2. Schwingkreise
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2. Schwingkreise 2.1 Reaktanzschaltungen Allgemeine Formel für Xges für beliebige Reaktanzschaltungen: X ges ⎛ ω 2 ⎞⎛ ω 2 ⎞ K ⎜1 − 2 ⎟⎜1 − 2 ⎟... ⎜ ω s ⎟⎜ ω s ⎟ 1 ⎠⎝ 2 ⎠ = ⎝ 2 2 ⎞ ⎛ ω ⎞⎛ ⎟⎜1 − ω ⎟... ⎜1 − 2 2 ⎜ ω p ⎟⎜ ω p ⎟ 1 ⎠⎝ 2 ⎠ ⎝ (2.1/3) mit K = kapazitiver oder induktiver Widerstand, der das Verhalten der Reaktanzschaltung bei niedrigen Frequenzen (ω → 0) beschreibt ω S (i = 1,2,…,n) = Serienresonanzkreisfrequenzen i ω P (i = 1,2,…,m) = Parallelresonanzkreisfrequenzen i - 21 - © Christian Hallmann 2.2 Die Reaktanzsätze von Foster Für beliebige verlustlose und lineare Zweipole gelten folgende Sätze: dX ges 1. >0 dω 2. Xges(ω) durchläuft abwechselnd Pole und Nullstellen 3. Xges(ω = 0) (Gleichstrom) ist entweder -∞ oder 0 4. Xges(ω = ∞) (hohe Frequenz) ist entweder 0 oder +∞ 5. Xges(ω) ist durch die Lage der Pole und Nullstellen (Resonanzfrequenzen), sowie durch das Verhalten das Zweipols bei sehr niedrigen Frequenzen (K) eindeutig bestimmt (Gl.(2.1/3)). 6. Die Zahl der Pole und Nullstellen ist um eins größer als die Zahl der Schaltelemente (zwei gleiche Energiespeicher, die man zu einem zusammenfassen kann, zählen nur als ein Schaltelement). 7. Die Zahl der Resonanzfrequenzen ist um eins kleiner als die Zahl der Schaltelemente. Beispiel 2.2/1: Ermitteln Sie für die skizzierte Schaltung den Resonanzverlauf Xges(ω) sowie die Resonanzfrequenzen. Bild 2.2-1 Beispiel 2.2/2: Das elektr. Verhalten der skizzierten Schaltung soll dem elektr. Verhalten der Schaltung im Beispiel 2.2/1 entsprechen. Berechnen Sie die Größen L0, CI und CII, wenn L, C1 und C2 gegeben sind. L0 CII CI Bild 2.2-3 Beispiel 2.2/3: Ein Quarz mit einer Serienresonanzfrequenz fS = 100kHz soll durch eine "Ziehkapazität" CZ eine Serienresonanzfrequenz von fS' = 100,1kHz erhalten. a) Skizieren Sie die Gesamtreaktanz Xg(ω). b) Berechnen Sie die Serienkapazität CS des Quarzes und die erforderliche "Ziehkapazität" CZ. Bild 2.2-5 - 22 - © Christian Hallmann Übung 2.2/1: Die beiden skizzierten Schaltungen sollen das gleiche elektr. Übertragungsverhalten aufweisen. a) Skizieren Sie die Xges(ω). b) Berechnen Sie ωS, ωP, LI, LII und C0. Bild 2.2-8 Übung 2.2/2: Die skizzierte Reaktanzschaltung besitzt eine Parallelresonanzfrequenz fp und lässt sich mit Hilfe der Kapazitätsdiode C im Frequenzbereich fmin ≤ fP ≤ fmax durchstimmen. fmin = 500kHz, fmax = 1500kHz, Cmin = 50pF, Cmax = 500pF. Berechnen Sie die Bauelemente C0 und L. Bild 2.2-9 Übung 2.2/3: Mit Hilfe der veränderlichen Kapazität C (100pF ≤ C ≤ 500pF) lässt sich die Parallelresonanzfrequenz fP der skizzierten Reaktanzschaltung im Bereich 500kHz ≤ fP ≤ 707kHz durchstimmen. Berechnen Sie die Reaktanzen LK und CK sowie die Serienresonanzfrequenz fS. Bild 2.2-10 - 23 - © Christian Hallmann Übung 2.2/4: Die Zeichnung zeigt den Eingangsblindwiderstand eines verlustlosen Zweipols mit diskreten Bauelementen als Funktion der Frequenz. Bild 2.2-11 a) Wie viele Bauelemente muss ein derartiger Zweipol mindestens enthalten? b) Geben Sie zwei verschiedene Schaltungen an, die diesen Verlauf der Eingangsreaktanz haben und ein Minimum an Bauelementen enthalten. c) Skizzieren Sie den Verlauf des Eingangsblindleitwertes B als Funktion das Frequenz. Skizzieren Sie für den Fall, dass die Induktivitäten des realen Zweipols geringe Verluste haben: d) den Verlauf des Eingangsblindwiderstandes X als Funktion der Frequenz e) die Ortskurve der Eingangsimpendanz Zin(ω). Übung 2.2/5: Bild 2.2-12 a) Die Bauelemente C1, C2, L2, L1', C1' und C2' sind so zu