PHYSIK I+II

Basisprüfung, 21.02.2007
PHYSIK I+II
Prof. Dr. Danilo Pescia
Diese Prüfung besteht aus 6 Aufgaben auf 3 Seiten.
Alle Aufgaben geben gleich viele Punkte. Viel Erfolg!
Aufgabe 1
Zwischen zwei festen Wänden im Abstand 2L seien zwei masselose Federn mit der
Federkonstanten k über eine Punktmasse m miteinander verbunden. Eine einzelne Feder
habe im entspannten Zustand die Länge L0 < L. Es wirke keine Gravitationskraft.
y
x
k
k
m
L
L
a) Finden Sie die Bewegungsgleichung für die Punktmasse m für Auslenkungen aus der
Ruhelage entlang der y-Achse.
b) Lösen Sie die Bewegungsgleichung für kleine Auslenkungen entlang der y-Achse. Wie
gross ist die Eigenfrequenz?
Aufgabe 2
Eine Punktmasse m bewege sich im dreidimensionalen Raum. Sie sei der folgenden
potentiellen Energie V (~r ) unterworfen:
V (~r ) =
1 2
f r + V0
2
wobei r = |~r | .
,
a) Zeigen Sie, dass bei vorgegebenem Drehimpuls L ein Radius r0 existiert, für den die
Bahn ein Kreis ist, und finden Sie r0 als Funktion von L.
b) Berechnen Sie die Gesamtenergie E0 (r0 ), die zu dieser Kreisbahn gehört.
c) Für welche Energiewerte E existieren keine Lösungen der klassischen Bewegungsgleichung?
1
Basisprüfung, 21.02.2007
PHYSIK I+II
Prof. Dr. Danilo Pescia
Aufgabe 3
Zwei Punktmassen M und m seien über eine masselose Schnur der Länge l miteinander
verbunden. Am Anfang (t = 0) befinde sich das System bei gestreckter Schnur in Ruhe auf
einem Tisch, wobei die Masse m von der Tischplatte zu fallen beginnen soll. Es wirke das
Gravitationsfeld der Erde.
t=0
M
l
m
g
a) Wieviele Freiheitsgrade besitzt das System unter der Annahme, dass l fest bleibt?
b) Finden Sie die Bewegungsgleichungen für die Freiheitsgrade.
c) Nach welcher Zeit t0 erreicht die Masse M die Tischkante?
d) Was ist der Gesamtimpuls der beiden Massen bei t = t0 ?
e) Wie bewegt sich der Schwerpunkt für t > t0 ?
Aufgabe 4
Ein Zylinder mit Masse M und Radius R befinde sich auf einer schiefen Ebene. Die
Zylinderachse sei über eine masselose Feder mit der Federkonstanten k an einer festen
Wand befestigt. Die Länge der entspannten Feder sei l. Es wirke das Gravitationsfeld der
Erde.
k
M
g
a
a) Bestimmen Sie die Bewegungsgleichung für einen homogenen Hohlzylinder.
b) Finden Sie für diesen Fall die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung.
c) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung für einen homogenen Vollzylinder.
2
Basisprüfung, 21.02.2007
PHYSIK I+II
Prof. Dr. Danilo Pescia
Aufgabe 5
a) Eine Punktmasse m befinde sich im Gravitationsfeld einer in der x-y-Ebene unendlich
ausgedehnten homogenen Massenverteilung. Die Masse m befinde sich zur Zeit t = 0
am Ort (0, 0, z0) und habe die Geschwindigkeit (vx0 , vy0 , 0). Welche x-y-Koordinaten
wird sie zu einer späteren Zeit t haben? Wie ändert sich die z-Komponente des
Drehimpulses?
z
m
y
x
b) Eine Punktmasse m befinde sich im Gravitationsfeld einer in der x-y-Ebene liegenden
Halbebene mit homogener Massenverteilung (ρ(x, y, z) 6= 0 nur für x beliebig, y < 0
und z = 0). Welche Impuls- und Drehimpulskomponenten bleiben erhalten?
z
m
y
x
Aufgabe 6
Eine Punktmasse m hänge an einem masselosen Draht der Länge l. Die Masse werde
im homogenen Gravitationsfeld der Erde (Erdbeschleunigung ~g ) mit der Winkelgeschwindigkeit ω um die z-Achse gedreht. Den Winkel zwischen Draht und z-Achse bezeichnen
wir mit θ.
z
g
l
q
m
a) Eine mögliche Bahn der Punktmasse m ist ein Kreis mit einem Radius grösser als
null. Wie gross ist der zu dieser Bewegung gehörige Winkel θ0 ?
b) Wie lautet die Bewegungsgleichung für die Variable θ für kleine Abweichungen von
θ0 ?
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