Leseprobe - Ingenieur-Buch

27
2 Gleichstromtechnik
2.1 Der unverzweigte Stromkreis
2.1.1 Der Grundstromkreis
Ein unverzweigter Stromkreis ist die geschlossene Hintereinanderschaltung verschiedener
Schaltelemente: Spannungsquellen, Widerstände in Form von elektrischen Verbrauchern,
Leitungen usw.
Die praktisch vorkommenden Stromkreise bestehen aus räumlich angeordneten und mehr oder
weniger kontinuierlich verteilten Widerständen. Diese werden in Schaltbildern konzentriert
angenommen, d. h., die Verbindungen zwischen den Spannungsquellen und Widerständen sind
widerstandsfrei.
Die in den Spannungsquellen kontinuierlich verteilten Widerstandsanteile werden ebenfalls
konzentriert gedacht und zum Innenwiderstand der Spannungsquelle zusammengefasst. Die
Spannungsquelle wird ebenfalls idealisiert, d. h. widerstandslos, angenommen. Die Ersatzschaltung einer Spannungsquelle besteht also aus der Reihenschaltung der Quellspannung Uq
und dem Innenwiderstand Ri.
Wird die Spannung auf Grund einer Energieumwandlung in einer Spannungsquelle durch die
Bezeichnung EMK E von den Spannungen U in stromdurchflossenen Widerständen unterschieden, dann besteht die Ersatzschaltung aus der Reihenschaltung EMK E und dem Innenwiderstand Ri.
Jeder unverzweigte Stromkreis lässt sich zum bereits erwähnten Grundstromkreis zusammenfassen. Er besteht aus dem aktiven Zweipol der Spannungsquelle (Uq und Ri bzw. E und Ri)
und dem passiven Zweipol des Verbrauchers (Ra). Dadurch lassen sich komplizierte Netzwerke einfach behandeln (siehe Abschnitt 2.3.3: Zweipoltheorie).
Im Allgemeinen besteht die Aufgabe darin, bei bekannten Spannungsquellen und Widerständen die Ströme zu berechnen. Wie schon erwähnt, werden für Spannungsquellen heute nur
noch Quellspannungen verwendet. Um Rechenbeispiele älterer Literatur [5], [9], [10], [11],
[12], [13], [14], [15] verstehen zu können – wo mit der EMK E gerechnet wird –, werden im
Folgenden der Grundstromkreis, die Reihenschaltung von Spannungsquellen, die Maschenregel, die Ersatzspannungsquelle, die Ersatzstromquelle und die Netzberechnungsverfahren
sowohl mit der Quellspannung Uq als auch mit der EMK E behandelt. Die unterschiedlichen
Energieansätze (Abschnitt 1.6) sind Ausgangspunkt der beiden Betrachtungsweisen:
© Springer Fachmedien Wiesbaden 2015
W. Weißgerber, Elektrotechnik für Ingenieure 1, DOI 10.1007/978-3-658-09098-2_2
28
2 Gleichstromtechnik
Nach den Energieansätzen des Abschnitts 1.6 ergibt sich für den Grundstromkreis:
Bild 2.1 Grundstromkreis mit Quellspannung Uq
Bild 2.2 Grundstromkreis mit EMK E
Die Summe der drei vorzeichenbehafteten
Energien ist Null:
Die erzeugte Energie ist gleich der beiden
abgegebenen Energien:
¦
2
1
3
Wi
0
(2.1)
i 1
i 1
W1 + W2 + W3 = 0
– Q ˜ U q + Q ˜ U + Q ˜ Ui = 0
¦
Werz i
¦W
abg i
(2.2)
i 1
Werz1 = Wabg1 + Wabg2
(2.3)
Q ˜ E = Q ˜ U + Q ˜ Ui
(2.4)
(2.5)
E = U + Ui
(2.6)
– U q + U + Ui = 0
U q = U + Ui
Beim Aufstellen der Spannungsgleichung
wird der unverzweigte Stromkreis nur einmal umfahren, und zwar in Richtung des
Stroms I:
Wird für die Spannungsquelle die EMK E
verwendet, dann muss der unverzweigte
Stromkreis zweimal in gleicher Richtung
umlaufen werden:
die Quellspannung Uq liegt entgegengesetzt
zur Umlaufrichtung, wird also negativ
berücksichtigt,
beim ersten Umlauf wird die EMK E,
die Spannungen U und Ui liegen in Umlaufrichtung, gehen also positiv ein.
Sowohl E als auch Ui und U liegen im Umlauf des Stroms I, gehen also positiv in die
Spannungsgleichung ein.
beim zweiten Umlauf werden die Spannungen Ui und U erfasst.