bestimmen, dass sich der skizzierte Reaktanzverlauf X(f) ergibt. b) Geben Sie zwei weitere Reaktanzschaltungen mit vier Bauelementen an, mit denen X(f) realisiert werden kann. - 24 © Christian Hallmann 2.3 Wesen und Erscheinungsformen von Schwingungen Im allgemeinen Sprachgebrauch ist es üblich, alle periodisch verlaufenden Vorgänge als Schwingung zu bezeichnen. Man spricht z.B. bei einer Spannung, deren Augenblickswerte sich sinusförmig ändern, auch von einer Sinusschwingung. Vom physikalischen Standpunkt aus ist diese Bezeichnung, jedoch nicht korrekt, da nicht jeder sich periodisch wiederholende Vorgang auch eine Schwingung im physikalischen Sinne ist. Man würde demnach bei einer Spannung, die von einem sinusförmig verlaufenden Strom an einem ohmschen Widerstand hervorgerufen wird, wohl von einem periodisch Vorgang sprechen dürfen, nicht aber von einer Schwingung. Enthält dagegen ein Stromkreis auch Kapazitäten und Induktivitäten, d.h. Energiespeicher verschiedener Energieformen, so sind die auftretenden periodischen Vorgänge als Schwingungen aufzufassen. Das wesentliche Kennzeichen einer Schwingung ist nicht die periodische Wiederholung gleicher Zustände, sondern ein wiederholter, wechselseitiger Energieaustausch zwischen zwei oder mehreren Speichern verschiedener Energieformen. Der Austausch der Energie zwischen den Energiespeichern erfolgt durch bewegte Ladungsträger, auf die elektr. oder magn. Kräfte einwirken. Praktisch ist dieser Energieaustausch eines Schwingungsvorganges immer mit Verlusten verbunden. Den Umspeichervorgängen wird dadurch laufend Energie entzogen, die irreversibel in Wärme umgewandelt wird. Man bezeichnet einen solchen Verlauf als gedämpfte Schwingung. Hinsichtlich ihrer Anregung werden Schwingungen in zwei Hauptgruppen, die freien und die erzwungenen Schwingungen, unterteilt. Eine freie Schwingung tritt in einem sich selbst überlassenen Schwingungssystem auf, also in einem System, in welchem die Schwingung durch die einmalige Einleitung eines Energiebetrages angestoßen wird, dann aber ohne jede Beeinflussung weiterläuft. Sind keine Dämpfungen vorhanden, so verläuft die Schwingung mit konstanten Amplituden, die dem Maximalwert der eingeleiteten Energie entsprechen. Treten dagegen Dämpfungen auf, so hält die Schwingung mit abklingenden Amplituden nur solange an, bis die gesamte eingeleitete Energie in den Dämpfungsgliedern irreversibel umgewandelt ist. Der zeitliche Rhythmus der Energiependelung, als Eigenfrequenz der freien Schwingung bezeichnet, ist nur abhängig von den konstruktiven Gegebenheiten des Schwingungssystems, d.h. den Größen der Energiespeicher und der Dämpfung. Von einer erzwungenen Schwingung spricht man, wenn der Vorgang durch eine von außen eingeprägte Wirkung gesteuert abläuft. Es liegt in der Natur der Schwingungen, dass diese Wirkung keine zeitlich konstante Größe, sondern eine Wechselgröße sein muss. Die von außen einwirkende den Schwingungsrhythmus bestimmende Größe wird als Erregergröße bezeichnet. Die Frequenz der erzwungenen Schwingung ist gleich der Frequenz der Erregergröße. 