Einheit 8: Materialgrenzen

Einheit 8:
Aufgaben
Materialgrenzen
A_08_1)
a) Berechne den Gesamtwiderstand der Leiterschicht
zwischen den beiden Enden der Scheibe.
b)% Welche Heizleistung pro Fläche wird erzeugt?
Erstelle für folgende Felder eine Liste des Inhalts:
Theorie
An sich ist die Ableitungen der Stetigkeitsbedingungen
der Felder an Grenzflächen aus den integralen MaxwellGleichungen recht simpel. Ausgangspunkt für E und H ist
eine kleine rechteckige Fläche senkrecht zur Materialgrenze:
Feld, Verhalten an einer Grenzfläche, ggf. Bedingung,
Beweisidee
Beispiele:
1. Etan: stetig; keine Zusatzbedingung;
d)% Wie groß ist der Unterschied zwischen Hy oberhalb
und unterhalb der Leiterschicht?
2. Dtan :
e)% Skizziere die magnetische Feldstärke in der Umgebung der Glasscheibe und bestimme die magnetische
Oberflächenfeldstärke an den Grenzen der Leiterschicht?
deren Längskante Δ immer noch klein genug ist, daß
man alle Felder als konstant über Δ annehmen kann. Die
noch kleinere Höhe δ wird nach Aufstellen der Integrale
in einem Grenzprozeß so zu null geschickt, daß immer
eine Kante von A in Material I und die zweite in Material II
bleibt. Für B und D wird an Stelle der Rechteckfläche A
ein kleines z.B. zylindrisches Probevolumen V angenommen
keine Zusatzbedingung; Herleitung aus 1.)
Felder („tan”: tangential zur Oberfläche, „norm”: senkrecht zur Oberfläche):
3. Bnorm
4. Hnorm
daß sich über die Grenze erstreckt, eine kleine Oberfläche A hat (die wiederum die Annahme konstanter Felder
erlaubt) und eine Höhe δ, die wie zuvor in einem Grenzprozeß nach Bildung der Integrale verschwindet.
f)% Wie würde die magnetische Oberflächenfeldstärke mit
der Stromdichte im Fall einer von hochfrequentem
Strom durchflossenen hinreichend dicken Leiterschicht zusammenhängen? Erkläre den prinzipiellen
Unterschied!
A_08_3)
5. Dnorm
Ein Zylinder der Grundfläche A und Länge L wird achsenparallel von einem gegebenen magnetischen Fluß Φ
durchsetzt.
6. Htan
7. Enorm
8. Btan
a)% Berechne die gespeicherte magnetische Feldenergie
in Abhängigkeit von der relativen Permeabilität des
Zylindermaterials.
A_08_2)
,
c)% Welche elektrische Feldstärke herrscht (sofern keine
weiteren Felder vorhanden sind) unmittelbar über der
Leiterschicht, in der Leiterschicht und unmittelbar
unter der Leiterschicht im Glas (εglas = 5 ε0)?
Eine beheizbare Glasscheibe von 5 mm Stärke, 1 m Länge und 60 cm Breite wurde durch Bedampfen mit einer
sehr dünnen (10 nm) Leiterschicht (Leitfähigkeit 108 S/m)
erzeugt. Durch diese Leiterschicht wird in Längsrichtung
der Scheibe und gleichmäßig über die gesamte Scheibenbreite verteilt ein Gleichstrom von 10 A geschickt.
b)% Welche Volumenbereiche werden folglich bevorzugt
von magnetischem Fluß durchsetzt, wenn man das
Prinzip minimaler Energie als Idealzustand eines Systems zugrundelegt?
c)% Welcher Zusammenhang gilt hingegen, wenn der
Zylinder Teil des Kerns einer (unendlich) langen geraden Spule ist, die mit einer Windungsdichte N/L
gewickelt ist, und durch die der Strom I fließt?
A_08_4) (=A_01_12)
Der Ringkern der abgebildeten Spule hat einen kreisförmigen Querschnitt mit dem Radius rk = 3/π cm und
einen Luftspalt der Länge d = 1 mm. Seine relative Per-
VuEThET Einheit 8: Materialgrenzen, Theorie und Aufgaben%
© [email protected]
%
1 von 3
!
)
)
@03A"%& 8)
I)
9)
J)
H
FB0/,-&G FHG) F>G) FJG) FKG) F>
B0/,-&) )
)
)
)
)
"!#!$!%!&!%!'))
