5. Galaxien auf großen Skalen

5. Galaxien auf großen Skalen
5.1 Galaxienhaufen
5.2 Kosmische Entfernungsskala
5.3 Großskalige Strukturen
5.2 Kosmische Entfernungsskala
5.2.1 Allgemeine Bemerkungen
Geometrische Methoden
Beziehung zwischen Winkeldurchmesser und linearer Größe
Photometrische Methoden
Beziehung zwischen scheinbarer und absoluter Helligkeit
(bzw. Strahlungsstrom und Leuchtkraft)
Entfernungsmodul:
m – M = 5 log d [pc] –5 + A
Allgemeine Forderungen an Entfernungsindikatoren:
- müssen kalibriert werden
- physikalischen Hintergrund muss ersichtlich sein
5.2.1 Allgemeine Bemerkungen
Bedeutendste Entfernungsindikatoren in Extragalaktik
●
●
●
●
Pulsationsveränderliche
Supernovae Ia
Interne Geschwindigkeiten (Tully-Fisher, Faber-Jackson)
Rotverschiebung
Zusätzlich benötigt für Kalibration
●
●
●
Jährliche trigonometrische Parallaxe
Sternstromparallaxe
Sternhaufenparallaxe
5.2.2 Jährliche trigonometrische Parallaxe
(geometrische Methode)
P1
1 [AU]
1 AU
θ [´´]
1 AU
θ1 + θ2 = 2θ
d [pc] =
Messung der Basis 1 AU mit Radarecho im
Planetensystem zusammen mit Kepler III
Reichweite:
To distant stars
θ1
d
bodengebunden:
Δθ min = 0.01''
 d < 10 pc
 nur untere+mittlere Hauptreihe (HR)
2θ
θ2
To distant stars
P2
d = 1/ θ  d /Δd = θ/Δθ 
z.B. für Δd / d < 0.1
θ
θ
d max =
Δd
d
1
Δθ min
HIPPARCOS: Δθ min= 0.002''
 d < 50 pc
 überdeckt nicht obere HR (OB **)
5.2.3 Sternstromparallaxe
(geometrische Methode)
tan ω = vt / vr
vt = μ d ,
d
μ: Eigenbewegung
 tan ω = μ d / v r
Übergang zu üblichen Einheiten:
d [pc] =
v r [km/s] tan ω
4.74 μ [´´ / yr]
K: Bewegungsrichtung
(Konvergenzpunkt)
Position (Koordinaten) des Konvergenzpunkts K aus Eigenbewegungsvektoren
μ vieler Sterne (Fig. right)
 Entfernung der Hyaden:
46 pc with Δ(m - M) = 0.1 mag
K
5.2.4 Sternhaufenparallaxe
(photometrische Methode)
Farbe-Helligkeits-Diagramm (FHD)
1.
Absolute Helligkeit M der StandardHR ist bekannt
2.
Beobachtung eines Sternhaufens:
scheinbare Helligkeiten
3.
Haufenentfernung d aus Entfernungs modul m- M = 5 log d – 5 +A
4.
Falls obere HR des Haufens besetzt
ist, sind die absoluten Helligkeiten
dieser Sterne jetzt bekannt und die
Standard-HR kann so zu leuchtkräftigeren Sternen verlängert werden.
Helligkeit (M oder m)
Prinzip:
„Standard-Hauptreihe“
(absolute Helligkeit M)
m-M
Hauptreihe eines Haufens
(scheinbare Helligkeit m)
B-V
5.2.4 Sternhaufenparallaxe
(photometrische Methode)
Farbe-Helligkeits-Diagramm (FHD)
Prinzip:
Absolute Helligkeit M der StandardHR ist bekannt
2.
Beobachtung eines Sternhaufens:
scheinbare Helligkeiten
3.
Haufenentfernung d aus Entfernungs modul m- M = 5 log d – 5 +A
4.
Falls obere HR des Haufens besetzt
ist, sind die absoluten Helligkeiten
dieser Sterne jetzt bekannt und die
Standard-HR kann so zu leuchtkräftigeren Sternen verlängert werden.
Absolute Helligkeit M
1.
Pleiaden
Hyaden
B-V
5.2.4 Sternhaufenparallaxe
-8
Mv
 sukzessive Kalibration der HR
NGC2362
H+χ Per
-4
Plejades
Unsicherheit: Δ(m-M) ~ 0.15 mag
(plus 0.15 mag wegen Effekt der
unterschiedlichen chemischen
Zusammensetzungen von Haufen zu Haufen)
M41
M11
0
Coma
Hyades
M67
Praesepe
4
8
B-V
5.2.5 Pulsationsveränderliche
●
●
●
●
●
Riesensterne Mv = -2 ...-7
Strenge Perisodizität (P = 1... 50 d)
Variation von L, R, und Teff
Helligkeitsvariation zumeist durch
Variation von T eff
Periode-Leuchtkraft-Relation P = f (L)
Verschiedene Typen (verschiedene
Lichtkurven und Spektraltypen):
„klassische Cepheiden“:
- δ Cephei-Sterne
- W Virginis-Sterne
➢
RR Lyrae-Sterne
➢
+3.5
Apparent magnitude
Eigenschaften
http://de.wikipedia.org/wiki/Cepheiden
δ Cephei
+4.0
0.5
1.0
1.5
Phase
5.2.5 Pulsationsveränderliche
κ-Mechanismus
In Zonen partieller Ionisation von H
oder He wird Opazitätskoeffizient κ
größer wenn die Dichte ansteigt.
