Der Pfadintegralformalismus - Humboldt
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Der Pfadintegralformalismus
Ein alternativer Ansatz in der nichtrelativistischen Quantenmechanik
Thomas Kintscher
Institut für Physik
Humboldt-Universität zu Berlin
20. Januar 2010
T. Kintscher (HU Berlin)
Pfadintegralformalismus
20. Januar 2010
1 / 16
Outline
1
Ziel der Methode
2
Pfadintegral
Feynmans Überlegungen
Vorgehensweise
Interpretation der Summe
3
Beispiel: Das freie Teilchen
4
Zusammenfassung
5
Literatur
T. Kintscher (HU Berlin)
Pfadintegralformalismus
20. Januar 2010
2 / 16
Ziel der Methode
Finden des Propagators
• Suchen Zeitentwicklung eines Systems Ψ(t0 ) → Ψ(t)
T. Kintscher (HU Berlin)
Pfadintegralformalismus
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Ziel der Methode
Finden des Propagators
• Suchen Zeitentwicklung eines Systems Ψ(t0 ) → Ψ(t)
• gegeben durch Propagator U
|Ψit = U(t, t0 ) |Ψit0
T. Kintscher (HU Berlin)
Pfadintegralformalismus
20. Januar 2010
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Ziel der Methode
Finden des Propagators
• Suchen Zeitentwicklung eines Systems Ψ(t0 ) → Ψ(t)
• gegeben durch Propagator U
|Ψit = U(t, t0 ) |Ψit0
• z. B. in der Ortsbasis
hx|Ψit = hx |U(t, t0 )| Ψit0
Z
=
x |U(t, t0 )| x 0 x 0 |Ψ t dx 0
0
T. Kintscher (HU Berlin)
Pfadintegralformalismus
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Ziel der Methode
Finden des Propagators
• Suchen Zeitentwicklung eines Systems Ψ(t0 ) → Ψ(t)
• gegeben durch Propagator U
|Ψit = U(t, t0 ) |Ψit0
• z. B. in der Ortsbasis
hx|Ψit = hx |U(t, t0 )| Ψit0
Z
=
x |U(t, t0 )| x 0 x 0 |Ψ t dx 0
0
• hx|Ψit =
| {z }
Ψx,t
x |U(t, t0 )| x 0 x 0 |Ψ t dx 0
|
{z
} | {z }0
R
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G (x,t,x 0 ,t0 )
Ψ(x 0 ,t0 )
Pfadintegralformalismus
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Ziel der Methode
Finden des Propagators
• Übergangsamplitude G (x, t, x 0 , t0 ) ist Greensche Funktion zur
zeitabhängigen SG
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Pfadintegralformalismus
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Ziel der Methode
Finden des Propagators
• Übergangsamplitude G (x, t, x 0 , t0 ) ist Greensche Funktion zur
zeitabhängigen SG
• Übergangsamplitude: G = hx |U(t, t0 )| x 0 i
T. Kintscher (HU Berlin)
Pfadintegralformalismus
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Ziel der Methode
Finden des Propagators
• Übergangsamplitude G (x, t, x 0 , t0 ) ist Greensche Funktion zur
zeitabhängigen SG
• Übergangsamplitude: G = hx |U(t, t0 )| x 0 i
• |G |2 ist Übergangswahrscheinlichkeit für Ψ(x 0 , t0 ) → Ψ(x, t)
T. Kintscher (HU Berlin)
Pfadintegralformalismus
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Ziel der Methode
Propagator für das freie Teilchen (ohne Pfadintegral)
T. Kintscher (HU Berlin)
Pfadintegralformalismus
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Ziel der Methode
