „Strecke“ in der Mathematik
und in den folgenden Formulierungen:
Auf der Strecke von Berlin nach Rostock kommt es zu Verspätungen im Zugverkehr.
a) Die letzte Strecke des Weges gingen sie zu Fuß.
b) Die Läufer legen eine Strecke von 100 m zurück.
Hinweise zu möglichen Schülerantworten:
poly
alent
Gemeinsamkeiten: Alle Strecken haben eine Länge. Alle Strecken haben je einen Anfangs- und Endpunkt, die allerdings bei der Bahnstrecke nicht eindeutig bestimmt sein müssen.
Unterschiede: Die Bahnstrecke und die Wegstrecke sind in der Regel nicht geradlinig, während eine
Laufstrecke von 100 Metern im Normalfall geradlinig ist. Bei einer Strecke in der Mathematik sind die
Endpunkte gleichberechtigt, man kann eigentlich nicht vom Anfangs und Endpunkt einer Strecke
sprechen. Bei den drei Strecken in der Realität sind die Endpunkte nicht gleichwertig, es handelt sich
jeweils um den Start und das Ziel einer gerichteten Bewegung.
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 10 Minuten
Aufgabe 3
Vergleiche die Bedeutung des Wortes „senkrecht“ in den folgenden Sätzen.
(1) Die Strecke AB ist senkrecht zur Geraden g.
(2) Der Zaunpfahl steht senkrecht.
Hinweise zu möglichen Schülerantworten:
Gemeinsamkeiten: In beiden Fällen treten rechte Winkel auf.
poly
alent
Unterschiede: Eine Strecke und eine Gerade bilA
den, wenn die Eckpunkte nicht auf der Geraden
g
liegen, vier rechte Winkel. Der Zaunpfahl und die
Erdoberfläche (eben, bei vernachlässigter Krümmung) bilden zwei rechte Winkel. Der Zaunpfahl ist
B
immer senkrecht zur Horizontalen. Wenn eine Gerade schräg zu einer Heftkante verläuft, dann verläuft auch die Strecke schräg zur Heftkante. Das Wort 'waagerecht' ist kein mathematischer Begriff,
sondern bezieht sich auf die Erdoberfläche. Ein Zaunpfahl kann senkrecht stehen und trotzdem
schräg zu seiner Standfläche sein, zum Beispiel an einem Hang.
Weitere Hinweise:
–
Wegen der doppelten Bedeutung des Wortes 'senkrecht' sollten die Schüler darauf orientiert werden, im Mathematikunterricht stets die Formulierung „senkrecht zu“ bzw. „senkrecht zu einander“
zu verwenden.
Es können auch Bezüge zur Bedeutung der Wörter lotrecht, horizontal und vertikal hergestellt werden.
Es handelt sich dabei ebenfalls nicht um mathematische Begriffe, sondern um Relationen, die Gemeinsamkeiten mit der Relation der Orthogonalität (rechter Winkel) in der Mathematik haben.
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 10 Minuten
Aufgabe 4
2
Ein Raum besitzt eine Grundfläche von 36 m .
Welche Form kann die Grundfläche dieses Raumes haben?
poly
alent
Hinweise zu möglichen Schülerantworten:
Als Lösungen können zunächst Rechtecke mit den entsprechenden Seitenlängen (Spezialfall: Quadrat mit Seitenlänge 6 m) erwartet werden. Das gründliche Analysieren des Sachverhaltes führt zum
Ausschluss wenig wahrscheinlicher Lösungsmöglichkeiten (z.B. 1 m × 36 m). Die Wahl nicht ganzzahliger Seitenlängen (z.B. 8,5 m × 4 m) erfordert ein tieferes Zahlenverständnis. Die Betrachtung verwinkelter Räume, d.h. von aus Rechtecken zusammengesetzten Figuren sind qualitativ höherwertige
Lösungsideen, ebenso wie allgemeine Lösungsvorschläge. Mathematisch begabte Schüler könnten
über den Schulstoff hinausgehende Formen einbeziehen, die keine Rechtecke sind oder in sie zerlegt
werden können (z.B. rechtwinklige Dreiecke).
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 10 Minuten
50
4.5 Vorschläge zum Themenbereich „Ebene Geometrie“ in Klasse 5
Aufgabe 5
Bauer Piepenbrink möchte mit 36 Zaunfeldern einen neuen Hühnerhof
einzäunen. Jedes Zaunfeld ist 1 m lang. Welche Form kann der
Hühnerhof haben?
poly
alent
Hinweise zu möglichen Schülerantworten:
Als Lösungen können zunächst Rechtecke mit den entsprechenden Seitenlängen (Spezialfall: Quadrat mit Seitenlänge 9 m) erwartet werden.
Beliebige rechteckige Aussparungen an den Ecken des Grundstücks
(s. Skizze) verändern den Umfang nicht.
Vielen Schülern ist bereits seit der Grundschule ein Verfahren zur Konstruktion eines regelmäßigen Sechsecks bekannt. Ein regelmäßiges
Sechseck mit der Seitenlänge 6 m ist beispielsweise eine Lösung der
Aufgabe, die von den Schülern auch zeichnerisch bewältigt werden
kann.
Allgemein sind alle Polygone, die sich aus 36 Zaunfeldern herstellen
lassen, Lösungen der Aufgabe.
Eine Betrachtung des realen Sachverhalts kann zu der Frage führen,
ob ein Teil des Hofes durch ein Gebäude begrenzt wird oder ein Eingang für das Gelände ausgespart werden sollte.
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 20 Minuten
Aufgabe 6
Beschreibe verschiedene Möglichkeiten, wie man den Flächeninhalt der Figur in der Skizze ermitteln
kann.
Hinweise zu möglichen Schülerantworten:
Das Ziel der Aufgabe ist das Finden einer Lösungsidee, bei der der kon2
krete Flächeninhalt als scheinbares Ergebnis der Aufgabe (82cm ) uninteressant ist. Schülern, deren Denken sich bevorzugt an konkreten Objekten orientiert, steht mit dem Auszählen der Kästchen jedoch die Möglichkeit einer zutreffenden Lösung offen. Die Zerlegung der Figur in Rechtecke und das Addieren der
Teilflächen ist eine denkbare Lösungsstrategie. Eine Berechnung des Flächeninhalts des umgebenden Rechtecks, vermindert um die Flächeninhalte der 4 ausgeschnittenen Eck-Quadrate verfolgt einen subtraktiven Ansatz. Anhand des Grades der Allgemeinheit der Lösung, des Einbeziehens einer
Skizze in die Beantwortung der Frage und der sprachlichen Güte der Schülerantworten kann die Qualität der Schülerantworten differenziert werden.
poly
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 20 Minuten
Aufgabenempfehlungen: Aufgaben 2, 5 und 6
alent
4.5 Vorschläge zum Themenbereich „Ebene Geometrie“ in Klasse 5
51
Aufgaben zur Geometrie in der Ebene
1. Schreibe verschiedene Redewendungen auf, in denen das Wort „Punkt“ vorkommt und
vergleiche ihre Bedeutungen.
2. Finde Gemeinsamkeiten und Unterschiede in der Bedeutung des Wortes „Strecke“ in der
Mathematik und in den folgenden Formulierungen:
a) Auf der Strecke von Berlin nach Rostock kommt es zu Verspätungen im Zugverkehr.
b) Die letzte Strecke des Weges gingen sie zu Fuß.
c) Die Läufer legen eine Strecke von 100 m zurück.
3. Vergleiche die Bedeutung des Wortes „senkrecht“ in den folgenden Sätzen:
(1) Die Strecke AB ist senkrecht zur Geraden g.
(2) Der Zaunpfahl steht senkrecht.
4. Ein Raum besitzt eine Grundfläche von 36 m2.
Welche Form kann die Grundfläche dieses Raumes haben?
5. Bauer Piepenbrink möchte mit 36 Zaunfeldern einen neuen Hühnerhof einzäunen. Jedes
Zaunfeld ist 1 m lang. Welche Form kann der Hühnerhof haben?
6. Beschreibe verschiedene Möglichkeiten, wie man den Flächeninhalt der Figur in der
Skizze ermitteln kann.
52
4.6 Vorschläge zum Themenbereich „Räumliche Geometrie“ in Klasse 5
4.6 Themenbereich „Räumliche Geometrie“
4.6.1 Ziele und Schwerpunkte
Forderungen der Bildungsstandards
Die Schülerinnen und Schüler
− können Körper und ebene Figuren nach Eigenschaften sortieren und Fachbegriffe zuordnen,
− Körper und ebene Figuren in der Umwelt wieder erkennen,
− berechnen Volumen und Oberflächeninhalt von Würfeln und Quadern sowie aus zwei Quadern
zusammengesetzte Körper,
− stellen Würfel und Quader als Netz und Schrägbild dar und erkennen Körper aus ihren entsprechenden Darstellungen,
− festigen ihr räumliches Vorstellungsvermögen,
− erkennen, beschreiben und nutzen räumliche Beziehungen.
Planungsvorschlag
Thema
Std.
Rückblick
4
6.1 Geometrische
Körper – Eigenschaften
von Quadern
6.2 Schrägbilder
von Quadern
2
6.3 Berechnen des
Oberflächeninhalts von
Quadern
6.4 Volumen von
Körpern
2
Volumen von
Körpern
4
Schwerpunkte
Bemerkungen
• Wiederholen und Systematisie- − Unterscheidungsmerkmale:
ren der Bezeichnungen und EiEcken, Kanten, Begrenzungsflägenschaften von Körpern
chen
• Vertiefen des Begriffes „Netz
− Das Arbeiten mit Netzen dient vor
eines Quaders bzw. Würfels“
allem der Entwicklung des räumlichen Vorstellungsvermögens.
• Zuordnen, Vervollständigen
Aufgabe 1
bzw. Zeichnen von Netzen
• Identifizieren und Realisieren
− als Zusatz:
von Würfeln und Quadern
Symmetrieebenen von Quadern
Aufgabe 2
• Eigenschaften von Quadern
Aufgabe 3
• Einführen von „Schrägbild“ als
Schattenbild
• Kenntnis eines Verfahrens zum
Zeichnen von Schrägbildern auf
Gitterpapier, Vervollständigen
und Anfertigen von Schrägbildern
• Anwenden der Flächeninhalts- − Rückführung auf Bekanntes, auf
formeln für Rechtecke
Formel kann verzichtet werden
Aufgabe 4
6
• Begriff Volumen (Rauminhalt)
eines Körpers, Vergleichen und
Bestimmen des Volumens
durch Zerlegen in volumengleiche Teilkörper und Auszählen
der Teilkörper
• Entwicklung von Größenvorstellungen zu den Einheiten des
Volumens
• Umrechnen von Volumenangaben
Aufgabe 5
4.6 Vorschläge zum Themenbereich „Räumliche Geometrie“ in Klasse 5
Thema
Std.
Berechnung des
Volumens von
Quadern
6.5 Gemischte
Aufgaben
6
Schwerpunkte
53
Bemerkungen
• Kennenlernen von Formeln für − Finden der Formel durch Auslegen
das Volumen, Anwendung der
eines Quaders
Formeln, Festigung der Arbeit
Aufgabe 6
mit Formeln
• funktionale Betrachtungen
• Sachaufgaben zur Volumenberechnung, Festigung der Vorgehensweisen zum Lösen von
Sachaufgaben
Auswahl von Schwerpunkten entsprechend der Klassensituation
• Integration der Kenntnisse zur
Flächen- und Volumenberechnung
• Umrechnung von Größen, Entwickeln von Größenvorstellungen
• Ermittlung und Berechnung von
Flächeninhalten und Volumina,
Größenvorstellungen
• Zeichnen bzw. Ergänzen von
Schrägbildern
• Knobelaufgaben zum räumlichen Vorstellungsvermögen
Summe 24
4.6.2 Hinweise zu den Aufgaben15
Aufgabe 1
poly
alent
Vergleiche die 6 Körper miteinander. Finde eine gemeinsame
Eigenschaft mehrerer Körper. Schreibe die Eigenschaft auf und gib die
Nummern der Körper an, die diese Eigenschaft haben. Finde möglichst viele weitere gemeinsame
Eigenschaften.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Alle sechs dargestellten Körper sind den Schülern bereits aus der Grundschule namentlich bekannt,
wobei die Schüler bei dieser Aufgabe nicht die Namen den Körpern zuordnen müssen. Die Aufgabe
dient der Festigung der Merkmale von Körpern und der damit verbundenen Begriffe Ecke, Spitze,
Kante, Begrenzungsfläche, eben und gekrümmt. Die Aufgabe kann deshalb entweder im Rückblick
zur Wiederholung oder in den gemischten Übungen verwendet werden.
Hinweise zu möglichen Schülerantworten
Die Schüler könnten folgende Eigenschaften von Körpern mit den dazugehörigen Nummern der abgebildeten Körper nennen.
16
(A) Körper, die nur ebene Begrenzungsflächen haben: (1), (4), (5)
(B) Körper mit ebenen und gekrümmten Begrenzungsflächen: (2), (6)
(C) Körper, die gekrümmte Begrenzungsflächen haben: (2), (3), (6)
(D) Körper mit einer Spitze (2), (5)
17
(E) Körper, die Kanten haben: (1), (4), (5)
15
Vgl. Hinweise S. 17
Es sollte mit Blick auf die weitere Behandlung der Körper generell von Begrenzungsflächen und nicht von Seitenflächen gesprochen werden, obwohl dies bei Würfeln und Quadern durchaus üblich ist.