2.1 Der unverzweigte Stromkreis
29
Beim normalen Betriebsfall wird die Spannungsquelle mit einem beliebigen Widerstand Ra
mit 0 < Ra < f belastet, wodurch sich ein Strom I einstellt:
Uq = I ˜ Ra + I ˜ Ri
(2.7)
Uq
Ra Ri
(2.8)
E = I ˜ (Ra + Ri)
Uq = I ˜ (Ra + Ri)
I
E = I ˜ Ra + I ˜ Ri
(2.9)
I
E
Ra Ri
(2.10)
Drei charakteristische Betriebszustände werden im Grundstromkreis unterschieden:
Kurzschluss: Ra = 0
Bei einer Klemmenspannung U = 0 fließt ein Kurzschlussstrom
Ik
Uq
Ri
(2.11)
Ik
E
Ri
(2.12)
Leerlauf: Ra = f
Bei verschwindendem Strom I = 0 ist die Klemmenspannung gleich der Leerlaufspannung
U l = Uq
(2.13)
Ul = E
(2.14)
Anpassung: Ra = Ri
Ist der Außenwiderstand gleich dem Innenwiderstand, dann ist der Strom gleich der Hälfte des
Kurzschlussstroms und die Klemmenspannung gleich der Hälfte der Leerlaufspannung
I
I
Uq
2 ˜ Ri
1
Ik
2
U = Uq – Ui
mit Ui = U
weil I ˜ Ri = I ˜ Ra
U = Uq – U
2U = Uq
1
Ul
U
2
(2.15)
(2.17)
I
E
2 ˜ Ri
I
1
Ik
2
U = E – Ui
mit Ui = U
weil I ˜ Ri = I ˜ Ra
U=E–U
2U = E
1
Ul
U
2
Auf den Anpassungsfall wird im Abschnitt 2.4.5 genauer eingegangen.
(2.16)
(2.18)
30
2 Gleichstromtechnik
Kennlinien des Grundstromkreises:
Kennlinie des aktiven Zweipols
U + Ui = E
U + I ˜ Ri = E
U I ˜ Ri
1
E
E
U + U i = Uq
U + I ˜ Ri = Uq
U I ˜ Ri
1
Uq
Uq
U
I
Uq Uq / R i
I
U
1
Ul I k
U
I
E E / Ri
1
(2.19)
I
U
U l Ik
1
1
(2.20)
Das ist die Gleichung einer Achsen-Abschnittsgeraden mit den Achsen-Abschnitten Kurzschlussstrom Ik und Leerlaufspannung Ul:
Bild 2.3
Kennlinie des aktiven Zweipols
des Grundstromkreises
Kennlinie des passiven Zweipols
Im Abschnitt 1.5 wurde die Kennlinie des ohmschen Widerstandes behandelt:
U = Ra ˜ I
I
(2.21)
1
˜U
Ra
(2.22)
Bild 2.4
Kennlinie des passiven Zweipols
des Grundstromkreises
2.1 Der unverzweigte Stromkreis
31
Überlagerung der Kennlinien des aktiven und passiven Zweipols
Werden aktiver und passiver Zweipol zusammengeschaltet, dann stellt sich nur ein Strom I
und nur eine Klemmenspannung U ein. Diese Größen ergeben sich durch Überlagerung der
Kennlinien des aktiven und passiven Zweipols, indem im Schnittpunkt (genannt Arbeitspunkt)
die Größen abgelesen werden.
Bild 2.5
Überlagerung der Kennlinien des aktiven und
passiven Zweipols des Grundstromkreises
Aus den überlagerten Kennlinien lassen sich die Spannungen am Außenwiderstand und Innenwiderstand abgreifen.
Praktische Anwendung: Um den Gleichstrom-Arbeitspunkt bei Transistoren und Röhren zu erhalten, werden die nichtlinearen Kennlinien als Kennlinien des passiven Zweipols mit der Kennlinie
des aktiven Zweipols – gebildet aus der Versorgungsspannung (entspricht der Leerlaufspannung
Ul) und dem Arbeitswiderstand (entspricht dem Innenwiderstand Ri) – überlagert.
2.1.2 Zählpfeilsysteme
Für Netzberechnungen ist es notwendig, einheitliche Richtungen für Ströme und Spannungen
durch Zählpfeile festzulegen, damit eindeutige Ergebnisse erzielt werden. Sie stimmen mit den
im Abschnitt 1.3 bereits vereinbarten Richtungsdefinitionen überein.
Spannungszählpfeile: Spannungen zeigen von der positiven zur negativen Klemme, EMK E
von der negativen zur positiven Klemme. Das Symbol der Spannungsquelle mit Querstrichen
wird in der älteren Literatur verwendet.