Propagator für das freie Teilchen (ohne Pfadintegral)
2
i
i p
P̂ 2
• H = 2m
ist zeitunabhängig; U(t, 0) = e − ~ H t = e − ~ 2m t
T. Kintscher (HU Berlin)
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Ziel der Methode
Propagator für das freie Teilchen (ohne Pfadintegral)
2
i
i p
P̂ 2
• H = 2m
ist zeitunabhängig; U(t, 0) = e − ~ H t = e − ~ 2m t
• füge VONS ein:
Z
U(t, 0) =
T. Kintscher (HU Berlin)
ip 2
|pi hp| e − 2m~ t dp
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Ziel der Methode
Propagator für das freie Teilchen (ohne Pfadintegral)
2
i
i p
P̂ 2
• H = 2m
ist zeitunabhängig; U(t, 0) = e − ~ H t = e − ~ 2m t
• füge VONS ein:
Z
U(t, 0) =
ip 2
|pi hp| e − 2m~ t dp
• berechne G (x, t, x 0 , 0)
x |U(t, 0)| x 0 =
T. Kintscher (HU Berlin)
Z
ip 2
hx|pi p|x 0 e − 2m~ t dp
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Ziel der Methode
Propagator für das freie Teilchen (ohne Pfadintegral)
2
i
i p
P̂ 2
• H = 2m
ist zeitunabhängig; U(t, 0) = e − ~ H t = e − ~ 2m t
• füge VONS ein:
Z
U(t, 0) =
ip 2
|pi hp| e − 2m~ t dp
• berechne G (x, t, x 0 , 0)
x |U(t, 0)| x 0 =
Z
ip 2
hx|pi p|x 0 e − 2m~ t dp
i
• wobei hx|pi = √ 1 e ~ px
2π~
x |U(t, 0)| x
T. Kintscher (HU Berlin)
0
1
=
2π~
Z
∞
i
0
ip 2
e ~ p(x−x ) e − 2m~ t dp
−∞
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Ziel der Methode
Propagator für das freie Teilchen (ohne Pfadintegral)
2
i
i p
P̂ 2
• H = 2m
ist zeitunabhängig; U(t, 0) = e − ~ H t = e − ~ 2m t
• füge VONS ein:
Z
ip 2
|pi hp| e − 2m~ t dp
U(t, 0) =
• berechne G (x, t, x 0 , 0)
x |U(t, 0)| x 0 =
Z
ip 2
hx|pi p|x 0 e − 2m~ t dp
i
• wobei hx|pi = √ 1 e ~ px
2π~
x |U(t, 0)| x
0
1
=
2π~
Z
∞
i
0
ip 2
e ~ p(x−x ) e − 2m~ t dp
−∞
• ergibt
x |U(t, 0)| x
T. Kintscher (HU Berlin)
0
r
=
m
im (x − x 0 )2
exp
2πi~t
2~
t
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Weg zum Pfadintegral
Feynmans Überlegungen
• Übergangsamplitude: G = hxN | U(tN , t0 ) |x0 i
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Weg zum Pfadintegral
Feynmans Überlegungen
• Übergangsamplitude: G = hxN | U(tN , t0 ) |x0 i
• zerlege U:
G = hxN | U(tN , t1 ) U(t1 , t0 ) |x0 i
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Weg zum Pfadintegral
Feynmans Überlegungen
• Übergangsamplitude: G = hxN | U(tN , t0 ) |x0 i
• zerlege U:
G = hxN | U(tN , t1 ) U(t1 , t0 ) |x0 i
• füge VONS
R
|x1 i hx1 | dx1 = 1 ein:
Z
G = hxN | U(tN , t1 ) |x1 i hx1 | U(t1 , t0 ) |x0 i dx1
T. Kintscher (HU Berlin)
Pfadintegralformalismus
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Weg zum Pfadintegral
Feynmans Überlegungen
• Übergangsamplitude: G = hxN | U(tN , t0 ) |x0 i
• zerlege U:
G = hxN | U(tN , t1 ) U(t1 , t0 ) |x0 i
• füge VONS
R
|x1 i hx1 | dx1 = 1 ein:
Z
G = hxN | U(tN , t1 ) |x1 i hx1 | U(t1 , t0 ) |x0 i dx1
N −t0
• zerlege das Intervall [t0 , tN ] in N Intervalle (äquidistant: ∆t = tN−1
):
Z
G=
Z
dxN
Z
dxN−1 . . .