2.3.1 Erzwungene stationäre Schwingungen Erzwungene Schwingungen verlaufen mit der Frequenz der von außen eingeprägten periodischen Wirkungsgrößen. Sind Amplitude und Frequenz dieser periodischen Wirkungsgröße über längere Zeit konstant, so wird sich ein stationärer Schwingungsvorgang ebenfalls mit konstanten Amplituden einstellen, die gerade so groß sind, dass die im Schwingkreis in Dämpfungsenergie umgesetzte Leistung gleich der von der Erregergröße zugeführten Wirkleistung ist. Neben dieser irreversiblen Energieumsetzung findet nun noch ein reversibler Energieaustausch sowohl zwischen den Speichern des Schwingers als im Allgemeinen auch zwischen Schwinger und äußerem Erreger statt. Nach dem Energiesatz kann die Schwingung daher nur so verlaufen, dass zu jedem Zeitpunkt der Augenblickswert der zugeführten Energie gleich ist der Summe der Augenblickswerte von Dämpfungsenergie und der von den Speichern des Schwingkreises aufgenommenen bzw. abgegebenen Energie. Zu beachten ist dabei, dass in einem Schwingkreis naturgemäß Speicher mit sich ergänzendem Speichervermögen vorhanden sind, d.h., der Ladevorgang des einen Speichers entspricht dem Entladevorgang des anderen und umgekehrt. Es gibt nur eine Frequenz, bei der die maximalen Energieinhalte beider Speicher gleich groß sind, nämlich die Eigenfrequenz f0 des ungedämpften Kreises, die auch als Resonanzfrequenz bezeichnet wird. Bei dieser Frequenz wird periodisch die gesamte in C gespeicherte Energie an L abgegeben - 25 - © Christian Hallmann und umgekehrt, so dass dem Schwingkreis vom Erreger (Generator) nur die im Widerstand in Wärme umgesetzte Dämpfungsenergie als Wirkleistung zugeführt werden muss. Bei allen anderen Frequenzen ist die maximal gespeicherte Energie des einen Speichers größer als die des anderen. Der Differenzbetrag der beiden Energien pendelt daher nicht innerhalb des Schwingkreises zwischen dessen Speichern, sondern zwischen Schwingkreis und äußerem Erreger. Der dem Schwingkreis zufließenden Dämpfungsenergie überlagert sich dann also eine Energiependelung. Zusammenfassung: Bei erzwungenen stationären Schwingungen wird die Dämpfungsenergie des Schwingkreises von der Erregerquelle aufgebracht. Die reversibel gespeicherte Energie pendelt zwischen den beiden Energiespeichern und, falls deren Speichervermögen ungleich ist, auch zwischen dem größeren der beiden Speicher und der Erregerquelle. Die Schwingung stellt sich so ein, dass der Energiesatz von den Augenblickswerten der Dämpfungsenergie, der gespeicherter, und der vom Erreger zugeführten Energie erfüllt wird, d.h., die vom Erreger gelieferte Wirkleistung ist gleich der Dämpferleistung und die gelieferte Blindleistung ist gleich der Summe der Blindleistungen aller Speicher. Als Resonanzfrequenz wird die Frequenz bezeichnet, bei der die Summe der Blindleistungen im Schwingkreis null ist, so dass vom Generator nur Wirkleistung geliefert wird. Die Grundformen elektr. Schwingkreise sind der Parallel- und der Reihenschwingkreis, bei denen die Energiespeicher L und C parallel bzw. in Reihe geschaltet sind. Die Dämpfung wird im Ersatzschaltbild durch ohmsche Widerstände zum Ausdruck gebracht. Stromabhängige Verluste werden durch einen Widerstand berücksichtigt, der vom Strom durchflossen wird, also in Reihe geschaltet ist, spannungsabhängige (z.B. im Kondensator oder in der Eiseninduktivität) durch einen Widerstand, der parallel zum Schaltelement liegt. Soll die gegebene Anordnung mit großer Genauigkeit durch das Ersatzschaltbild wiedergegeben werden, so wird man sowohl Parallel- als auch Serienwiderstände anordnen müssen. Folgende charakteristische Merkmale gelten für die beiden Schwingkreise: In Resonanznähe wird das Verhältnis Klemmenspannung zu Klemmenstrom beim Reihenschwingkreis zu einem Minimum, beim Parallelschwingkreis zu einem Maximum. Im Reihenschwingkreis können in Resonanznähe die Spannungen am Kondensator und an der Induktivität erheblich größer werden als die Klemmenspannung, da diese wesentlich von den zwischen Kondensator und Induktivität ablaufenden Energieumspeicherungen