Hochaperturige Abbildungssysteme und ihre Berechnung

Hochaperturige Abbildungssysteme und ihre Berechnung
Hochaperturige Abbildungssysteme und ihre
Berechnung
Daniel Endres
Universität Erlangen - Seminar Optische Lithographie
05.11.2008
Hochaperturige Abbildungssysteme und ihre Berechnung
Inhalt
Problemstellung hochaperturiger Abbildung
Strahlenoptisches Verfahren: Raytracing
Wellenoptische Verfahren
Wellenoptische Berechnung mit Polarisation
Zusammenfassung
Hochaperturige Abbildungssysteme und ihre Berechnung
Problemstellung hochaperturiger Abbildung
Warum benötigt man eine hochaperturige Abbildung
links SD-Ram, rechts 45nm-Waver
www.intel.com
Um feine Strukturen (z.B. Intel Core-2-Duo: 45nm) mit
Fotolithographie scharf abzubilden, werden hohe numerische
Aperturen benötigt
Hochaperturige Abbildungssysteme und ihre Berechnung
Problemstellung hochaperturiger Abbildung
Für die maximale Auflösung ∆x gilt: ∆x = k
λ
mit der
NA
numerischen Apertur NA = n sin(u) , k = 0.61 für planar
bestrahlte Kreisblende
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Problemstellung hochaperturiger Abbildung
λ
∆x = k n sin
u
Möglichkeiten, ∆x zu verkleinern und damit Auflösung zu verbessern:
geringe Wellenlängen: EUV-Beleuchtung 13.5nm
hohe numerische Aperturen
hohe Brechzahlen: Immersionslithographie
große Aperturwinkel
⇒ Problem: Kleinwinkelnäherungen nicht mehr gültig, Linsenfehler,
asphärische Linsen notwendig,...
⇒ Numerische Berechnung für Konstruktion und Fehlerabschätzung nötig
Hochaperturige Abbildungssysteme und ihre Berechnung
Problemstellung hochaperturiger Abbildung
links: Lithographie-Objektiv, rechts: Wavestepper
http://www.smt.zeiss.com
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Strahlenoptische Verfahren
Raytracing
Raytracing
Licht wird strahlenoptisch betrachtet
Brechung an Medien mit ∆n und Reflexionen werden berücksichtigt
Nicht berücksichtigt: Blenden-Beugungseffekte, optische Gitter,
Beugung bei Freiraumausbreitung etc.
Grundsatz: Alle Veränderungen des Strahls finden an Grenzflächen statt
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Strahlenoptische Verfahren
Raytracing
Raytracing - Numerische Grundzüge
Beleuchtung des Linsensystems mit Nx · Ny Teilstrahlen
Ein Strahl lässt sich parametrisch mit einer Geradengleichung
beschreiben:
~r = ~r0 + k~e ; k > 0
Schleifenablauf
Man bestimmt den Schnittpunkt des Strahls mit der 1. Grenzfläche,
das neue ~r0
Man prüft ob der Schnittpunkt im ”erlaubten” Bereich der
Grenzfläche liegt, sonst weiter mit nächstem Strahl
Man bestimmt den Normalenvektor der Oberfläche,...
...mit dem man den neuen Richtungsvektor ~e festlegt
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Strahlenoptische Verfahren
Raytracing
Raytracing - Definition der Oberflächen
Oberfläche wird charakterisiert durch eine Gleichung F (~r ) = 0
sowie die beidseitigen Brechungsindizes
Die Oberfläche kann durch Randlinien begrenzt werden (z.B.
Linsenfassungen)
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Strahlenoptische Verfahren
Raytracing
Raytracing - Beispiele: Oberflächen
(Prismen-)Fläche mit Normalenvektor ~n, ein Punkt auf der Fläche a~0
Es gilt: (~r − a~0 ) ◦ ~n = 0 ⇒ F (~r ) = (~r − a~0 ) ◦ ~n
~
Oberfläche einer sphärische Linse, Radius R, Mittelpunkt M,
Durchmesser d, optische Achse in z-Richtung
~ 2 − R2
~ 2 = R 2 ⇒ F (~r ) = (~r − M)
Es gilt: (~r − M)
Außerdem muss gelten: rx2 + ry2 < (d/2)2
allg. Oberflächenfunktion (z.B. Asphäre) z = f (x, y ) ⇒
F (~r ) = f (rx , ry ) − rz
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Strahlenoptische Verfahren
Raytracing
Raytracing - Oberflächen
Zuerst muss die Gleichung F (~r ) = F (~r0 + k~e ) = 0 nach k aufgelöst
werden.