dx1 ×
× hxN |U(tN , tN−1 )| xN−1 i ×
× hxN−1 |U(tN−1 , tN−2 )| xN−2 i ×
· · · × hx1 |U(t1 , t0 )| x0 i
T. Kintscher (HU Berlin)
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Weg zum Pfadintegral
Feynmans Überlegungen
• Übergangsamplitude: G = hxN | U(tN , t0 ) |x0 i
• zerlege U:
G = hxN | U(tN , t1 ) U(t1 , t0 ) |x0 i
• füge VONS
R
|x1 i hx1 | dx1 = 1 ein:
Z
G = hxN | U(tN , t1 ) |x1 i hx1 | U(t1 , t0 ) |x0 i dx1
N −t0
• zerlege das Intervall [t0 , tN ] in N Intervalle (äquidistant: ∆t = tN−1
):
Z
G=
Z
dxN
Z
dxN−1 . . .
dx1 ×
× hxN |U(tN , tN−1 )| xN−1 i ×
× hxN−1 |U(tN−1 , tN−2 )| xN−2 i ×
· · · × hx1 |U(t1 , t0 )| x0 i
• Skizze: → Tafel
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Pfadintegralformalismus
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Pfadintegral
Feynmans Überlegungen
• Integration über alle möglichen Zwischenpunkte jedes Zeitsegments
bei fixierten Endpunkten
T. Kintscher (HU Berlin)
Pfadintegralformalismus
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Pfadintegral
Feynmans Überlegungen
• Integration über alle möglichen Zwischenpunkte jedes Zeitsegments
bei fixierten Endpunkten
• und Berechnung der jeweiligen Übergangsamplitude
T. Kintscher (HU Berlin)
Pfadintegralformalismus
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Pfadintegral
Feynmans Überlegungen
• Integration über alle möglichen Zwischenpunkte jedes Zeitsegments
bei fixierten Endpunkten
• und Berechnung der jeweiligen Übergangsamplitude
• betrachte einzelnes Element
D i
E D i E
~ (tn −tn−1 )H hxn |U(tn , tn−1 )| xn−1 i = xn e
xn−1 = xn e ~ H xn−1
T. Kintscher (HU Berlin)
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7 / 16
Pfadintegral
Feynmans Überlegungen
• Integration über alle möglichen Zwischenpunkte jedes Zeitsegments
bei fixierten Endpunkten
• und Berechnung der jeweiligen Übergangsamplitude
• betrachte einzelnes Element
D i
E D i E
~ (tn −tn−1 )H hxn |U(tn , tn−1 )| xn−1 i = xn e
xn−1 = xn e ~ H xn−1
• füge VONS ein
D
i E Z dp D i E
~ H
n
xn e
xn e ~ H pn hpn |xn−1 i
xn−1 =
2π~
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Pfadintegral
Feynmans Überlegungen
• Integration über alle möglichen Zwischenpunkte jedes Zeitsegments
bei fixierten Endpunkten
• und Berechnung der jeweiligen Übergangsamplitude
• betrachte einzelnes Element
D i
E D i E
~ (tn −tn−1 )H hxn |U(tn , tn−1 )| xn−1 i = xn e
xn−1 = xn e ~ H xn−1
• füge VONS ein
D
i E Z dp D i E
~ H
n
xn e
xn e ~ H pn hpn |xn−1 i
xn−1 =
2π~
• fasse zusammen
Z
=
i
dpn
hxn |pn i hpn |xn−1 i e ~ H(xn ,pn ) =
2π~
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Z
dpn i (pn (xn −xn−1 )−H(pn ,xn ))
e~
2π~
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Pfadintegral
Feynmans Überlegungen
• Hamiltonfunktion einsetzen
D
i E Z dp i
2
xn −xn−1
pn
n
xn e ~ H xn−1 =
e ~ (pn − 2m −V (xn ))
2π~
T. Kintscher (HU Berlin)
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Pfadintegral