bestimmt werden. Im Parallelschwingkreis kann in Resonanznähe der Strom in der aus Kondensator und Induktivität gebildeten Masche erheblich größer werden als der Klemmenstrom, da ersterer wesentlich durch die zwischen den Speichern ablaufenden Energiependelungen bestimmt wird. Der Schwing- oder Kennwiderstand Zk in Gl. (2.3.1/5a) und (2.3.1/5b) ist der Blindwiderstand der Speicher L bzw. C bei der Eigenkreisfrequenz ω0. Im Resonanzpunkt ω = ω0 gibt der Gütefaktor das Verhältnis der in den Energiespeichern L bzw. C auftretenden Blindleistung zur aufgenommenen Wirkleistung an und damit für den Serienschwingkreis (Gl.(2.3.1/6a)) das Verhältnis Kondensatorspannung bzw. Induktivitätsspannung zu Klemmenspannung (Spannungsüberhöhung) und für den Parallelschwingkreis (Gl.(2.3.1/6b)) das Verhältnis Kondensatorstrom bzw. Induktivitätsstrom zu Klemmenstrom (Stromerhöhung). Der Kehrwert des Gütefaktors wird als Verlustfaktor bezeichnet. - 26 - © Christian Hallmann Für |I|=const. Für |U|=const. Für |U|=const. Für |I|=const. Übung 2.3.1/1: Folgende Werte wurden an einem RLC-Serienschwingkreis bei eingeprägter Gesamtspannung |U| = 120mV gemessen: f / MHz 0,7 0,8 0,9 0,95 1,0 1,05 1,1 1,2 1,3 1,4 I / mA 3,2 4,9 8,2 10,7 12 10,8 8,7 5,8 4,2 3,4 Gesucht sind die Schwingkreisgrößen ZK, L, C, R und Q. - 27 © Christian Hallmann Übung 2.3.1/2: Berechnen Sie die Resonanzfrequenz f0, die Bandbreite Δf und die Spannung |U(f0)|. Bild 2.3.1-6 Für f0 gelten folgende Werte: L = 10mH, QL = 125, C = 250pF, tan(δC) = 10-3, |I| = 10μA, Rin = 500kΩ Im Resonanzfall erreicht der Strom |I| für |U| = const. in der Serienschaltung sein Maximum (Bild 2.3.1-5a), bei der Parallelschaltung die Spannung |U| für |I| = const. (Bild 2.3.1-5b). |I| bzw. |U| werden nur noch durch den Widerstand RS bzw. RP nach oben hin begrenzt. Aus den Bildern 2.3.1-5a und 2.3.1-5b erkennt man, dass man zwei Kreisfrequenzen ωg1 und ωg2 definieren kann, bei denen sich |I| bzw. |U| auf den Wert I (ω 0 ) 2 bzw. U (ω 0 ) 2 , also um -3dB auf den 0,707-fachen Wert vermindert hat. An den Bandgrenzen ω g1 und ω g 2 erreicht der Phasenwinkel die Werte φZ = ±45° bzw. φY = ±45° (Bild 2.3.1-7a bzw. 2.3.1-7b). Man nennt deshalb auch die Frequenzen der Bandgrenzen die "45°-Frequenzen". Bei den bisher angestellten Überlegungen und den grafisch dargestellten Frequenzabhängigkeiten wurde von einer idealen Spannungs- bzw. Stromquelle (|U| = const. bzw. |I| = const.) ausgegangen. Einen Serienschwingkreis kann man bei |U| = const. dazu benutzen, ein bestimmtes Frequenzband aus einem Schwingungsgemisch besonders hervorzuheben. In Abhängigkeit von der Güte QS, also der Selektivität des Kreises, werden Frequenzen außerhalb der Bandbreite mehr oder weniger stark unterdrückt (Bild 2.3.1-5a). Zur Erreichung dieses Zieles hat man in der Praxis also den Serienkreis aus einer Wechselspannungsquelle mit möglichst niedrigem Innenwiderstand zu speisen, denn nur dann kann man näherungsweise erreichen, dass die Quelle bei der auftretenden Strombelastung mit einem vernachlässigbaren Spannungsabfall am Innenwiderstand und damit auch einer unwesentlichen Verringerung der Quellspannungsamplitude reagiert. Umgekehrt unterdrückt der Serienschwingkreis einen Frequenzbereich, wenn man die Konstantspannungsquelle durch eine Konstantstromquelle ersetzt, das Signalgemisch also hochohmig einspeist. Bleibt der angelegte Quellenstrom in einem realen Aufbau näherungsweise konstant und erreicht die Frequenz der Quelle die Resonanzfrequenz des Kreises, dann nimmt die Impedanz |Z| ein Minimum an (vgl. Bild 2.3.1-4a) und