Einheit 8: Materialgrenzen

Einheit 8:
4." " Hnorm: springt um μ, Herleitung aus 3.)
a) Berechne den Gesamtwiderstand der Leiterschicht
zwischen den beiden Enden der Scheibe.
Materialgrenzen
Lösungen
5." Dnorm: springt, falls Oberflächenladungsdichte Q/A
vorhanden, sonst stetig
L_08_1)
6." Htan: springt, falls Oberflächenstromdichte I/Δ vorhanden, sonst stetig
b)" Welche Heizleistung pro Fläche wird erzeugt?
7." Enorm: springt in Abhängigkeit von ε und Oberflächenladungsdichte gemäß 5.)
Erstelle für folgende Felder eine Liste des Inhalts:
Feld, Verhalten an einer Grenzfläche, ggf. Bedingung,
Beweisidee
8." Btan: springt in Abhängigkeit von μ und Oberflächenstromdichte gemäß 6.)
c)" Welche elektrische Feldstärke herrscht (sofern keine
weiteren Felder vorhanden sind) unmittelbar über der
Leiterschicht, in der Leiterschicht und unmittelbar
unter der Leiterschicht im Glas (εglas = 5 ε0)?
(„tan”: tangential zur Oberfläche, „norm”: senkrecht zur
Oberfläche):
1. Etan: immer stetig;
L_08_2)
2. " Dtan : springt um ε
Herleitung aus 1.)
Eine beheizbare Glasscheibe von 5 mm Stärke, 1 m Länge und 60 cm Breite wurde durch Bedampfen mit einer
sehr dünnen (10 nm) Leiterschicht (Leitfähigkeit 108 S/m)
erzeugt. Durch diese Leiterschicht wird in Längsrichtung
der Scheibe und gleichmäßig über die gesamte Scheibenbreite verteilt ein Gleichstrom von 10 A geschickt.
Beachte: Wegen der Stetigkeit von Etan gilt diese Feldstärke auch unmittelbar ober- und unterhalb der
Leiterschicht wobei ε ohne Belang ist.
d)" Wie groß ist der Unterschied zwischen Hy oberhalb
und unterhalb der Leiterschicht?
3. Bnorm: immer stetig
VuEThET Einheit 8: Materialgrenzen, Lösungen"
© [email protected]
"
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e)" Skizziere die magnetische Feldstärke in der Umgebung der Glasscheibe und bestimme die magnetische
Oberflächenfeldstärke an den Grenzen der Leiterschicht?
Unter diesen Bedingungen ist also die im Zylinder gespeicherte Feldenergie um so größer, je kleiner die
Permeabilität ist. Nochmal: der magnetische Fluß ist
hier gegeben.
f)" Wie würde die magnetische Oberflächenfeldstärke mit
der Stromdichte im Fall einer von hochfrequentem
Strom durchflossenen hinreichend dicken Leiterschicht zusammenhängen? Erkläre den prinzipiellen
Unterschied!
Während in dieser Anordnung die Oberflächen-H-Feldstärke nur gleich der halben Längen-Stromdichte I/B
ist, wäre bei einem sehr hochfrequenten Strom die
Oberflächen-Stromdichte vom Betrag gleich der Oberflächen-H-Feldstärke. In beiden Fällen erfolgt der
Sprung um I/B (vgl. e)), jedoch wird diese Stromdichte beim Leiter endlicher Dicke erst bei dessen
vollständiger Durchdringung umschlossen, während
ein infinitesimal dünner “echter” Oberflächenstrom
bereits mit Durchtritt durch die Materialgrenze umfasst ist. Da das Innere eines Leiters bei Hochfrequenz im Grenzfall feldfrei ist, bleibt die Größe des
Sprungs der H-Feldstärke gleich.
b)" Welche Volumenbereiche werden folglich bevorzugt
von magnetischem Fluß durchsetzt, wenn man das
Prinzip minimaler Energie als Idealzustand eines Systems zugrundelegt?
Der magnetische Fluß „möchte gerne” in Materialien
hoher Permeabilität, damit ein Zustand möglichst
niedriger Energie angenommen wird.