Bild 2.6
Festlegung der Spannungszählpfeile
32
2 Gleichstromtechnik
Stromzählpfeile: Vereinbarungsgemäß wird der Stromzählpfeil in Richtung des positiv definierten Stroms (Bewegungsrichtung der positiven Ladungsträger) im Schaltbild eingetragen.
Bild 2.7
Festlegung des Stromzählpfeils
Bei einer Netzberechnung werden die Zählpfeile grundsätzlich zu Beginn der Berechnung in
das Schaltbild eingezeichnet. Sind die Richtungen von Strömen und Spannungen in Schaltelementen nicht voraussehbar, werden Richtungen angenommen. Das Rechenergebnis zeigt, ob
die Annahme richtig war. Richtig vorausgesagte Größen ergeben positive, falsch angenommene Größen negative Zahlen.
Im Verbraucherzählpfeilsystem (VZS-System) werden die im Verbraucher (Widerstand) definierten Strom- und Spannungsrichtungen zugrunde gelegt:
Zur Ermittlung der Spannungsgleichung in einem unverzweigten Stromkreis wird der
Umlauf in Richtung des Stromzählpfeils festgelegt. Dann gehen die Spannungen an
Widerständen positiv in die Spannungsgleichung ein, weil Strom und Spannung in gleicher Richtung liegen. Die Spannungen an Spannungsquellen werden negativ berücksichtigt, weil Strom und Spannung entgegengesetzt gerichtet sind.
Beispiel:
Grundstromkreis
– Uq + U + Ui = 0
Die in einem ohmschen Widerstand in Wärme umgesetzte Leistung ist dann positiv und die durch
die Spannungsquelle zugeführte Leistung negativ:
(2.23)
– Uq ˜ I + I2 ˜ (Ra + Ri) = 0.
Für verzweigte Stromkreise wird obige Regel entsprechend für Maschen angewendet (siehe
Abschnitt 2.2). Grundsätzlich wird bei allen Netzberechnungen im Verbraucherzählpfeilsystem
gerechnet.
Um Verwechslungen im Vorzeichen zu vermeiden, wird auf das Erzeugerzählpfeilsystem, das
die Spannungs- und Stromrichtungen der Spannungsquelle zugrundelegt, nicht eingegangen.
2.1 Der unverzweigte Stromkreis
33
2.1.3 Die Reihenschaltung von Widerständen
In einem unverzweigten Stromkreis mit einer Spannungsquelle und n in Reihe, d. h. hintereinander, geschalteten äußeren Widerständen Rv mit v = 1, 2, ... , n ist an jeder Stelle des Kreises
die Menge der pro Zeit fließenden Ladungen – die Stromstärke I – gleich. An den verschieden
großen Widerständen Rv müssen die Spannungsabfälle Uv jeweils entsprechend groß sein, um
den gleichen Strom I zu gewährleisten:
ohmscher Widerstand
R1
R2
˜
˜
Rn
Spannungsabfall
U1 = I ˜ R1
U2 = I ˜ R2
˜
˜
Un = I ˜ Rn
Bild 2.8 Ersatzschaltung eines Stromkreises mit n in Reihe geschalteten ohmschen Widerständen
Die Klemmenspannung U ist gleich der Summe aller Spannungsabfälle Uv an den Widerständen Rv:
U = U1 + U2 + ... + Un
(2.24)
U = I ˜ R1 + I ˜ R2 + ... + I ˜ Rn
(2.25)
U = I ˜ (R1 + R2 + ... + Rn)
(2.26)
oder in Kurzform
n
U = ¦ Uv
n
I ˜ ¦ Rv .
v 1
(2.27)
v 1
Die n in Reihe geschalteten Widerstände lassen sich zu einem Ersatzwiderstand, dem Gesamtwiderstand Ra, zusammenfassen:
Mit
U = I ˜ (R1 + R2 + ... + Rn) = I ˜ Ra
(2.28)
ergibt sich für den Gesamtwiderstand der Reihenschaltung
n
Ra
¦ Rv ,
(2.29)
v 1
n in Reihe geschaltete Widerstände können zu einem Gesamtwiderstand zusammengefasst
werden, dessen Widerstandswert gleich der Summe der Einzelwiderstandswerte ist.
34
2 Gleichstromtechnik
Die n Widerstände lassen sich jeweils durch n Leitwerte angeben, so dass sich mit
Rv =
1
Gv
mit v = 1, 2, ... , n
(2.30)
für den Gesamtleitwert Ga der Reihenschaltung mit Ra = 1/Ga schreiben lässt:
1
Ga
1
1
1
!
G1 G 2
Gn
(2.31)
oder in Kurzform
1
=
Ga
n
¦ G1v .