●
Wenn das Gas re-expandiert wird diese
Überflussenergie freigesetzt und treibt so
die Oszillation an falls die Zone nahe der
Oberfläche ist.
●
Das ist der Fall für einen Streifen im
HRD mit Teff = 6000-9000 K
(Instabilitätsstreifen).
δδ
CeC
pehp
ehi e
W
sitas
va Vir
rtsar
ria gi
s
ble nis
s
AbsoluteMagnitude
Helligkeit
Absolute
Gaskontraktion (Kontraktionsphase)
führt dann zu erhöhter Absorption von
Energie aus dem Strahlungsfluss.
●
Instability
strip
Instability strip
RR Lyrae
stars
●
Spektraltyp
Spectral
Class
5.2.5 Pulsationsveränderliche
Kalibration der P-L-Relation der δ Cephei-Sterne
Extragalactische δ Cephei-Sterne
<Mv > = -2.78 log P –1.35
ΔA λ
Entfernung
LMC aus
SN 1987A
δ Cephei-Sterne in
Magellanschen Wolken
ΔA λ
Galaktische δCephei-Sterne direkt:
trigon. Parallaxen *,**, Lichtecho***
δ Cephei-Sterne in
galakt. Sternhaufen
ΔA λ
Plejaden-HR
ΔA λ
nahe HR F-Sterne
(trigon. Parallaxen)
ΔA λ , [Fe/H]
Hyaden-HR
(Sternstrompar.)
(*) zukünftig (ab 2016) mit Gaia
(**) 10 nahe Sterne mit HST
(Benedict et al. 2007)
(***) RS Puppis eingebettet in
Nebel (Kervella et al, 2008),
aber intensive Debatte
EXKURS
Entfernung der LMC aus Supernova 1987A
Supernova SN1987A
Type II SN, 1987 in RiesenSternentstehungsregion in LMC
Vorgängerstern:
blauer Überriese von 15 M ☉
Expandierender SN-Rest umgeben
von System von Ringen vom
Vorgängerstern
Innerere Ring leuchtete ~20 yr
nach SN-Explosion auf....
… aber nicht gleichzeitig, sondern
erst auf einer Seite, dann auf der
entgegengesetzten
Ring von oben
D
i
D cos i
R
a=R
b = R cos i
cos i = b/a
Zu uns
a
Ring von der Seite
D = 2R
Weg von uns
b
Weg
von uns
D sin i = c Δt
r tan α ⋍ D cos i
i, α, Δt aus
Beobachtungen
D cos i
D
r
i
D sin i
Ring zur Sichtlinie geneigt
r=
Zu uns
(Zeitverzögerung)
Entfernung der LMC aus Supernova 1987A
D sin i
EXKURS
α
c Δt
tan i tanα
Beobachter
5.2.5 Pulsationsveränderliche
Anwendung: δ Cephei-Sterne in Virgohaufen-Galaxien
HST-Schlüsselprojekt (hohe Auflösung + Reichweite erforderlich)
M100 in Virgo cluster with HST Wide
Field Planetary Camera 2 (WFPC2)
5.2.6 Novae
Beispiel: Nova in M31
Eigenschaften
Properties
1
2
3
4
5
6
• Hell im Maximum (Mv = -10)
 leicht zu finden
• Entfernungsindikator:
Rate des Helligkeitsabfalls m
nach dem Maximum
.
Kalibration: M31, MSS
Ergebnis:
Nova RS Oph
.
Mmax
= -9.96 - 2.31 log m
v
Fig.: Lichtkurve eines Ausbruchs der
rekurrenten Nova RS Oph. Farben für
unterschiedliche Filterbereiche.
http://en.wikipedia.org/wiki/RS_Ophiuchi
5.2.6 Novae
Physikalischer Mechanismus
Vorgängerstern: Weißer Zwerg (WD) in
kataklysmischem Doppelsternsystem
Begleiter
(Roter Riese)
Begleiter füllt Roche-Volumen, Massenfluss auf WD via Akkretionsscheibe.
