3.5 Potential an der Zellmembran eines Neurons

3.5 Potential an der Zellmembran
eines Neurons
• Goldmann Gleichung für mehrere Ionen
⎛ z P [ X ] + ∑ z P [Y ] ⎞
k k
k außen
l l
l innen ⎟
R ⋅T ⎜ ∑
k =1
l =1
ln⎜ n
E=
m
⎟
F
⎜ ∑ z k Pk [ X k ]innen + ∑ zl Pl [Yl ]außen ⎟
⎝ k =1
⎠
l =1
n
allgemein
m
(3.5-4)
Mit für Membranpotential wichtige Ionen
K+, Na+, CL- (PK:PNa:PCL=1:0,04:0,45)
P [K + ]außen + P [Na + ]aussen + P [CL− ]aussen
R ⋅T
⋅ ln
E =
F
P [K + ]innen + P [Na + ]innen + P [CL− ]innen
K
Na
K
Na
CL
CL
Siehe z.B. Heinrich Reichert „Neurobiologie“ Thieme Verlag
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J.L. Verhey, (CvO Universität Oldenburg )
3.6 Elektrischer Dipol
Elektrische Feldstärke E sowie das
Potential ϕ eines Monopols und eines
Dipols.
+
Elektrischer Monopol
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+
-
Elektrischer Dipol
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3.6 Elektrischer Dipol
• Zwei ungleichartige Ladungen q im Abstand l.
Seien r1 und r2 die Vektoren zu der negativen
bzw. positiven Ladungen sowie E1 und E2 die
elektrische Feldstärke an diesen Positionen.
¾ An den Dipol wirkt folgende resultierende Kraft
r
r
r ( 3 . 3 −1 )
r
r
r
r
F = F1 + F2 = − q ⋅ E 1 + q ⋅ E 2 = q ⋅ (E 2 − E 1 )
(3.6.1)
¾ An den Dipol wirkt außerdem ein Drehmoment
r (1.3 −11 ) r r r r ( 3.3 −1 ) r
r
r
r
M = r1 × F1 + r2 × F2 = r1 × ( − q ⋅ E 1 ) + r2 × ( q ⋅ E 2 )
r2
(3.6.2)
E2
+
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l
-
r1
E1
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3.6 Elektrischer Dipol
a) im homogenen Feld E
+
l
qE
E
-
-qE
• Im homogenen Feld ist die resultierende Kraft
F=0, da (E2- E1) = (E- E) = 0 (siehe 3.6.1)
• Das Drehmoment M ist
r r
r ( 3 .6 − 2 )
r r
r r
M = − q ⋅ r1 × E + q ⋅ r2 × E = q l × E
(3.6.3)
• l=r2-r1. Mit dem elektrischen Dipolmoment p
r
r
r
r
r
p = q ⋅ l (3.6.4)
(3.6.3a)
M = p×E
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3.6 Elektrischer Dipol
b) im inhomogenen Feld
l
qE2
E
+
-
-qE1
• Ist l || E (lokal) so verschwindet das
Drehmoment aber es bleibt nach (3.6.2) eine
resultierende Kraft F = (E2- E1)· l
• Beispiel: Ionen-Dipol-Wechselwirkung:
neutrale Moleküle mit großem Dipolmoment
lagern sich an Ionen an, z.B.
H20+H+ = H30+
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4. Magnetostatik
• Magnetismus: Lehre vom magnetischen
Feld & den magnetischen Erscheinungen
der Materie
• Abgeleitet von Magnesia, eine Stadt in
Kleinasien, in dessen Nähe sich großes
Vorkommen an Magnetit (Fe304) befand
• Magnetostatik: Lehre der Wirkung
ruhender magnetischer Körper
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4. Magnetostatik
• Historisch:
– ~600 v Chr.: Thales von Milet: manche
Eisenerze besitzen die Fähigkeit, kleine
Eisenteilchen anzuziehen.
– Gilbert (1544-1603):
• Erstes umfassendes Werk zu
magnetischen Erscheinungen.
• „Terella“ als Modell der magnetischen
Erde.
• Erklärung der Ausrichtung der
Magnetnadel im Erdmagnetfeld
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4. Magnetostatik
• Historisch:
– 1820: Ørsted (1777-1851) findet bei
Vorlesungsversuchen, dass eine
Magnetnadel durch einen
stromdurchflossenen Leiter abgelenkt wird.
– 1820: Arago (1786-1853) entdeckt die
Magnetisierung von Eisen durch
stromdurchflossene Leiter
– 1831: Faraday (1791-1867) entdeckt
elektromagnetische Induktion
– 1860: Maxwell (1831-1879): Umfassende
Theorie der elektrischen und magnetischen
Felder
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4.1 Magnetische Kraftwirkung
• Magnetnadeln besitzen zwei Pole
Nordpol: zeigt nach Norden („+“)
Südpol: zeigt nach Süden („-“)
• Ungleichnamige Pole ziehen sich an,
gleichnamige stoßen sich ab
¾ Der geographische Nordpol ist ein
magnetischer Südpol
• Im Gegensatz zu elektrischen Polen
treten magnetische Pole treten immer
paarweise auf!