man erkennt aus Bild 2.3.1-4a, dass dann die Spannung |U| am Serienkreis im gleichen Maße wie die Impedanz |Z| abnimmt, der Serienkreis also mit einer ausgeprägten Schwächung der Spannungsamplitude innerhalb der Bandbreite reagiert. Mit der in Bild 2.3.1-5b skizzierten Spannungsüberhöhung bei hochohmiger Einspeisung (|I| = const.) ist der Parallelschwingkreis geeignet, den Frequenzbereich innerhalb seiner Bandbreite besonders hervorzuheben, während alle anderen Frequenzen eine Abschwächung erfahren. Speist man den Parallelkreis dagegen aus einer Konstantspannungsquelle, folgt aus Bild 2.3.1-4b, dass der Strom |I| innerhalb der Bandbreite minimal wird und damit auch die Spannung |UL| an einem Lastwiderstand RL den kleinsten Wert annimmt. Ist RL z.B. der Eingangswiderstand eines nachgeschalteten Verstärkers, können alle Frequenzen außerhalb der Bandbreite weiterverstärkt werden, der Frequenzbereich innerhalb der Bandgrenzen gelangt nur stark gedämpft zum Ausgang. In diesem Betriebsfall wirkt der Parallelschwingkreis somit als Sperrfilter. - 28 - © Christian Hallmann Beispiel 2.3.1/1: Wie groß ist |UL|max? Bild 2.3.1-10 Beispiel 2.3.1/2: a) Berechnen Sie die Resonanzkreisfrequenz ωr als Funktion der Kennfrequenz f0. b) Wie groß ist der Parallelersatzschaltungswiderstand RP? c) Skizzieren Sie die Ortskurven Z(ω) und Y(ω). Bild 2.3.1-11 Beispiel 2.3.1/3: a) Skizzieren Sie die Ortskurven I(ω) und U(ω). b) Berechnen Sie den Gesamtgütefaktor QPges als Funktion des Schwingkreisgütefaktors QP. c) Ermitteln Sie die Gesamtbandbreite ∆fges = f(∆f). d) Wie groß ist die Spannung U als Funktion von QPges? Bild 2.3.1-15 Beispiel 2.3.1/4: Mit Hilfe der skizzierten Schaltung soll ein frequenzunabhängiger Eingangswiderstand der Größe R1 hergestellt werden. Gegeben sind: f0 = 70MHz, R1 = 60Ω, CS = 40pF, QS = 60, QP = 60. - 29 - © Christian Hallmann Bild 2.3.1-19 Gesucht sind: LS, RS, RP, CP, LP, R2 Beispiel 2.3.1/5: Der skizzierte Bandpass hat die Aufgabe, ein relativ breites Frequenzband durchzulassen. U a) Ermitteln Sie die Ortskurve 0 (ω ) . U b) Berechnen Sie die Bandbreite ∆ω. Bild 2.3.1-23 - 30 - © Christian Hallmann Übung 2.3.1/3: Die Schwingkreise besitzen eine Resonanzfrequenz von f0 = 35MHz und einen Verlustwiderstand R = 60Ω. a) Bestimmen Sie den Eingangsleitwert I1/U1 der Schaltung. b) Welche Werte müssen L und C annehmen, damit der Eingangsleitwert unabhängig von der Frequenz rein reell wird? c) Wie groß ist dann der Realteil des Eingangsleitwertes? d) Welche Spannungsübersetzung tritt dann bei f0 auf? Bild 2.3.1-25 Übung 2.3.1/4: Bild 2.3.1-26 Berechnen Sie für die skizzierte Schaltung: a) ωr b) R1 und R2 für ωr = ω0 = 1 LC . c) ωr für: c1) R1 = ZK = L C , R2 ≠ ZK c2) R2 = ZK, R1 ≠ ZK c3) R1 = R2 = ZK d) Qges unter der Bedingung von a). e) Die Größen RP und CP·LP eines äquivalenten idealen Parallelschwingkreises bei ωr. - 31 - © Christian Hallmann Übung 2.3.1/5: Der skizzierte Schwingkreis soll bei einer Resonanzfrequenz von fr = 160kHz eine Bandbreite von ∆f = 7kHz aufweisen. L = 400μH, QL = 30, R = 1kΩ a) Ermitteln Sie die Kapazitäten C1 und C2 für ωr ≈ ω0. b) Berechnen Sie näherungsweise die Spannungsübersetzung U1/U2 für R >> 1/ωC1 Bild 2.3.1-27 Übung 2.3.1/6: Bild 2.3.1-28 Bild 2.3.1-29 L = 10mH, C = 200pF, QL = 100, QC=400, |U0| = 10V, |I0| = 0,1mA Skizzieren Sie für den dargestellten Serien- bzw. Parallelschwingkreis jeweils das vollständige qualitative Zeigerdiagramm für a) f < fr b) f = fr c) f > fr d) Berechnen Sie die Größen Q, fr, Z(ωr) bzw. Y(ωr), ∆f, |UC| bzw. |IL| für die Näherung ωr ≈ ω0. 