hinreichend Masse auf Oberfläche des WD:
→ (a) unterste Schicht entartet
→ (b) T übersteigt kritischen Wert
→ H-Flash (thermo-nuclear runaway
bis Entartung aufgehoben, dann Stoßfront,
die H-Schicht wegschleudert)
… kann sich wiederholen
(rekurrente Nova)
WD+Akkretionsscheibe
Kataklysmischer Doppelstern
(künstlerische Darstellung)
5.2.7 Supernovae Type Ia
(photometrische Methode)
Eigenschaften
• In allen Galaxientypen (Sternpop. II);
zumeist in staub-armen Regionen
Entfernungsindikator: scheinbare
Helligkeit im Maximum
Korrekturen:
1) Helligkeitsabfall-Korrektur
2) Alters-Korrektur
(SN wird gewöhnlich erst nach Maximum entdeckt  Alter der SN (nach
Explosion) aus dem Spektrum durch
Vergleich mit Template-Spektren
6
Scheinbare Helligkeit B
• Sehr leuchtstark: M B = - 19.5 +/- 0.5
enorm große Reichweite aber selten
(~1 pro Jahrhundert pro Riesengalaxie)
Radioaktiver Zerfall Ni
9
Radioaktiver Zerfall Co
12
15
18
SN Ia
21
0
400
600
200
Zeit nach Ausbruch (days)
800
5.2.7 Supernovae Type Ia
Visuelles Bild
Lichtkurve
Spektrum
5.2.7 Supernovae Type Ia
HST-Spektren von SN Ia (schwarz) im Vergleich mit
passendem Template-Spektrum bekannten Alters (rot).
Source: Riess et al. (2004)
Alterskorrektur - Beispiele
5.2.7 Supernovae Type Ia
Helleigkeitsabfall-Korrektur
Meiste SNIa in
diesem Bereich
Calan/Tololo SN Survey: SN Ia haben
nicht alle gleiche Maximalhelligkeit...
… aber mit einem einzigen Parameter kann
auf Standard-Werte normiert werden:
Maximumshelligkeit ist korreliert mit der
Rate des Helligkeitsabfalls
Seltene
Außenseiter
 Korrektur reduziert Streuung um
Maximalhelligkeit signifikant
 Offenbar hervorragender
Entfernungsindikator!!!
Credit: Hamuy+ (1995)
5.2.7 Supernovae Type Ia
Beispiel
Supernova in naher Galaxie: SN2011fe in M101 (d ≈ 10 Mpc)
5.2.7 Supernovae Type Ia
Beispiel
entfernte Supernova aus
Supernova Cosmology Project
(Perlmutter et al. 1998)
5.2.7 Supernovae Type Ia
5.2.7 Supernovae Type Ia
Physikalischer Mechanismus: thermonukleare Explosion eines WD
(A) Bisher: Single Degenerate Scenario
Vorgänger: WD in kataklysmischem Doppestern
Masse des CO WD wächst und nähert sich
Chandrasekhar-Grenze
T nimmt zu
C-Flash , d.h. C-Brennen in
entartetem Gas (anders als der Kern eines massereichen Sterns enthält der WD sehr viel C)
Stoßfront zerreißt WD mit Masse nahe
Chandrasekhar-Grenze
Expandierender SN-Rest besteht aus der Materie
des WD und den Aufbauprodukten bei der
Explosion, aber enthält kein H
5.2.7 Supernovae Type Ia
Physikalischer Mechanismus: thermonukleare Explosion eines WD
(B) Neu: Double Degenerate Scenario
Vorgänger: Merger aus zwei WDs in engem Doppelsternsystem, kombinierte Masse > Chandrasekhar limit
(super-Chandrasekhar WD)
Erklärt anomal massereichen (2 M⊙ ) Vorgängerstern von
SN2003fg sowie SN Ia-Reste, bei denen kein Begleiter
gefunden werden konnte.
Enger WD-Doppelstern in PN Henize 2-428 gefunden.
Es ist anzunehmen, dass das Systen Energie via Gravitationswellen verliert, so dass die WDs ineinander
spiralen und schließlich mergen.
Zwei Typen? Keine gute „Standardkerze“???
Abb.: Künstlerische Darstellung des WD-Paars in Henize 2-428.
Source: ESO/L. Calçada
5.2.8 Skalierungsrelationen
(A) Tully-Fisher-Relation
Empirische Relation (Abschn. 3.7.4) zwischen Leuchtkraft und maximaler
Rotationsgeschwindigkeit von Spiralgalaxien (Tully & Fisher 1977)
Entfernungsindikator: maxim. Rotationsgeschwindigkeit vmax
2
M (R ) = vmax
R /G
Physik. Hintergrund:
angenommen

(Virialtheorem)
M / L = const *
2 R
L ~ vmax
2
weiterhin: Flächenhelligkeit ( = L/R ) = const

**
4
L ~ vmax
(*) Diese Annahme gilt im Allgemeinen nicht wegen DM (Abschn. 3.7.5C). Aber: die maximale
Rotationsgschwindigkeit wird bereits bei ralaitiv kleinem R erreicht, wo DM noch nicht dominiert..
