Aufgaben zur Elektrostatik Lösungen
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Aufgaben zur Elektrostatik Man berechne das elektrische Feld von Polarisationsverteilungen unterschiedlicher Geometrie. Dazu benütze man im Fall unendlich ausgedehnter Geometrien diejenigen differenziellen Formeln, die das elektrische Feld oder die dielektrische Verschiebung in geeigneter Weise mit der Polarisation verbinden. 1. Ferroelektrischer Halbraum i. Die Polarisation sei homogen und senkrecht zur Grenzfläche gerichtet. ii. Die Polarisation sei homogen und parallel zur Grenzfläche gerichtet. 2. Ferroelektrische Platte i. Die Polarisation sei homogen und senkrecht zur Platte gerichtet. ii. Die Polarisation sei homogen und parallel zur Platte gerichtet. 3. Ferroelektrische Kugel i. Die Polarisation sei radial gerichtet. Lösungen 1. Ferroelektrischer Halbraum i. Wir wählen die y-z-Ebene als Grenzfläche. Die Polarisation soll für x ≤ 0 in positive x-Richtung zeigen. An der Grenzfläche ist divP~ 6= 0. Wir haben dort eine effektive Flächenladung P~ ·~n = P , wobei ~n der Einheitsvektor senkrecht zur Grenzfläche ist. Das elektrische Feld einer solchen Flächenladung steht senkrecht zur Grenzfläche und ist damit auf den beiden Seiten betragsmässig gleich gross, aber entgegengesetzt gerichtet. Das elektrische Feld erhalten wir, indem wir den Satz von Gauss verwenden. Wir nehmen ein Gauss-Kästchen mit Seiten der Fläche A parallel zur Grenzfläche auf beiden Seiten der Grenzfläche: 2AE = 1 ~ = 1 P ~ex , für x < 0 ist E ~ = − 1 P ~ex . AP . Für x > 0 ist also E ε0 2ε0 2ε0 ~ r = rotP~ 6= 0. Wir haben also eine dielektrische ii. An der Grenzfläche ist rotD ~ Verschiebung Dr . Für die weiteren Rechnungen wählen wir ein kartesisches Koordinatensystem so, dass die x-Achse senkrecht zur Grenzfläche zu liegen kommt, und die z-Achse in Richtung der Polarisation zeigt. Der Koordinatenursprung befinde sich auf der Grenzfläche. Als erstes wollen wir uns ein Bild von rotP~ machen. Dazu betrachten wir ein Rechteck in der x-z-Ebene mit Zentrum im Koordinatenursprung und Seiten parallel zu den x- und z-Achsen. Die Seitenlänge entlang der z-Achse sei a. Nach dem Satz von Stokes ist das Flächenintegral von rotP~ gleich der Zirkulation von P~ . Nach der Rechte-Hand-Regel zeigt rotP~ entlang der y-Achse. Wir haben mathematisch gesehen die gleiche Situation wie ~ r ausbei einem homogenen Flächenstrom in y-Richtung. Entsprechend zeigt D serhalb des polarisierten Halbraums in negative und innerhalb des polarisierten 1 Halbraums in positive z-Richtung. Aus Symmetriegründen ist der Betrag von ~ r auf beiden Seiten der Grenzfläche gleich: D Z ! ~r = rotD A Z rotP~ A ⇒ I ~ r · d~l =! D I P~ · d~l ⇒ 2aDr = aP ⇒ Dr = P 2 ~ r abzieDas elektrische Feld erhalten wir, indem wir die Polarisation P~ von D hen. Damit ist das elektrische Feld im gesamten Raum gleich stark und gleich ~ = − 1 P ~ez . gerichtet: E 2ε0 2. Ferroelektrische Platte i. Das elektrische Feld ist gegeben durch die Überlagerung der elektrischen Felder von zwei effektiven Flächenladungen an den Grenzflächen. Innerhalb der Platte ~ = − 1 P~ , im Aussenraum heben sich die addieren sich die beiden Beiträge zu E ε0 ~ beiden Beiträge gegenseitig auf, d.h. E = 0. ii. Das elektrische Feld ist gegeben durch die Überlagerung der Polarisation P~ ~ r -Felder der beiden Grenzflächen. Das elektrische Feld ist deshalb im und der D ganzen Raum gleich 0. 3. Ferroelektrische Kugel i. Wir haben eine lokal begrenzte Polarisationsverteilung. Wir erkennen, dass über~ r = 0 und E ~ = − 1 P~ innerhalb der Kugel und all rotP~ = 0 gilt. Damit ist D ε0 ~ = 0 ausserhalb der Kugel. E Zürich, November 2006 Oliver Portmann 2 .