2.3.2 Stabilität der Resonanzfrequenz Wenn sich in einer Schaltung die Kapazität C um ∂C ändert (z.B. durch Transistorwechsel, Schaltkapazitäten usw.) bzw. die Induktivität L sich um ∂L verändert, dann lässt sich mit Gl.(2.3.2/1) die Änderung der Resonanzfrequenz berechnen. In praktischen Schaltungen kann meistens die Induktivitätsänderung vernachlässigt werden (∂L ≈ 0), so dass nur noch die Kapazitätsänderung in Gl.(2.3.2/1) eingeht. Je größer die Kapazität C gewählt wird, desto geringeren Einfluss haben Schwankungen ∂C auf die Resonanzfrequenz. Beispiel 2.3.2/1: In einer Schaltung schwankt die Kapazität eines Schwingkreises aufgrund von Schaltungskapazitäten um ∂C = ±0,2pF. Die Resonanzfrequenz soll f0 = 470kHz betragen. Welche minimale Schwingkreiskapazität Cmin müsste man mindestens verwenden, damit die Resonanzfrequenz sich nicht mehr als ±100Hz ändert? - 32 - © Christian Hallmann 2.3.3 Messverfahren 2.3.3.1 Parallelschwingkreis In der Messschaltung des Bildes 2.3.3.1-1 werden LP und CP als Parallelkreis hochohmig, z.B. durch einen kleinen Koppelkondensator CK, an einen Generator mit einstellbarer Frequenz angeschaltet (Konstantstromquelle). Für verschiedene Größen von CP misst man die jeweilige Resonanzfrequenz (Spannungsresonanz) und trägt den Ausdruck 1/f02 als Funktion von CP auf. Unter Berücksichtigung der parallel zu CP liegenden Zusatzkapazitäten (Schaltkapazität, Spulenkapazität und Voltmeterkapazität) CZus. ergibt sich die Beziehung (2.3.3.1/1) bzw. (2.3.3.1/2). Der berechnete Wert LP ist der Wert für das Parallelersatzschaltbild der Spule. Die Spulenverluste werden in RP charakterisiert. In Bild 2.3.3.1-2 ist CP die als Abszissenwert aufzutragende unabhängige Variable und 1/f02 die abhängige Variable (Ordinatengröße). Die Gleichung (2.3.3.1/2) ist die einer Geraden, aus der nun CZus. und LP ermittelt werden können (siehe Bild 2.3.3.1-2 und Gl.(2.3.3.1/3) bzw. (2.3.3.1/4)). Durch anschließende Messung der Teilkapazitäten CT mit Hilfe eines Kapazitätsmessers kann man die Eigenkapazität CL der Spule berechnen (Gl.(2.3.3.1/5)). Die Eigenresonanzfrequenz der Spule berechnet sich dann mit Gl.(2.3.3.1/6). Die Frequenz wird für CP auf Resonanz eingestellt und bleibt dann konstant. Die fiktiven Grenzfrequenzen ω g 2 und ω g1 (in Wirklichkeit ω0) entsteht durch Variation von CP auf C P2 bzw. C P1 . Für den Fall, dass die 45°-Verstimmung bei Resonanzfrequenz f0 durch Verstimmen der Kapazität CP auf die Werte C P2 und C P1 erreicht wird, ergibt sich die Größe QP aus Gl.(2.3.3.1/7). Schaltet man in die Messschaltung (Bild 2.3.3.1-8) einen Stellwiderstand R' parallel zu CP und LP in den Parallelkreis ein und stellt ihn auf einen Wert ein, bei dem die Resonanzspannung auf die Hälfte des vorher gemessenen Maximalwertes abgesunken ist, dann ist dieser Widerstandswert R' = RP, d.h. gleich dem Parallelersatzwiderstand des Kreises; es wurde nämlich die Güte halbiert. 2.3.3.2 Serienschwingkreis Schaltet man in der Schaltung des Bildes 2.3.3.2-1 einen bekannten veränderlichen Zusatzwiderstand RZus. in Reihe mit RS, so gilt bei Resonanz die Gl.(2.3.3.2/1). Dies ist aber die Gleichung einer Geraden. Trägt man die bei der Resonanzfrequenz f0 gemessenen Werte U U C ω als Funktion von 0 RZus. auf (Bild 2.3.3.2-2), dann schneidet die verlängerte Gerade den unbekannten Wert RS an der Abszisse und der Ordinatenabschnitt stellt den Reziprokwert des Gütefaktors 1/QS dar. Für den Fall, dass die 45°-Verstimmung bei Resonanzfrequenz f0 durch Verstimmen der Kapazität CS auf die Werte C S2 und C S1 erreicht wird, ergibt sich die Güte QS aus Gl.