16
54
4.6 Vorschläge zum Themenbereich „Räumliche Geometrie“ in Klasse 5
(F)
(G)
(H)
(I)
(J)
(K)
Körper mit sechs Flächen, acht Ecken und 12 Kanten: (1), (4)
Körper, die rollen können: (2), (3), (6)
Körper, die sich stapeln lassen: (1), (4), (6)
Körper, die eine Grundfläche haben: (1), (2), (4), (5), (6)
Körper, die eine Grundfläche und eine Deckfläche haben: (1), (4), (6)
Körper, die ein Netz haben: (1), (2), (4), (5), (6)
Die Eigenschaft (F) kann auch noch weiter untergliedert werden.
Eine Differenzierung ergibt sich durch die Anzahl der gefundenen Eigenschaften, aber auch durch den
Bekanntheitsgrad der Eigenschaften. Die Eigenschaften (A) bis (F) sollten von allen Schülern gefunden werden können. Die Eigenschaften (G) und (H) betreffen die Funktionalität der Körper und die
Eigenschaften (I) bis (K) sind wahrscheinlich nur wenigen Schülern bekannt.
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 15 Minuten
Aufgabe 2
Nenne verschiedene Beispiele für Gegenstände, die die Form eines Quaders haben.
Hinweise zu möglichen Schülerantworten:
Bei dieser Aufgabe geht es um die Ausprägung des Wechselverhältnisses von formalen und inhaltlichen Aspekten der Körperbegriffe. Das Wort Quader bezeichnet sowohl einen mathematischen Körper als auch die Form von realen Gegenständen, die mit diesem Begriff mathematisch modelliert werden. Die Ausprägung dieses Wechselverhältnisses ist eine wesentliche Grundlage für die Anwendbarkeit der Körperbegriffe.
Mit dem Wort Quader wird auch ein behauener Steinblock von der Form eines Quaders bezeichnet.
Von den Schülern könnten z. B. folgende Gegenstände genannt werden: Buch, Schreibblock, Tischplatte, CD-Hülle, Mauerstein, bestimmte Schränke, Verpackungen oder Häuser. Dabei ist eine Diskussion sinnvoll, inwieweit man bestimmte Gegenstände noch als quaderförmig bezeichnen kann.
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 10 Minuten
Aufgabe 3
Zeichne verschiedene Schrägbilder eines Würfels auf Kästchenpapier.
Hinweise zu möglichen Schülerantworten
poly
alent
Mit dieser Aufgabe können die Fertigkeiten im Zeichnen von Schrägbildern und
das räumliche Vorstellungsvermögen entwickelt werden.
Mögliche Lösungen, von denen die erste und dritte durch alle Schüler gefunden werden könnten:
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 20 Minuten
Aufgabe: 4
Der Oberflächeninhalt eines Quaders beträgt 52 cm². Wie groß könnten die Seitenflächen sein?
Hinweise zu möglichen Schülerantworten:
Die Aufgabe dient der Festigung des Begriffes Oberfläche eines Körpers und der Kenntnisse über die
Oberfläche von Quadern.
Mögliche Schülerantworten sind alle Tripel, die zusammen 26 cm² ergeben, also z. B.: (10 cm²,
10 cm², 6 cm²) oder (6 cm², 8 cm², 12 cm²). Zu jedem Tripel lassen sich die entsprechenden Kanten17
Der Begriff Kante wird in der Mathematik in zwei Bedeutungen verwendet, im engeren Sinne als eine geradlinige und im weiteren Sinne auch als eine krummlinige eindimensionale Figur. In der Schule sollten unter Kanten
nur Strecken, d. h. geradlinige Figuren verstanden werden.
4.6 Vorschläge zum Themenbereich „Räumliche Geometrie“ in Klasse 5
55
längen des Quaders eindeutig ermitteln, was allerdings den Schülern der 5. Klasse noch nicht möglich
ist, da dies auf die Lösung einer quadratischen Gleichung führt. Durch Probieren könnten einige Schüler eventuell auf einen Quader mit den Kantenlängen 2 cm, 3 cm und 4 cm kommen. Dies ist die einzige ganzzahlige Lösung.
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 20 Minuten
Aufgabe 5
Jessica will aus 64 Würfeln einen Quader legen.
poly
Aufgabe 6
alent
3
Ein großer Raum in einem Bürogebäude hat ein Volumen von 60 m . Gib mehrere Möglichkeiten für
seine Abmessungen an.
Mit den Aufgaben 5 und 6 können die Kenntnisse der Schüler zur Volumenberechnung von Quadern gefestigt werden. Es handelt sich jeweils um eine Umkehraufgabe zur Volumenberechnung bei gegebenen
Kantenlängen. Bei beiden Aufgaben müssen ebenfalls die konkreten
Sachverhalte berücksichtigt werden.
poly
alent
Hinweise zu möglichen Schülerantworten:
Antworten bei Aufgabe 5: Die Zahl 64 ist in ein Produkt aus drei Faktoren zu zerlegen. Es sind folgende Tripel möglich: (1, 1, 64), (1, 2, 32), (1, 4, 16), (1, 8, 8), (2, 2,16), (2, 4, 8), (4, 4, 4). Alle Lösungen können von den Schülern durch systematisches Probieren gefunden werden. Inhaltlich ist zu beachten, dass die Würfelbauten jeweils verschiedene Formen haben können. So können im ersten Fall
alle 64 Würfel nebeneinander gelegt oder übereinander gestapelt werden.
Antworten bei Aufgabe 6: Die Anzahl der möglichen Antworten ist beliebig groß, da auch nicht ganzzahlige Längenmaße möglich sind. Aus inhaltlicher Sicht wären bei ganzzahligen Maßen folgende
Abmessungen sinnvoll: 3 m, 4 m und 5 m, wobei ein Längenmaß jeweils die Höhe des Raumes darstellen könnte. Bei Verwendung gebrochener Zahlen könnten Schüler auch auf folgende Tripel kommen: (2,5 m; 4 m, 6 m), (2,5 m; 3 m; 8 m), (2 m; 4 m; 7,5 m), (2,5 m; 3,2 m; 7,5 m), (4 m, 4 m, 3,75 m).
Diese Möglichkeiten können die Schüler u. a. durch weiteres Zerlegen und Zusammensetzen der Zahlen finden: 60 = 3 · 4 · 5 = 2 · 1,5 · 2 · 2 · 2 · 2,5
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: jeweils 20 Minuten
Aufgabenempfehlungen: Aufgaben 1, 3 und 6
56
4.6 Vorschläge zum Themenbereich „Räumliche Geometrie“ in Klasse 5
Aufgaben zur Geometrie im Raum
1. Vergleiche die 6 Körper miteinander. Finde eine gemeinsame Eigenschaft mehrerer Körper. Schreibe die Eigenschaft auf und gib die Nummern der Körper an, die diese Eigenschaft haben. Finde möglichst viele weitere gemeinsame Eigenschaften.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
2. Nenne verschiedene Beispiele für Gegenstände, die die Form eines Quaders haben.
3. Zeichne verschiedene Schrägbilder eines Würfels auf Kästchenpapier.
4. Der Oberflächeninhalt eines Quaders beträgt 52 cm².
Wie groß könnten die Seitenflächen sein?
5. Jessica will aus 64 Würfeln einen Quader legen.
6. Ein großer Raum in einem Bürogebäude hat ein Volumen von 60 m3.
Gib mehrere Möglichkeiten für seine Abmessungen an.
5.1 Vorschläge zum Themenbereich „Teilbarkeit“ in Klasse 6
5
57
Vorschläge für die Klasse 6
5.1 Themenbereich „Teilbarkeit“
5.1.1 Ziele und Schwerpunkte
Forderungen der Bildungsstandards
Die Schülerinnen und Schüler
– rechnen mit natürlichen Zahlen auch im Kopf,
– nutzen Rechengesetze, auch zum vorteilhaften Rechnen,
– wählen, beschreiben und bewerten Vorgehensweisen und Verfahren, denen Algorithmen bzw.
Kalküle zu Grunde liegen,
– prüfen und interpretieren Ergebnisse in Sachsituationen.
Planungsvorschlag
Thema
Mit Schwung ins
neue Schuljahr
1.1 Teilermengen
und Primzahlen
Std.
Schwerpunkte
Bemerkungen
2
• Reaktivierung der Kopfrechenfertigkeiten; Entwicklung des Interesses
am Mathematikunterricht; Auswahl
einiger Aufgaben:
o Rechenketten, Zahlenpyramiden
o Zahlenrätsel
o Knobel- und Scherzaufgaben
o Umrechnen von Größen
o Bilden von Termen
o Rechenspiele
o Fortsetzung von Zahlenfolgen
• Wiederholen des Rechnens mit Potenzen
• Bestimmen von Teilern und Vielfachen, Einführen einer Schreibweise
• Primzahlbegriff
• Untersuchungen von Eigenschaften
natürlicher Zahlen
• Zusatz: Erarbeiten und Anwenden der
Sätze zur Teilbarkeit von Summen
und Produkten
• Teilbarkeitsregeln für 2; 3; 5; 10 und
100
• Einführen von Quersumme und der
Teilbarkeitsregel für 3
• Untersuchung von Aussagen zur
Teilbarkeit
• Begriff kleinstes gemeinsames Vielfaches
• Einführen und Festigen des Verfahrens des Vervielfachens zum Bestimmen des kgV
• Einführen des Begriffes größter gemeinsamer Teiler, Anwenden beim
Kürzen
− Zu Beginn des neuen Mathematikunterrichts sollten
besondere Anstrengungen
unternommen werden.
− Zusatz: Kubikzahl
3
1.2 Teilbarkeitsregeln
3
1.3 Kleinstes gemeinsames Vielfaches
3
1.4 Größter gemeinsamer Teiler
1
Summe 12
− Zusatz: Zerlegung einer
Zahl in Primfaktoren
Aufgabe 1
− ein beispielgebundenes
Begründen ist ausreichend
− Zusatz: Teilbarkeitsregeln
für 4 und 8
− Zusatz: Teilbarkeitsregeln
für 9 und 6
Aufgaben 2, 3, 4 und 5
− Zusatz: Verfahren der
Primfaktorzerlegung
Aufgabe 6
− Zusatz: Euklidischer Algorithmus
58
5.1 Vorschläge zum Themenbereich „Teilbarkeit“ in Klasse 6
5.1.2 Hinweise zu den Aufgaben18
Aufgabe 1
Arne hat zwei Rechtecke aus sechs quadratischen Kästchen zusammengelegt.
Zeichne jeweils verschiedene Rechtecke, die aus folgenden Anzahlen quadratischer Kästchen zusammengelegt sind.
a) 12 Kästchen
b) 13 Kästchen
c) 14 Kästchen
Mögliche Schülerantworten:
Länge
Breite
1
12
12
1
a)
2 6
6 2
b)
3
4
4
3
1
13
13
1
1
14
c)
14 2
1 7
7
2
Hinweise zum Einsatz:
Das Ziel der Aufgabe ist die Erarbeitung bzw. Festigung des Begriffs Primzahl und die Festigung der
Fertigkeiten zu den Grundaufgabengleichungen der Multiplikation durch Zerlegung von Zahlen in Produkte aus 2 Faktoren.
Die unterschiedliche Qualität der Antworten zeigt sich in der Anzahl der gefundenen Lösungen, dem
Finden der maximalen Zahl der Möglichkeiten und der Möglichkeit für die weiter führenden Frage:
„Wann sind zwei Rechtecke verschieden?“
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 10 Minuten
Aufgabe 2
Finde dreistellige Zahlen, die durch folgende Zahlen teilbar sind. Suche besondere Zahlen.
a) 3
b) 5
c) 10
d*) 6
Mögliche Schülerantworten:
a) Die Schüler müssen Zahlen finden, deren Quersumme 3 ist. Dabei können sie u. a. auf folgende
Spezialfälle stoßen:
o drei gleiche Ziffern, die durch 3 teilbar sind: 333; 666; 999
o drei Ziffern, die alle durch 3 teilbar sind: z. B. 369; 663; 993
o drei aufeinander folgende Ziffern: z. B. 123; 345; 789
o alle Ziffern lassen den Rest 1 bei der Division durch 3: z. B. 147; 714
o alle Ziffern lassen den Rest 2 bei der Division durch 3: z. B. 258; 582
o eine Ziffer ist durch 3 teilbar, die anderen nicht: z. B. 372; 618
Antworten mit höherem Niveau: Schüler könnten auch herausfinden, welche Fälle nicht möglich sind
(z. B. 2 Ziffern durch 3 teilbar, eine nicht) und wie viele Zahlen es insgesamt gibt. (300)
b), c), d*) Auch hier können die Schüler nach Spezialfällen suchen, wie z. B.:
5 | 555, da Zahl auf 5 endet
5 | 210, da Zahl auf 0 endet
5 | 865, da Zahl auf 5 endet
10 | 410, da Zahl auf 0 endet
10 | 100, da Zahl auf 0 endet
6 │ 666, da jede Ziffer durch 6 teilbar i
6 │ 324, da gerade Zahl und QS …
Hinweise zum Einsatz:
Diese Aufgabe ist eine Umkehraufgabe zu den behandelten Teilbarkeitsregeln. Sie sollte deshalb
auch am Ende dieses Stoffabschnittes eingesetzt werden.
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 10 Minuten
18
Vgl. Hinweise S. 17
5.1 Vorschläge zum Themenbereich „Teilbarkeit“ in Klasse 6
59
Aufgabe 3
Finde zweistellige Zahlen, die zugleich durch folgende beiden Zahlen teilbar sind. Was fällt dir auf?
a) 2 und 5
b) 3 und 4
c) 4 und 6
Mögliche Schülerantworten:
a) 10; 20; … Alle Zahlen sind durch 10 teilbar.
b) Erhalten die Schüler 8 Lösungen, haben sie die maximale Anzahl aller Möglichkeiten, alle durch 12
teilbaren Zahlen, ermittelt: 12; 24; 36; 48; 60; 72; 84; 96
c) 12, 24; 36; … Es sind wieder alle durch 12 teilbaren Zahlen.