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4.1 Magnetische Kraftwirkung
• Coulomb-Gesetz der Magnetostatik Zwei
gleichnamige/ungleichnamige magnetische
Pole p1 und p2 im Abstand r stoßen/ziehen
sich (im Vakuum) mit folgender Kraft
ab/an:
1
p1 ⋅ p2 (4.1-1)
⋅ 2
F=
4πµr µ 0
r
mit der relativen magnetischen Permeabilität µr
& magnetische Permeabilitätskonstante
µ0 = 4π·10-7 V·s/(A·m)
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(4.1-2)
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4.1 Magnetische Kraftwirkung
• Erfährt ein positiver Probemagnetpol p
die Kraft F, so ist die magnetische
Feldstärke H am Ort des Poles
r
r 1 F
H= ⋅
µ0 p
(4.1-3)
[H] = 1 A/m
• Ein Magnetpol P erzeugt im Abstand r
ein magnetisches Feld der Stärke (im
Vakuum)
H=
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1
P
4πµ r r 2
⋅
(4.1-3a)
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4.1 Magnetische Kraftwirkung
• Magnetische Flussdichte B (auch als
magnetische Induktion bezeichnet). Für
diese gilt im Vakuum
r
r
B = µ0 ⋅ H
(4.1-4)
[B]=1Vs/(m2)=1 T (Tesla)
• Und allgemein (Ausnahme Ferromagnete)
r
r
B = µ0 ⋅ µr ⋅ H
(4.1-5)
• Da magnetische Pole immer paarweise
r r
auftreten gilt:
(4.1-6)
∫∫ BdA = 0
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4.1 Magnetische Kraftwirkung
• Die magnetische Flussdichte ist vom Betrag
gleich dem magnetischen Fluss je Flächeneinheit
dΦ
B=
dA
(4.1-7)
• Der magnetische Fluss Φ durch
eine beliebig orientierte Fläche ist
r r
Φ = ∫∫ BdA
(4.1-8)
[Φ] = 1 Vs = 1 Wb (Weber)
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4.1 Magnetische Kraftwirkung
• Φ ist Kraftfeld.
• Zur Untersuchung der Kraftwirkung verwendet
man magnetische Dipole (z.B Stabmagnet) mit
Polen im Abstand l und dem magnetischen
r
Dipolmoment
r
(4.1-9)
m = Φ ⋅l
• Analogie zum elektrischen Dipol. An Stelle der
elektrischen Ladung q =Ψ tritt der Fluss Φ als
Maß für den Eigenmagnetismus.
• Magnetischer Dipol erfährt Drehmoment im
äußeren Magnetfeld der Stärke H (analog 3.6-3a)
r
r r
M = m×H
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(4.1-10)
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4.2 Lorentzkraft
• Das magnetische Feld vermittelt nicht nur
Kräfte zwischen Magneten sondern auch auf
bewegte Ladungen:
• Empirisch
–
–
–
–
|F|~ q
|F|~ |v|
F senkrecht zu v
|F|~sin(θ) θ: Winkel zwischen v und B
• Betrag der Lorentzkraft
• Lorentzkraft vektoriell
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v
θ
r
r r
F = q ⋅ v ⋅ B sin(θ )
r
r r
F = q⋅v × B
B
(4.2-1)
(4.2-2)
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4.2 Lorentzkraft
• Beispiel 1: Kraft auf einen stromdurchflossenen
Leiter:
dQ r r
= j⋅A
I=
(4.2-3)
• Stromstärke
dt
• Stromdichte
r I
r
j = = e⋅n⋅v
A
(4.2-4)
B
• Ladungsträgerdichte n
• Leiterschnittfläche A
¾ Für alle Ladungen des im
B-Feld liegenden
Teilstücks der Länge l
r r
r
r r
F = e⋅n ⋅l ⋅ A⋅v × B = I ⋅l × B
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F
v
(4.2-5)
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4.2 Lorentzkraft
• Beispiel 2: Bewegung einer Punktladung im
Magnetfeld:
• Da Bewegungsänderung immer senkrecht zur
Geschwindigkeit ist, ändert sich die Richtung
nicht aber der Betrag der Geschwindigkeit.
• Annahme: B sei homogen. Teilchen bewege sich
mit v senkrecht zum Feld.