M.'/"4&))))N"4&)
()!*$+,!-.,/0'/1(&+,/!2#/31'01/+,4(35!
meabilität beträgt µkr = 2000. Die weiteren geometrischen Daten der Ringkernspule sind: R = 9/π cm, h =
6 cm. Der gesamte Ringkern ist gleichmäßig mit einer
Spule mit 10 Windungen pro cm eng umwickelt. Der
Spulenstrom beträgt 23/3 A.
µk
2rk
R
d
h
A_08_6)
)
4. Eine in z-Richtung verlaufende Stromquelle mit
) kreisförmigem Querschnitt (Radius r) der Länge l
)
sich im Abstand h zu einer parallel
) befindet
@03A"%&
8)
I)
verlaufenden Grenzfläche zwischen zwei
!1 )"1= 0
FB0/,-&G
FHG) ) F>G)
Medien. Berechnen Sie den Potentialverlauf
#(x)
)
durch Integration
der Potentialgleichung B0/,-&)
und den
M.'/"4&))))N"4&)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
$)!678!9:8!7;;<!!=04!<>>!?,'!@(&!77>>!?,'!(4!A/'!B%#$!CD)A/!
Feldstärkeverlauf E(x) entlang der x-Achse,
wenn die Stromquelle den Strom I gleichmäßig
)
verteilt abgibt. An welcher Stelle befindet sich ein
Feldstärkemaximum ?
yO"-'(,&+PN':)
9)
J)
H)
K) L&5"4FJG) FKG) F>G) FJG) F9HG)
x)
)z
)
)
)
! 2 8:)R&'&#$/&/)S(&)1(&)B.-&/-("+C&'-&(+0/A)"F'G)0/1)
"2> 0
h
))))1(&)!&+15-T',&C&'-&(+0/A)*F'G)(/)&(/&4)
)
)
)
)
)
)
I
))))U."V("+,"%&+)10'#$)2/-&A'"-(./)1&')
)
!
N.-&)
))))B.-&/-("+A+&(#$0/A)W))#")X);):)
)
O"-'(,&+PN':)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
Q
4. Eine in z-Richtung verlaufende Stromquelle mit
A_08_9)
y
)
)
Bei den kreisförmigem
folgenden Berechnungen
können
Streuflüsse
Querschnitt
(Radius
r) derderLänge l5. Eine monochromatische ebene Welle breitet sich im VakuumNoch
mit der
ein Highlight! (Ich mag sie auch nicht.)
Zuleitungen
und im
Luftspalt
vernachlässigt
werden.
befindet
sich
im Abstand
h zu einer
parallel
) Gechwindigkeit = 1 in positive x – Richtung aus. Ihre) magnetische
c0
I:)YZ&()["+%'T04&)&/1+(#$&')\&(-3T$(A,&(-)%&5(-]&/)
verlaufenden
Grenzfläche
zwischenFlußdichzwei
a) Berechnen
Sie die Beträge
von magnetischer
!0 µ0
)
!1 "1= 0
))))1(&)A&4&(/5"4&)E'&//3+T#$&))V)X);:)@03)1&')
te und
magnetischer
Feldstärke
im Kern
der Spule
Medien.
Berechnen
Sie den
Potentialverlauf
#(x) )
! !
%
))))VP@#$5&)%&3(/1&-)5(#$)"/)1&')S-&++&)V)X)")&(/&)
j( k0 x $ %0 t ) !
%
$;
und durch
im Luftspalt.
ey mit
k0 = 0 .
Integration der Potentialgleichung und den Feldstärke ist gegeben durch H ( r,t ) = H 0 ex
!;
))))!"#$%&'()*+,-)S-'.4_0&++&7)1(&)1&/)L+&(#$5-'.4)2)
!
c
8:)R&'&#$/&/)S(&)1(&)B.-&/-("+C&'-&(+0/A)"F'G)0/1)
%I
0
z
b) Berechnen
Sie
die
im
Kern
und
im
Luftspalt
gespeiFeldstärkeverlauf E(x) entlang der x-Achse,
"
))))(/)1&/)["+%'"04)8)&(/5`&(5-:)
!
"
>
0
h
a)
Zeigen
Sie,
daß
diese
Welle
die
homogene
Wellengleichung
2
2
cherte
Energie
magnetischen
)
wenn
die des
Stromquelle
denFeldes.
Strom I gleichmäßig ))))1(&)!&+15-T',&C&'-&(+0/A)*F'G)(/)&(/&4)
! !