Weiterführende Überlegungen und Verallgemeinerungen:
o Wenn eine Zahl durch 2 und 5 teilbar ist, dann ist sie auch durch 10 teilbar.
o Wenn eine Zahl durch 3 und 4 teilbar ist, dann ist sie auch durch 12 teilbar.
o Wenn eine Zahl durch 4 und 6 teilbar ist, dann ist sie auch durch 12 teilbar.
o Wenn eine Zahl durch a und b teilbar ist, dann ist sie auch durch das kgV von a und b teilbar.
Hinweise zum Einsatz:
Das Ziel der Aufgabe ist die Festigung der betreffenden Teilbarkeitsregeln und die Entwicklung der
Verallgemeinerungsfähigkeiten der Schüler. Alle Schüler müssten erkennen, dass die Zahlen durch 10
bzw. 12 teilbar sind, was insbesondere von leistungsstarken Schülern verallgemeinert werden kann.
Bei der Bearbeitung der Aufgaben kann auch ein Bezug zum kgV hergestellt werden.
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 15 Minuten
Aufgabe 4:
Denke dir eine Zahl, die größer als 10 und kleiner als 1000 ist. Finde Zahlen, die mehrere Bedingungen erfüllen. Für jede Aussage, die auf deine Zahl zutrifft, erhältst du einen Punkt.
(1) Sie ist mehr als zweistellig.
(2) Sie ist ein Vielfaches von 4.
(3) Es ist eine gerade Zahl.
(4) Die Quersumme ist 3.
(5) Sie ist kleiner als 400.
(6) Alle Ziffern der Zahl sind Primzahlen.
(7) Sie enthält eine ungerade Ziffer.
(8) Es ist eine Quadratzahl.
(9) Die Ziffern werden von links nach rechts größer.
Mögliche Schülerantworten:
Jeder Schüler sollte eine Zahl finden, die die Eigenschaften (1), (5), (7) und (9) hat, wie z. B. 123.
Hinweise zum Einsatz:
Die Aufgabe ermöglicht eine Festigung der Begriffe Vielfaches, Quersumme, Primzahl, ungerade Zahl
und Quadratzahl durch Herstellen von Objekten, die Repräsentant möglichst vieler Begriffe sind.
Durch den Wettbewerbscharakter sind allerdings nicht alle Lösungen gleichwertig.
Mögliche Überlegungen auf höherem Niveau: Gibt es eine Zahl, die alle Bedingungen erfüllt?
Dies ist nicht möglich. Begründung: Es gibt mit 256 nur eine Zahl, die (1), (2), (3), (5), (7), (8) und (9)
erfüllt. Diese Zahl erfüllt jedoch nicht (4) und (6).
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 15 Minuten
Aufgabe 5
Ersetze die Sternchen so durch Ziffern, dass Zahlen mit den angegebenen Eigenschaften entstehen
a) Die Zahl ist durch 4 teilbar.
(1) *72
(2) 1*6
(3) 45*
b) Die Zahl ist durch 3 aber nicht durch 2 teilbar.
(1) 23*
(2) 4*1*
(3) *83*
Mögliche Schülerantworten:
a)
(1): Es sind alle Ziffern von 1 bis 9 möglich.
(2): 4 | 116
4 | 136
4 | 156
(3):
4 | 452
4 | 456
b) Es müssen stets ungerade Zahlen sein.
(1):
3 | 231
3 | 237
4 | 176
4 | 196
60
5.1 Vorschläge zum Themenbereich „Teilbarkeit“ in Klasse 6
(2):
3 | 4011
3 | 4317
3 | 4713
3 | 4017
3 | 4413
3 | 4719
3 | 4119
3 | 4419
3 | 4815
3 | 4113
3 | 4515
3 | 4911
3 | 4215
3 | 4611
3 | 4917
3
3
|
|
4311
4617
(3):
3 | 0831
3 | 3837
3 | 7833
3 | 0837
3 | 4833
3 | 7839
3 | 1833
3 | 4839
3 | 8835
3 | 1839
3 | 5835
3 | 9831
3 | 2835
3 | 6831
3 | 9837
3
3
|
|
3831
6837
Hinweise zum Einsatz:
Diese Aufgabe kann zur Systematisierung der Teilbarkeitsregeln für 4, 3 und 2 genutzt werden. Sie
stellt eine Umkehraufgabe zur Untersuchung von Zahlen auf Teilbarkeit dar.
Die unterschiedliche Qualität der Antworten zeigt sich sowohl in der Anzahl der gefundenen Lösungen, als auch in der möglichen Feststellung bei b), dass die Teilbarkeit durch 6 ausgeschlossen werden muss.
Zeit für selbstständige Schülerarbeit 15 Minuten
Aufgabe 6
Gib zwei Zahlen an, deren kgV 30 ist.
Mögliche Schülerantworten:
Jeder Schüler sollte das Paar (5; 6) finden, aber auch (5; 20) und (10; 20) sollten gefunden werden.
Hinweise zum Einsatz:
Die Aufgabe dient als eine Umkehraufgabe zur Berechnung des kgV dem Ausbilden von Fertigkeiten
im Ermitteln des kgV durch Vervielfachen der größeren Zahl.
Es sind folgende Überlegungen eines Schülers auf höherem Niveau möglich:
Wie viele Zahlenpaare gibt es? Welche Besonderheiten/Sonderfälle treten auf? Kann man die Lösungen in Gruppen einteilen?
Antworten zu diesen Überlegungen können sein:
1. Fall: Beide Zahlen sind teilerfremd, d. h. ihr Produkt ist 30.
2. Fall: Eine Zahl ist 30 und die andere ein Teiler von 30.
3. Fall: Die Zahlen sind nicht teilerfremd, keine Zahl ist 30 (oder keine ist Teiler der anderen).
Lösungen zu den Zusatzüberlegungen:
1. Zahl
2. Zahl
5
6
1. Fall
3
2
10 15
1
30
2
30
3
30
2. Fall
5
6
30 30
10
30
15
30
6
15
3. Fall
6 10
10 15
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 5 Minuten (ohne die Zusatzüberlegungen)
Aufgabenempfehlungen: Aufgaben 1, 2 und 6
5.1 Vorschläge zum Themenbereich „Teilbarkeit“ in Klasse 6
61
Aufgaben zur Teilbarkeit
1. Arne hat zwei Rechtecke aus sechs quadratischen Kästchen zusammengelegt.
Zeichne jeweils verschiedene Rechtecke, die aus folgenden Anzahlen quadratischer
Kästchen zusammengelegt sind.
a) 12 Kästchen
b) 13 Kästchen
c) 14 Kästchen
2. Finde dreistellige Zahlen, die durch folgende Zahlen teilbar sind.
Suche besondere Zahlen.
a) 3
b) 5
c) 10
d*) 6
3. Finde zweistellige Zahlen, die zugleich durch folgende beiden Zahlen teilbar sind.
Was fällt dir auf?
a) 2 und 5
b) 3 und 4
c) 4 und 6
4. Denke dir eine Zahl, die größer als 10 und kleiner als 1000 ist.
Finde Zahlen, die zugleich mehrere der folgenden Bedingungen erfüllen.
Für jede Aussage, die auf deine Zahl zutrifft, erhältst du einen Punkt.
(1) Sie ist mehr als zweistellig.
(2) Sie ist ein Vielfaches von 4.
(3) Es ist eine gerade Zahl.
(4) Die Quersumme ist 3.
(5) Sie ist kleiner als 400.
(6) Alle Ziffern der Zahl sind Primzahlen.
(7) Sie enthält eine ungerade Ziffer.
(8) Es ist eine Quadratzahl.
(9) Die Ziffern werden von links nach rechts größer.
5. Ersetze die Sternchen so durch Ziffern, dass Zahlen mit den angegebenen Eigenschaften entstehen.
a) Die Zahl ist durch 4 teilbar.
(1) *72
b) Die Zahl ist durch 3 aber nicht durch 2 teilbar. (1) 23*
6. Gib zwei Zahlen an, deren kgV 30 ist.
(2) 1*6
(3) 45*
(2) 4*1*
(3) *83*
62
5.2 Vorschläge zum Themenbereich „Gebrochene Zahlen“ in Klasse 6
5.2 Themenbereich „Gebrochene Zahlen“
5.2.1 Ziele und Schwerpunkte
Forderungen der Bildungsstandards
Die Schülerinnen und Schüler
− können ein Gefühl für Zahlen entwickeln,
− können den Aufbau des Dezimalsystems verstehen,
− können die Notwendigkeit der Zahlenbereichserweiterung an Beispielen begründen,
− nutzten sinntragende Vorstellungen von gebrochenen Zahlen entsprechend der Verwendungsnotwendigkeit,
− stellen Zahlen der Situation angemessen dar,
− rechnen mit gebrochenen Zahlen, die im täglichen Leben vorkommen, auch im Kopf,
− können Messergebnisse und berechnete Größen in sinnvoller Genauigkeit darstellen,
− können gebrochene Zahlen ordnen und vergleichen,
− erkennen Beziehungen zwischen verschiedenen Darstellungsformen gebrochener Zahlen,
− nutzen zur Kontrolle Überschlagsrechnungen und andere Verfahren.
Planungsvorschlag
Thema
Std.
2.1 Rückblick;
Begriff der gebrochenen Zahl
5
Schwerpunkte
•
•
•
•
2.2 Gleichnamigmachen von Brüchen
2
•
•
2.3 Vergleichen und
Ordnen von ungleichnamigen
Brüchen
3
•
•
•
2.4 Addieren und Subtrahieren von ungleichnamigen
Brüchen
5
•
•
Bemerkungen
Wiederholung von Aspekten des
Bruchbegriffes (Teile eines Ganzen, Teile einer Anzahl, Bruchteil
von Größen); Ermitteln der Ausgangsgröße; gemischte Zahlen
Wiederholung des Erweiterns und
Kürzens von Brüchen; Erweitern
auf Zehnerbrüche; Wiederholung
wichtiger Zuordnungen Dezimalbruch – Bruch
Einführung von „gebrochene
Zahl“, Darstellung von Brüchen
und Dezimalbrüchen auf dem
Zahlenstrahl
Beispiele für bevorzugte Anwendung einer der Darstellungsarten
Wiederholung von „gleichnamig“
und „ungleichnamig“
Einführen von „Hauptnenner“,
Wiederholung des Verfahrens zur
Bestimmung des kgV
− Die Entwicklung von
Fertigkeiten im Gleichnamigmachen sollte in
2.3 und 2.4 erfolgen
Wiederholung des Vergleichens
gleichnamiger Brüche
Festigung des Gleichnamigmachens, Vergleichen und Ordnen ungleichnamiger Brüche,
Anwendungen
Anwenden des Vergleichens beim
Lösen von Ungleichungen
Inhaltliches Verständnis des Verfahrens
Entwicklung sicherer Fertigkeiten
im Addieren und Subtrahieren von
zwei einfachen Brüchen mithilfe
folgender Aufgabentypen:
− Treten in einer Aufgabe
Brüche und Dezimalbrüche auf, sollte auf das
Arbeiten mit Dezimalbrüchen orientiert werden
5.2 Vorschläge zum Themenbereich „Gebrochene Zahlen“ in Klasse 6
Thema
2.5 Multiplizieren von
Brüchen
Std.
4
Schwerpunkte
− Diff.: unterschiedliche
Anzahl von Summanden
Inhaltliches Verständnis des Verfahrens
• Entwicklung erster Fertigkeiten im
Multiplizieren von zwei einfachen
Brüchen mithilfe folgender Aufgabentypen:
o Lösen formaler Rechenaufgaben, auch auf Quadrate
o Bestimmen eines Bruchteils
von Größen
o Vervielfachen von Brüchen
o Lösen von Gleichungen
o Inhaltsberechnungen
• erste gemischte Aufgaben zur
Identifizierung der Rechenart und
Wiederholung der Addition und
Subtraktion gemeiner Brüche
− Die Gleichungen sollten
durch Zerlegen in Produkte gelöst werden.
− Diff.: unterschiedliche
Anzahl der Faktoren
inhaltliches Verständnis des Verfahrens
• Einführung des Reziproken
• Entwicklung sicherer Fertigkeiten
im Dividieren von einfachen Brüchen mithilfe folgender Aufgabentypen
o Lösen formaler Rechenaufgaben
o Lösen von Sachaufgaben durch
Schließen auf die Einheit und
Dividieren
o Lösen von Gleichungen
− Die Sachaufgaben sollten möglichst auf zwei
Arten gelöst werden:
durch inhaltliche Überlegungen (z.B. proportionales Schließen) und
mithilfe einer Divisionsaufgabe.
•
3
•
2.7 Dividieren von
Dezimalbrüchen
Dividieren durch
eine natürliche Zahl
8
•
•
•
•
•
•
Periodische Dezimalbrüche
Bemerkungen
o Lösen formaler Rechenaufgaben
o Umwandeln von gemischten
Zahlen
o Übersetzen von Texten
o Lösen von Sachaufgaben
o Lösen von Gleichungen
• Festigung des Addierens und
Subtrahierens von Dezimalbrüchen
2.6 Dividieren durch
einen Bruch
Dividieren durch
einen Dezimalbruch
63
•
Aufgaben 1 und 5
Aufgabe 2
inhaltliches Verständnis des Verfahrens
Dividieren im Kopf, Dividieren
durch Zehnerpotenzen, schriftliches Dividieren, Überschlag
Sachaufgaben zum Schließen auf
die Einheit
inhaltliches Verständnis des Verfahrens
Übungen zum Verschieben des
Kommas, Dividieren im Kopf
Festigung der schriftlichen Division und des Überschlages
Kenntnis der Entstehung, der
Schreib- und Sprechweise periodischer Dezimalbrüche
− durch Vergleichen mit
dem Überschlag und
Durchführen einer Probe
(Multiplikation) sollten
das Bedürfnis zur Kontrolle weiterentwickelt
werden.