¾ Kraft bewirkt Bewegung auf Kreisbahn
¾ Mit 2. Newtonschen Gesetz (F=m·a)
( 4.2 −1)
(1.2 −3 )
(1.1− 26 )
(1.1− 24 )
2
v
F = q ⋅ v ⋅ B = m ⋅ a = m ⋅ω ⋅ r = m ⋅
r
2
¾ Radius der Kreisbahn
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m ⋅v
r =
q⋅B
(4.2-6)
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4.2 Lorentzkraft
• Beispiel 2 (Fortsetzung):
• Umlaufzeit T = 2πr/v
⎛ m ⋅v ⎞
2 ⋅π ⋅⎜
⎟
q ⋅ B ⎠ 2 ⋅π ⋅ m
⎝
T =
=
v
q⋅B
(4.2-7)
• Zyklotronfrequenz ν = 1/T
ν =
q⋅B
2 ⋅π ⋅ m
(4.2-8)
¾ Frequenz nicht vom Bahnradius abhängig!
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4.2 Lorentzkraft
• Beispiel 3: Massenspektrometer:
• Gerät zur Analyse eines Ionenstrahls auf
Bestandteile verschiedener Masse
• 1919: Erster Massenspektrometer von F.W. Aston
• Wichtigste Anwendung: Ermittlung der
natürlichen Isotopenverhältnisse
– (z.B. Mg: 78,7%Mg24, 10,1%Mg25, 11,2%Mg26)
• Gemessen wird Radius (siehe 4.2-6)
Magnetfeld
Prinzipieller Aufbau
eines
Massenspektrometers
Beschleunigungsspannung
m1 < m2
Ionenquelle
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4.2 Lorentzkraft
• Beispiel 3: Massenspektrometer:
• Zur Bestimmung noch v nötig
• Annahme: Vor Beschleunigung durch
Beschleunigungsspannung v = 0
1
E
=
m⋅v
• danach gilt
2
• v ist nach 4.2-6 (r =m·v/(q·B))
v=
2
= q ⋅U
m r 2 ⋅ B2
=
2 ⋅U
q
r ⋅q⋅B
m
(4.2-9)
Magnetfeld
Prinzipieller Aufbau
eines
Massenspektrometers
Beschleunigungsspannung
m1 < m2
Ionenquelle
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4.2 Lorentzkraft
•
•
•
•
wenn v nicht bekannt D
Massenspektrometer
Kombination eines E und B Feldes.
Nutzt aus, dass E-Feld um so stärker
ablenkt je kleiner kinetische Energie und
B-Feld je größer die kinetische Energie
ist.
Durch geschickte Geometrie Fokussierung
auf einen Punkt.
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4.3 Relativität der Felder
• Betrachte ein Elektron im bewegten Bezugssystem.
Geschwindigkeit des Bezugssystem sei gleich der des
Elektrons
• Vom Bezugssystem x,y,z
z´
• Elektron fliegt ins B-Feld
y´
B
¾ Durch B-Feld Kraft senkrecht
x´
zur Geschwindigkeit
v
v v´=0
¾ Elektron beschreibt
Kreisbahn
z
y
• Vom Bezugssystem x´,y´,z´
• Elektron bewegt sich aus der Ruhe vom
x
Betrachter
¾ In Ruhe geht das nur mit E´ Feld D CoulombKraft –qE´
E´ = vxB
¾ Aus Dynamik ersichtlich, dass für Teilchen in
Bewegung auch B‘-Feld wirkt
¾ Bahnbewegung ist Zykloide J.L. Verhey, (CvO Universität Oldenburg )
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4.3 Relativität der Felder
r r r
E′ = v × B
(4.3-1)
• Aus Symmetrieüberlegungen müsste auch ein
elektrisches Feld ein magnetisches Feld B‘ im bewegten
Bezugssystem erzeugen
z´
r
r r
B′ = k ⋅ v × E
y´
(4.3-2)
E
x´
v
z
y
x
v v´=0
• Da E‘ = vxB muss k die
Dimension einer inversen
Geschwindigkeit^2 haben
• Es zeigt sich, dass
k = 1/c2
(4.3-3)
ist (c: Lichtgeschwindigkeit)
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4.4 Stromdurchflossener Leiter
• Elektrischer Leiter hat E Feld
e⋅n⋅ A
I
′
E =
=
(4.4-1)
2 ⋅π ⋅ε0 ⋅ r 2 ⋅π ⋅ε0 ⋅ v ⋅ r
• Elektrischer Leiter hat E´- Feld im bewegten
Bezugssystem
r
r r
• Anwendung von 4.3-2 ( B = k ⋅ (−v ) × E ′ ) rückwärts,
d.h. in Richtung des ruhenden Systems.
r
B=
r r
v ⋅ E′
c2
=
I
(4.4-2)
2 ⋅π ⋅ ε 0 ⋅ c2 ⋅ r
E´
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B
v
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