Für einfache Flächen kann dies analytisch durchgeführt und im
Programm implementiert werden.
Allgemein jedoch nicht lösbar ⇒ numerische Methoden (z.B.
Newton)
~
~ = ∇F (~r ) |k
Bestimmung des Normalenvektors auf der Fläche N
~ (~r )|
|∇F
Auch i. Allg. nur numerisch lösbar, je nach Oberfläche
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Strahlenoptische Verfahren
Raytracing
Raytracing - Implementierung des Brechungsgesetzes
Brechungsgesetz von Snellius n1 sin(φ1 ) = n2 sin(φ2 )
~ = n2~eout × N
~
Hier n1~ein × N
n1
~ = 0 ⇒ ~eout =
(~eout − n2 ~ein ) × N
n1
~
n2 ein
~
+ γN
Der Parameter γ wird
q durch Normierung festgelegt.
n1
~
~ 2)
γ = − ~ein ◦ N ± 1 − ( n1 )2 (1 − (~ein ◦ N)
n2
n2
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Strahlenoptische Verfahren
Raytracing
~ = sign(~eout ◦ N)
~ , damit:
Für gebrochenen Strahl gilt sign(~ein ◦ N)
r
n1
n1
n1
~ + sign(~ein ◦ N)
~
~ 2) N
~
~eout = ~ein −
~ein ◦ N
1 − ( )2 (1 − (~ein ◦ N)
n2
n2
n2
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Strahlenoptische Verfahren
Raytracing
Raytracing - Implementierung von Reflexionen
Benutzung der gleichen Ausgangsformel wie bei Brechung
~
(~eout = nn12 ~ein + γ N)
n1 = n2
Wahl der anderen Lösung für γ, anderes Vorzeichen
~ + sign(~ein N)|~
~ ein N|)
~ N
~ = ~ein − 2(~ein N)
~ N
~
~eout = ~ein − (~ein N
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Strahlenoptische Verfahren
Raytracing
Sequentielles und nichtsequentielles Raytracing
Sequentielles Raytracing
Abarbeiten einer Liste von Grenzflächen oder optischen Elementen
Problem: keine Strahlaufspaltungen bei Teil-Reflexion
Problem: Mehrfachspiegelungen nicht möglich
Nicht-sequentielles Raytracing
Berechnung der Schnittpunkte des Strahls mit allen Flächen→
Berechnung des nächstliegenden Schnittpunktes
Teilreflexionen/Mehrfachspiegelungen durch neue Strahlen
Abbruch der Verfolgung eines Strahls bei einer Intensitätsschwelle
(Intensität als neue Variable)
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Strahlenoptische Verfahren
Raytracing
Raytracing - Erweiterungen
Berücksichtigung der Strahlstärke (Strahlaufspaltung)
Dazu: Berücksichtigung der Polarisationsrichtung der Teilstrahlen
Fresnelformeln =⇒ verschiedene Intensität für verschiedene
Polarisationsrichtungen
Zusatzvariable: optische Weglänge (später wichtig)
Pro Strahl 3er-Vektor Polarisation und optische Weglänge als neue
Variablen
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Strahlenoptische Verfahren
Raytracing
Raytracing - Beispiele
Kamera-Objektiv Canon EF 85mm f/1.2L USM (70mm-200mm)
http://www.digitalphotopro.com/gear/lenses/fast-lenses-on-sub-full-frame-sensors.html
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Strahlenoptische Verfahren
Raytracing
Lithographie-Objektive
http://www.yabeopt.de
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Strahlenoptische Verfahren
Raytracing
Lithographie-Objektiv IBM
www.research.ibm.com/journal/rd/411/singh.html
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Strahlenoptische Verfahren
Raytracing
Lobster-Eye (Hummer-Auge)
spie.org/x14632.xml
Hochaperturige Abbildungssysteme und ihre Berechnung
Allgemeines zur Wellenausbreitung
Einige Welleneigenschaften des Lichts
Licht wird an Blenden gebeugt (z.B. an den Fassungen von Linsen)
Licht fokussiert nicht perfekt, es gibt Auflösungsgrenzen
Der Fokus hat eine gewisse Tiefe entlang der optischen Achse
