v8 05 mr 12 jse 1 DIE MATHEMATIK VON MUSIK Was ist

DIE MATHEMATIK VON MUSIK
Was ist Musik? Im Grunde ist Musik nur Luft, die
in bestimmten Druckmustern vibriert. Jedes
Objekt, das in der Luft vibriert, wird Druckimpulse
abgeben. Die Impulse werden von unseren
menschlichen Ohren festgestellt, und von den
Nerven in elektrische Zeichen umgewandelt, die
werden zu dem Gehirn zur Auslegung geschickt
http://www.steemrok.com/mvm/06.wmv. Wenn die
Bewegung zwischen 15 und 20,000 Vibrationen pro Sekunde ist, werden wir die
vibrierende Luftbewegungen als einen musikalischen Ton hören. In einem Blasinstrument,
wie einer Flöte oder einer Trompete oder einer Orgel, blasen wir Luft in ein Rohr, was
'ständige Wellen' von vibrierender Luft gründet, die wir noch einmal als einen
musikalischen Ton hören.
Der Ausdruck 'Hertz' (Hz) wird gebraucht, Frequenz als Vibrationen pro Sekunde
auszudrücken. In wissenschaftlicher Notation hat der Ton 'mittleres C' eine Frequenz von
256 Hz. Mit anderen Worten, ein Instrument, das diesen Ton spielt, macht die Luft 256 mal
pro Sekunde vibrieren. Je höher die Frequenz, desto höher wird die Tonhöhe des Tones.
So kommen wir zu der ersten Verbindung zwischen Musik und Mathematik. Wenn wir die
Frequenz zu 512 Hz verdoppeln – mit anderen Worten, wenn wir die Luft zweimal so
schnell vibrieren machen – werden wir einen C Ton genau eine Oktave über mittlerem C
hören. Hören wir diese Töne http://www.steemrok.com/mvm/07.wmv.
Die Wellenlänge einer Klangwelle ist die Entfernung zwischen aufeinander-folgenden
Spitzen oder Tiefen in den Druckimpulsen http://www.steemrok.com/mvm/08.wmv. Wenn
ein Ton gespielt wird, können wir den unterschiedlichen Luftdruck von einem
Welleformdiagramm verkörpern http://www.steemrok.com/mvm/09.jpg. Aber erinnere,
dass die Luftmolekule nur vibrieren, nicht vorankommen. Nur die Druckwellen
vorankommen. Die Frequenz (Tonhöhe) jedes Tones ist im umgekehrten Verhältnis zu der
Wellenlänge. So, wenn wir die Wellenlänge halbieren, verdoppeln wir die Frequenz. Wie
wir schon wissen, macht Verdoppeln der Frequenz den Ton eine Oktave höher klingen
http://www.steemrok.com/mvm/10.wmv.
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Was passiert, wenn wir diese Töne zusammen spielen? Die Welleformen verbinden sich,
ein komplizierteres Muster zu geben, aber das menschliche Gehirn ist klug genug, das
Muster in seine getrennte Teile zu lösen. Wir können die getrennten Töne hören
http://www.steemrok.com/mvm/11.wmv. In einer normalen 8-Ton (12-Halbton) Oktave sind
die 'perfekten' Verhältnisse zwischen den Frequenzen der Tönen wie hier gezeigt. In
diesem Beispiel werden wir die C-dur Tonleiter gebrauchen
http://www.steemrok.com/mvm/12.jpg.
Wenn wir diese Frequenzen in anderen Tonarten zu gebrauchen versuchen, ergeben sich
Probleme. Wir haben oben gesehen, zum Beispiel, dass der D Ton über mittleren C eine
'perfekte' Frequenz von 288 Hz hat, und der A Ton über mittlerem C 427 Hz. Aber, wie C
zu G, D zu A ist auch auf einer normalen Tonleiter ein 'fünftes' Intervall, so dass das
Frequenzverhältnis zwischen A und D auch 1 zu 1.5 sein soll. Aber die Frequenzen, die wir
oben berechnet haben, geben ein anderes Verhältnis: 427/288 kommt gleich 1.48, nicht
1.5, das es sein soll. Wenn ein Instrument, das auf die 'perfekten' C-Tonartfrequenzen
abgestimmt wird, einen A Ton spielt, wird es also ein sehr wenig tiefer klingen, verglichen
mit einem Instrument, das auf die 'perfekte' D-Tonart abgestimmt wird. Wenn diese zwei
Töne zusammen gespielt werden, wird ein unharmonisches 'Schlagen' gehört werden
http://www.steemrok.com/mvm/13.wmv.
