Erinnerung

Erinnerung - Graphen
Bei Modellierungsaufgaben geht es oft darum,
Objekte sowie Beziehungen zwischen je zwei Objekten
zu beschreiben: Graphen sind dafür maßgeschneidert.
Ein Graph besteht aus
„Knoten“ (repräsentieren Objekte) und
„Kanten“ (repräsentieren Beziehungen zwischen je zwei Objekten).
20. März 2017
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Was ist ein ungerichteter Graph G = (V , E)?
Ein ungerichteter Graph G = (V , E) besteht aus der Knotenmenge V und
der Kantenmenge E mit
E ⊆
{i, j} : i ∈ V , j ∈ V , i 6= j .
Die Elemente aus V heißen Knoten von G, die Elemente aus E heißen
(ungerichtete) Kanten von G:
Kanten sind also 2-elementige Teilmengen von V .
Es gibt zwischen zwei Knoten i und j aus V
höchstens eine Kante {i, j}, die grafisch dargestellt wird durch
i
j
keine Kante, falls i = j ist. Nicht erlaubt sind somit „Schleifen“.
i
20. März 2017
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Ungerichtete Graphen: Wichtige Begriffe
Sei G = (V , E) ein ungerichteter Graph.
Ein Knoten v ∈ V heißt inzident mit einer Kante e ∈ E, falls e v enhält.
Die beiden mit einer Kante e ∈ E inzidenten Knoten nennen wir die
Endknoten von e, und sagen, dass e diese beiden Knoten verbindet.
I
Diese zwei Knoten heißen benachbart (bzw. adjazent).
Der Grad von v in G (kurz: GradG (v )), ist die Anzahl der Kanten, die v
als Endknoten haben, d.h.
GradG (v ) = |{{e ∈ E : v ∈ e}|.
Der Grad von G (kurz: Grad(G)) ist der maximale Grad eines Knotens
von G.
20. März 2017
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Autobahnverbindungen
WI
F
MZ
DA
WÜ
KL
DA
F
KL
MA
MZ
WI
WÜ
=
b
=
b
=
b
=
b
=
b
=
b
=
b
Darmstadt
Frankfurt
Kaiserslautern
Mannheim
Mainz
Wiesbaden
Würzburg
MA
G = (V , E) ist ein ungerichteter Graph mit
V
:= MZ, WI, MA, DA, KL, F, WÜ und
E := {MZ, WI}, {WI, F}, {F, DA}, {F, WÜ}, {MZ, DA},
{MZ, KL}, {KL, MA}, {DA, MA} .
20. März 2017
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Was ist ein gerichteter Graph G = (V , E)?
Ein gerichteter Graph G = (V , E) besteht aus der Knotenmenge V und der
Kantenmenge E mit
E ⊆ (i, j) : i ∈ V , j ∈ V .
Die Elemente aus V heißen Knoten, die Elemente aus E heißen (gerichtete)
Kanten von G.
Kanten sind also geordnete Paare von Knoten, d.h. Elemente von V × V .
In der grafischen Darstellung eines Graphen stellen wir die Kante (i, j)
als Pfeil von Knoten i nach Knoten j dar, also
i
j
Beachte, dass wir „Schleifen“ (i, i) diesmal zulassen.
20. März 2017
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Gerichtete Graphen: Wichtige Begriffe
Sei G = (V , E) ein gerichteter Graph.
Ist e = (i, j) ∈ E, so ist i der Ausgangsknoten von e und
j der Endknoten von e, und wir sagen, dass i und j benachbart sind.
I
I
i heißt ein direkter Vorgänger von j und
j ein direkter Nachfolger von i.
Eine Kante der Form (i, i) wird Schleife genannt. D.h.: Eine Schleife ist
eine Kante, deren Ausgangs- und Endknoten identisch ist.
Ein Knoten v ∈ V heißt inzident mit einer Kante e ∈ E, falls v der
Ausgangs- oder der Endknoten von e ist.
Der Ausgangsgrad von v in G (kurz: Aus-GradG (v )) ist die Anzahl der
Kanten mit v als Ausgangsknoten. D.h.:
Aus-GradG (v ) = |{e ∈ E : es ex. v 0 ∈ V s.d. e = (v , v 0 )}|.
Der Eingangsgrad von v in G (kurz Ein-GradG (v )) ist die Anzahl der
Kanten mit v als Eingangsknoten. D.h.:
Ein-GradG (v ) = |{e ∈ E : es ex. v 0 ∈ V s.d. e = (v 0 , v )}|.