(**) Vergleich von Galaxie zu Galaxie, nicht innerhalb einer Galaxie
5.2.8 Skalierungsrelationen
Beobachtungen:
2.
Scheinbare Heligkeit
(korrigiert bzgl. Extinktion
und Neigung)
Linienbreite (z.B. HI 21cm)
als Maß der Rotationsgeschwindigkeit (korrigiert
bzgl. Neigung)
Kalibration: δ Cephei-Sterne
Optisches
Teleskop
Radioteleskop
Linienbreite
21-cm Linie
w
Neigungskorrektur
Eigenschaften:
➢
Bis ~ 100 Mpc
Nicht sehr akkurat für einzelne
Galaxie, aber sehr brauchbar für
Statistik mit großer Stichprobe
➢
Photometrie:
scheinbare Helligkeit m
Mit T-F-Relation
erhält man absolute
Helligkeit aus korrigierter Linienbreite
Absorptionskorrektur
Absolute Helligkeit
1.
log w
Entfernungsmodul
m-M = 5 log r-5
5.2.8 Skalierungsrelationen
(B) Faber-Jackson-Relation
Faber-Jackson relation
Empirische Relation (Abschn. 3.7.4)
zwischen Leuchtkraft und Geschwindigkeitsdispersion in E-Galaxien
Kann überführt werden in eine Relation im
3-dim. Parameterraum definiert durch
(a) Kernradius, (b) Flächendichte im Kern,
und (c ) Geschindigkeitsdispersion
= Fundamenaltebene der E -Galaxien
wobei die Streuung stark reduziert wird
Fundamental plane
5.2.8 Skalierungsrelationen
(C) Räumliche Fluktuation der Flächenhelligkeit
Pixel-zu-Pixel-Variation proportional zu 1/d
(fundamentaler Effekt)
Kalibration: E-Galaxies in nahen Hauen (Virgo, Coma)
Bemerkung: nicht sehr bedeutsam
5.2.9 Hubble-Relation
(A) Rotverschiebung
z=
λ obs - λ 0
λ0
=
Δλ
λ0
Beispiel: Spektren von zwei Galaxien
unterschiedlicher Rotverschiebungen
=
λ obs
- 1
λ0
z = 0.0671
λ 0 : Laborwellenlänge (d.h.. im Ruhesystem der
Quelle)
Transformation der Wellenlänge ins
Ruhesystem der Quelle:
λ 0 = λ obs / (z+1)
z = 0.3867
5.2.9 Hubble-Relation
(B) Empirische Fakten - qualitativ
Haufen
Entfernung
(Mpc)
1.
Für nahe Galaxien (z.B. Lokale
Gruppe) können die Spektren entweder
rot- oder blau-verschoben sein (hängt
von Relativgeschwindigkeit ab)
2.
Für entfernte Galaxien sind die
Spektren rotverschoben ...
3.
… und ihre Rotverschiebung z nimmt
mit ihrer Entfernung zu.
Spektrum
5.2.9 Hubble-Relation
(B) Empirische Fakten - quantitativ
Für nicht zu große und nicht zu kleine Rotverschiebungen (0.001 < z < 0.1)
findet man in allen Richtungen:
z ∝ d
c z = H0 d
Hubble-Relation
H 0 : Hubble-Konstante
H 0 = 67.80 +/- 0.77 km s -1 Mpc -1 (*)
d:
Entfernung (Mpc)
Mit der dimensionlosen Hubble-Konstante h = H0 / (100 km s -1 Mpc -3 )
d ≈ 3000 Mpc z / h
(*) Aus CMB = cosmic microwave background (ESA Planck Surveyor, 2013)
5.2.9 Hubble-Relation
(B) Empirische Fakten: Messwerte für Hubble-Konstante
Jahr
Wert
Autor
Bemerkung
1927
625
G. Lemaitre
publiziert in wenig bekanntem franz. Journal
1929
500
E. Hubble
δ Cephei-Sterne in relative nahen Galaxien
1958
75
A. Sandage
~1950...
~2000
50 … 100
viele
Viele Studien, verschiedene Methoden,
teils diskrepante Ergebnisse
2005
72 +/- 8
HST
Aus δ Cephei-Sternen mit HST
2007
70.4
WMAP
3 Jahre Beobachtungen CMB
2010
70.4 +/- 1.4
WMAP+
CMB 7-yr-Daten mit WMAP plus andere
2012
74 +/- 2
2012
69.32 +/- 0.80
WMAP
CMB 9-yr-Daten mit WMAP
2013
67.80 +/- 0.77
Planck
CMB 4-yr-Daten mit ESA Planck Surveyor
Starke Kontroverse zu dieser Zeit
Freeman, Madore Aus δ Cephei-Sternen mit HST
5.2.9 Hubble-Relation
(C) Kosmologische Interpretation - Prinzip
Das Universum expandiert.
Die relativen Abstände zwischen den Galaxien ändern sich nicht.