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Allgemeines zur Wellenausbreitung
Wellenausbreitung analytisch
Beschreibung der Wellenausbreitung durch die
Planwellenspektrum-Methode
~
Idee: Welle wird aus ebenen Wellen uj (~r ) = uj,0 e i kj~r
zusammengesetzt
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Allgemeines zur Wellenausbreitung
Wellenausbreitung analytisch
Beschreibung der Wellenausbreitung durch die
Planwellenspektrum-Methode
~
Idee: Welle wird aus ebenen Wellen uj (~r ) = uj,0 e i kj~r
zusammengesetzt
zu beachten: |~k| = 2π|(νx , νy , νz )| = 2πn/λ
Aufintegration aller Teilwellen:
Z Z
q
2
2πi n 1− λ2 (νx2 +νy2 )z 2πi(νx x+νy y )
n
u(~r ) =
dνx dνy ũ0 (νx , νy )e λ
e
Für z = 0 ergibt sich: u(z = 0) =
u˜0 = F {u(z = 0)}
RR
dνx dνy u˜0 e 2πi(νx x+νy y ) ⇒
für n = konst.(Freiraumausbreitung) 2 Fouriertransformationen +
Multiplikation
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Allgemeines zur Wellenausbreitung
Wellenausbreitung analytisch
Fraunhofernäherung
Vereinfachung: Entwicklung bis zur 1.Ordnung von x,x’,y,y’
(Koordinaten x,y bei z=0 x’,y’ bei z=z)
Z Z
0
0
2πin
−in z ikn r
u(x, y , z) =
e
dx 0 dy 0 u0 e − λr (xx +yy )
λr r
(Fraunhofer-Beugung): Fouriertransformation
⇒ Rechenaufwand im Fernfeld von 2 Fouriertransformationen auf 1
reduziert, aber nur gültig für kleine NA, außer r = f dann exakt
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Allgemeines zur Wellenausbreitung
Wissenswertes zur Simulation
Die Fast Fourier Transformation
Fouriertransformationen durch FFTs
Stützstellenzahl N = 2n , n ∈ {1, 2, 3, ..}
Zeitlicher Aufwand (für Nx Stützstellen):
Nx log2 (Nx ) Rechenschritte ↔ 2-dim. Integration: Nx2
Breite des berücksichtigten Frequenzraums(Dν): Dνx Dx = Nx
genausoviele Frequenz-Stützstellen wie im Ortsraum
Bedingungen für vollständige Übertragung:
νx,max ≥ n/λ und Nx ≥ 2nDx /λ
Beispiel: n = 1, Dx = 1mm, λ = 0.5µm ⇒ Nx = 4000 ⇒ Wahl von
4096 Stützstellen
Re/Im
4096×4096
Speicherverbrauch: (double) 8 B → 16 B
→
256 MB
Aktuell Berechnungen mit 8192 Stützstellen → 1 GB
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Wellenoptische Verfahren
Wave-Propagation-Method
Wave-Propagation-Method WPM
Zerlege optisches Element in Scheibchen der Dicke ∆z
xy-Abhängigkeit von n wird berücksichtigt
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Wellenoptische Verfahren
Wave-Propagation-Method
Von zk nach zk+1 Ausbreitung mit Planwellenspektrum
u(x, y , z0 + (k + 1)∆z) =ruk+1 =
n(x,y ,z0 +k∆z)2
RR
−νx2 −νy2 2πi(ν x+ν y )
2πi∆z
λ2
x
y
dνx dνy F {uk } e
e
Rechenaufwand sehr hoch, meist nur 1-dim Simulation
Rechenaufwand wird geringer, wenn nur diskrete n-Werte auftauchen
Beispiel Linse:
−→ Berechne für alle (xi , yj ): uk+1 |n(x,y )=n und uk+1 |n(x,y )=1
−→ ordne den (x,y) das passende uk+1 (x, y ) zu
Allg. Problem: Scheibchenanzahl zu hoch für optische Lithographie:
λ
N > max(∆n)
Für λ = 0.5µm, Dicke d = 10cm:
d
= d max(∆n)
= 100000
Scheibchenzahl = ∆z
λ
ebenso: Anzahl der lateralen Stützstellen zu groß (Linsen-∅ 30cm)
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Wellenoptische Verfahren
PSF-Berechnung mit skalarem Debye-Integral
PSF-Berechnung mit skalarem Debye-Integral
Ausgangspunkt: Raytracing bis zu einer bestimmten Ebene.
Idee: Wenn Licht perfekt fokussiert, dann ideale Kugelwelle
Berechnung der Wellenaberrationen W (x 0 , y 0 ): Differenzen zu Kugelwelle
Die ~k 0 (x, y ) sind durch die ~e aus Raytracing gegeben.