Die Lösung von dem Problem von
Frequenzfehlanpassung ist einen
Kompromiss zu finden. Wir müssen
annehmen, dass die idealen
Verhältnisse nicht erreicht werden
können. Als Bach seine WTK Stücke
komponierte, war seine Absicht, dass
Spieler Stücke in jeder möglichen
Tonart in der 12-Halbton Oktave
spielen können sollen. So, alle die Fünftel sind nahe 1.5 über 1 im Frequenzverhältnis,
aber nicht genau. Zu den meisten menschlichen Ohren, ist die zierliche Diskrepanz
zwischen den Kompromissen und idealen Verhältnissen nicht wahrnehmbar.
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Die häufigste Abstimmung von Klavierinstrumenten ist heute in Übereinstimmung mit dem
gleichen Temperamentformat, in dem das Frequenzverhältnis jedes Tones zum Ton ein
Halbton unterhalb oder oben identisch ist. Schon wissen wir, dass es 12 Halbtöne in einer
Oktave gibt, und eine Oktave eine Verdopplung von Frequenz symbolisieret. Daher folgt
es, dass das Frequenzverhältnis zwischen jeden zwei Halbtönen mathematisch gleich zu
der zwölften Wurzel von zwei sein muss, d.h. 1.059463. In diesem System ist das
Frequenzverhältnis zwischen jeden zwei Tönen ein Fünftel entfernt 1.498307, anstelle von
dem 'perfekten' 1.500000. Wie wir vorher sagten, bemerken die meisten menschlichen
Ohren die Diskrepanz nicht. Hören wir einige Fünftel mit gleichen
Temperamentabstimmungen http://www.steemrok.com/mvm/14.wmv. Und einen C-dur
Akkord http://www.steemrok.com/mvm/15.wmv. Und eine Folge von Tönen, die du später
hören wirst http://www.steemrok.com/mvm/16.wmv.
Um den Vortrag zu vollenden, fragen wir JSB selbst über der Wichtigkeit von Mathematik
in Musik http://www.steemrok.com/mvm/17.wmv.
Fragen
1
Was war das Zweck 'Des Wohltemperierten Klaviers'?
2
Welcher Ton hat eine Frequenz von 128 Hz? (Tip: erinnere dich an das Verhältnis
zwischen Oktaven)
3
'Konzerttonhöhe' (die die Musiker gebrauchen) basiert auf dem A Ton = 440 Hz. Ist
diese Tonhöhe höher oder niederer als 'wissenschaftliche' Tonhöhe?
4
Wieviele Stücke gibt es im WTK? (Tip: erinnere dich, dass jeder Ton der Oktave zwei
Tonarten hat: Dur und Moll)
5
Wieviele Methoden gibt es, ein Klavier zu stimmen?
6
Was ist die Frequenz des G Tones unterhalb mittleren C?
7
Eine Biene flattert tipisch ihre Flügel 200 mal pro Sekunde. Welchen Ton wirst du
hören, als sie vorbei fliegt?
8
Welcher Ton hat eine Frequenz von 1 Hz? Kannst du ihn hören?
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INTERVIEW ZWISCHEN TV MODERATOR UND J S BACH
TVM: Guten Tag, Herr Bach.
JSB: Guten Tag. Bitte, ich heisse Johann.
TVM: Danke, Johann. Was dachtest du über den vorhergehenden Vortrag über die
Mathematik von Musik?
JSB: Mit Respekt, er war unwesentlich.
TVM: In welcher Weise?