A_08_4) (=A_01_12)
Der Ringkern der abgebildeten Spule hat einen kreisförmigen Querschnitt mit dem Radius rk = 3/π cm und
einen Luftspalt der Länge d = 1 mm. Seine relative Permeabilität beträgt µkr = 2000. Die weiteren geometrischen Daten der Ringkernspule sind: R = 9/π cm, h =
6 cm. Der gesamte Ringkern ist gleichmäßig mit einer
Spule mit 10 Windungen pro cm eng umwickelt. Der
Spulenstrom beträgt 23/3 A.
c)" Welcher Zusammenhang gilt hingegen, wenn der
Zylinder Teil des Kerns einer (unendlich) langen geraden Spule ist, die mit einer Windungsdichte N/L
gewickelt ist, und durch die der Strom I fließt?
µk
2rk
d
Hier ist das Leben anders. Unter diesen Bedingungen
ergibt sich der magnetische Fluß aus der Strom- und
Materialverteilung ohne weitere Freiheit:
a) Berechne die Beträge von magnetischer Flußdichte
und magnetischer Feldstärke im Kern der Spule und
im Luftspalt.
Ausgangspunkt ist das Durchflutungsgesetz
Ein Zylinder der Grundfläche A und Länge L wird achsenparallel von einem gegebenen magnetischen Fluß Φ
homogen durchsetzt.
VuEThET Einheit 8: Materialgrenzen, Lösungen"
h
Bei den folgenden Berechnungen können Streuflüsse der
Zuleitungen und im Luftspalt vernachlässigt werden.
L_08_3)
a)" Berechne die gespeicherte magnetische Feldenergie
in Abhängigkeit von der relativen Permeabilität des
Zylindermaterials.
R
,
"
Daher steigt die gespeicherte Feldenergie der Spule (und
damit ihre Induktivität) mit zunehmender Permeabilität des Spulenkerns:
wobei wie immer bei der Anwendung integraler Maxwell-Gleichungen zunächst das Integrationsgebiet A
geeignet gewählt werden muß. Um zu einer auswertbaren Aussage zu kommen, muß die Fläche vom
© [email protected]
"
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Strom - wenn möglich senkrecht - durchsetzt werden. Dies gelingt hier mit folgende Wahl:
c) Berechne die Induktivität der Spule.
Dazu geht man vom Zusammenhang zwischen gespeicherter magnetischer Feldenergie und Induktivität
aus:
"
Es ist interessant die Größe der beiden Nennersummanden zu vergleichen. Obwohl
"
"
Dabei wurde vorausgesetzt, daß entlang des Integrationswegs konstante Feldstärken vorliegen. Dies ist
durch die sehr gute Flußbündelung in hochpermeablen Materialien (vgl. A_08_3) und bei kleinen Luftspalten mit annähernd homogenen Feldern in sehr
guter Näherung gewährleistet. Für einen hinreichend
dünnen Kern (was bei den hier vorliegenden Abmessungen nur eine mäßig gute Näherung ist) kann man
die Felder als konstant über den Querschnitt annehmen, und die Wegintegrale für einen mittleren Weg
auswerten.
rund 300 mal größer ist als die Weglänge in Luft,
dominiert wegen des hohen μFe = 2000 der Einfluß
des Weganteils in Luft auf die Feldstärken im System.
Dies ist ein allgemeiner Grundsatz: „Luftspalte entscheiden über die Feldstärke in ferromagnetischen
Kreisen”.
Setzt man Zahlen ein, so erhält man mit μL = μ0 für die
Feldstärken HLu = 2 106 A/m, HFe = 103 A/m und die
einheitliche Flußdichte B = 2.52 T.
Da der Strom über die magnetische Feldstärke auch
in die gespeicherten Energie quadratisch eingegangen ist, hebt er sich beim analytischen Anschreiben
der Gleichungen pflichtgemäß weg. Mit den bereits
berechneten Feldenergie-Anteilen erreicht man jedoch schneller das Ziel L = 28.2 mH.
A_08_5)
a)" Weise ausgehend von der Kontinuitätsgleichung der
elektrischen Ladung nach, daß eine zeitlich konstante
Stromdichte jnorm senkrecht zu einer Grenzfläche an
dieser stetig sein muß. Was bedeutet dieser Umstand
anschaulich?