Zeit
5.2.9 Hubble-Relation
(C) Kosmologische Interpretation - Analogie
Aber Vorsicht!
Das Universum hat keinen äußeren Rand und kann nicht in seinen Außenraum
expandieren!
5.2.9 Hubble-Relation
(C) Kosmologische Interpretation in Newtonscher Physik
t1
R (t )
1
t2
Koordinatenentfernung
(mitbewegte Koordinate)
χ
R (t )
2
χ
Entfernung D(t) = χ R(t)
Für χ = 0 (Pekuliargeschwindigkeit
vernachlässigt)
.
.
.
.
R
= D(t) H(t)
R
Def
H(t) = R / R
D(t) = χR(t) = χ R
Mit
.
.
Für zwei Objekte des Abstands r = ΔD erhalten wir r = r H (Fluchtgeschwindigkeit)
.
Wenn Fluchtgeschwindigkeit gleich Doppler-Geschwindigkeit r = cz
cz=rH
beachte: H = H(t)
5.2.9 Hubble-Relation
(D) Bedeutung der Rotverschiebung
•
Doppler-Rotverschiebung:
- Maß der Radialgeschwindigkeit (Doppler-Effekt)
- typische Relativgeschwindigkeiten der Galaxien: einige Hundert km/s
⇒ Doppler-Rotverscheibungen z ≲ 0.001
•
Kosmologische Rotverschiebung:
- Maß der kosmologischen Fluchtgeschwindigkeit
- Für entfernte Galaxien (d > 0.001 c / H0 ≈ 5...10 Mpc), ist z ein Maß
der Entfernung (Hubble-Relation, für z ≲ 0.1), *
... und somit ein Maß für die Rückblickzeit
… und somit für das Alter des Universums zur Zeit t der Emission
... und ein Maß des Skalenfaktors R(t) zur Zeit t der Emission:
1+z = λ obs / λ em = λ (t 0) / λ (t ) = R(t0 ) / R(t) = 1 / R(t) for R(t 0) = 1
oder R = 1 / (1+z)
(*) Beachte dass z auch jenseits der Gültigkeit der Hubble-Relation ein Maß der Entfernung ist. Die
Entfernungs-z-Relation hängt dann aber vom kosmologischen Modell ab und ist komplizierter.
5.2.9 Hubble relation
(C) Bedeutung der Rotverschiebung - Entfernungsindikator
Bedeutendste Methode für entfernte Galaxien
Beachte: z ist auch jenseits der Gültigkeit der Hubble-Relation ein Maß der Entfernung.
Rand
MSS
Virgohaufen
M31
Rand lokaler
Superhaufen
Rand des beobachtbaren Universums
Rotverschiebung z
Supernovae Ia
T-F-Relation
δ Cephei Sterne
10 kpc
1 Mpc
100 Mpc
10 Gpc
Entfernung
5.2.10 Kosmologische Bedeutung des Hubble-Effekts
Hubble-Zeit
R
(1.) falls R = 0 (lineare Expansion)
t = R0 = 1 = t
„Hubble-Zeit“
exp
.R
..
0
H0
1
Gegenwart
..
H
(2.) falls R < 0 (gebremste Expansion)
H0
Historische Daten
texp < t H
tH
Hubble (1929)
500
2 Gyr
Baade (~1950)
250
4 Gyr
Planck (~2014)
0
t
tH
t exp
ta
lin. Expansion (keine Abbremsung)
gebremste Expansion
68 14 Gyr
Prinzip: Das Universum kann nicht jünger sein als seine ältesten Objekte. *
(*) Das Problem hat historisch zum Szenario einer „steady-state cosmology“ geführt
5.2.10 Kosmologische Bedeutung des Hubble-Effekts
Hubble-Entfernung (Radius)
Charakteristische Länge in der Kosmologie
d H = c / H 0 = c tH
= Länge der Strecke, die Licht während der Hubble-Zeit
t H zurücklegen kann *
Mitunter als Maß für die Größe des beobachtbaren
Universums angegeben, das allerdings um einen Faktor
~3 größer ist.
(*) Per Definition ist der numerische Wert des Hubble-Radius in Lichtjahren gleich dem Wert der
Hubble-Zeit in Jahren.
5.2.10 Kosmologische Bedeutung des Hubble-Effekts
Zusammenfassung der qualitativen Diskussion
• Das Universum ist nicht statisch sondern expandiert.
• H 0 ist ein bedeutsamer kosmologischer Parameter, der die
Expansionsrate des Universums beschreibt.
• Die Zeitskala der Hubble-Expansion (Hubble-Zeit) ist etwa
t H = 1 / H 0 ≈ 14 Gyr
• Die kosmische Expansion ändert die relativen Abstände der Galaxien
nicht, sondern den Skalenfaktor R.
• Das heißt, wenn das Universum zu einem Zeitpunkt homogen und
isotrop ist, wird dies durch die Expansion nicht geändert.