20. März 2017
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Gerichtete Graphen: ein erstes Beispiel
Der gerichtete Graph G = (V , E) mit
a
b
c
wird repräsentiert durch
V
E
:= {a, b, c} und
:= (a, b), (b, b), (b, c), (c, a), (a, c) .
20. März 2017
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Wege und Kreise
Für den Graphen
a
b
d
c
e
gilt:
(e, d, b, c, d) ist ein Weg der Länge 4, aber kein einfacher Weg.
(Einfache Wege enthalten Knoten nur ein Mal.)
(d, b, c, d) ist ein einfacher Kreis.
(e, d, a, b) ist ein einfacher Weg.
(b, d, a) ist kein Weg.
(a, b, c, d, b, c, d, a) ist ein Kreis, aber kein einfacher Kreis.
20. März 2017
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Zusammenhang
zusammenhängend: ungerichtete Graphen
stark zusammenhängend: gerichtete Graphen
(starke) Zusammenhangskomponente: Alle Knoten, die von jedem
Knoten dieser Menge erreichbar sind und es auch einen Weg zurück gibt.
Existiert im Graphen nur eine (starke) Zusammenhangskomponente, ist der
Graph (stark) zusammenhängend.
20. März 2017
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Planare, bipartite und kreisfreie Graphen
1
Ein Graph heißt vollständig, wenn jeder Knoten mit jedem Knoten durch je eine Kante verbunden ist.
3
2
Planare Graphen sind diejenigen, die man so zeichnen
kann, dass keine Kanten sich kreuzen.
Ein ungerichteter Graph G = (V , E) heißt bipartit,
wenn die Knotenmenge V = V1 ∪V2 so in zwei disjunkte
Teilmengen V1 , V2 zerlegt werden kann, dass alle Kanten genau einen Endpunkt in V1 und einen Endpunkt in
V2 besitzen.
1
4
2
5
3
Ein gerichteter Graph ohne Kreise heißt azyklisch.
Und wenn ein ungerichteter Graph keine einfachen Kreise besitzt? Dann ist er
ein Baum! xD
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Bäume
Ein (ungerichteter) Baum ist ein ungerichteter Graph G = (V , E), der
zusammenhängend ist und keine einfachen Kreise enthält. Es existiert
mindestens ein Knoten mit Grad 1 (ein Blatt).
Diese Graphen sind Bäume:
Diese aber nicht:
Eine Sammlung von Bäumen heißt Wald.
20. März 2017
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Bäume mit Wurzeln
Wir erhalten einen
gewurzelten Baum,
also einen gerichteten Baum mit Wurzel, indem man
1. in einem ungerichteten Baum einen Knoten als „Wurzel“ auswählt und
2. alle Kanten in die Richtung orientiert, die von der Wurzel weg führt.
Ein ungerichteter Baum
und der zugehörige gerichtete
Baum mit Wurzel A
A
A
B
D
C
E
F
B
GA :=
D
C
E
F
20. März 2017
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Blätter, innere Knoten und Kinder
Sei B = (V , E) ein gewurzelter Baum mit Wurzel w.
(a) Blätter und innere Knoten:
I
Knoten mit Aus-Grad 0 heißen Blätter,
I
Knoten, die weder Wurzel noch Blätter sind, heißen innere Knoten.
(b) Sei v ∈ V ein Knoten von B.
I
Die Höhe von v ist die Länge eines längsten Weges von v zu einem Blatt.
Die Höhe von B ist die Höhe der Wurzel w.
I
Die Tiefe von v ist die Länge des Weges von der Wurzel w zu v .
Die Tiefe von B ist die maximale Tiefe eines Blatts.
(c) Für jede Kante (u, v ) ∈ E heißt
I
I
u der Elternknoten von v und
v ein Kind von u.
20. März 2017
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Binärbäume
(a) Ein gewurzelter Baum B = (V , E) heißt Binärbaum, falls für jeden Knoten
v ∈ V gilt: Aus-GradB (v ) 6 2.
(b) B = (V , E) heißt ein voller Binärbaum, falls stets Aus-GradB (v ) = 2 gilt,
wenn v kein Blatt ist.
(c) Ein Binärbaum B = (V , E) heißt vollständiger Binärbaum, falls gilt:
(1) Es ist Aus-Grad(v ) = 2 für jeden Knoten v , der kein Blatt ist.
(2) Alle Blätter von B haben dieselbe Tiefe.
Der folgende Graph B3 ist ein vollständiger Binärbaum der Höhe 3:
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