Man geht von der Kontinuitätsgleichung unter stationären Verhältnissen aus:
b) Berechne die im Kern und im Luftspalt gespeicherte
Energie des magnetischen Feldes.
Mit den bekannten Feldstärken und Volumina (für den
Kern vereinfacht als gerader Zylinder berechnet) erhält man aus
Das Probevolumen V wird wieder wie in Aufgabe A_08_1
als kleine, die Grenzfläche durchdringende „Dose”
gewählt. Dann ergibt sich:
Die noch unbekannte Beziehung zwischen HFe und HLu
ermittelt man aus der Stetigkeit des normalen BFelds:
"
VuEThET Einheit 8: Materialgrenzen, Lösungen"
angewandt auf Kern und Luftspalt WFe = 0.108 J und
WLu = 0.72 J. Auch hier fällt auf, daß der weit überwiegende Teil der Feldenergie nicht, wie man intuitiv
erwartet, im Kern, sondern im Luftspalt gespeichert
ist.
b)" Zeige, daß durch jnorm an der Grenzfläche eine Oberflächenladungsdichte
© [email protected]
"
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entsteht
Orientierung
des Normalenvektors
4. Eine(positive
in z-Richtung
verlaufende
Stromquelle mit
z.B. kreisförmigem
von Material II zu Querschnitt
Material I). (Radius r) der Länge
Ausgehend
von A_08_1
ersetzt man
durch
Enorm
befindet
sich im(5)Abstand
h zuDnorm
einer
parallel
und verlaufenden
weiter durch jnorm
, von dem man
weiß, daß
es
Grenzfläche
zwischen
zwei
stetig ist:
l
Medien. Berechnen Sie den Potentialverlauf #(x)
durch Integration der Potentialgleichung und den
Feldstärkeverlauf E(x) entlang der x-Achse,
wenn die Stromquelle den Strom I gleichmäßig
verteilt abgibt. An welcher Stelle befindet sich ein
Feldstärkemaximum ?
5. Eine monochromatische ebene Welle breitet sich
Gechwindigkeit c0 =
Über C2 läßt sich nur mit einer Zusatzannahme etwas
sagen. Fordert man wie üblich, daß das Potential im Unendlichen 0 werden soll, so scheitert man, weil der Logarithmus selbst gegen Unendlich geht. Allerdings kann
man fordern, daß das Potential auf der Oberfläche des
stromführenden Leiters 0 sein soll. Dann gilt:
y
!1 "1= 0
! 2 "2> 0
x
z
h
I
(Hinweis: Die Aufgabe ist nicht eigentlich schwer, verlangt aber einigen Überblick. Bei dem Part der Integration
der Laplace-Gleichung hilft die hemmungslose Wahl von
im
Vakuum mit der
Zylinderkoordinaten um die Stromquelle.)
1
in positive x – Richtung
Ihre
magnetische
Bei aus.
dieser
Aufgabe
sollte man als erstes erkennen,
!0 µ0
im Halbraum I keine Leitfähigkeit vorhanden ist.
daß
Das
und damit die Behauptung
bedeutet, daß im Halbraum II an der Grenzfläche die
! !
%
j k x $ %0 t ) !
Stromkomponente
Feldstärke ist gegeben durch H r,t = H 0 e ( 0 senkrechte
ey mit
k 0 = 0 . jy wegen dessen Stetigkeit
verschwinden muß. Diesc 0läßt sich aus Symmetriegründen
durch eine Spiegelquelle bei x = 0, y = h mit gleichem
a) Zeigen Sie, daß diese Welle die homogene Wellengleichung
Vorzeichen wie die primäre Quelle erreichen.
2 !
c)" Was gilt für !die!tangentialen
Komponenten
der
Lei1 &
!
' H r,tbeiderseits
$ 2 der
H
r,t
=
0
erfüllt.
tungsstromdichte
Oberflächen?
Zunächst bestimmt man aber die Potentialverteilung für
c &t2
die Linienstromquelle im freien Raum. Dann gilt Zylin! !
und der Laplace-Operator
reduziert sich
b) Bestimmen Sie die Richtung der zugehörigen dersymmetrie,
elektrischen Feldstärke
E r,t
auf:
für das Potential des einzelnen Leiters im Freiraum. Mit
und dem Spiegelstrom bei y = +h ergibt sich das gesamte Potential im Raumbereich II zu
( )
( )
( )
über die Maxwellschen Gleichungen.