• Es gibt keinen ausgezeichneten Bezugspunkt. Jeder Beobachter sieht
den gleichen Effekt. *
(*) Prinzip der menschlichen Bescheidenheit.
5.2.11 Kosmologische Expansion in der ART
(A) Feldgleichung der ART (Einstein 1915)
Raumkrümmung (Metrik) ⟺ Materieverteilung
G ij + Λ g ij = - κ T ij
System von 10 gekoppelten partiellen
Differentialgleichungen
G ij : Einstein-Tensor
T ij : Energie-Impuls-Tensor
κ = 8π G / c 4 Grav.konstante
g ij : Koeffizienten der Metrik
Λ : kosmologische Konstante
(B) Linienelement (LE) und Metrik
LE: Messvorschrift für Abstand zweier Punkte mit gegebenen Koordinatenabständen
ds 2=
4
4
∑ ∑ gij dx (i) dx (j) mit g ij : Elemente des metrischen Tensors
i=1 j=1
z.B. für kartesische Koordiaten im Euklidschen Minkowski-Raum der SRT:
ds 2= dx 2 + dy 2 + dz 2- c 2dt 2
5.2.11 Kosmologische Expansion in der ART
(C) Kosmologisches Prinzip (KP) und FLRW-Metrik
KP: Auf hinreichend großen Skalen ist das Universum homogen und isotrop.
⇒ Raumkrümmung ist überall gleich
Allgemeinste Form der Metrik, die KP erfüllt, in räumlichen Polarkoordinaten r,θ,φ:
dr 2
2
2
R: Skalenfaktor
ds = R (t) [ 1- k r 2 + r 2 (dθ 2 + sin2 θ dφ 2 )] - c2 dt 2
Krümmungsradius
= Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker (FLRW) Metrik
k: Krümmungssinn
k=
+1
0
-1
2-dim. Analogon
Kugeloberfläche
< 4π r 2
= 4π r 2
> 4π r 2
Licht einer entfernten Quelle verteilt sich über eine Oberfläche
kleiner als k=0
größer als k=0
entfernte Quelle erscheint heller als k=0
schwächer als k=0
5.2.11 Kosmologische Expansion in der ART
(D) Friedmann-Gleichungen *
Mit FLRW-Metrik reduzieren sich die Gleichungen der ART auf zwei:
.
..
2R
+
R
R 2
=
R
kc2 8πGρ
Λ
+
+
,
2
R
3
3
ρ: density
(1)
R 2
=
R
kc2 8πGP
- 2+Λ,
R
c2
P: pressure
(2)
.
Übliche Abkürzungen:
.
R
= H (Hubble-Parameter)
R
..
R. R
= q (Abbremsungsparameter)
R2
(*) A. Friedmann (1924)
(3)
(4)
5.2.11 Kosmologische Expansion in der ART
(D) Friedmann-Gleichungen
Diskussion von Gl. (1)
Beiträge zu H(t): Raumkrümmung (k), Materiedichte (ρ), kosmolog. Konstante (Λ)
Division von Gl.(2) durch H (Gl. 3):
kc2
8πGρ
Λ
1 = - 2 2+
+
RH
3H 2
3H 2
(5)
=Ω k =Ω m =ΩΛ
= Definition der normierten Dichteparameter für Raumkrümmung, Materie
und kosmologische Konstante, wobei Ω i = ρ i / ρ crit *
⇒
1 = Ω k + Ωm + Ω Λ
(6)
Mit den Dichteparametern lassen sich Friedmann-Gleichungen so schreiben:
. 2
R = H2(t) = H2 [ R-4 Ω + R-3 Ω + R -2(1 – Ω – Ω ) + Ω ] ** (7)
r
m
m
Λ
Λ
0
R
(wobei r für Strahlung steht)
( )
(*) ρi is the energy density in the component i, ρcrit is the total energy density for the model with k=0, Λ=0
(**) keine analytische Lösung für allgemeinen Fall
5.2.11 Kosmologische Expansion in der ART
(D) Friedmann-Gleichungen
Diskussion von Gl. (2)
..
Mit Gl. (1) ergibt Gl. (2)
R
4πG
3P
1
=−
ρ+
+
Λ
R
3
c2
3
Galaxien-dominiertes Universum (v ≪ c): P ≈ 0
Unter Verwendung von Gln. (3) bis (5):
qH 2 = - 1 Ω mH 2 + Ω Λ H 2
2
1
q = - Ω m+ Ω Λ
2
Außerdem: aus Gl. (6) folgt
c
-k 2 2 = 1 - (Ωm + ΩΛ )
RH
Zusammenhang Dynamik (q) ⟺ Energie (Ω) ⟺ Geometrie (k)
5.2.11 Kosmologische Expansion in der ART
(D) Friedmann-Gleichungen
Lösungen der Friedmann-Gleichungen in
Abhängigkeit von gesamter Enetrgiedichte Ω 0
Ω0
<1
=1
>1
Expansion
stetig expandierend
stetig expandierend
Expansion geht in
Kontraktion über
Raumkrümmung
hyperbolisch
flach
elliptisch
Ω 0 ≡ ρ 0 /ρ cr = Ω m + Ω r + Ω Λ
Ωm =ρ m,0 /ρ cr
Ω r =ρ r,0 /ρ cr
ΩΛ =ρΛ,0 /ρ cr
Materie (druckfrei)
Strahlung
Vakuum
3 Typen von Lösungen
Closed
Flat
Open
5.2.11 Kosmologische Expansion in der ART
(D) Friedmann-Gleichungen
Einstein-deSitter (EdS)-Modell
.