(2.3.3.2/4). Schaltet man in die Messschaltung (Bild 2.3.3.2-7) einen zusätzlichen Stellwiderstand R’ und stellt ihn auf einen Wert ein, bei dem der Resonanzstrom auf die Hälfte des vorher gemessenen Maximalwertes abgesunken ist, dann ist R’ = RS, d.h, die Güte hat sich halbiert. - 33 - © Christian Hallmann 2.4 Selektivverstärker 2.4.1 Einstufiger Selektivverstärker Zur Verstärkung eines schmales Frequenzbandes kann man einen Selektivverstärker nach Bild 2.4.11a verwenden. Durch die geringe Bandbreite des Parallelschwingkreises unterdrückt man Frequenzanteile, die außerhalb des gewünschten Frequenzbandes liegen und verbessert damit den Störabstand. Bild 2.4.1-1 Einstufiger Selektivverstärker a) Schaltung b) Ersatzbild c) zusammengefasstes Ersatzbild Y12 ≙ Rückwärtssteilheit rB’C ≙ Widerstand der Basis-Kollektor-Sperrschicht CB’C ≙ Kapazität der Basis-Kollektor-Sperrschicht rBB’ ≙ Basisbahnwiderstand (das ist der Widerstand der grenzschichtfreien Basiszone) - 34 © Christian Hallmann Bei Vernachlässigung der Rückwirkung (Y12 ≈ 0; d.h. rB’C → ∞; CB’C → 0, zusätzlich rBB’ vernachlässigt) erhält man das Ersatzbild des Selektivverstärkers (Bild 2.4.1-1b). Hierin bedeuten: rBE1 = Eingangswiderstand von T1; rCE1 = Ausgangswiderstand von T1; S = Steilheit von T1; CCE1 = Ausgangskapazität von T1; CS = Schaltkapazität (durch Schaltungsaufbau); rBE2 = Eingangswiderstand von T2 und Ce2 = Eingangskapazität von T2; RP = Verlustwiderstand des Schwingkreises. Dieses Ersatzschaltbild lässt sich zusammenfassen zu der in Bild 2.4.1-1c dargestellten Ersatzschaltung, wobei gilt 1 1 1 1 1 1 , (2.4.1/1) G Pges = = + + + + R Pges R P rCE1 R3 R4 rBE 2 C ges = C + C CE1 + C s + C e 2 . Zum Verlustwiderstand RP des Schwingkreises liegen also rCE, R3, R4 und rBE2 parallel. Durch diese zusätzliche Bedämpfung wird die Kreisgüte QK auf die Betriebsgüte QB verringert. Die wirksame Schwingkreiskapazität Cges setzt sich aus der Kapazität des Schwingkreiskondensators C sowie den zusätzlichen Kapazitäten CCE1, CS und Ce2 zusammen. Aus Bild 2.4.1-1c ist für die Spannungsverstärkung Vu entnehmbar U 1 −S U 2 = − SU 1 Z Pges = − SU 1 ⋅ ,V u = 2 = (2.4.1/2) Y Pges U 1 Y Pges mit 1 ⎞ ⎛ (2.4.1/3) Y Pges = G Pges + j ⎜ ωCges − ⎟ ωL ⎠ ⎝ Der Kennwiderstand ZK berechnet sich mit der Gl.(2.4.1/4) L analog zu (2.3.1/5b) Z K = (2.4.1/4) C ges Die Betriebsgüte QB lässt sich mit der Gl.(2.4.1/5) ermitteln. RPges analog zu (2.3.1/6b) QB = (2.4.1/5) ZK Die Resonanzkreisfrequenz ergibt sich aus Gl.(2.4.1/6). 1 analog zu (2.3.1/4b) ω 0 = (2.4.1/6) L ⋅ C ges Die Betriebsbandbreite B definiert man ebenfalls wieder über einen 3db-Abfall gegenüber der Maximal-Verstärkung bei Resonanz. Analog zu (2.3.1/9b) berechnet sich die Betriebsbandbreite mit (2.4.1/7). f analog zu (2.3.1/9b) B = 0 (2.4.1/7) QB Die Unterdrückung eines "fernen"“ Senders (außerhalb der gewünschten Bandbreite B) ist sehr gering. D.h. die sog. Fernabselektion eines Einzelkreis-Verstärkers ist für viele Fälle zur guten Trennung von Frequenzbändern nicht ausreichend. Verbesserungen ergeben sich durch steilere Flankenverläufe. Diese lassen sich z.B. durch mehrstufige Selektivverstärker, Bandfilter-Verstärker, keramische Filter, Quarz-Filter u.a. erreichen. - 35 - © Christian Hallmann 2.4.2 Mehrkreisverstärker Verbesserte Trenneigenschaften z.B. benachbarter Rundfunkkanäle erhält man u.a. durch zweikreisige Bandfilter Diese bestehen aus zwei Parallelschwingkreisen und einer Koppelreaktanz. Bild 2.4.2-1a zeigt ein kapazitiv spannungsgekoppeltes Bandfilter. Hier ist die Koppelreaktanz eine kleine