Im Raumbereich I befindet sich keine physikalische
Quelle. Deswegen erfüllt das Potential dort überall die
Laplace-Gleichung und muß ferner am Rand y = 0 stetig
zum Potential im Raumbereich II sein. Dies gelingt nur
für
( )
L_08_6)
4. Eine
in z-Richtung
verlaufende
Stromquelle mit
6. Gegeben
sei ein
Rechteckhohlleiter
mit ideal leitender Berandung.
Im Inneren des
y
kreisförmigem Querschnitt (Radius r) der Länge l
Man bekommt C1 aus der Ladungserhaltung:
Hohlleiters breiten sich TE – Wellen aus. Leiten Sie die Beziehung für die
befindet sich im Abstand h zu einer parallel
Grenzfrequenz
dieser
Modenzwei
aus der Separationsgleichung ab! Welches ist der
verlaufenden
Grenzfläche
zwischen
= 0 Komponenten des
Grundmode,
besitzt er ?!1Für"1die
Medien.
Berechnenwelche
Sie denGrenzfrequenz
Potentialverlauf #(x)
elektrischen
Feldes
der TE – Moden
gilt allgemein:
durch
Integration der
Potentialgleichung
und den
x
z
Feldstärkeverlauf
E(x)
entlang
der
x-Achse,
E x = Acoskx x ( sink y y) j( %t $ kz z )
! 2 "2> 0
h
wenn die Stromquelle den Strom I gleichmäßig
; Ez = 0 .
*(e
I
E y =AnBsink
( coskbefindet
verteilt abgibt.
welcher
x xStelle
y y + sich ein
Feldstärkemaximum
Berechnen Sie ?die Komponenten der magnetischen Feldstärke des Grundmodes mit
.
Beachte, daß daraus erstens in I eine normale E-FeldKomponente an der Grenzfläche entsteht (die nicht stetig
sein muß), und daß das Potential und das E-Feld, im
Gegensatz zum D-Feld, nicht von ε abhängen.
Das elektrische Feld auf der x-Achse folgt direkt zu:
Hilfe der Maxwellschen Gleichungen!
5. Eine monochromatische ebene Welle breitet sich im Vakuum mit der
1
!0 µ0
Gechwindigkeit
in positive Lösungen"
x – Richtung aus. Ihre magnetische
=
VuEThET
Einheit 8:
c0 Materialgrenzen,
+Q
-Q
7. In einem Plattenkondensator befinde sich ein
© [email protected]
"
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Die Stellen maximaler Feldstärke folgen dann aus einer
weiteren Differentiation:
Wie gesagt: Die Aufgabe erfordert etwas Überblick
L_08_7)
a) Dazu braucht es vier Ausgangsgleichungen:
VuEThET Einheit 8: Materialgrenzen, Lösungen"
)
6.5-.#,7)"4)89:;<:)8==>)
)!"#$%&'&(#$)*+&,-'.-&#$/(,)0/1)2/3.'4"-(./5-&#$/(,) )
Q
)
2/5-(-0-)3?')@++A&4&(/&)*+&,-'.-&#$/(,) )
)
)
B'.3:)C6(&DE+)
))
)
!
Daraus folgt, da hier die y-Komponente tangential und
I:)YZ&()["+%'T04&)&/1+(#$&')\&(-3T$(A,&(-)%&5(-]&/)
"!#!$!%!&!%!'))
