¨Ubungsblatt 4

Übungen zur Theoretischen Physik II A - SS 2007
H. Kroha, A. Lubatsch
http://www.th.physik.uni-bonn.de/tp2 07
Übungsblatt 4
Abgabe am 4. Mai
Aufgabe 13:
–
Rückgabe am 11. Mai
Gauß’sches Wellenpaket, Erwartungswert, Standardabweichung
In dieser Aufgabe soll das zeitliche Verhalten eines Gauß’schen Wellenpakets im Ortsraum
untersucht werden, d.h. betrachtet werden Lösungen zur freien eindimensionalen Schrödingergleichung
i~
∂
~ 2 ∇2
Ψ(x, t) = −
Ψ(x, t)
∂t
2m
welche einer gegebenen Anfangsbedingung Ψ(x, t = 0) genügen, wobei Ψ(x, t = 0) eine GaußVerteilung sei. Dazu wollen wir die Schrödingergleichung im Impulsraum lösen, das bedeutet
die gesuchte Lösung wird nach ebenen Wellen entwickelt
Z
dk
√ eikx Ψ(k, t)
Ψ(x, t) =
2π
mit Entwicklungskoeffizienten Ψ(k, t).
1.) Setzen Sie nach ebenen Wellen entwickelte Funktion Ψ(x, t) in die gegebene Schrödingergleichung ein und zeigen Sie durch Koeffizientenvergleich, daß die Fourierkoeffizienten
Ψ(k, t) folgende Gleichung erfüllen
i~
∂
~2 k 2
Ψ(k, t) =
Ψ(k, t).
∂t
2m
2.) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der in 1.) hergeleiteten Gleichung.
3.) Um die gesuchte Lösung Ψ(k, t) zu finden, wird die Anfangsbedingung Ψ(x, t = 0) ebenfalls nach ebenen Wellen entwickelt, gemäß
Z
dk
√ eikx Ψ(k, t = 0),
Ψ(x, t = 0) =
2π
die Fourierkoeffizienten Ψ(k, t = 0) dieser Entwicklung seien gegeben als:
r
a − (k−ko )2 a2
2
Ψ(k, t = 0) =
.
1 e
π2
Geben Sie Ψ(k, t) an und bestimmen Sie daraus die gesuchte Lösung Ψ(x, t) im Ortsraum.
R
4.) Bestimmen
Sie
den
Mittelwert
hxi(t)
=
dx x|Ψ(x, t)|2 und die Standardabweichung
R
σ 2 (t) = dx (x − hxi)2 |Ψ(x, t)|2 von x. Hinweis: Sie müssen die Integrale nicht explizit
lösen, sondern können die gesuchten Kennzahlen der Gauß-Verteilung direkt an |Ψ(x, t)|2
ablesen.
5.) Mit Hilfe der Ergebnisse aus 4.), d.h. hxi(t) und σ(t), skizzieren Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte |Ψ(x, t)|2 als Funktion des Orts zu zwei verschiedenen Zeiten t = t1 sowie
t = t2 > t1 , und interpretieren Sie das Ergebnis.
Aufgabe 14:
Schrödinger Gleichung, Hamiltonoperator, lineare Algebra
In dieser Aufgabe soll der Zusammenhang von Schrödingergleichung, Hamiltonoperator und
dessen Matrixdarstellungen an einem einfachen Beispiel vertieft werden.
2
p
Wir betrachten ein System, das durch die stationäre Schrödingergleichung H0 = 2m
+ V bechrieben wird und bereits gelöst wurde, d.h. die Energien Ei und Zustände |Ψi i sind bekannt.
Im Folgenden beschränken wir den Hilbertraum auf die zwei energetisch tiefsten Zustände |Ψ0 i
und |Ψ1 i mit den dazu gehörigen Energien E0 und E1 . Der energetisch tiefste Zustand |Ψ0 i
mit Energie E0 ist der sogenannte Grundzustand und bildet zusammen mit |Ψ1 i eine Basis des
beschränkten Hilbertraums. Ein solches System heißt Zwei-Niveau-System.
1.) Geben Sie den Hamiltonoperator H0 in der Basis {|Ψ0 i, |Ψ1 i} an.
(2 P)
~
2.) Nun wird das 2-Niveau-System gestört indem es einem konstanten elektrischen Feld E
~ · ~x. Geben Sie den vollständigen
ausgesetzt wird. Das zugehörige Potential ist Φ = −eE
Hamiltonoperator H in der Ortsraumdarstellung an.
(2 P)
3.) Geben Sie nun die Matrix des Hamiltonoperators H in der Basis {|Ψ0 i, |Ψ1 i} an. Zeigen
Sie, daß die Diagonalelemente von Φ Null sind und drücken Sie die Außerdiagonalelemente
allgemein durch Integrale aus.
(3 P)
4.) Diagonalisieren Sie den in 3.) bestimmten Hamiltonoperator H, d.h. bestimmen Sie seine
Eigenwerte und somit die Energien des gestörten 2-Niveau-Systems.
(3 P)
Aufgabe 15:
Kommutatoren
Ein in der Quantenmechanik sehr wichtiges und auch hilfreiches Konzept ist das des Kommutators. In den nächsten beiden Aufgaben soll der Umgang mit Kommutatoren an ersten und
einfachen Beispielen geübt werden.
Der Kommutator zweier Operatoren A und B ist bezeichent als [A, B] und definiert als
[A, B] = AB − BA.
1.) Beweisen Sie [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B und ebenso [A, BC] = B[A, C] + [A, B]C.
a
(2 P)
2.) Beweisen Sie [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0.
(2 P)
C
3.) Für zwei Operatoren A und B gelte die Beziehung [A, B] = c wobei c ∈ eine komplexe
Zahl sei. Beweisen Sie durch vollständige Induktion das dann gilt [An , B] = cnAn−1 .
a
(2 P)
Aufgabe 16:
Baker-Campell-Hausdorff
Für jeden linearen Operator A kann man eiAt :=
1.) Zeigen Sie, daß
d iAt
e
dt
= iAeiAt = ieiAt A.
P∞
n=0
in tn n
A
n!
definieren.
(2 P)
2.) Für einen zweiten linearen Operator B gelte B(t) = eiAt Be−iAt . Zeigen Sie, daß
∞ n n
X
i t n
B(t) =
B
mit
Bk = [A[A[. . . [A, B]] . . .]]
{z
}
|
n!
n=0
(2 P)
k−mal
Zeigen Sie dazu, daß beide Ausdrücke für B(t) die gleiche Differentialgleichung lösen.