Kapazität C12. Das Ersatzschaltbild hierfür ist in Bild 2.4.1-1b angegeben. Dieses wiederum lässt sich umwandeln in Bild 2.4.2-1c. Für Bild 2.4.2-1c lässt sich dann nach [51] als Übertragungsfaktor herleiten jk n U . (2.4.2/1) A= 2 = 2 U 0 1 + k n − V 2 + 2 jV Hierbei sind folgende Annahmen getroffen: L1 = L2 = L; C1 = C2 = C; gleiche Kurzschlussresonanzfrequenzen ω K1 = ω K 2 = ωm (bei jeweiligem Kurzschluss des zweiten Kreises); Q1 = Q2 = Q (d.h. gleiche Betriebsgüten); R1 = R2 = R (d.h. gleiche Gesamtverluste der Kreise). In (2.4.2/1) bedeutet kn die "normierte" Kopplung k n = B12 R1 R2 = B12 R (2.4.2/2) und V die normierte Verstimmung ⎛ ω ωm ⎞ ⎟⎟ . (2.4.2/3) − V = Qv = Q⎜⎜ ⎝ ωm ω ⎠ Der Betrag des Übertragungsfaktors aus (2.4.2/1) ist kn U . (2.4.2/4) A= 2 = 2 2 2 2 U0 (1 + k − V ) + 4V n Die normierte Kopplung kn wird näherungsweise innerhalb des Durchlassbereiches des Bandfilters als konstant (also frequenzunabhängig) angenommen, da sich f gegenüber des Mittenfrequenz fm nur relativ wenig ändert. - 36 - © Christian Hallmann Bild 2.4.2-1 Zweikreisiges Koppelfilter a) Grundanordnung (C12 << C1, C2) b) modifiziertes Ersatzbild zu a) c) modifiziertes Ersatzbild zu b) d) Übertragungsfaktor |A| des Koppelfilters Extremwerte des Übertragungsfaktors |U2/U0| lassen sich aus der Nullstelle der 1. Ableitung gewinnen, also aus d(|A|)/dv = 0. Ein Minimum tritt auf bei v = 0, d.h. ω = ωm: hier ist k (2.4.2/5) Aω = 2 n . m kn + 1 Ein Maximum tritt auf bei 1 v H 1, 2 = ± k n2 − 1. (2.4.2/6) Q Hier ist der Übertragungsfaktor Aω = 1 (2.4.2/6a) 2 H - 37 - © Christian Hallmann Aus (2.4.2/6) lassen sich 3 Fälle für kn unterscheiden: kn < 1 → "unterkritische Kopplung", d.h. keine Lösung für vH (dieser Fall interessiert nicht) kn = 1 → "kritische Kopplung", d.h. vH = 0; keine Höckerausbildung (Durchlasskurve mit flachem Dach) kn > 1 → "überkritische Kopplung": hier ergibt sich eine Bandfilter-Durchlasskurve mit Höckern. Der Verlauf des Übertragungsfaktors |A| in Abhängigkeit vom normierten Koppelfaktor kn ist in Bild 2.4.2-1d dargestellt. Bei überkritischer Kopplung sind nach [51] noch zwei Kennwerte definierbar. Die sog. "mathematische Grenzverstimmung" V g∗ = ± 2VH , (2.4.2/7) bei welcher der Übertragungsfaktor |A| den gleichen Wert hat wie bei V = 0 und die sog. "praktische Grenzverstimmung" V g = ± 2k n , (2.4.2/8) bei welcher der Übertragungsfaktor um 3dB (d.h um den Faktor 1 / 2 ) gegenüber dem Mittelwert |Am| des Übertragungsfaktors abgefallen ist. |Am| wird aus dem Kurvenverlauf zwischen Höcker und Sattel gebildet (Bild 2.4.2-1d). Die Bandbreite das Bandfilters lässt sich mit der Gl.(2.4.2/9) berechnen. f aus [51] B = f g 2 − f g1 = Δf g = 2 ⋅ k n ⋅ m (2.4.2/9) Q Die Vorteile des Bandfilter-Verstärkers liegen in einer besseren Fernabselektion (Grenzkurvenverlauf hier z.B. mit 1/ω² statt mit 1/ω wie beim Einzelkreis-Verstärker) sowie einer größeren Bandbreite. Die normierte Kopplung kn wählt man i.a. nicht sehr groß (ca. 1….2,5; vgl. Bild 2.4.2-1d), da bei großer Einsattlung zu starke Laufzeitverzerrungen auftreten [51]. Bild 2.4.2-2a zeigt ein symmetrisches, kapazitiv gekoppeltes Bandfilter, dessen Schaltungsausführung in Bild 2.4.2-2b skizziert ist. Für ein transformatorisch gekoppeltes Bandfilter gilt Bild 2.4.2-2c (Ersatzschaltbild 2.4.2-2d). - 38 - © Christian Hallmann Bild 2.4.2-2 Häufigste Bandfilter Arten a) kapazitiv spannungsgekoppeltes Filter (Ersatzbild) b) kapazitiv spannungsgekoppeltes Filter (Schaltungsausführung) c) transformatorisch gekoppeltes Filter d) Ersatzschaltbild für c) - 39 - © Christian Hallmann