64
5.2 Vorschläge zum Themenbereich „Gebrochene Zahlen“ in Klasse 6
Thema
Std.
Schwerpunkte
•
•
Bemerkungen
2.8 Eigenschaften
gebrochener Zahlen
4
•
2.9 Gemischte Aufgaben
6
Auswahl eines Schwerpunktes entsprechend der Klassensituation:
• Geschicktes Lösen von Aufgaben
mit verschiedenen Rechenoperationen, Suchen von Fehlern
• Lösen von Sachaufgaben, Knobel- und Scherzaufgaben
• Projekt: Heimische Wälder
• Festigung der Anzahlbestimmung
• Berechnen relativer Häufigkeiten
Summe:
Aufgabe 8
Wiederholung des Vergleichens
von Dezimalbrüchen
Wiederholung des Rundens von
Dezimalbrüchen
Rückschau auf Zahlenbereichserweiterung:
o Ausführbarkeit von Rechenoperationen
o Zusammenhang von Q+ und N
• Anwendung der Rechengesetze
zum vorteilhaften Rechnen
− Diff.: Erkenntnis der
Dichtheit der gebrochenen Zahlen im Unterschied zu den natürlichen Zahlen
Aufgaben 3, 4, 6 und 7
40
5.2.2 Hinweise zu den Aufgaben19
Aufgabe 1
Stelle die gebrochene Zahl
1
als Summe zweier Brüche dar.
2
Ziele der Aufgabe:
Diese Umkehraufgabe zur Addition von ungleichnamigen Brüchen dient
der Ausbildung sicherer Fertigkeiten im Addieren zweier einfacher Brüche.
poly
Hinweise zu möglichen Schülerantworten:
Lösungen sind z.B.:
1
1 1
+
=
4
4 2
3
1
1
+
=
8
8
2
3
1 1
+ =
10 5 2
alent
1 1 1
+
=
3
6 2
Jeder Schüler sollte mindestens 2 Lösungen finden. Die unterschiedliche Qualität der Antworten zeigt
sich in der Anzahl der gefundenen Lösungen und der Berücksichtigung von Sonderfällen.
Mögliche Überlegungen auf höherem Niveau könnten sein:
– Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn die Brüche gleich sein sollen?
– Welche Möglichkeiten gibt es, wenn der Zähler beider Brüche 1 sein soll (Stammbrüche)?
– Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn die Nenner gleich sein sollen?
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 10 Minuten
Aufgabe 2
Stelle die gebrochene Zahl
Ziele der Aufgabe:
3
als Produkt zweier Brüche dar.
4
poly
alent
Diese Umkehraufgabe zur Multiplikation von ungleichnamigen Brüchen dient der Ausbildung sicherer
Fertigkeiten im Multiplizieren zweier einfacher Brüche.
19
vgl. Hinweise S. 17
5.2 Vorschläge zum Themenbereich „Gebrochene Zahlen“ in Klasse 6
65
Hinweise zu möglichen Schülerantworten:
7 24
3
1 3 3
15 1 3
9 4 3
⋅ =
⋅ =
⋅
=
⋅ =
4 1 4
4 5
4
8 28
4
16 3 4
Jeder Schüler sollte mindestens 2 Lösungen finden. Die unterschiedliche Qualität der Antworten zeigt
sich in der Anzahl der gefundenen Lösungen und der Berücksichtigung von Sonderfällen.
Mögliche Überlegungen auf höherem Niveau:
Welche Sonderfälle gibt es? Z. B.: 1 im Zähler und/oder/Nenner; 4/3 tritt auf; beide Nenner sind 4; …
Lösungen sind z.B.:
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 5-10 Minuten.
Aufgabe 3
Es sind 16 mit Zahlen bedruckte Karten ausgelegt. Bilde Rechenaufgaben mit benachbarten Karten, die das folgende Ergebnis haben
a) 0
b)
1
8
c) 2
d)
5
.
2
poly
alent
Hinweise zu möglichen Schülerantworten:
Die Aufgabe erfordert und trainiert Fähigkeiten in den Grundrechenarten mit gebrochenen und
natürlichen Zahlen. Die Schülerantworten können sich unterscheiden durch die Wahl der Operanden
(Natürliche Zahlen oder gemeine Brüche), die Wahl der Rechenoperationen (z.B. Addition, Division
durch gemeine Brüche, Potenzieren), die Zahl der verwendeten Operanden in den Aufgaben und die
Zahl der gefundenen Aufgaben. Es sollte jeweils nur eine Teilaufgabe bearbeitet werden. Weitere
1 1 3
3
mögliche Ergebnisse, zu denen sich mehrere Aufgaben bilden lassen, sind z.B. , , , 1, , 4, 6,
4 2 4
2
8, 9, 24, 36.
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: je 10-15 Minuten
Aufgabe 4
Gib verschiedene Möglichkeiten an, bei einer Rechenoperation mit zwei Brüchen das Ergebnis
5
zu
8
erhalten.
Ziele der Aufgabe:
Diese Aufgabe dient der Entwicklung sicherer Fertigkeiten im Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren
und Dividieren von einfachen Brüchen.
Hinweise zu möglichen Schülerantworten:
9
1 5
3
1 5
1 5 5
5 8 5
Lösungen sind z.B.:
+
=
⋅ =
:
=
−
=
8
4 8
2 4 8
3 3 8
8
2 8
Jeder Schüler sollte mindestens 4 Lösungen finden. Die unterschiedliche Qualität der Antworten zeigt
sich in der Anzahl der gefundenen Lösungen und der unterschiedlichen Verwendung der verschiedenen Rechenoperationen.
weiterführende Aufgabestellung: Verwende auch gemischte Zahlen.
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 10 Minuten
Aufgabe 5
Finde verschiedene Begründungen für die Richtigkeit der folgenden Gleichung:
Ziele der Aufgabe:
Mit dieser Aufgabe können in der Klasse 6 zum einen die Kenntnisse zum
Rechnen mit Brüchen und die inhaltlichen Vorstellungen zu Brüchen und
zur Addition gefestigt werden. Es könne auch zielgerichtete Fähigkeiten
im Argumentieren und Begründen entwickelt werden.
1
3
1
+
=1
2
4
4
poly
alent
Hinweise zu möglichen Schülerantworten:
Antworten sind durch Arbeiten mit Größen (Zeit, Volumen), Gegenständen, Zeichnungen oder formaler Ebene möglich. Jeder Schüler sollte mindestens 4 Lösungen finden. Die unterschiedliche Qualität
der Antworten zeigt sich in der Vielzahl der gefundenen Aufgaben und der Anwendung der verschiedenen Rechenverfahren.
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 20 Minuten
66
5.2 Vorschläge zum Themenbereich „Gebrochene Zahlen“ in Klasse 6
Aufgabe 6
In einer Zahlenmauer ist eine Zahl (bis auf die unterste Reihe) immer die Summe bzw. das Produkt
der beiden darunter stehenden Zahlen.
a)
Fülle die linke Zahlenmauer vollständig aus.
2,52
3,75
2,24
1,1
1,14
0,2
b)
c)
2
Trage in die rechte Zahlenmauer die Zahlen 0,01; 1,5; 1,51; 2,5; 2,51; 4,02; 6,51; 10,53 ein.
Sie können auch doppelt vorkommen.
Baue selbst verschiedene Zahlenmauern.
(1) Die Zahl 2 wird durch Addieren erreicht. (2) Die Zahl 1 wird durch Multiplizieren erreicht.
2
1
Ziele der Aufgabe:
Mit diesen Aufgaben können in der Klasse 6 die Kenntnisse zum Rechnen mit Dezimalbrüchen und
die inhaltlichen Vorstellungen zu Dezimalbrüchen und zur Addition und Multiplikation gefestigt werden.
Hinweise zu möglichen Schülerantworten:
15,45
6,27
9,18
2,52
3,75
5,43
2,24
1,01
1,51
3,19
1,1
1,14
0,6
0,41
2,05
0,2
2
0,4
0,01
1,09
0,05
1,5
10,53
6,51
4,02
4
2,51
1,51
2,5
0,01
1,5
Dia Aufgabe a) ist geschlossen, für die Lösung von Aufgabe b) gibt es zwei zueinander spiegelbildliche Lösungen. Die Aufgabe a) und b) können als Vorbereitung auf die offene Aufgabe c) eingesetzt
werden. Bei Aufgabe c1) und c2) sollten wenigstens je 3 Zahlenpyramiden gefunden werden. Die
unterschiedliche Qualität der Antworten zeigt sich in der Vielzahl der gefundenen Aufgaben und der
Anwendung der Rechenverfahren.
Zeit für selbstständige Schülerarbeit (Aufgabe c): je 15 Minuten
5.2 Vorschläge zum Themenbereich „Gebrochene Zahlen“ in Klasse 6
67
Aufgabe 7
Jens hat für den Besuch des Freibades 8 € bekommen. Er bezahlt davon die Busfahrt von 1,70 € und
den Eintritt. Nach dem Baden geht Jens mit seinem Restgeld zum Kiosk, um sich etwas zu essen und
zu trinken zu kaufen.
Was könnte sich Jens kaufen?
Heute im Angebot
Freibad zum Waldsee
Mineralwasser .................. 0,5 l............. 1 €
Cola ................................. 0,25 l........... 1 €
Saft................................... 0,2 l............. 1,20 €
Kartoffelsalat .................... Portion ........ 1,50 €
Würstchen ........................ 1 Paar ......... 1,80 €
Kuchen ............................. ofenfrisch .... 0,80 €
Pommes ........................... klein ............ 1,50 €
Pommes ........................... groß ............ 2 €
Döner ................................................... 2,80 €
Öffnungszeiten:
täglich von 10 – 21 Uhr
Eintritt:
Erwachsene: ..................4 €
Kinder: ............................2 €
Ziele der Aufgabe:
Diese Aufgabe dient der Festigung des Lösens von Sachaufgaben und der verschiedenen Rechenverfahren bei Dezimalzahlen.
Hinweise zu möglichen Schülerantworten:
1. Beispiel
Busfahrt
Eintritt
Cola
Pommes (groß)
Wasser
Betrag
Restgeld
1,70 €
2,00 €
1,00 €
2,00 €
1,00 €
7,70 €
0,30 €
2. Beispiel
Busfahrt
Eintritt
Wasser
Kartoffelsalat
Würstchen
Betrag
Restgeld
1,70 €
2,00 €
1,00 €
1,50 €
1,80 €
8,00 €
0,00 €
3. Beispiel
Busfahrt
Eintritt
Saft
Döner
1,70 €
2,00 €
1,20 €
2,80 €
Betrag
Restgeld
7,70 €
0,30 €
4. Beispiel
Busfahrt
Eintritt
Cola
Pommes (klein)
Kuchen
Betrag
Restgeld
1,70 €
2,00 €
1,00 €
1,50 €
0,80 €
7,80 €
0,20 €
Die unterschiedliche Qualität der Antworten zeigt sich in der Vielzahl der gefundenen Lösungen.
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 20 Minuten
Aufgabe 8
Finde Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen den gebrochenen Zahlen:
(1)
1,6
(2)
1, 6
(3)
1,6789101113…..
Ziele der Aufgabe:
Diese Aufgabe dient der Entwicklung sicherer Fertigkeiten im Vergleichen von unterschiedlichen Dezimalbrüchen.
Hinweise zu möglichen Schülerantworten:
Bei den Gemeinsamkeiten könnten die Schüler feststellen, dass es sich jeweils um Dezimalbrüche
handelt, die zwischen 1 und 2 bzw. sogar noch genauer zwischen 1,6 und 1,7 liegen, alle mit 1 anfangen und an der Zehntelstellen eine 6 steht.
Unterschiede bestehen im Wert der Zahlen, sowie in der Zugehörigkeit zu verschiedenen Zahlbereichen. 1,6789101113….. ist im Gegensatz zu den anderen Zahlen keine gebrochene Zahl; 1,6 ist die
einzige endliche Zahl.
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 10 Minuten
Aufgabenempfehlungen: Aufgaben 1, 5 und 8
68
5.2 Vorschläge zum Themenbereich „Gebrochene Zahlen“ in Klasse 6
Aufgaben zu Gebrochenen Zahlen
1.
Stelle die gebrochene Zahl
1
als Summe zweier Brüche dar.
2
2.
Stelle die gebrochene Zahl
3
als Produkt zweier Brüche dar.
4
3.
Es sind 16 mit Zahlen bedruckte Karten wie im nebenstehenden Bild ausgelegt.
Bilde Rechenaufgaben mit benachbarten Karten, die das folgende Ergebnis haben.
a) 0
b)
3
8
2
1
8
c) 2
2
3
4
d)
1
1
2
1
5
.
2
Beispiel:
1
Um etwa Aufgaben mit
dem Ergebnis 5 zu finden,
kann man rechnen:
(1) 3 + 2 oder
2
(2)
4
1 1
+ +4.
2 2
Man darf von einer Karte
waagerecht, senkrecht
oder diagonal zur nächsten
Karte gehen.
1
1
3
2
1
2
8
3
2
4
2
4
1
2
1
2
1
1
2
3
2
4
1
2
1
1
2
3
2
4
1
2
1
4.
Gib verschiedene Möglichkeiten an, bei einer Rechenoperation mit zwei Brüchen das
5
Ergebnis
zu erhalten.
8
5.
Finde verschiedene Begründungen für die Richtigkeit der Gleichung
1
3
1
+
=1 .