Feynmans Überlegungen
• Hamiltonfunktion einsetzen
D
i E Z dp i
2
xn −xn−1
pn
n
xn e ~ H xn−1 =
e ~ (pn − 2m −V (xn ))
2π~
• integrieren
r
=
T. Kintscher (HU Berlin)
m
exp
2πi~
i
~
mxn2
− V (xn )
2
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Pfadintegral
Feynmans Überlegungen
• Hamiltonfunktion einsetzen
D
i E Z dp i
2
xn −xn−1
pn
n
xn e ~ H xn−1 =
e ~ (pn − 2m −V (xn ))
2π~
• integrieren
2
m
i
mxn
exp
− V (xn )
2πi~
~
2
• in die Integration über alle xn einsetzen:
( N−1 )
Z N−1
m N−1
Y
i X mxn2
2
exp
− V (xn )
K=
dxn
2πi~
~
2
r
=
n=1
n=1
T. Kintscher (HU Berlin)
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8 / 16
Pfadintegral
Feynmans Überlegungen
• Hamiltonfunktion einsetzen
D
i E Z dp i
2
xn −xn−1
pn
n
xn e ~ H xn−1 =
e ~ (pn − 2m −V (xn ))
2π~
• integrieren
2
m
i
mxn
exp
− V (xn )
2πi~
~
2
• in die Integration über alle xn einsetzen:
( N−1 )
Z N−1
m N−1
Y
i X mxn2
2
exp
− V (xn )
K=
dxn
2πi~
~
2
r
=
n=1
n=1
• Grenzwert N → ∞ und → 0 bilden
Z
K =A·
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D(x) exp
Z tN
i
L(x, ẋ)dt
~ t0
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Pfadintegral
Vorgehensweise
Pfadintegral
G (x, tN , x0 , t0 ) = A ·
1
R
i
D(x) e ~ S(x,ẋ)
alle Wege betrachten, die (xN , tN ) und (x0 , t0 ) verbinden
T. Kintscher (HU Berlin)
Pfadintegralformalismus
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Pfadintegral
Vorgehensweise
Pfadintegral
G (x, tN , x0 , t0 ) = A ·
R
i
D(x) e ~ S(x,ẋ)
1
alle Wege betrachten, die (xN , tN ) und (x0 , t0 ) verbinden
2
Wirkung S für jeden Weg berechnen
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Pfadintegralformalismus
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Pfadintegral
Vorgehensweise
Pfadintegral
G (x, tN , x0 , t0 ) = A ·
R
i
D(x) e ~ S(x,ẋ)
1
alle Wege betrachten, die (xN , tN ) und (x0 , t0 ) verbinden
2
Wirkung S für jeden Weg berechnen
3
D(x) entspricht Integration über jeden möglichen Weg
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Pfadintegralformalismus
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Pfadintegral
Interpretation
Pfadintegral
G (x, tN , x0 , t0 ) = A ·
R
i
D(x) e ~ S(x,ẋ)
• jeder Pfad wird kohärent addiert
• Was passiert bei ~ → 0?
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Pfadintegralformalismus
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Pfadintegral
Interpretation
Pfadintegral
G (x, tN , x0 , t0 ) = A ·
R
i
D(x) e ~ S(x,ẋ)
• jeder Pfad wird kohärent addiert
• Was passiert bei ~ → 0?
• Beitrag jedes Weges hat eigene Phase
• Auslöschung bei Abweichung vom klassischen Weg (der mit δS = 0)
• konstruktive Interferenz nahe dem klassischen Weg
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Pfadintegralformalismus
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Pfadintegral
Interpretation
Pfadintegral
G (x, tN , x0 , t0 ) = A ·
R
i
D(x) e ~ S(x,ẋ)
• jeder Pfad wird kohärent addiert
• Was passiert bei ~ → 0?