(2.32)
v 1
2.1.4 Anwendungen der Reihenschaltung von Widerständen
Ein unbelasteter Spannungsteiler besteht aus zwei in Reihe geschalteten Widerständen R1 und
R2, die entweder räumlich getrennt sind oder aus einem Gesamtwiderstand mit einem Abgriff
bestehen. Die Ausführung eines unbelasteten Spannungsteilers mit einem veränderlichem
Abgriff, Schleifer genannt, heißt Potentiometer. Die Teilwiderstände werden damit variabel.
Bild 2.9 Ausführungen unbelasteter Spannungsteiler
Wird an den Spannungsteiler eine Spannung U angelegt, dann sind die beiden Widerstände
vom gleichen Strom durchflossen, wenn durch den Abgriff kein Strom fließt. Der Spannungsteiler ist dann unbelastet, der belastete Spannungsteiler wird im Abschnitt 2.2.8 behandelt. Die
anliegende Spannung U wird entsprechend der Größe der Widerstände aufgeteilt:
U = U1 + U2 = I ˜ R1 + I ˜ R2 = I ˜ R.
(2.33)
Mit den Proportionen
U1
U2
I ˜ R1
I˜ R2
und
U1
U
I ˜ R1
I ˜ R1 R 2 und
U1
U
R1
R1 R 2
I ˜ R1
I˜R
ergibt sich die Spannungsteilerregel:
U1
U2
R1
R2
(2.34)
R1
;
R
(2.35)
die Spannungen über zwei vom gleichen Strom durchflossenen Widerstände verhalten sich wie
die zugehörigen Widerstandswerte.
2.1 Der unverzweigte Stromkreis
35
Eine Anwendung der Spannungsteilerregel ist die Messbereichserweiterung eines Spannungsmessers zum Messen höherer Spannungen, für die der Spannungsmesser nicht ausreicht. Die
zu messende Spannung U wird durch die Reihenschaltung eines Vorwiderstandes Rv und des
Widerstandes R0 des Messinstrumentes geteilt. Dadurch braucht das Messinstrument nur die
Teilspannung U0 anzuzeigen.
Bild 2.10
Messbereichserweiterung eines Spannungsmessers
Wird der Messbereich um das p-fache erweitert, d. h., kann die zu messende Spannung U das
p-fache der am Messinstrument anliegenden Spannung U0 betragen, dann ergibt sich aus
p
U
U0
R0 Rv
R0
1
Rv
R0
(2.36)
die Größe des notwendigen Vorwiderstandes:
Rv = (p – 1) ˜ R0.
(2.37)
2.1.5 Die Reihenschaltung von Spannungsquellen
Werden n Spannungsquellen in Reihe geschaltet, dann lassen sich die Spannungen Uqv bzw.
Ev und die Innenwiderstände Riv der n Spannungsquellen zu einer Ersatzspannungsquelle mit
der Ersatz-Quellspannung Uq ers bzw. Ersatz-EMK Eers mit einem Ersatz-Innenwiderstand
Ri ers mit v = 1, 2, ... , n zusammenfassen. Die Ersatzgrößen werden nach dem Verbraucherzählpfeilsystem (Abschnitt 2.1.2) ermittelt:
Die Ersatz-Quellspannung Uq ers bzw. die Ersatz-EMK Eers berücksichtigt alle Uqv bzw.
Ev, die in gleicher Richtung wirken, positiv und die entgegengesetzt wirken, negativ.
Der Ersatz-Innenwiderstand Ri ers ist gleich der Summe aller Innenwiderstände Riv.
36
2 Gleichstromtechnik
Beispiel: n = 4
Behandlung mit Quellspannungen:
Bild 2.11 Ersatzschaltung der Reihenschaltung von Spannungsquellen, behandelt
mit Quellspannungen
I ˜ Ri4 – Uq4 + I ˜ Ri3 + Uq3 + I ˜ Ri2 – Uq2 + I ˜ Ri1 – Uq1 + U = 0
I ˜ Ri ers – Uq ers + U = 0
d. h. Uq ers = Uq1 + Uq2 – Uq3 + Uq4
= Ri1 + Ri2 + Ri3 + Ri4
und Ri ers
oder Behandlung mit EMK:
Bild 2.12 Ersatzschaltung der Reihenschaltung von Spannungsquellen, behandelt mit EMK
E1 + E2 – E3 + E4 = I ˜ ( Ri1 + Ri2 + Ri3 + Ri4) + U
=I˜
Ri ers
+U
Eers
d. h. Eers= E1 + E2 – E3 + E4
und
Ri ers= Ri1 + Ri2 + Ri3 + Ri4