2
4
4
5.2 Vorschläge zum Themenbereich „Gebrochene Zahlen“ in Klasse 6
69
6.
In einer Zahlenmauer ist eine Zahl (bis auf die Zahlen der untersten Reihe) immer die
Summe bzw. das Produkt aus den beiden darunter stehenden Zahlen.
a)
Fülle die linke Zahlenmauer vollständig aus.
2,52
0,2
3,75
2,24
1,1
1,14
2
b)
Trage in die rechte Zahlenmauer die Zahlen 0,01; 1,5; 1,51; 2,5; 2,51; 4,02; 6,51;
10,53 ein.
Sie können auch doppelt vorkommen.
c)
Baue selbst verschiedene Zahlenmauern.
(1) Die Zahl 2 wird durch Addieren erreicht.
2
2
2
2
2
2
(2) Die Zahl 1 wird durch Multiplizieren erreicht.
1
1
1
1
1
1
70
5.2 Vorschläge zum Themenbereich „Gebrochene Zahlen“ in Klasse 6
7.
Jens hat für den Besuch des Freibades 8 € bekommen. Er bezahlt davon die Busfahrt
von 1,45 € und den Eintritt. Nach dem Baden geht Jens mit seinem Restgeld zum Kiosk, um sich etwas zu essen und zu trinken zu kaufen.
Was könnte sich Jens kaufen?
Heute im Angebot
Freibad zum Waldsee
Mineralwasser .........0,5 l....................... 1 €
Cola ........................0,25 l..................... 1 €
Saft..........................0,2 l....................... 1,20 €
Kartoffelsalat ...........Portion .................. 1,50 €
Würstchen ...............1 Paar................... 1,80 €
Kuchen ....................ofenfrisch.............. 0,80 €
Pommes ..................klein ...................... 1,50 €
Pommes .................groß ...................... 2 €
Döner ................................................... 2,80 €
Öffnungszeiten:
täglich von 10.00 Uhr – 21.00 Uhr
Eintritt:
Erwachsene: ......4 €
Kinder:................2 €
8.
Finde Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen den gebrochenen Zahlen:
−
(1)
1,6
(2)
1, 6
(3)
1,6789101
5.3 Vorschläge zum Themenbereich „Stochastik“ in Klasse 6
71
5.3 Themenbereich „Stochastik“
5.3.1 Ziele und Schwerpunkte
Forderungen der Bildungsstandards
Die Schülerinnen und Schüler
–
beschreiben Zufallserscheinungen in alltäglichen Situationen,
–
sammeln systematisch Daten, erfassen sie in Tabellen und stellen sie graphisch dar, auch unter
Verwendung geeigneter Hilfsmittel (wie Software),
–
werten graphische Darstellungen und Tabellen von statistischen Erhebungen aus,
–
interpretieren Wahrscheinlichkeitsaussagen aus dem Alltag,
–
bestimmen Wahrscheinlichkeiten bei einfachen Zufallsexperimenten.
Planungsvorschlag
Thema
Std.
3.1 Ermitteln der
Anzahl von
Möglichkeiten
3
3.2 Zufällige Vorgänge, Wahrscheinlichkeit
(Zusatz)
(2)
3.3 Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit
3
3.4 Berechnen von
Wahrscheinlichkeiten
4
Schwerpunkte
Bemerkungen
• Lösen kombinatorischer Aufgaben durch
− Zusatz: Mehrfachzähsystematisches Probieren
lungen
• Einführung der Produktregel mit Hilfe von
Aufgabe 1
Baumdiagrammen und Lösen kombinatorischer Aufgaben mit der Produktregel und
Baumdiagrammen,
Beispiele für Mehrfachzählungen
• Lösen von Aufgaben mit der Produktregel
ohne Baumdiagramme
• Wiederholen der Prozessbetrachtung zufälliger Erscheinungen
• Wiederholen des qualitativen Wahrscheinlichkeitsbegriffes und der Darstellung von
Wahrscheinlichkeiten auf einer Skala
• Einführen der Verwendung des Wahrscheinlichkeitsbegriffes für Vermutungen,
Veränderung der Wahrscheinlichkeit bei
Zunahme von Informationen
• Es sollten ohne explizite Einführung die
Begriffe Ereignis und Ergebnismenge verwendet werden
• Einführen von „absolute“ und „relative
− Es sollte ohne explizite
Häufigkeit“; Berechnen und Vergleichen
Einführung der Begriff
von relativen Häufigkeiten
Zufallsexperiment verwendet werden.
• Deuten einer relativen Häufigkeit als
Wahrscheinlichkeit
Aufgabe 2
• Berechnen von Anteilen mit Hilfe der relativen Häufigkeit bzw. der Wahrscheinlichkeit als Vorhersage von Ereignissen
• Durchführen eines Experimentes zum
Verhältnis von relativer Häufigkeit und
Wahrscheinlichkeit (Verringerung der
Streuung der relativen Häufigkeiten bei
Serien fester Länge, Stabilität der relativen
Häufigkeit in langen Versuchsreihen)
• Untersuchen der Gleichwahrscheinlichkeit − Aus Zeitgründen wird
empfohlen, keine Bevon Ergebnissen
rechnungen von Anzah• Berechnen von Wahrscheinlichkeiten bei
len mit kombinatorigleichmöglichen Ergebnissen
schen Mitteln vorzu• Berechnen von Gewinnerwartungen
nehmen
• Angabe von Versuchsbedingungen bei
gegebenen Wahrscheinlichkeiten
Aufgabe 3
72
5.3 Vorschläge zum Themenbereich „Stochastik“ in Klasse 6
Thema
Std.
Schwerpunkte
3.5 Arithmetisches
Mittel
4
3.6 Darstellung und
Auswertung
von Daten
4
Summe
18
• Berechnung des arithmetischen Mittels als
Quotient und durch Addition der Einzelwerte
• Berechnen des arithmetischen Mittels für
Häufigkeitsverteilungen
• Deuten des arithmetischen Mittels als
Ausgleichswert und Schwerpunkt
• Untersuchung von Eigenschaften des
arithmetischen Mittels
• Lesen von Diagrammen
• Auswerten von Daten (Beschreiben der
Verteilungen, Suchen nach Ursachen für
Besonderheiten der Verteilung, Prognosen, Schlussfolgerungen, Vergleich mit
bisherigen Vorstellungen
• Festigung der Anfertigung von Strecken-,
Streifen- und Stamm-und-BlätterDiagrammen
• Durchführen einer eigenen statistischen
Untersuchung
•
Bemerkungen
Aufgabe 4
Aufgabe 5
5.3.2 Hinweise zu den Aufgaben20
Aufgabe 1:
Donald Duck hat sich einen neuen Geldschrank mit einem Zahlenschloss gekauft, um vor den Panzerknackern sein Geld schützen. Am Zahlenschloss kann man 3-mal die Ziffern von 0 bis 9 einstellen.
Die Panzerknacker dürfen die Kombination nicht leicht erraten können. Welche Ziffernfolgen sollte
Donald Duck darum möglichst nicht einstellen?
Hinweise zur Aufgabe und zu möglichen Schülerantworten:
Diese Aufgabe kann man zur Einführung der Ermittlung der Anzahl von Möglichkeiten benutzen. Die
Schüler erkennen, dass es mehrere Möglichkeiten gibt, die Ziffernfolge einzustellen. Besonders einprägsame Zahlenkombinationen sollten vermieden werden. Mögliche Antworten sind z.B.:
–
alle gleichen Ziffernfolgen: 000, 111, 222, …., 999
–
alle aufeinander folgenden Ziffernfolgen: 012, 123, 234, …
–
bekannte Ziffernfolgen: 007; 112; 110
Weiterführende Fragestellungen könnten sein:
–
Kannst du die besonderen Ziffernfolgen in Kategorien einordnen?
–
Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt?
–
Wie viele Möglichkeiten bleiben Donald Duck?
alent
poly
poly
alent
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 10 Minuten
Aufgabe 2:
Bei einem Würfel ist es gleichwahrscheinlich, welche der sechs Seiten
gewürfelt wird. Was kannst du über diese Wahrscheinlichkeiten bei
einem quaderförmigen Gegenstand aussagen?
Hinweise zur Aufgabe und zu möglichen Schülerantworten:
Geeignete Objekte für diese Aufgabenstellung sind beispielsweise
Dominosteine oder leere Streichholzschachteln. Im Gegensatz zu Würfeln haben aufgrund der verschieden großen Seitenflächen die Ereignisse bei Quadern unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten.
Gegenüberliegende Seiten besitzen die gleiche Wahrscheinlichkeit, die Wahrscheinlichkeit ist von der
Größe der Seitenfläche abhängig (aber nicht zu dieser proportional). Im Rahmen des Themas 3.6
„Darstellung und Auswertung von Daten“ können mit einem Experiment die Wahrscheinlichkeiten der
einzelnen Seiten näherungsweise ermittelt und dargestellt werden.
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 10 Minuten
20
vgl. Hinweise S. 17
5.3 Vorschläge zum Themenbereich „Stochastik“ in Klasse 6
73
Aufgabe 3:
Auf einem Kinderfest kann man an einem Glücksrad drehen, das rote, gelbe, grüne und blaue Felder
hat. Nur wenn der Zeiger auf ein grünes Feld zeigt, gewinnt man. Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen, ist genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit, nicht zu gewinnen.
Zeichne solche Glücksräder und begründe.
Hinweise zur Aufgabe und zu möglichen Schülerantworten:
Die Aufgabe ist eine Umkehraufgabe zum Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten bei Glücksrädern.
Allen Lösungen ist gemeinsam, dass die Fläche der grünen Segmente zusammen der Fläche eines
halben Kreises entspricht. Die Offenheit der Aufgabe ergibt sich aus der unterschiedlichen Größe der
einzelnen Sektoren (1 Halbkreis, 2 Viertel-, 3 Sechstel-, 4 Achtel- oder 6 Zwölftelkreise) bzw. Zusammensetzungen unterschiedlich großer grüner Sektoren, die in der Summe einen Halbkreis ergeben,
wie etwa ein Drittel- und ein Sechstelkreis.
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 15 Minuten
Aufgabe 4:
Anja zählt in jeder Stunde, wie oft sie sich gemeldet hat und schreibt die Ergebnisse auf. Am Montag
hat sie folgendes notiert: 5, 3, 4, 8, 6, 4. Wie oft hat sie sich durchschnittlich pro Stunde gemeldet?
Diesen Durchschnitt möchte sie auch am Dienstag erreichen. Hier hat sie 5 Stunden Unterricht.
Schreibe verschiedene Möglichkeiten auf, wie oft sie sich in den Stunden melden muss.
Hinweise zur Aufgabe und zu möglichen Schülerantworten:
Dies ist eine Umkehraufgabe zur Berechnung des arithmetischen Mittels und kann eingesetzt werden,
wenn die Schüler das arithmetische Mittel berechnen können.
Das arithmetische Mittel des Montags ist 30 : 6 = 5. Anja hat sich also durchschnittlich 5 mal pro Stunde gemeldet. Da am Dienstag fünf Unterrichtsstunden sind, muss die Summe aller Meldungen 25
ergeben. Alle entsprechenden Mengen aus fünf natürlichen Zahlen, deren Summe 25 ergibt, sind
somit Lösung.
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 15 Minuten
Aufgabe 5
Zwei Mannschaften wetteifern darum, welche die beste im Werfen sei. Dazu darf jedes Mannschaftsmitglied einen schweren Ball genau einmal werfen. Die Ergebnisse lauten:
Mannschaft 1:
14 m, 12 m, 19 m, 14 m, 13 m, 18 m
Mannschaft 2:
11 m, 21 m, 10 m, 10 m, 17 m, 16 m, 13 m
Leider kann sich die Jury nicht einigen, welche Mannschaft gewonnen
hat. Wie würdest Du entscheiden? Begründe!
poly
Hinweise zu möglichen Schülerantworten:
alent
Mithilfe der Aufgabe können verschiedene Prinzipien der Datenauswertung diskutiert werden. Abhängig von der für die Auswertung der Daten verwendeten Methode erscheint entweder Mannschaft 1 oder Mannschaft 2 als Sieger:
Auswertungsmethode
arithmetisches Mittel über alle Würfe
bester Wurf
arithmetisches Mittel der besten drei Würfe
arithmetisches Mittel aus bestem und schlechtestem Wurf
Mannschaft 1
15 m
19 m
17 m
Mannschaft 2
14 m
21 m
18 m
Sieger
Mannschaft 1
Mannschaft 2
Mannschaft 2
15,5 m
15,5 m
unentschieden
Eine weitere Auswertungsmethode könnte das Streichen des besten und schlechtesten Wurfs und
anschließender Auswertung der verbleibenden Daten sein.
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 15 Minuten
Aufgabenempfehlungen: Aufgaben 1 und 5
74
5.3 Vorschläge zum Themenbereich „Stochastik“ in Klasse 6
Aufgaben zur Stochastik
1. Donald Duck hat sich einen neuen Geldschrank mit einem Zahlenschloss gekauft, um vor
den Panzerknackern sein Geld schützen. Am Zahlenschloss kann man 3-mal die Ziffern
von 0 bis 9 einstellen. Die Panzerknacker dürfen die Kombination nicht leicht erraten
können. Welche Ziffernfolgen sollte Donald Duck darum möglichst nicht einstellen?
2. Bei einem Würfel ist es gleichwahrscheinlich, welche der sechs Seiten gewürfelt wird.
Was kannst du über diese Wahrscheinlichkeiten bei einem quaderförmigen Gegenstand
aussagen?
3. Auf einem Kinderfest kann man an einem Glücksrad drehen, das rote, gelbe, grüne und
blaue Felder hat. Nur wenn der Zeiger auf ein grünes Feld zeigt, gewinnt man. Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen, ist genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit, nicht zu gewinnen.