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Wellenoptische Verfahren
PSF-Berechnung mit skalarem Debye-Integral
Definition der Amplitudenfunktion A, gegeben durch Lichtstärke der
einzelnen Strahlen (abgeblendete Strahlen: A = 0)
0
0
Definition der Pupillenfunktion: P(x 0 , y 0 ) = A(x 0 , y 0 )e ikW (x ,y )
A ist Amplitudentransmission (def. durch kleinste Blende)
W ist Gangunterschied/Wellenaberration des Strahls/der Stützstelle
Definition
R Rder Punktbildfunktion: 0 0 2
2πi
PSF ∝ dx 0 dy 0 P(x 0 , y 0 )e − λr (xx +yy ) Normierung durch PSF = 1 für alle W (x 0 , y 0 ) = 0
PSF wird bei r = f ausgewertet ⇒ Intensität in der Brennebene
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Wellenoptische Berechnung mit Berücksichtigung der Polarisation
Einfluss der Polarisation auf den Fokus
Einfluss der Polarisation
Bis jetzt: Licht als Skalarfeld
Aufsummation der el. Feldstärkevektoren
⇒ Asymmetrien im Beugungsbild scheinbar symmetrischer
Aufbauten
Hochaperturige Abbildungssysteme und ihre Berechnung
Wellenoptische Berechnung mit Berücksichtigung der Polarisation
Einfluss der Polarisation auf den Fokus
für lineare Polarisationen: Asymmetrischer Fokus
Wenn Fokus direkt hinter Linse ⇒ nahezu Auslöschung
Hochaperturige Abbildungssysteme und ihre Berechnung
Wellenoptische Berechnung mit Berücksichtigung der Polarisation
Einfluss der Polarisation auf den Fokus
Für radiale Polarisation (doughnut mode) bleibt Symmetrie
Hochaperturige Abbildungssysteme und ihre Berechnung
Wellenoptische Berechnung mit Berücksichtigung der Polarisation
Einfluss der Polarisation auf den Fokus
Links,Mitte: Seitenansichten, Licht linear in y-Richtung polarisiert
rechts: Seitenansicht, Licht radial polarisiert (632.8 nm, NA=1)
N. Lindlein: Simulationsmethoden in der Optik
Hochaperturige Abbildungssysteme und ihre Berechnung
Wellenoptische Berechnung mit Berücksichtigung der Polarisation
Debye-Integral
~ 0 = g (θ)(P
~ − (P~
~ e|| )~e|| + (P~
~ e|| )~e 0 )
Es gilt P
||
1
g (θ) = √cos
: unterschiedlicher Intensitäts-Beitrag
θ
(Strahlungsfluss-Erhaltung)
Hochaperturige Abbildungssysteme und ihre Berechnung
Wellenoptische Berechnung mit Berücksichtigung der Polarisation
Debye-Integral
Vektorielle Formulierung des Debye-Integrals
Gesamtfeld
im Fokus:
Summation aller einfallenden Planwellen
~ Fokus ∝ P P
~ 0 i~ki,j0 (~r −W (x,y ))
E
i,j i,j e
Vorfaktor aus genauerer Rechnung:
X
~ Fokus = 1
~ 0 e i~ki,j0 (~r −W (x,y ))
E
P
i,j
iλf
i,j
(diskrete vektorielle Form des Debye-Integrals)
Hochaperturige Abbildungssysteme und ihre Berechnung
Wellenoptische Berechnung mit Berücksichtigung der Polarisation
Debye-Integral
Berechnung der Wellenaberrationen Wi,j nötig:
Raytracing bis zur letzten Oberfläche des Objektivs
⇒ Schnitt der letzten Strahlen mit Referenzkugel um Fokus (Radius =
Brennweite des Systems)
⇒ Vergleich der Strahlen ergibt Wi,j .
Nur eine Freiraumausbreitung (an letzter Linse) zu berechnen
andere Beugungen werden vernachlässigt
Vorteil: Polarisation und Einfallswinkel berücksichtigt.
⇒ Auch für hohe Aperturen gültig
Hochaperturige Abbildungssysteme und ihre Berechnung
Zusammenfassung
Zusammenfassung: allgemeine Vorgehensweise
2-dim. Raytracing durch das gesamte Linsensystem
Berücksichtigung der Intensität + Polarisation mit Fresnel-Formeln
und Berechnung der optischen Weglänge
Berechnung der Schnittpunkte der Strahlen mit Referenzkugel um
Fokus
Berechnung der Wellenaberrationen
Berechnung der Pupillenfunktion
Vektorielle Debye-Integral-Berechnung