1 I& 2 ! !
))))"G)R&'&#$/&/)S(&)1"5)&+&,-'(5#$&)!&+1)(/)%&(1&/)
c) Berechnen
Sieabgibt.
die Induktivität
der Spule.
verteilt
An welcher
Stelle befindet sich ein))))U."V("+,"%&+)10'#$)2/-&A'"-(./)1&')
' H ( r,t ) $ 2 2 H ( r,t ) = 0 erfüllt.
))))))))["+%'T04&/:)a&+#$&)S-&-(A,&(-5%&1(/A0/A&/)
c
&
t
))))B.-&/-("+A+&(#$0/A)W))#")X);):)
Feldstärkemaximum ?
! !
))))))))4?55&/)"03)1&')L'&/]3+T#$&))V)X);)&'3?++-)5&(/)b)
Die Aufgabe
ist Richtung
nicht eigentlich
schwer, verb) Bestimmen
Sie die
der zugehörigen
elektrischen Feldstärke E ( r , t )
)(Hinweis:
A_08_5)
)
langt aber einigen Überblick. Bei dem Part der Integration
über die Maxwellschen Gleichungen.
)der Laplace-Gleichung
Q
))))%G)S,(]](&'&/)S(&)1(&)S-'.41(#$-&+(/(&/)(/)1&')
)
a)% Weise ausgehend von der Kontinuitätsgleichung der
hilft die hemmungslose Wahl von
)
5.
Eine
monochromatische
ebene
Welle
breitet
sich
im
Vakuum
mit
der
))))))))*%&/&)])X);)3?')1(&)%&(1&/)!T++&W)
)Zylinderkoordinaten um die Stromquelle.)
elektrischen Ladung nach, daß eine zeitlich konstante
)
(G))%I)X);)
)
((G)%I)X)&)
Stromdichte
jnorm senkrecht zu 1
Gechwindigkeit
in positive xan– Richtung
aus. Ihre
c0 = einer Grenzfläche
6.) Gegeben
seimagnetische
ein Rechteckhohlleiter mit ideal leitender Berandung.
Im Inneren des
)
dieser stetig sein muß. Was bedeutet
!0 µ0 dieser Umstand
I:)YZ&()["+%'T04&)&/1+(#$&')\&(-3T$(A,&(-)%&5(-]&/)
Hohlleiters breiten sich TE – Wellen aus. Leiten Sie die Beziehung
für die
A_08_7)
)
^
anschaulich?
! !
Grenzfrequenz
dieser
Moden
aus
der
Separationsgleichung
ab!
Welches
ist der
%
9:)*(/&)&%&/&)&+&,-'.4"A/&-(5#$&)a&++&)3T++-)5&/,'&#$-)"03)&(/&)+&(-&/
j( k0 x $))))1(&)A&4&(/5"4&)E'&//3+T#$&))V)X);:)@03)1&')
%0 t ) !
0
Ein
Klassiker!
Dringend
empfohlen!
b)% Zeige,
daß durchist
jnorm
an der Grenzfläche
Feldstärke
gegeben
durch H eine
r,t Ober= H0 e
ey mit welche
k 0 = Grenzfrequenz
.
Grundmode,
besitzt er ? Für die Komponenten
des
))))a(&)A'.c)(5-)1(&)S#$ZT#$0/A)1&')@4`+(-01&)/"#$)/(4/')a&++&/+T/A
))))VP@#$5&)%&3(/1&-)5(#$)"/)1&')S-&++&)V)X)")&(/&)
c
flächenladungsdichte
( )
elektrischen Feldes der0 TE – Moden gilt allgemein:
$;
$;
!;
%8
!;
))))!"#$%&'()*+,-)S-'.4_0&++&7)1(&)1&/)L+&(#$5-'.4)2)
a) Zeigen Sie, daß diese Welle die homogene Wellengleichung
E x = Acoskx x ( sink y y) j( %t $ k z )
%I
; Ez = 0 .
))))(/)1&/)["+%'"04)8)&(/5`&(5-:)
! !
*(e
1 &2 ! !
E y = Bsink x x ( cosk y y +
' H ( r,t ) $ 2 2 H ( r,t ) = 0 erfüllt.
)
c &t
Berechnen Sie die Komponenten der magnetischen Feldstärke des Grundmodes mit
! !
entsteht (positive Orientierung des Normalenvektors
))))"G)R&'&#$/&/)S(&)1"5)&+&,-'(5#$&)!&+1)(/)%&(1&/)
Hilfe der Maxwellschen
Sie die I).
Richtung der zugehörigen elektrischen
Feldstärke Gleichungen!