Zeichne solche Glücksräder und begründe.
4. Anja zählt in jeder Stunde, wie oft sie sich gemeldet hat und schreibt die Ergebnisse auf.
Am Montag hat sie folgendes notiert: 5, 3, 4, 8, 6, 4.
a) Wie oft hat sie sich durchschnittlich am Montag pro Stunde gemeldet?
b) Diesen Durchschnitt möchte sie auch am Dienstag erreichen. Hier hat sie 5 Stunden
Unterricht. Schreibe verschiedene Möglichkeiten auf, wie oft sie sich in den Stunden
melden müsste.
5. Zwei Mannschaften wetteifern darum, welche die beste im Werfen sei. Dazu darf jedes
Mannschaftsmitglied einen schweren Ball genau einmal werfen. Die Ergebnisse lauten:
Mannschaft 1:
14 m, 12 m, 19 m, 14 m, 13 m, 18 m
Mannschaft 2:
11 m, 21 m, 10 m, 10 m, 17 m, 16 m, 13 m
Leider kann sich die Jury nicht einigen, welche Mannschaft gewonnen hat.
Wie würdest Du entscheiden? Begründe!
5.4 Vorschläge zum Themenbereich „Geometrie“ in Klasse 6
75
5.4 Themenbereich „Geometrie“
5.4.1 Ziele und Schwerpunkte
Forderungen der Bildungsstandards
Die Schülerinnen und Schüler
– erkennen und beschreiben geometrische Strukturen in der Umwelt,
– stellen geometrische Figuren im kartesischen Koordinatensystem dar,
– beschreiben und begründen Eigenschaften und Beziehungen geometrischer Objekte (wie Symmetrie, Lagebeziehungen) und nutzen diese im Rahmen des Problemlösens zur Analyse von
Sachzusammenhängen,
– wenden Sätze der ebenen Geometrie bei Konstruktionen und Berechnungen an,
– zeichnen und konstruieren geometrische Figuren unter Verwendung angemessener Hilfsmittel wie
Zirkel, Lineal, Geodreieck oder dynamischer Geometriesoftware,
− können Körper und ebene Figuren nach Eigenschaften sortieren und Fachbegriffe zuordnen,
− können Körper und ebene Figuren in der Umwelt wieder erkennen,
− berechnen Volumen und Oberflächeninhalt von Würfeln und Quadern sowie aus zwei Quadern
zusammengesetzte Körper,
− stellen Würfel und Quader als Netz und Schrägbild dar und erkennen Körper aus ihren entsprechenden Darstellungen,
− festigen ihr räumliches Vorstellungsvermögen,
− erkennen, beschreiben und nutzen räumliche Beziehungen.
Planungsvorschlag
Thema
Std.
4.1 Geometrische
Abbildungen
Rückblick: Spiegelung
12
Verschiebung
Drehung
2
3
4
Schwerpunkte
Bemerkungen
• Ausführen von Spiegelungen – Abstraktion der realen Vorgänge zu Spiegelungen
durch manuelle Tätigkeiten
• Erkennen von Symmetrien
• Festigen der Kenntnisse über
Vierecke, insbesondere ihrer
Symmetrieeigenschaften
• Konstruieren von Spiegelungen, – Nutzen eines halbdurchlässigen Spiegels möglich
dabei erste Vorstellungen über
Spiegelung als Abbildung der
Ebene auf sich
• Ausführen und Beschreiben von – Beginn der Abstraktion von
der mechanischen BeweVerschiebungen durch Orientiegung zur mathematischen
rung an dem mechanischen
Abbildung durch Gewöhnen
Bewegungsvorgang
an Sprechweisen und Be• Erkennen von Verschiebungen
zeichnungen
Aufgabe 1
• Konstruieren von Verschiebun- – Achten auf sauberes Zeichnen und Beschriften
gen auf Gitter- und weißem Pa– Festigen des Eintragens und
pier
Ablesens von Punkten im
Koordinatensystem
• Ausführen und Beschreiben von – Vor der Konstruktion von
Bewegungen sollten die BilDrehungen durch Orientierung
der nach Möglichkeit skizziert
an dem mechanischen Bewewerden.
gungsvorgang
Aufgabe 2
• Festigung des Antragens und
Messens von Winkeln
• Erkennen von Drehungen
76
5.4 Vorschläge zum Themenbereich „Geometrie“ in Klasse 6
Thema
Kongruenz
4.2 Winkelbeziehungen
Winkel an einander schneidenden
Geraden
Std.
3
9
Winkel an geschnittenen Parallelen
4.3 Konstruieren
Kreis
3
Mittelsenkrechte,
Winkelhalbierende
4.4 Dreiecke
Einteilung der
Dreiecke nach Seiten bzw. nach Winkeln
16
2
Schwerpunkte
Bemerkungen
• Konstruieren von Drehungen auf – Achten auf Deckungsgleichheit beim Konstruieren
Gitter- und weißem Papier
– Motivationsmöglichkeiten
durch praktische Beispiele
nutzen (Ornamente)
– Diff.: Erkennen und Ausführen von Punktspiegelungen
– Festigung von Zeichenfertig• Nacheinanderausführen von
keiten
Abbildungen
• Einführen des Kongruenzbegrif- – Kongruenzbegriff als Relation
zwischen zwei Figuren befes für ebene Figuren, Erkennen
trachten (Merkmale entwiund Herstellen zueinander konckeln)
gruenter Figuren
• Messen und Zeichnen von Winkeln
• Wiederholung der Winkelarten
• Kenntnis der Begriffe Scheitelwinkel und Nebenwinkel
• Finden des Scheitel- und des
Nebenwinkelsatzes
• Anwenden der Sätze bei Berechnungen und beim Begründen von Aussagen
– Anwendung beispielgebun• Erkennen von Stufen- und
dener Begründungen
Wechselwinkeln an geschnittenen Parallelen
Aufgaben 3 und 4
• Finden des Stufen- und des
Wechselwinkelsatzes
– Diff.: Erarbeitung und An• Anwenden der Sätze bei Bewendung der Umkehrung
rechnungen und beim Begründer Sätze; Einführung entden von Aussagen
gegengesetzt liegender Win• Integration und Anwendung der
kel
Winkelsätze
• Wiederholen von Kreis, Radius,
Durchmesser; Einführen von
Sehne
• Zeichnen von Kreisen und Ornamenten
– Verständnis über den Um• Einführen von Mittelsenkrechte
gang mit dem Geodreieck
und Winkelhalbierende, Eigenals wichtiges Hilfsmittel beim
schaften der Punkte auf MittelKonstruieren vertiefen
senkrechten und Winkelhalbie– Die Konstruktionen sollten
renden, Konstruktionen mit Zirals Problemaufgaben bekel, Lineal und Geodreieck, Erhandelt und durch Rückführichten von Senkrechten und
ren auf das Bestimmen von
Fällen eines Lotes
Punkten gelöst werden.
• Erkennen von Dreiecken als
stabile Figuren
• sicheres Können im Beschriften
der Stücke eines Dreiecks
• Wiederholung der Einteilung der
Dreiecke nach Winkeln und Seiten, sicheres Erkennen von
gleichschenkligen Dreiecken
5.4 Vorschläge zum Themenbereich „Geometrie“ in Klasse 6
Thema
Seiten-WinkelBeziehung/ Dreiecksungleichung
Innenwinkelsatz
und Außenwinkelsatz
Flächeninhalt von
rechtwinkligen
Dreiecken
Besondere Linien
im Dreieck
Konstruktion von
Dreiecken
4.5 Vierecke
Vierecksarten
Innenwinkelsumme
im Viereck
Std.
Schwerpunkte
2
• Kennenlernen der Seiten-WinkelBeziehungen und der Dreiecksungleichung, Anwendungen
3
• Erarbeiten des Innenwinkelsatzes
• Erarbeiten und Anwenden des
Basiswinkelsatzes
• Anwenden bei Berechnungen
und Begründungen
• Herleiten und Anwenden der
Flächeninhaltsformel für rechtwinklige Dreiecke
1
3
5
10
• Festigen der Konstruktion von
Mittelsenkrechten und Winkelhalbierenden
• Einführen von Inkreis und Umkreis eines Dreiecks
• Einführen von Höhe eines Dreiecks als Abstand eines Punktes
von einer Geraden, Zeichnen
von Höhen mit dem Geodreieck
• Einführen von „Seitenhalbierende“
• Anwendungen
• Erarbeiten einer allgemeinen
Vorgehensweise zum Lösen von
Konstruktionsaufgaben
• Anwenden der Vorgehensweise
auf das Konstruieren von Dreiecken
• Untersuchen der Lösbarkeit von
Konstruktionsaufgaben
• Konstruieren von Dreiecken aus
Seiten, Winkeln und Höhen
• Anwenden der Dreieckskonstruktionen zur näherungsweisen Bestimmung von Strecken und
Winkeln durch maßstäbliche
Zeichnungen
• Wiederholung von Quadrat,
Rechteck, Trapez und Parallelogramm
• Einführen von Rhombus und
Drachenviereck
• Eigenschaften und Begriffsbeziehungen
• Konstruktion von Vierecken
• Finden und Anwenden das Satzes über die Innenwinkelsumme
im Viereck
77
Bemerkungen
Aufgabe 5
– Diff.: Kennenlernen des Außenwinkelsatzes
– Bei geeigneten Aufgaben
sollte stets die Festigung der
Dreiecksarten erfolgen
– Kenntnisse aus Klasse 5 zur
Behandlung des Begriffs Flächeninhalt vertiefen
– Diff.: Schnittpunkt der Seitenhalbierenden als Schwerpunkt eines Dreiecks
– Konstruktion möglichst nicht
auf der Basis der Kongruenzsätze typisieren
– auf sprachliche Formulierungen achten
– Diff.: Konstruieren von Dreiecken bei gegebener Winkelhalbierenden
– Vierecksarten möglichst mit
anschaulichen Beispielen
verbinden
– Festigung der Eigenschaften
als funktionale Zusammenhänge betrachten
Aufgaben 6, 7, 8, 9 und 10
– Diff.: Arbeiten mit Mengendiagrammen;
Ausbilden erster Kenntnisse
zur Festlegung von Begriffen
durch Angabe eines Oberbegriffes und artspezifischer
Merkmale
78
5.4 Vorschläge zum Themenbereich „Geometrie“ in Klasse 6
Thema
Std.
Schwerpunkte
Bemerkungen
4.6 Körper
Rückblick Volumen
15
2
• Festigung der Größenvorstellungen und des Umrechnens zum
Volumen
• Wiederholung von Merkmalen
und Eigenschaften von Würfeln,
Quadern, Pyramiden, Zylindern,
Kegeln und Kugeln
• Wiederholung der Schrägbilddarstellung von Quadern
• Schrägbilder von Pyramiden
• Entwicklung des räumlichen
Vorstellungsvermögens durch
Arbeit mit Netzen
• Berechnen des Oberflächeninhalts von Quadern
• Wiederholung der Volumenberechnung von Quadern
– Nutzen der Anregungen,
Hinweise und Aufgaben der
vom L.I.S.A. herausgegebenen Broschüre zum sicheren
Wissen und Können beim
Arbeiten mit Größen
Merkmale und Eigenschaften von
Körpern
Schrägbilder und
Netze
Volumen und
Oberflächeninhalt
von Quadern
4.7 Gemischte Aufgaben
Summe:
2
4
4
5
Auswahl von Schwerpunkten entsprechend der Klassensituation
• Festigung der Dreiecksarten und
der Seiten-Winkel-Beziehungen
• Festigung der Winkelsätze am
Dreieck und an Geraden
• Umfang und Flächenberechnungen
• Konstruktion von Bewegungen
• Anfertigen von symmetrischen
Mustern
• Anwenden geometrischer Konstruktionen
• Entwicklung des räumlichen
Vorstellungsvermögens durch
Arbeit mit Schrägbildern und
Netzen
• Zusammengesetzte Körper
– Nutzen des Gitterpapiers
zum Darstellen von Schrägbildern mit dem Verhältnis:
Breitenlinien zu Tiefenlinien
wie drei Kästchen zu einem
Kästchen
– Formeln nicht nur als „Buchstabengleichungen“ sondern
auch „in Worten“ merken
– Es sollten die Kenntnisse zur
Arbeit mit sinnvoller Genauigkeit gefestigt werden.
Aufgaben 11 und 12
Aufgabe 13
Aufgabe 14
70
5.4.2 Hinweise zu den Aufgaben21
Aufgabe 1
Vergleiche die Bewegung einer Schiebetür mit der Verschiebung in der Mathematik.
Ziel der Aufgabe:
Die Schüler sollen erkennen, dass die mathematischen Bewegungen einen realen Bezug haben. Dabei soll das Abstraktionsvermögen weiter entwickelt werden.
Hinweise zu möglichen Schülerantworten:
Der Begriff des Vergleichens sollte fachübergreifend einheitlich gehandhabt werden. So können die
Schüler Gemeinsamkeiten und Unterschiede erfassen und in einer geeigneten Darstellungsform aufschreiben (z.B. als Tabelle). Insbesondere sollten die mathematischen Begriffe mit der realen Vorstellungswelt der Schüler abgeglichen werden (z.B. Bewegung der Schiebetür als mechanische Bewegung; Verschiebung in der Mathematik als mathematisches Modell, indem Punkte verschoben werden). Als Gemeinsamkeit können Verschiebungsrichtung und Verschiebungsweite angegeben werden. Ähnliche Aufgaben lassen sich auch für die Drehung formulieren.
Weitere Hinweise: Broschüre zum Sicheren Wissen – Ebene Geometrie unter www.mathe-mv.de.