JSB: Nun, ich komponierte 'Das Wohltemperierte Klavier', so dass Musiker Stücke in
jeder Tonart spielen üben konnten. Die Abstimmung des Klaviers wurde gewählt, so
dass bei diesem Üben richtig tönende Intervalle zwischen den Tönen in jedem Akkord
erhalten werden können. Es gab keine damit verbundene Mathematik. Die
Abstimmung des Instruments ist nach dem Gehör. Ausgewählte Töne werden zu
perfekter Tonhöhe abgestimmt, und andere so weit wie möglich zu perfekter
Tonhöhe.
TVM: Wer wählt, welche Töne in dieser Weise abgestimmt werden?
JSB: Wer auch immer das Instrument abstimmt. Wir alle haben unsere eigenen
Vorlieben.
TVM: Bedeute es, dass einige Stücke besser klingen, wenn sie in angebenen
Tonarten gespielt werden?
JSB: Richtig. Aber Wohltemperieren ist ein Kompromiss, der es möglich machen will,
in jeder Tonart zu spielen . Einige Intervalle werden nicht perfekt sein, aber sie sind
genau genug, Missklang zu vermeiden.
TVM: So, Johann, die Mathematik ist unwichtig?
JSB: Ich würde sagen: Ja. Musik hat einige Zwecke. Einer ist, so dass der Komponist
seine Fähigkeiten vorführen kann. Noch einer ist, dass der Virtuose dasselbe tun
kann. Aber der Hauptzweck von Musik ist künstlerisch – emotional, wenn du willst.
Sie sollte Freude, oder Trauer, oder Selbstbeobachtung inspirieren können.
TVM: Wie wird sich Musik in der Zukunft entwickeln?
JSB: Sie wird phantastisch sein! Einige Jahrzehnte von heute, werden Wolfgang
Amadeus Mozart und Franz Joseph Haydn Musik revolutionieren. Sie wird kultivierter
werden, experimenteller. Bald danach wird Ludwig van Beethoven eine neue Epoche
erröffnen. Er wird komplizierte, äusserst emotionale Stücke komponieren.
TVM: So, die Zukunft liegt mit deutschen und österreichischen Komponisten?
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JSB: Nein, es wird Genies von anderen Ländern geben. Zum Beispiel, Frédéric
Chopin aus Polen wird schöne, komplizierte Klaviermusik komponieren. In Italien
werden Verdi und Rossini strahlende Opern komponieren. Anderhalb Jahrhunderte
von heute werden die bedeutenden russischen Komponisten sich profilieren, mit
Tchaikovsky anfangen.
TVM: Wird es keinen Platz für einfache Volksmusik in dieser komlpizierten Zukunft
geben?
JSB: Oh, ja. In der Mitte des zwanzigstes Jahrhunderts wird ein neuer Typ von
beliebter Musik die Welt fegen. Die Stücke werden kurz sein, gewöhnlich nur ein paar
Minuten lang. Das Tempo wird vier-vier sein, mit schwerem Schlagzeug, um die
zweiten und vierten Takte jedes Taktstrichs zu betonen.
TVM: Einfache Musik, also?
JSB: Gewöhnlich, ja. Viele Stücke werden nur zu den subdominanten und
dominanten Tonarten modulieren, wie heute im Status quo in Volksmusik.
TVM: So, du könntest Musik, die nur drei Akkordmodulationen hat, das Etikett 'Status
Quo' Musik geben?
JSB: Ja, es würde ein guter Name für eine Musikgruppe sein, die diese Stücke spielt!
Aber 'einfach' bedeutet nicht unbedingt 'langweilig' oder 'schlechte Qualität'. Wenn die
Musik in Leuten grosse Gefühle erregt, dann hat sie ihren Zweck erreicht.
TVM: Zurück in die Gegenwart, Johann. 'Das Wohltemperierte Klavier' kommt in der
Hitliste gut voran. Können wir ein Stück davon hören?
JSB: Selbstverständlich. Werden wir das erste Stück in Buch 1 hören. Es ist ein
Präludium in C-dur. Weil es ein einfaches Stück ist, vertun sich viele Leute, es zu
schnell zu spielen. Hier hören wir es elegant gespielt.
TVM: Danke, Johann. [Zu Kamera] Um unser Programm zu vollenden, hören wir nun
Präludium Nummer 1. Danke fürs Zuschauen. Auf Wiedersehen.
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