Einige elementargeometrische Sätze über Dreiecke

Formelsammlung zur Mathematik I / II für Berufliche Fachrichtungen
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Einige elementargeometrische Sätze über Dreiecke
Durch drei nicht auf einer Geraden gelegene (d.h. nicht-kollineare) Punkte A, B, C in der
euklidischen Ebene ein Dreieck  ABC mit Seiten a, b, c und (Innen-)Winkeln , ,  bestimmt.
Skizze:
Dann gelten die folgenden (klassischen) Sätze im Dreieck  ABC (ohne Beweis):
Thema
Winkelsumme im Dreieck
gleichschenklige Dreiecke
Seitenlänge und Winkel
Satz
Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180 bzw.  .
D.h. es gilt:
  
In jedem gleichschenkligen Dreieck  ABC sind die den
gleichlangen Seiten gegenüberliegenden Basiswinkel gleichgroß. Und umgekehrt: Besitzt das Dreieck  ABC zwei
gleichgroße Innenwinkel, dann ist es gleichschenklig. Also:
a  d(B,C)  d(A,C)  b    
Der längeren Seite in einem Dreieck liegt der größere Innenwinkel gegenüber und umgekehrt. D.h. es gilt:
a  d(B, C)  d(A, C)  b


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Seitenhalbierenden
Mittelsenkrechten
Winkelhalbierenden
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Die drei Seitenhalbierenden s a , s b , s c
eines Dreiecks
schneiden sich in einem Punkt, dem Schwerpunkt S des
Dreiecks. Durch S werden die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2 : 1 geteilt.
Die drei Mittelsenkrechten m a , m b , m c
eines Dreiecks
schneiden sich in einem Punkt M , welcher der Mittelpunkt des
Umkreises ku des Dreiecks ist.
Die drei Winkelhalbierenden w  , w  , w 
eines Dreiecks
schneiden sich in einem Punkt W , welcher der Mittelpunkt
des Inkreises ki des Dreiecks ist.
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Höhen
Die drei Höhen h a , h b , h c
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eines Dreiecks schneiden sich in
einem Punkt H . Das Produkt der Längen der durch H entstehenden Höhenabschnitte ist dabei für alle Höhen gleich:
d(A, H)  d(H, HA )  d(B, H)  d(H, HB )  d(C, H)  d(H, HC )
Bemerkungen:
 Im Dreieck  ABC ist der Umkreis ku der (eindeutige) Kreis, der durch die drei Eckpunkte A, B und C verläuft.
 Der Inkreises ki des Dreiecks ist der (eindeutige) Kreis, der die drei Seiten a, b und c
innen berührt. Die Seiten sind also Tangenten an ki .
Grundlegend ist der Begriff der Kongruenz bzw. der Ähnlichkeit von Dreiecken.
Definition:
Zwei Dreiecke  ABC und  A’B’C’ heißen
 kongruent, wenn sie durch eine Kongruenzabbildung - d.h. eine Kombination von Spiegelungen (dazu gehören die Drehungen und die Translationen) © aktueller Stand: 17.04.2012
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 ähnlich, wenn sie durch eine Ähnlichkeitsabbildung - d.h. eine Kombination aus einer
Kongruenzabbildung mit einer Streckung aufeinander abgebildet werden können, so dass sie vollständig zusammenfallen.
Es ergeben sich dann (ohne Beweis) folgende Kongruenz- und Ähnlichkeitssätze:
Kurzform
Kongruenzkriterien
Kongruenz / Ähnlichkeit von Dreiecken
Zwei Dreiecke  ABC und  A’B’C’ sind genau dann kongruent, wenn sie übereinstimmen
SSS
in den Längen aller drei Seiten, d.h. wenn gilt
a  a’ , b  b’ und c  c’ .
SWS
in den Längen zweier Seiten und dem eingeschlossenen Winkel, d.h. wenn z.B. gilt
b  b’ , c  c’ und   ’ .
SsW
in den Längen zweier Seiten und dem der längeren Seite gegenüber liegenden Winkel, d.h. wenn z.B. gilt
a  a’ , b  b’ und   ’ mit a > b .
WSW
bzw.
WWS
in zwei Innenwinkeln und der Länge einer Seite, d.h. wenn z.B.
gilt
Ähnlichkeitskriterien
Zwei Dreiecke  ABC und  A’B’C’ sind genau dann ähnlich,
wenn sie übereinstimmen
SSS
SWS
  ’ ,   ’ und c  c’ oder   ’ ,   ’ und a  a’
in dem Längenverhältnis aller drei Seiten, d.h. wenn gilt
a a

b b
und
a a

c c
b b

).
c c
in dem Längenverhältnis zweier Seiten und dem eingeschlossenen Winkel, d.h. wenn z.B. gilt
b b

c c
SsW
(daraus folgt:
und   ‘ .
in dem Längenverhältnis zweier Seiten und dem der längeren
Seite gegenüber liegenden Winkel, d.h. wenn z.B. gilt
a a

b b
und   ‘ mit a > b (daraus folgt: a’ > b’ ).
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in zwei Innenwinkeln, d.h. wenn z.B. gilt
  ’ und   ’ (daraus folgt:   ’ ).
Eng verwandt mit den Ähnlichkeitssätzen sind die Strahlensätze. Dazu betrachten wir folgende zwei „Strahlensatzfiguren“ mit S  k  l , g  AC , h  BD und A,Bk sowie
C,Dl .
Skizze:
(a) S „auf derselben Seite“ von g und h
(b) S „zwischen“ g und h
Es ergeben sich dann (ohne Beweis) folgende Sätze:
Strahlensätze
1. Strahlensatz
Sind die Geraden g und h parallel (in Zeichen: g h ) , dann
gilt:
d(S, A) d(S, C)