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 10 Minuten
21
vgl. Hinweise S. 17
5.4 Vorschläge zum Themenbereich „Geometrie“ in Klasse 6
79
Aufgabe 2
Vergleiche eine achsensymmetrische und eine drehsymmetrische Figur miteinander.
Finde Gemeinsamkeiten und Unterschiede.
Die Ziele der Aufgabe sind das Erkennen von Symmetrien in der Realität
und die Festigung der Symmetrieeigenschaften von Figuren.
poly
alent
Hinweise zu möglichen Schülerantworten:
Es lassen sich insgesamt 9 Paare bilden, die unter unterschiedlichen äußeren oder mathematischen
Gesichtpunkten verglichen werden können.
Mögliche Gemeinsamkeiten: Es handelt sich um Verkehrsschilder. Die Blumen sind nicht genau symmetrisch. Drehung um 180°: Hauptstraße, linke Blume (Blaukissen), Bube, rechte Blume (Vergissmeinnicht); mehrere Symmetrieachsen: Hauptstraße, Vorfahrt,
Mögliche Unterschiede: Anzahl der Blütenblätter; Anzahl der Symmetrieachsen; Drehwinkel 120°;
Antworten auf höherem Niveau: Die Verkehrszeichen und Blüten sind sowohl achsen- als auch drehsymmetrisch.
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 10 Minuten
Aufgabe 3
Erkenne Buchstaben, bei denen Nebenwinkel, Scheitelwinkel, Stufenwinkel oder Wechselwinkel vorkommen und kennzeichne die betreffenden Winkel.
Hinweise zu möglichen Schülerantworten:
Jeder Schüler sollte leicht Neben- und Scheitelwinkel z.B. bei T und X finden. Etwas mehr Überlegungen sind für Stufen- und Wechselwinkel nötig (z.B. E, F, Z).
Auf dem höchsten Niveau liegen bei dieser Aufgabe etwa folgende mögliche Schülerantworten, die für
ein vertieftes Verständnis der Winkelbegriffe sprechen:
− Der Buchstabe Y hat keine Nebenwinkel, obwohl zwei Winkel neben einander liegen.
− Die Buchstaben M und W haben keine Stufenwinkel, obwohl jeweils parallele Strecken und sie
22
schneidende Strecken vorhanden sind.
− Es gibt Buchstaben, bei denen mehrere Arten von Winkelpaaren vorkommen (H, E, F), aber keinen Buchstaben, bei dem alle Arten vorkommen.
− Beim Buchstaben W müssen die schrägen Linien nicht parallel zueinander sein, damit Wechselwinkel vorliegen, da auch bei nicht parallelen geschnittenen Geraden von Wechselwinkel gesprochen wird.
Das Auffinden der Winkel bei den Buchstaben B, D, P und R ist von der verwendeten Schriftart abhängig. Für die verwendete Schrift „Arial“ erfüllen diese Buchstaben die Aufgabenstellung.
Buchstaben mit Nebenwinkeln
Buchstaben mit Scheitelwinkeln
Buchstaben mit Stufenwinkeln
Buchstaben mit Wechselwinkeln
A, E, F, H, K, T
X
E, F
H, N, Z, W
B, P, R
B, P, R
B, D, P, R
Das Finden der Lösungen ist vom Schwierigkeitsgrad her für alle Schüler möglich. Qualitativ höherwertige Lösungen entstehen durch zielstrebiges und systematisches Analysieren der Buchstaben.
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 10 Minuten
Aufgabe 4
Das Dreieck ABC ist rechtwinklig und gleichschenklig. Weiterhin ist
AE ⊥ BC und GF || AB.
Bestimme die Größe von Winkeln in dieser Figur und begründe
deine Angabe.
poly
alent
Hinweise zur Aufgabe und möglichen Schülerantworten:
Mit dieser Aufgabe können insbesondere Winkelbeziehungen und
Eigenschaften von Dreiecken bzw. gleichschenkligen Dreiecken
angewendet werden. Die Ergebnisse der Winkelgrößen sind durch
die entsprechenden Vorgaben eindeutig.
Der offene Charakter der Aufgabe entsteht durch die Limitierung
22
Zum Begriff „Schneiden von Strecken“ gibt es verschiedenen Auffassungen: A: Die Strecken haben einen
Punkt gemeinsam. B: Die Strecken haben einen inneren Punkt (alle Punkte außer den Endpunkten) gemeinsam.
80
5.4 Vorschläge zum Themenbereich „Geometrie“ in Klasse 6
der Arbeitszeit. Es ist nicht beabsichtigt, dass ein Schüler in der zur Verfügung stehenden Arbeitszeit
alle Lösungen findet. Da die Aufgabe unterschiedliche Herangehensweisen ermöglicht, kann die vollständige Lösung im Unterrichtsgespräch entwickelt werden.
Zum Vergleichen bietet es sich an, die Ergebnisse der Schüler schrittweise auf einer Folie zu notieren.
Die Begründungen können mündlich gegeben werden. Damit kann ein weiterer Beitrag im mathematischen Argumentieren geleistet werden.
Für weitere Festigungsübungen ist die Skizze mit der gegebenen Größe veränderbar, indem man eine
andere Strecke CF wählt, die entsprechende Winkelgröße angibt oder den gegebenen Winkel an einer anderen Stelle kennzeichnet.
Jeder Schüler sollte die rechten Winkel, die Neben- bzw. Scheitelwinkel bei F und unter Anwendung
des Basiswinkelsatzes (sicheres Wissen und Können) die Winkel mit der Größe 45° finden.
Eine vollständige Lösung könnte wie folgt aussehen.
Winkel
CFE
AFD
AEC
FCE
ADE
AFC
EAB
EAC
ADF
BDC
DBC
ACB
ACD
Größe
75
75
90
15
90
105
45
45
60
120
45
45
30
Mögliche Begründung
Nebenwinkel zu Winkel EFD
Nebenwinkel zu Winkel EFD
Rechter Winkel
Innenwinkelsummensatz
Rechter Winkel
Scheitelwinkel zu Winkel EFD
halber rechter Winkel im gleichschenkligen Dreieck
Innenwinkelsummensatz
Nebenwinkel zu Winkel ADC
Eigenschaft des gleichschenkligen Dreiecks bzw.
Innenwinkelsummensatz
Innenwinkelsummensatz
Aufgabe 5
Gegeben sind sechs verschieden lange Strecken: 1 cm; 2 cm; 3 cm; 4 cm; 5 cm; 6 cm
Mit welchen Strecken kannst du Dreiecke konstruieren?
Ziel der Aufgabe:
Diese Aufgabe dient der Einführung der Dreiecksungleichung, dessen Kenntnis eine wichtige Voraussetzung zum Zeichnen von Dreiecken ist.
Mögliche Schülerantworten:
Die Schüler werden sehr schnell einige Möglichkeiten finden. Dabei wird das Probieren zunächst im
Vordergrund stehen. Leistungsstärkere Schüler sollten systematisch vorgehen und schnell auf die
gesuchte Gesetzmäßigkeit kommen. Dabei ist auf eine mathematisch exakte Formulierung dieser
Eigenschaft von Dreiecken zu achten. Die Lösungsangaben können z.B. in Tabellenform gemacht
werden:
1. Seite
6 cm
6 cm
6 cm
2. Seite
5 cm
5 cm
5 cm
3. Seite
4cm
2 cm
1 cm
Konstruktion möglich?
Ja
Ja
Nein
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 15 Minuten
Aufgabe 6
Zeichne verschiedene Parallelogramme.
poly
alent
Ziel der Aufgabe:
Mit dieser Aufgabe können der Begriff Parallelogramm, die Begriffsbeziehungen der Vierecksarten und die bildlichen Vorstellungen zu ebenen Figuren gefestigt werden.
Mögliche Schülerantworten:
Jeder Schüler sollte Parallelogramme mit unterschiedlichen Seitenlängen und Winkelgrößen zeichnen
können. Geistig beweglichere Schüler sollten auf die Idee kommen, auch Rechtecke und Quadrate
(Spezialfälle) als Lösungen anzugeben oder die Lage zu variieren (z.B. eine Kante nicht parallel zur
Heftkante oder den linken unteren Winkel als stumpfen Winkel). Je kreativer die Schüler sind, umso
mehr unterschiedliche Möglichkeiten werden sie finden.
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 15 Minuten
5.4 Vorschläge zum Themenbereich „Geometrie“ in Klasse 6
81
Aufgabe 7
Zeichne mehrere verschiedene Vierecke, die die angegebene Eigenschaft haben. Begründe deine
Lösungen.
a) 2 Seiten des Vierecks sind gleich lang.
b) Nicht alle Seiten des Vierecks sind gleich lang.
alent
c) Das Viereck hat genau einen rechten Innenwinkel.
poly
d) Das Viereck hat zwei stumpfe Innenwinkel.
e) Das Viereck hat einen rechten Winkel und mindestens ein Paar gleich
langer benachbarter Seiten.
Hinweise zur Aufgabe und möglichen Schülerantworten:
Die Aufgabe ermöglicht eine komplexe Festigung von Kenntnissen zu Vierecken und ihren Eigenschaften sowie zu Zusammenhängen zwischen Vierecken. Ein weiterer Schwerpunkt dieser Aufgabe
ist die exakte Anwendung der Fachsprache und die Entwicklung logischer Fähigkeiten, insbesondere
bei der Verwendung der Begriffe „ein“, „genau ein“, „nicht alle“ und „mindestens“.
Mögliche Überlegungen von Schülern:
Zu a)
− Es kann ein Rechteck oder ein Parallelogramm sein, da die gegenüberliegenden Seiten gleich
lang sind.
− Es können auch alle vier Seiten gleich lang sein, dann ist es ein Quadrat oder Rhombus.
− Es können auch jeweils zwei Seiten gleich lang sein, dann käme ein Drachenviereck in Frage.
− Es können aber auch zwei Seiten gleich lang und die anderen beiden unterschiedlich lang sein.
Dann ist es kein spezielles Viereck, außer die gleich langen Seiten liegen sich gegenüber und
sind parallel.
− Es kann ein gleichschenkliges Trapez sein.
Zu b)
− Es kann kein Quadrat und kein Rhombus sein.
− Es kann ein Parallelogramm oder Rechteck sein.
− Es können auch drei Seiten oder nur zwei Seiten gleich lang sein.
− Alle Seiten können auch verschieden lang sein.
Zu c)
− Es kann ein beliebiges Viereck mit vier unterschiedlich langen Seiten und einem rechten Innenwinkel sein.
− Es kann kein Parallelogramm (auch Quadrat, Rechteck, Rhombus) sein.
− Auch ein Trapez ist nicht möglich, wenn ein Winkel 90° ist, so gibt es auch noch einen weiteren
rechten Winkel.
Zu d)
− In jedem Parallelogramm (außer einem Rechteck) und in jeder Raute (außer einem Quadrat) gibt
es zwei stumpfe Innenwinkel.
− Es kann auch ein bestimmes Trapez oder ein beliebiges unregelmäßiges Viereck sein.
− Mehr als zwei stumpfe Winkel kann ein Viereck nicht haben.
Zuef)
− Es kann zwei gleich lange Seiten haben, die einen rechten Winkel bilden, die anderen Seiten sind
beliebig.
− Die anderen Seite können auch gleich lang sein, es kann ein Drachenviereck mit einem rechten
Innenwinkel sein oder auch ein Quadrat.
− Das Viereck kann auch einen über stumpfen Winkel haben.
− Der rechte Winkel muss nicht von den gleich langen Seiten eingeschlossen werden. Damit sind
weitere unregelmäßige Vierecke möglich.
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: je 10 Minuten (für eine Teilaufgabe)
82
5.4 Vorschläge zum Themenbereich „Geometrie“ in Klasse 6
Aufgabe 8
Welche der Vierecke (1) bis (6) haben eine gemeinsame Eigenschaft? Gib die Eigenschaft und die
Nummern der betreffenden Vierecke an.
Hinweise zu möglichen Schülerantworten:
Die Aufgabe dient der Festigung der Kenntnisse über ebene Figuren. Dabei soll bei den Schülern die
Erkenntnis gefestigt werden, dass die Lage der Figuren ohne Bedeutung für die Lösung der Aufgabe
ist. Die Aufgabe kann durch weitere Vierecke erweitert werden.
Die Schüler sollen gleichzeitig Überlegungen anstellen, wie sie ihre Ergebnisse dokumentieren, z. B.
stichpunktartig, in Sätzen oder tabellarisch. So kann auch das mathematische Argumentieren geübt
werden. Mögliche Antworten:
Eigenschaft
ein rechter Winkel
ein Paar parallele Seiten
zwei gleichlange Seiten
eine Symmetrieachse
Diagonalen sind senkrecht zueinander
(1)
x
x
x
x
(2)
(3)
x
x
x
x
x
(4)
x
x
x
x
x
(5)
x
x
x
x
x
(6)
x
x
x
poly
alent
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 15 Minuten
Aufgabe 9
Es sind zwei parallele Geraden gegeben. Zeichne zwei weitere Geraden so
ein, dass eine Figur entsteht.
poly
alent
Die Aufgabe dient der Anwendung der Kenntnisse zu ebenen Figuren, insbesondere den Vierecksarten und ihren Eigenschaften. Durch die Vorgabe zweier zueinander paralleler Geraden lassen sich
durch zwei weitere Geraden, die sich nicht auf den vorgegebenen Geraden oder zwischen ihnen
schneiden, alle Formen von Trapezen konstruieren. Inbegriffen sind die
Spezialfälle Parallelogramm, Rechteck, Quadrat und Rhombus, wenn die
hinzukommenden Geraden zueinander parallel sind. Ist diese Parallelität nicht
gegeben, entsteht außerhalb des Gebietes zwischen den Geraden ein Dreieck.