E ( r , t)
z.B.b)
von Bestimmen
Material II zu Material
))))))))["+%'T04&/:)a&+#$&)S-&-(A,&(-5%&1(/A0/A&/)
über
Maxwellschen
Gleichungen.
Was gilt für
diedie
tangentialen
Komponenten
der Lei))))))))4?55&/)"03)1&')L'&/]3+T#$&))V)X);)&'3?++-)5&(/)b)
z
c)%
tungsstromdichte beiderseits der Oberflächen?
+Q)
-Q
2
"
)
7. In einem Plattenkondensator befinde sich ein
))))%G)S,(]](&'&/)S(&)1(&)S-'.41(#$-&+(/(&/)(/)1&')
)
6. Gegeben sei ein Rechteckhohlleiter mit ideal leitender
Berandung. Im Inneren desDielektrikum mit ortsabhängiger Dielektrizitätszahl
!
(x)
))))))))*%&/&)])X);)3?')1(&)%&(1&/)!T++&W)
VuEThET
Einheit
8:
Materialgrenzen,
Theorie
und
Aufgaben%
©
[email protected]
r
A die Beziehung für die
! r ( x ) = 1 + , x mit , = const. > 0.
Hohlleiters breiten sich TE – Wellen aus. Leiten Sie
)
(G))%
) der Berechnen
((G)% )X)&)
Grenzfrequenz dieser Moden aus der Separationsgleichung
ab! )X);)
Welches ist
Sie die Verschiebungsflußdichte, die
V
%
2 von 3
A_08_10)
A_08_11)
(Es macht vielleicht A_08_9 leichter, erst mal hierhin zu
schauen.)
Eine punktförmige Stromquelle mitten im Raum ist insofern gewöhnungsbedürftig, als hier offenkundig Ladungen aus dem Nichts erschaffen werden, was einem sehr
fundamentalen physikalischen Erhaltungssatz widerspricht.
Ganz ähnlich wie in Aufgabe A_08_9 (dort andere Indices) wird der Raum bei x=0 in den Bereich I x<0 und II
x>0 geteilt. Bei x = x0 befindet sich allerdings keine
Punkt-Stromquelle, sondern eine Punktladung q0. Die
beiden Raumbereiche unterscheiden sich durch Dielektrizitätskonstante ε1 in Bereich I und ε2 in Bereich II. Es
soll das elektrostatische Potential in beiden Raumbereichen mit Hilfe der Spiegelquellenmethode berechnet
werden.
a)% Schreibe die Randbedingungen bei x = 0 für das Potential und tangentiale und normale elektrische Feldkomponente an.
a) % Nichtsdestotrotz können wir ja mal so tun als ob, und
fragen, welches elektrische Feld bei gegebener Leitfähigkeit σ in der Umgebung einer solchen Punktquelle entsteht? Außerhalb der Punktquelle muß die
Kontinuitätsgleichung der elektrischen Ladung gelten!
b) Aus welchem elektrostatischen Potential kann dieses
E-Feld abgeleitet werden?
b)% Setze für den Raumbereich I (eins!) ein Gesamtpotential durch das Potential von q0 und einer Spiegelquelle im Raumbereich II (zwei !!) an.
%
Setze für den Raumbereich II (zwei!) ein Gesamtpotential durch das Potential von q0 und einer Spiegelquelle im Raumbereich I (eins !!) an.
%
Welche Einschränkung für die noch unbekannten Orte
der Spiegelquellen kann aus Symmetrieüberlegungen
unmittelbar gefunden werden?
%
Berücksichtige - insbesondere bei den anzuschreibenden Dielektrizitätskonstanten -, daß die Annahmen des Ansatzes nur im jeweils untersuchten
Raumbereich den physikalischen Gegebenheiten entsprechen müssen (auch die Spiegelquellen sind ja nur
nützliche Geister, die den Einfluß des Rands ersetzen,
und nicht physikalisch vorhanden sind).
c)% Berechne Potential und elektrisches Feld bei x = 0 für
beide Volumenbereiche anhand des Ansatzes aus b).
d)% Setze das Ergebnis aus c) in die Randbedingungen
aus a) ein. Welche ist überflüssig? Bestimme daraus
die noch unbekannten Orte und Größe der beiden
Spiegelquellen.
e)% Schreibe das Potential und das Feld in beiden Raumbereichen an, und mache bei x = 0 die Probe.
VuEThET Einheit 8: Materialgrenzen, Theorie und Aufgaben%
© [email protected]
%
3 von 3