R 2
=
R
Spezialfall: Λ = 0, k = 0
Normierung für Gegenwart t = t 0 :
.
2
R
R
8πGρ
32
(aus Gl. 1)
.
R 2 R0 2
=
R0
R
(9)
mit R0 = R(t 0)
3
8πGρ
8πGρ0 ρ
2
2 R0
=
H = Ωm,0 H 0
3
3H 20 ρ0 0
R
.
3
R 2
2 R0
= Ω m,0H 0
R0
R
Einsetzen in Gl. (9)
Mit a ≡ R / R 0 und Ω m,0 = 1 (Gl. 6)
Lösung:
.
a = H 0 a -1/2
3
a = 2 H0 t
R
2/3
t
5.2.11 Kosmologische Expansion in der ART
(E) Kosmologische Entfernungsmaße
z
dC(z) = *
= dH ∫0 E(z')-1 dz'
Leuchtkraft-Entfernung:
d L(z) = √L/4πS = (1+z) d M(z)
Winkel-Entfernung:
dA(z) = x / θ
= (1+z)-1 d M(z)
●
mitbewegte Entfernung:
●
●
●
Entfernung zu Objekt bei z
Lichtlaufzeit-Entfernung:
dT(z) = ΔtL c
= dH ∫0 (1+z')-1 E(z') -1 dz' **
1/2
dH Ω -1/2
sinh
(Ω
k
k d C(z)/dH)
mit
und
d M(z) =
z
z
-1
für Ω 0 > 1
d H ∫0E(z') dz'
für Ω 0= 1
dH |Ω k|-1/2 sin (|Ω k |1/2 dC (z)/dH)
für Ω 0 < 1
E(z) ≡ H(t)/H 0 =
√(1+z) 3Ω m +(1+z) 2Ωk + ΩΛ
aus Gl. (7) für Ω r =0 (8)
wobei Ωk ≡1–Ω m – ΩΛ und R(t) = 1/(1+z) gesetzt wurden
(*) Entfernung zwischen zwei Beobachtern, die sich mit kosmologischer Expansion mit bewegen
(**) Zeit, die Licht benötigt, um Entfernung zurückzulegen, mal c (z.B. Größe beobachtbares Universums)
5.2.11 Kosmologische Expansion in der ART
(E) Kosmologische Entfernungsmaße
Ω Λ = 0.732
Ω m = 0.266
Ω r = 0.266/3454
Ω0 = 1
Source: Wikipedia
Ω Λ = 0.732
Ω m = 0.266
Ω r = 0.266/3454
Ω0 = 1
Entfernung zu Objekt bei z
Berechnung siehe Ned Wright's CosmoCalculator: www.astro.ucla.edu/~wright/CosmoCalc.html
5.2.11 Kosmologische Expansion in der ART
(1) Nochmal: Konsequenzen des Hubble-Effekts
Gl. (8) für Annahme Λ=0 ⇒ E(z)
Zu erwarten ist:
= √(1+z) 3 Ω m+(1+z) 2 (1- Ω m)
1. Es gab einen Beginn der kosmologischen Expansion (Big Bang)
2. Nach dem Big Bang wird die Expansion durch die gegenseitige
gravitative Anziehung der Galaxien abgebremst.
3. Die Stärke der Abbremsung hängt nur von Ω m ab.
 Bei großem z weicht d-z-Relation von linearer HubbleRelation ab. Die Abweichung hängt nur von Ω m ab.
 Ω m kann aus dem Hubble-Diagramm (d-z-Diagramm)
bei kosmologischen Entfernungen bestimmt werden.
 SN Ia bei hinreichend großen z finden!