• Beitrag jedes Weges hat eigene Phase
• Auslöschung bei Abweichung vom klassischen Weg (der mit δS = 0)
• konstruktive Interferenz nahe dem klassischen Weg
• Interferenz geht verloren, wenn S − Sklass. > ~π
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Pfadintegralformalismus
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Pfadintegral
Interpretation
Interferenzbedingung
Kohärenz erhalten, solange ∆S ≡ S − Sklass. ≤ ~π
• Beispiel: (0, 0) → (1 cm, 1 s)
• 2 Wege: x1 (t) = t und x2 (t) = c · t 2
• Körper mit Masse 1g ( makroskopisch“):
”
T. Kintscher (HU Berlin)
Pfadintegralformalismus
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Pfadintegral
Interpretation
Interferenzbedingung
Kohärenz erhalten, solange ∆S ≡ S − Sklass. ≤ ~π
• Beispiel: (0, 0) → (1 cm, 1 s)
• 2 Wege: x1 (t) = t und x2 (t) = c · t 2
• Körper mit Masse 1g ( makroskopisch“):
”
• ∆S = 1,6 × 1026 ~
• ∆phase = 1,6 × 1026 rad
• ⇒ sehr enge Wegbeschränkung
T. Kintscher (HU Berlin)
Pfadintegralformalismus
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11 / 16
Pfadintegral
Interpretation
Interferenzbedingung
Kohärenz erhalten, solange ∆S ≡ S − Sklass. ≤ ~π
• Beispiel: (0, 0) → (1 cm, 1 s)
• 2 Wege: x1 (t) = t und x2 (t) = c · t 2
• Körper mit Masse 1g ( makroskopisch“):
”
• ∆S = 1,6 × 1026 ~
• ∆phase = 1,6 × 1026 rad
• ⇒ sehr enge Wegbeschränkung
• Körper mit Masse 10−27 g (z.B. Elektron):
T. Kintscher (HU Berlin)
Pfadintegralformalismus
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11 / 16
Pfadintegral
Interpretation
Interferenzbedingung
Kohärenz erhalten, solange ∆S ≡ S − Sklass. ≤ ~π
• Beispiel: (0, 0) → (1 cm, 1 s)
• 2 Wege: x1 (t) = t und x2 (t) = c · t 2
• Körper mit Masse 1g ( makroskopisch“):
”
• ∆S = 1,6 × 1026 ~
• ∆phase = 1,6 × 1026 rad
• ⇒ sehr enge Wegbeschränkung
• Körper mit Masse 10−27 g (z.B. Elektron):
• ∆S = 16 ~
• ∆phase = 61 rad
• ⇒ ∆S
~ <π
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Pfadintegralformalismus
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Beispiel
Das freie Teilchen
• Suche Propagator U für freies Teilchen
• Erinnerung:
r
U(t) =
T. Kintscher (HU Berlin)
m
1m
exp i/~
(x − x 0 )2
2πi~t
t 2
Pfadintegralformalismus
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Beispiel
Das freie Teilchen
• Suche Propagator U für freies Teilchen
• Erinnerung:
r
U(t) =
m
1m
exp i/~
(x − x 0 )2
2πi~t
t 2
• Lagrange-Funktion:
L=
T. Kintscher (HU Berlin)
m 2
ẋ
2
Pfadintegralformalismus
20. Januar 2010
12 / 16
Beispiel
Das freie Teilchen
• Suche Propagator U für freies Teilchen
• Erinnerung:
r
U(t) =
m
1m
exp i/~
(x − x 0 )2
2πi~t
t 2
• Lagrange-Funktion:
L=
m 2
ẋ
2
• Pfadintegral:
K = N · lim
→0
T. Kintscher (HU Berlin)
Z N−1
Y
n=1
(
dxn exp
N−1
im X
(xn − xn−1 )2
2~
Pfadintegralformalismus
)
n=1
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12 / 16
Beispiel
Das freie Teilchen
• Pfadintegral:
G = A · lim
→0
T. Kintscher (HU Berlin)
Z N−1
Y
n=1
(
dxn exp
N−1
im X
(xn − xn−1 )2
2~
Pfadintegralformalismus
)
n=1
20. Januar 2010
13 / 16
Beispiel
Das freie Teilchen
• Pfadintegral:
G = A · lim
→0
Z N−1
Y
(
dxn exp
n=1
N−1
im X
(xn − xn−1 )2
2~
)
n=1