^
die x-Komponente normal zur Grenzfläche ist:
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%I
%8
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@03A"%& 8)
I)
9)
J)
H)
K) L&5"42
))
FB0/,-&G FHG) F>G) FJG) FKG) F>G) FJG) F9HG)
V
))))"G)R&'&#$/&/)S(&)1"5)&+&,-'(5#$&)!&+1)(/)%&(1&/)
M.'/"4&))))N"4&)
B0/,-&) )
)
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)
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"
))))))))["+%'T04&/:)a&+#$&)S-&-(A,&(-5%&1(/A0/A&/)
)
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)
)
)
)
)
)
))))))))4?55&/)"03)1&')L'&/]3+T#$&))V)X);)&'3?++-)5&(/)b)
N.-&)
)
O"-'(,&+PN':)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
))))%G)S,(]](&'&/)S(&)1(&)S-'.41(#$-&+(/(&/)(/)1&')
)
)
(a) Man schreibt zunächst das Potential einer einzelnen
))))))))*%&/&)])X);)3?')1(&)%&(1&/)!T++&W)
)
Punkt-Stromquelle am Ort (x0,0) im Punkt (x,y) an:
) vgl. L_08_1
)b)
(G))%I)X);)
)
((G)%I)X)&)
)
%
Beachte: Bei dieser Wahl der Indices gilt n1 = -ex!
)c)8:)R&'&#$/&/)S(&)1(&)B.-&/-("+C&'-&(+0/A)"F'G)0/1)
!
"
)))))1(&)!&+15-T',&C&'-&(+0/A)*F'G)(/)&(/&4)
Beachte, daß y bei dieser Koordinatenwahl die Bedeutung
))))U."V("+,"%&+)10'#$)2/-&A'"-(./)1&')
9:)*(/&)&%&/&)&+&,-'.4"A/&-(5#$&)a&++&)3T++-)5&/,'&#$-)"03)&(/&)+&(-&/1&)a"/1:))
einer Radialkoordinate hat (ansonsten müßte man kor))))B.-&/-("+A+&(#$0/A)W))#")X);):)
rekterweise nun überall y2 + z2 schreiben).
))))a(&)A'.c)(5-)1(&)S#$ZT#$0/A)1&')@4`+(-01&)/"#$)/(4/')a&++&/+T/A&)(/)1&')a"/1b)
)
Entscheidend ist auch hier wieder der Ansatz zweier
)
Q
) moralische Rechtfertigung vgl.
Spiegelquellen (für die
)L_08_9)
L_08_10), jeweils außerhalb des Betrachtungsbereichs:
)
I:)YZ&()["+%'T04&)&/1+(#$&')\&(-3T$(A,&(-)%&5(-]&/)
^
))))1(&)A&4&(/5"4&)E'&//3+T#$&))V)X);:)@03)1&')
))))VP@#$5&)%&3(/1&-)5(#$)"/)1&')S-&++&)V)X)")&(/&)
$;
$;
!;
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))))!"#$%&'()*+,-)S-'.4_0&++&7)1(&)1&/)L+&(#$5-'.4)2)
%I
%8
))))(/)1&/)["+%'"04)8)&(/5`&(5-:)
2
)
V I. Stetigkeit der Potentiale an der
Dabei ist x0" = a, I0 =
))))"G)R&'&#$/&/)S(&)1"5)&+&,-'(5#$&)!&+1)(/)%&(1&/)
))))))))["+%'T04&/:)a&+#$&)S-&-(A,&(-5%&1(/A0/A&/)
Grenzfläche x = 0 führt auf
))))))))4?55&/)"03)1&')L'&/]3+T#$&))V)X);)&'3?++-)5&(/)b)
)
)
))))%G)S,(]](&'&/)S(&)1(&)S-'.41(#$-&+(/(&/)(/)1&')
)
))))))))*%&/&)])X);)3?')1(&)%&(1&/)!T++&W)
)
(G))%I)X);)
)
((G)%I)X)&)
)
) (Zum detaillierte Lösungsweg vgl. L_08_10, L_08_11.)
9:)*(/&)&%&/&)&+&,-'.4"A/&-(5#$&)a&++&)3T++-)5&/,'&#$-)"03)&(/&)+&(-&/1&)a"/1:))
))))a(&)A'.c)(5-)1(&)S#$ZT#$0/A)1&')@4`+(-01&)/"#$)/(4/')a&++&/+T/A&)(/)1&')a"/1b)
© [email protected]
"
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Zweite Randbedingung ist die Stetigkeit der normalen
Stromkomponente, die aus dem Ex-Feld folgen, das seinerseits die Ableitung des Potentials nach x ist:
b) Für den Fall κ2 = 0 ist das Leben einigermaßen leicht,
da keine Stromdichte im Bereich 2 existiert, und die
Stromdichte am Rand “abbiegt”:
Ganz ähnlich wie in Aufgabe A_08_9 (dort andere Indices) wird der Raum bei x=0 in den Bereich I x<0 und II
x>0 geteilt. Bei x = x0 befindet sich allerdings keine
Punkt-Stromquelle, sondern eine Punktladung q0. Die
beiden Raumbereiche unterscheiden sich durch Dielektrizitätskonstante ε1 in Bereich I und ε2 in Bereich II. Es
soll das elektrostatische Potential in beiden Raumbereichen mit Hilfe der Spiegelquellenmethode berechnet
werden.