.
d(S, B) d(S, D)
d(S, A) d(S, C)

, so sind die
d(S, B) d(S, D)
Geraden g und h parallel, d.h. es folgt:
g h .
Umkehrung 1. Strahlensatz Gilt in der Strahlensatzfigur
2. Strahlensatz
Sind die Geraden g und h parallel (in Zeichen: g h ) , dann
gilt:
d(S, A) d(S, B)
.

d(A, C) d(B, D)
Wichtige Bemerkung:
Die Umkehrung des 2. Strahlensatzes gilt i.a. nicht !! D.h.:
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Aus
d(S, A) d(S, B)

d(A, C) d(B, D)
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folgt i.a. nicht g h .
Es folgen noch (ohne Beweis) einige interessante, teilweise bekannte und für die Anwendung wichtige Sätze aus der sogenannten „Kreisgeometrie“.
Thema
Satz des Thales
Zentrums-Peripheriewinkelsatz (ZPW)
Satz
Sei k ein Kreis mit Mittelpunkt M und Durchmesser AB .
Dann gilt:
a) Jeder Punkt Ck bildet mit den Endpunkten A, B ein

rechtwinkliges Dreieck  ABC , d.h. es gilt:  
,
2
b) Ist C ein Punkt in der (euklidischen) Ebene, so dass
 ABC ein rechtwinkliges Dreieck bildet, so gilt: Ck .
Sei k ein Kreis mit Mittelpunkt M und AB eine Sehne von
k sowie Ck ein beliebiger Punkt auf dem Kreis. Dann gilt:
Das Peripheriewinkelfeld
das Zentrumswinkelfeld
W   ACB ist halb so groß wie
W’   AMB , d.h.    .
2
Insbesondere gilt:
Alle Peripheriewinkelfelder über AB sind gleich groß.
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Sekantentangentenwinkelsatz (STW)
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Sei k ein Kreis mit Mittelpunkt M und AB eine Sehne von
k (d.h. g  AB ist Sekante zu k ) sowie t Tangente an k im
Punkt A mit Pt , P  A . Dann gilt:
W   PAB halb so groß wie das
W’   AMB , d.h.    .
2
Das Tangentenwinkelfeld
Zentrumswinkelfeld
Sekantensatz (SS)
Sei k ein Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r > 0 , P ein
Punkt aus dem „Inneren“ von k - d.h. d(P,M) < r - und AB
und CD zwei Sehnen von k (d.h. AB und CD sind Se-
kanten zu k ) mit AB  CD   P  . Dann gilt:
Das Produkt der Längen der durch P erzeugten
Sekantenabschnitte ist für beide Sehnen gleich groß, d.h. es
gilt:
d(A, P)  d(P, B)  d(C, P)  d(P, D) .
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Insbesondere gilt:
Für alle Sehnen durch P ist das Produkt der Längen der
durch P gebildeten Sekantenabschnitte gleich.
Sekantentangentensatz
(STS)
Sei k ein Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r > 0 , P ein
Punkt aus dem „Äußeren“ von k - d.h. d(P,M) > r . Weiter sei
t eine Tangente an k mit Pt und t  k  T sowie g eine
Sekante zu k mit Pg und g  k  A,B , A  B (also ist
AB eine Sehne von k ). Dann gilt:
d(A, P)  d(P, B)  d(T, P) 2 .
Insbesondere gilt:
Für alle Sekanten zu k durch P ist das Produkt der Längen
der durch P gebildeten Sekantenabschnitte gleich.
Bemerkungen:
 Eine Sekante eines Kreises k ist eine Gerade, die k in zwei Punkten A,Bk , A  B
schneidet. Die Verbindungsstrecke AB heißt dann eine Sehne von k .
 Dem gegenüber ist eine Tangente an einem Kreis k eine Gerade, die k in genau einem
Punkt T berührt. T heißt der Tangentenberührpunkt. Ist M Kreismittelpunkt, so gilt dabei stets: t  TM .
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 Der Satz des Thales ist ein Sonderfall des allgemeineren Zentrumsperipheriewinkelsatzes

(ZPW). Speziell gilt in diesem Fall:    90  mit     180  .
2
 Der Sekantentangentenwinkelsatz (STW) lässt sich als „Grenzfall“ des ZPS auffassen,
wobei man C gegen A bzw. B „laufen“ lässt. Die Sekante CA von k wird dann zur
Tangente t an k mit Tangentenberührpunkt A bzw. B .
 Wählt man im Sekantensatz (SS) als spezielle Sekante g  PM mit g  k  A,B , so
gilt:
d(A, P)  d(P, B)  (r  d(P, M))  (r  d(P, M))  r 2  d(P, M) 2 .
 Der Sekantensatz (SS) und der Sekantentangentensatz (STS) sind eng miteinander „verwandt“, wobei einmal (im Fall des SS) der Dreh- und Angelpunkt P im „Inneren“ von k ,
das andere Mal (im Fall des STS) im „Äußeren“ von k liegt. Wählt man im STS als spezielle Sekante wieder g  PM mit g  k  A,B , so gilt dieses Mal:
d(A, P)  d(P, B)  (d(P, M)  r)  (d(P, M)  r)  d(P, M) 2  r 2 .
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