Schneiden sich die beiden neu eingezeichneten Geraden auf einer der beiden
Parallelen, so entsteht nur ein beliebiges Dreieck.
Wenn sich die Geraden zwischen den beiden Parallelen schneiden, entsteht ein
sog. überschlagenes Viereck. (s. Abb.)
Die unterschiedliche Qualität der Schülerantworten ergibt sich aus der Vielzahl der gefundenen Möglichkeiten und dem Grad der Systematisierung. Das Finden eines überschlagenen Vierecks durch die
Schüler kann als Anlass genommen werden, den Begriff des (allgemeinen) Vierecks zu diskutieren.
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 10 Minuten
Aufgabe 10
In ein Koordinatensystem wurden die Punkte A (1|1) und B (5|1) eingezeichnet. Zeichne zwei weitere Punkte C und D in das Koordinatensystem ein, so
dass ein Trapez entsteht. Gib die Koordinaten der Punkte C und D an.
poly
alent
Hinweise zu möglichen Schülerantworten:
Grundsätzlich lassen sich die Lösungen in zwei Klassen einteilen: (1) AB ist eine der Parallelen oder
(2) AB ist ein Schenkel des Trapezes. Im Fall (1) müssen die Ordinaten der Punkte C und D übereinstimmen. Eine solche Figur sollte jeder Schüler zeichnen können. Ein tieferes Verständnis des Trapezbegriffes zeigt sich, wenn CD länger als AB ist, einer der Schenkel senkrecht auf AB steht oder
Parallelogramm, Rechteck und Quadrat als Spezialfall erkannt werden. Einige Schüler können C und
D unterhalb von A und B einzeichnen. Schwerer für die Schüler zu erkennen ist (2). Ist AB ein
Schenkel des Trapezes, so stehen im einfachsten Fall die Parallelen BC und AD senkrecht zu AB .
Dann stimmen jeweils die Abszissen von A und D sowie von B und C überein. In einem allgemeineren
Fall schließen die Parallelen mit AB den gleichen Winkel ein und besitzen somit den gleichen Anstieg.
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 15 Minuten
5.4 Vorschläge zum Themenbereich „Geometrie“ in Klasse 6
83
Aufgabe 11
Ein Quader hat ein Volumen von 96 cm³. Gib an, wie groß die Länge, die Breite und die Höhe des
Quaders sein könnten.
Hinweise zu möglichen Schülerantworten:
Diese Aufgabe ist ein Beispiel für eine offene Aufgabe, die auf der Basis der Umkehrung mathematischer Sätze/Formeln beruht. Die Lösungsangaben können bei den Schülern das Verständnis für systematisches Probieren bzw. Vorgehen weiter entwickeln. Zum Beispiel ist die Tabellenform eine sehr
geeignete Darstellungsart, die die Schüler selbständig entwickeln sollten. Dabei kann die Frage nach
den Zahlbereichen für mögliche Lösungen derart diskutiert werden, dass nur im Bereich der natürlichen Zahlen die Lösungsmenge endlich ist.
Das vorgegebene Volumen kann für das Verständnis der Aufgabe zunächst auch mit kleineren Größen begonnen werden (z.B. 18 cm³).
Beispiele für Lösungen (im Bereich der natürlichen Zahlen) für 96 cm³:
Länge in cm
Breite in cm
Höhe in cm
96
1
1
48
2
1
32
3
1
24
1
4
24
2
2
16
1
6
16
3
2
12
1
8
12
4
2
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 15 Minuten
Aufgabe 12
Beschreibe verschiedene Möglichkeiten, wie du das Volumen der Treppe berechnen könntest. Eine
Kästchenlänge entspricht 1 cm und eine Kästchendiagonale in Tiefenrichtung 3 cm.
Hinweise zu möglichen Schülerantworten:
Die Berechnung kann entweder durch Zerlegen oder durch Ergänzen gelöst werden.
Mögliche Zerlegungen:
− 6 Quader mit einer Grundfläche von 9 cm² und einer Höhe von 9 cm
− 3 verschiedene Quader mit einer Grundfläche von 9, 18 bzw. 27 cm² und einer Höhe von 9 cm
− ein Quader mit einer Grundfläche von 36 cm² und zwei mit je 9 cm² und einer Höhe von 9 cm
− 3 verschiedene Quader mit einer Grundfläche von 81 cm², 54 cm² und 27 cm² und einer Höhe von
je 3 cm
Mögliche Ergänzungen zu einem Quader mit einer Grundfläche von 81 cm²:
− 3 Quader mit je 9 cm² Grundfläche und einer Höhe von 9 cm
− ein Quader mit 9 cm² Grundfläche und einer mit 27 cm² Grundfläche, Höhe je 9 cm
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 15 Minuten
Aufgabe 13
ABCD ist ein Parallelogramm, DF ist die Verlängerung der Seite AD . BF ist die Winkelhalbierende
des Winkels ABC.
Finde Beziehungen zwischen den Winkeln und Strecken in der Figur.
alent
Ziel der Aufgabe:
poly
Mit der Aufgabe ist eine komplexe Übung der Winkelsätze an Geraden und
geschnittenen Parallelen sowie des Basiswinkelsatzes möglich. Sie dient auch der Festigung des
mathematischen Argumentierens und leistet einen Beitrag zur Notwendigkeit von mathematischen
Beweisen als eine lückenlose Kette von Begründungen.
Mögliche Schülerantworten:
Es lassen sich leicht Winkelgleichungen finden (z.B. Winkel BAD = Winkel EDF, da Stufenwinkel).
Antworten auf höherem Niveau sind z.B. eine Schlusskette wie DF = AB – BC . Zu jeder Angabe
sollten die Schüler exakte und vollständige Begründungen, auch in schriftlicher Form angeben.
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 20 min.
84
5.4 Vorschläge zum Themenbereich „Geometrie“ in Klasse 6
Aufgabe 14
In der Zeichnung ist ein Würfel dargestellt, bei dem seine Eckpunkte und die Mittelpunkte jeder Seitenkante bezeichnet sind. Durch einen geraden Schnitt, der durch die eingezeichneten Punkte geht,
soll der Würfel geteilt werden.
Beispielsweise kann ein Schnitt durch die 4 Punkte Q, S, I und K ausgeführt werden.
Zeichne verschiedene Schnitte ein. Welche Form hat jeweils die Schnittfläche?
poly
alent
Hinweise zur Aufgabe und zu möglichen Schülerantworten:
Die Aufgabe dient der Entwicklung des räumlichen Vorstellungsvermögens und der Anwendung der
Kenntnisse über ebene Figuren.
Die Form der entstehenden Schnittflächen ist von der Lage der Schnittebene abhängig. Den meisten
Schülern sollte es gelingen, die Schnittfläche des angegebenen Beispiels als Quadrat zu identifizieren.
− Generell haben alle Schnitte, die senkrecht zu zwei der Seitenflächen verlaufen, eine quadratische Schnittfläche. Dies sind die Quadrate MNOP, IKSQ und LJRT.
− Alle Schnitte, die senkrecht zu einer Seitenfläche sind, ergeben ein Rechteck.
(z.B. LIQT, KJRS, BDFH, INOK, AFGD, MQSP, PORT, CFED, NJLM, RJQI, LJOP, MNRT
oder EFOP, EFLJ, HGMN, HGLJ, GFPM, GFIK, EHON, EHIK, AESK, AERJ, BFTL, BFSK, CGTL,
CGQI, HDRJ, HDQI, ADON, ADQS, BCMP, BCQS, CDMN, CDRT, ABOP, ABRT)
− Schnitte, die zu keiner der Seitenflächen senkrecht sind, können verschiedene Formen annehmen:
gleichseitige Dreiecke
(z.B. AFH, BEG, DGE, CFH, ACF, BDH, CAH, DGB
oder ROS, STP, MQT, NRQ, IJN, ILM, JOK, PLK)
gleichschenklige Dreiecke
(z.B. MHF, HOF, EGN, EGP, ACN, ACP, BDM, BDO,
HAK, HAQ, EDI, EDS, BGK, BGQ, CFI, CFS oder
AQT, AJN, AKP, BLM, BOK, BRQ, CLP, CIN, CRS,
DIM, DJO, DST, EIL, EPS, ENR, FIJ, FOS, FMT, GJK,
GPT, GNQ, HKL, HOR, HMQ
Trapeze
(z.B. IFHL, JFHK, EGKL, EGIJ, ACQR, ACST, BDQT,
BDRS, BEOS, BEKP, AFOK, AFPS, CFPT, CFLM,
BGPL, BGTM)
regelmäßige Sechsecke
(z.B. INRSPL, JNQTPK, LMQROK, TMIJOS)
− Interpretiert man die Aufgabenstellung weniger streng, können auch insgesamt 48 Fünfecke entstehen. Die Schnittebene kann in diesem Fall z.B. durch die Punkte ILG oder auch ILO beschreiben werden, allerdings gehören die beiden anderen Eckpunkte des entstehenden Fünfecks, die
auf den Kanten BF und DH liegen, nicht zur Menge der bezeichneten Punkte.
Es ist nicht anzustreben, dass die Schüler eine vollständige Lösung anhand der Skizze durch pure
Vorstellungskraft entwickeln. Modellkörper, an denen die Punkte mit Bleistift oder Kreide markiert
werden, erhöhen die Anschaulichkeit und das Finden mehrerer Lösungen.
Zeit für selbstständige Schülerarbeit: 20 Minuten
Aufgabenempfehlungen: Aufgaben 2, 8, 9, 10 und 14
5.4 Vorschläge zum Themenbereich „Geometrie“ in Klasse 6
85
Aufgaben zur Geometrie
1. Vergleiche die Bewegung einer Schiebetür mit der Verschiebung in der Mathematik.
2. Vergleiche eine achsensymmetrische und eine drehsymmetrische Figuren miteinander.
Finde Gemeinsamkeiten und Unterschiede.
Achsensymmetrische Figuren
Drehsymmetrische Figuren
3. Erkenne Buchstaben, bei denen Nebenwinkel, Scheitelwinkel, Stufenwinkel oder Wechselwinkel vorkommen und kennzeichne die betreffenden Winkel.
ABCDEFGHIJKLMN
OPQRSTUVWXYZ
4. Das Dreieck ABC ist rechtwinklig und
gleichschenklig.
Weiterhin ist AE ⊥ BC und GF || AB.
Bestimme die Größe von Winkeln in dieser Figur und begründe deine Angabe.
5. Gegeben sind sechs verschieden lange Strecken:
1 cm; 2 cm; 3 cm; 4 cm; 5 cm; 6 cm
Mit welchen Strecken kannst du Dreiecke konstruieren?
86
5.4 Vorschläge zum Themenbereich „Geometrie“ in Klasse 6
6. Zeichne verschiedene Parallelogramme.
7. Zeichne mehrere verschiedene Vierecke, die die angegebene Eigenschaft haben.
Begründe deine Lösungen.
a) 2 Seiten des Vierecks sind gleich lang.
b) Nicht alle Seiten des Vierecks sind gleich lang.
c) Das Viereck hat genau einen rechten Innenwinkel.
d) Das Viereck hat zwei stumpfe Innenwinkel.
e) Das Viereck hat einen rechten Winkel und mindestens ein Paar gleich langer benachbarter Seiten.
8. Welche der Vierecke (1) bis (6) haben eine gemeinsame Eigenschaft?
Gib die Eigenschaft und die Nummern der betreffenden Vierecke an.
(1)
(2)
(6)
(3)
(4)
(5)
9. Es sind zwei parallele Geraden gegeben. Zeichne zwei weitere Geraden so ein, dass
eine Figur entsteht.
5.4 Vorschläge zum Themenbereich „Geometrie“ in Klasse 6
87
10. In ein Koordinatensystem wurden die Punkte A (1|1) und B (5|1) eingezeichnet.
Zeichne zwei weitere Punkte C und D in das Koordinatensystem ein, so dass ein Trapez
entsteht. Gib die Koordinaten der Punkte C und D an.
9
9
9
8
8
8
7
7
7
6
6
6
5
5
5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
0
A
0
1 2
B
3
4
5
6 7
8
9
0
A
0
1 2
1
B
3
4
5
6 7
8
0
9
9
9
9
8
8
8
7
7
7
6
6
6
5
5
5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
0
A
0
1 2
B
3
4
5
6 7
8
9
0
A
0
1 2
4
5
0
1
B
3
A
6 7
8
0
9
B
1 2
3
4
3
4
A
0
5
6 7
8
9
6 7
8
9
B
1 2
5
11. Ein Quader hat ein Volumen von 96 cm³. Gib an, wie groß die Länge, die Breite und die
Höhe des Quaders sein könnten.
12. Beschreibe verschiedene Möglichkeiten, wie du
das Volumen der Treppe berechnen könntest.
13. ABCD ist ein Parallelogramm.
F
DF ist die Verlängerung der Seite AD .
BF ist die Winkelhalbierende des Winkels ABC.
D
E
C
Finde Beziehungen zwischen den Winkeln und Strecken in der Figur.
A
B
88
5.4 Vorschläge zum Themenbereich „Geometrie“ in Klasse 6
14. In der Zeichnung ist ein Würfel dargestellt, bei dem seine Eckpunkte und die Mittelpunkte
jeder Seitenkante bezeichnet sind. Durch einen geraden Schnitt, der durch die eingezeichneten Punkte geht, soll der Würfel geteilt werden.
Beispielsweise kann ein Schnitt durch die 4 Punkte Q, S, I und K ausgeführt werden.
Zeichne verschiedene Schnitte ein. Welche Form hat jeweils die Schnittfläche?
Schnittfläche: _________________________
Schnittfläche: _________________________
Schnittfläche: _________________________
Schnittfläche: _________________________