5.2.12 Abweichungen von Hubble-Relation bei größerem z
Rekollabierendes Kritisches
Universum
Universum
Stetig
expandierendes
Universum
Leeres
Universum
Vergangenheit
Zukunft
(B) Erwartung
Gravitative
Abbremsung
überwiegt
Expansion
Grenzfall:
Gravitative Abbbremsung gleicht
Expansion aus
Gravitative
Abbremsung
unterliegt
Expansion
Ω m>1
Grenzfall:
Überhaupt keine
gravitative
Abbremsung
Ω m =1
Ω m <1
Ω m=0
5.2.12 Abweichungen von Hubble-Relation bei größerem z
Beschleunigtes
Universum
Beobachtung
1
SN IaDaten
0
Vergangenheit
Gegenwart
Skalenfaktor R (t)
= Mittlere Entfernung zwischen Galaxien
(basierend auf Rotverschiebung z)
Rekollabierendes Kritisches Ewig expandierendes
Leeres
Universum
Universum
Universum
Universum
Zukunft
Rückblickzeit der SN Ia (basierend auf scheinbaren Helligkeiten m)
5.2.12 Abweichungen von Hubble-Relation bei größerem z
(C ) Beobachtungen kosmologischer SNe Ia
Aktueller SNIa-Datensatz
(Betoule et al. 2014, A&A 568,22)
Beste Anpassung:
- beschleunigte Expansion bei z klein
- gebremste Expansion bei z größer
= Modell ΩΛ = 0.73, Ω m = 0.27
(magenta)
Alternative Modelle:
- magenta gestrichelt: ΩΛ + Ωm >1
- blau gestrichelt: kosmologische
Entwicklung der SN-Population
zugelassen
Quelle: http://www.astro.ucla.edu/~wright/sne_cosmology.html; last modified: 01 Apr 2015
5.2.12 Abweichungen von Hubble-Relation bei größerem z
(C ) Beobachtungen kosmologischer SNe Ia
Δ(m-M) = Differenz zwischen
beobachtetem Entfernungsmodul
und erwarteten für Grenzfall des
leeren Universums (grün), gemittelt
in z-Intervallen
Bei z ≲ 1 sind SNe schwächer als
erwartet (ohne Beschleunigung)
Bei z ≳ 1 kehrt sich Trend um.
Damit kann ausgeschlossen werden,
dass Extinktion durch intergalaktischen Staub die Ursache für den
Trend bei z ≲ 1 ist.
Quelle: http://www.astro.ucla.edu/~wright/sne_cosmology.html; last modified: 01 Apr 2015
5.2.12 Abweichungen von Hubble-Relation bei größerem z
Kritisches
Universum
Leeres
Universum
Beschleunigtes
Universum
Gravitative
Abbremsung
überwiegt
Expansion
Grenzfall:
Gravitative Abbbremsung gleicht
Expansion aus
Gravitative Abbremsung Ω m
plus Beschleunigung ΩΛ >0
Ω m>1
Grenzfall:
Überhaupt keine
gravitative
Abbremsung
Ω m =1
Ω m=0
Vergangenheit
Zukunft
Rekollabierendes
Universum
5.2.12 Abweichungen von Hubble-Relation bei größerem z
(D) Zusammenfassung der Ergebnisse aus kosmologischen SNe Ia
(a) Ergebnisse und Schlussfolgerungen
• SN Ia bei z ≈ 0...1 haben schwächere scheinbare Helligkeiten als erwartet.
Ergebnisse nicht in Modellen erklärbar, in denen Expansion lediglich
abgeschwächt wird (gravitative Anziehung), nicht einmal im Grenzfall ohne
jegliche Abbremsung (Ωm = 0) ...
●
●
… sondern verlangen, dass Expansion ab t (z ≈1) beschleunigt wurde
 „Dunkle Energie“ mit Dichte Ω Λ als Ursache der Beschleunigung
 gesamte Energiedichte im galaxiendominierten Universum
(Strahlung vernachlässigbar): Ω 0 = Ωm+ Ω Λ + Ω k
 beste Anpassung der SNIa-Daten für Ω Λ ≈ 0.7, Ωm≈ 0.3, Ω 0 ≈ 1 d.h. Ω k ≈ 0
(*) z = 1 entspricht Lichtlaufzeit 6 Gyr.
5.2.12 Abweichungen von Hubble-Relation bei größerem z
(D) Zusammenfassung der Ergebnisse aus kosmologischen SNe Ia
(b) Unklarheiten und Unsicherheiten
➢
Ockham'sches Rasiermesser: Einfachste Erklärung scheint Dunkle Energie.
Aber was ist das???
Wir können prinzipiell nicht entscheiden, ob beschleunigte Expansion gesamtes
Universum erfasst oder nur lokalen Bereich (z ≲ 1). *
 Befinden wir uns in einer Blase lokaler Unterdichte?
 Ist Universum auf großen Skalen nicht so homogen wie angenommen?
➢
Interpretieren wir die kosmische Dynamik mit der richtigen Theorie?
Gravitationstheorie (ART) hat viele Tests in kleinskaligen Labors (Sonnensystem,
Doppelsterne) hervorragend bestanden. Aber gilt sie auch auf kosmischen Skalen?
➢
Unsicherheiten bzgl. Natur der SN Ia (Aber beachte: Doppel-WZ-Szenario
anstatt Singel-WZ erklärt leuchtstärkere SN Ia, nicht schwächere!)
➢
(*) Licht von entfernteren Objekten wurde zu Zeit emittiert, als beschleunigte Expansion noch nicht
wirksam war.