• Gaußintegrale:
Z
T. Kintscher (HU Berlin)
2
2
ab
2
e a(x2 −x1 ) e b(x1 −x0 ) dx1 ∼ e a+b (x2 −x0 )
Pfadintegralformalismus
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Beispiel
Das freie Teilchen
• Pfadintegral:
G = A · lim
→0
Z N−1
Y
(
dxn exp
n=1
N−1
im X
(xn − xn−1 )2
2~
)
n=1
• Gaußintegrale:
Z
2
ab
2
2
e a(x2 −x1 ) e b(x1 −x0 ) dx1 ∼ e a+b (x2 −x0 )
• ⇒ Propagator:
im (xn − x0 )2
G (xn , tn , x0 , t0 ) = A · lim · exp
→0
2~ (N + 1)
im (xn − x0 )2
= A · exp
2~ tn − t0
T. Kintscher (HU Berlin)
Pfadintegralformalismus
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13 / 16
Beispiel
Das freie Teilchen
• G (xn , tn , x0 , t0 ) = A · exp
n
im (xn −x0 )2
2~ tn −t0
o
• nutze: U → δ(x − x0 ) für t − t0 → 0
T. Kintscher (HU Berlin)
Pfadintegralformalismus
20. Januar 2010
14 / 16
Beispiel
Das freie Teilchen
• G (xn , tn , x0 , t0 ) = A · exp
n
im (xn −x0 )2
2~ tn −t0
o
• nutze: U → δ(x − x0 ) für t − t0 → 0
i
h
2
0)
• δ(x − x0 ) = lim √ 1 2 exp − (x−x
∆2
π∆
∆→0
T. Kintscher (HU Berlin)
Pfadintegralformalismus
20. Januar 2010
14 / 16
Beispiel
Das freie Teilchen
• G (xn , tn , x0 , t0 ) = A · exp
n
im (xn −x0 )2
2~ tn −t0
o
• nutze: U → δ(x − x0 ) für t − t0 → 0
i
h
2
0)
• δ(x − x0 ) = lim √ 1 2 exp − (x−x
∆2
q ∆→0 π∆
m
• ⇒A=
2πi~(t−t0 )
T. Kintscher (HU Berlin)
Pfadintegralformalismus
20. Januar 2010
14 / 16
Beispiel
Das freie Teilchen
• G (xn , tn , x0 , t0 ) = A · exp
n
im (xn −x0 )2
2~ tn −t0
o
• nutze: U → δ(x − x0 ) für t − t0 → 0
i
h
2
0)
• δ(x − x0 ) = lim √ 1 2 exp − (x−x
∆2
q ∆→0 π∆
m
• ⇒A=
2πi~(t−t0 )
• Ergibt für t0 = 0:
r
G (xn , tn , x0 , t0 ) =
T. Kintscher (HU Berlin)
m
im (xn − x0 )2
exp
2πi~t
2~
t
Pfadintegralformalismus
20. Januar 2010
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Pfadintegralformalismus
Zusammenfassung
• Berechne den Propagator G (x, t, x0 , t0 ) wie folgt:
Z
G (xN , tN , x0 , t0 ) = A ·
T. Kintscher (HU Berlin)
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i
D(x) e ~ S(x,ẋ)
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Zusammenfassung
• Berechne den Propagator G (x, t, x0 , t0 ) wie folgt:
Z
G (xN , tN , x0 , t0 ) = A ·
i
D(x) e ~ S(x,ẋ)
• ergibt im klassischen Grenzfall für makroskopische Teilchen die
klassische Trajektorie
• alternatives Verständnis der QM
• eher akademischer Wert in QM
• QM damit auch aus Hamiltonprinzip herleitbar (ohne SG)
• meistens kompliziert zu lösen
• QFT: Quantisierung von Feldern
• Gibt es weitere Ansätze der Beschreibung, die das gleiche Problem
lösen?
T. Kintscher (HU Berlin)
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Pfadintegral
Literatur
• R. Shankar: Principles of Quantum Mechanics (Plenum Press, 1980)
• J. J. Sakurai: Modern Quantum Mechanics (Addison Wesley, 1994)
• Gerhard Soff: Skript zur Quantenfeldtheorie (TU Dresden, 2001)
• R. P. Feynman: Space-Time Approach to Non-Relativistic Quantum
Mechanics (Reviews of Modern Physics, 1948)
• H. Kleinert: Pfadintegrale in Quantenmechanik, Statistik und
Polymerphysik (Spektrum, 1993)
• L. S. Schulman: Techniques and Applications of Path Integration
(Wiley, 1996)
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