Das setzt man weiter oben ein und erhält:
Wiederum mit Abkürzungen
L_08_10)
Mehr Mühe hat man für κ2 = ∞. Zunächst stellt man fest,
daß wegen der Stetigkeit des tangentialen E-Felds allgemein gelten muß
erhält man für das den Bereich 1:
a)" Schreibe die Randbedingungen bei x = 0 für das Potential und tangentiale und normale elektrische Feldkomponente an.
Demzufolge gibt es im Bereich 1 keine tangentiale
Stromdichte, die Vektoren treffen senkrecht auf die
Grenzfläche. Im Bereich 2 analysiert man den in a) gefundenen Ausdruck für E, der ein vom Punkt (x0, 0) radialsymmetrisch ausstrahlendes Feld beschreibt, und erhält:
und im Bereich 2:
VuEThET Einheit 8: Materialgrenzen, Lösungen"
"
b)" Setze für den Raumbereich I (eins!) ein Gesamtpotential durch das Potential von q0 und einer Spiegelquelle im Raumbereich II (zwei !!) an.
Setze für den Raumbereich II (zwei!) ein Gesamtpotential durch das Potential von q0 und einer Spiegelquelle im Raumbereich I (eins !!) an.
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"
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Auch wenn der Gedanke zunächst unsympathisch klingen mag:
normales E-Feld:
e)" Schreibe das Potential und das Feld in beiden Raumbereichen an, und mache bei x = 0 die Probe.
"
Welche Einschränkung für die noch unbekannten Orte
der Spiegelquellen kann aus Symmetrieüberlegungen
unmittelbar gefunden werden?
Die Spiegelquellen müssen beide auf der x-Achse liegen.
c)" Berechne Potential und elektrisches Feld bei x = 0 für
beide Volumenbereiche anhand des Ansatzes aus b).
d)" Setze das Ergebnis aus c) in die Randbedingungen
aus a) ein. Welche ist überflüssig? Bestimme daraus
die noch unbekannten Orte und Größe der beiden
Spiegelquellen.
Potential:
Potential:
E-Feld durch Differenzieren wie oben, Probe durch Einsetzen.
Die Bedingung muß für jedes beliebige r erfüllt sein. Dies
ist nur möglich, wenn die Wurzelausdrücke in den Nennern gleich sind. Deswegen:
tangentiales E-Feld:
,
da bekannt ist, daß x1 < 0 und x2 > 0 sein muß. Damit
folgt ferner:
Aus der Stetigkeitsbedingung für das tangentiale E folgen die gleichen Ergebnisse, man muß also auf die Stetigkeitsbedingung für das normale E zurückgreifen. Mit
Kenntnis von x1, x2 liefern diese:
VuEThET Einheit 8: Materialgrenzen, Lösungen"
L_08_11)
Eine punktförmige Stromquelle mitten im Raum ist insofern gewöhnungsbedürftig, als hier offenkundig Ladungen aus dem Nichts erschaffen werden, was einem sehr
fundamentalen physikalischen Erhaltungssatz widerspricht.
a) " Nichtsdestotrotz können wir ja mal so tun als ob, und
fragen, welches elektrische Feld bei gegebener Leitfähigkeit σ in der Umgebung einer solchen Punktquelle entsteht? Außerhalb der Punktquelle muß die
Kontinuitätsgleichung der elektrischen Ladung gelten!
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b) Aus welchem elektrostatischen Potential kann dieses
E-Feld abgeleitet werden?
VuEThET Einheit 8: Materialgrenzen, Lösungen"
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