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GeoInfo zum Ausprobieren:
Einfache Höhenvermessung
Höhenvermessung mit einfachen Mitteln:
Schattenmethode, Försterdreieck
und Proportionalitätsmethode
Hochschule Karlsruhe, Fakultät für Informationsmanagement und Medien, September 2014
Einfache Höhenvermessung
In diesem Tutorial werden drei Methoden vorgestellt, die es ermöglichen auf einfache Art und Weise Höhen zu messen. Für alle diese Methoden ist es notwendig
auch Entfernungen in der Ebene messen zu können. Aus diesem Grund wird zuerst eine Möglichkeit zur einfachen Entfernungsmessung erläutert.
Schritt (Doppelschritt) zur Messung von Entfernungen
Dabei handelt es sich um ein altes römisches Maß, wobei die Länge eines Schrittes zwischen 0,7 und 0,8 m lag. Die in Amerika und England heute noch übliche
Maßeinheit mile (Meile) kommt vom lateinischen „milia passuum“ und bedeutet
„tausend Doppelschritte“. So entsprach die Römische Meile 1,481 km, die englische statute mile entspricht heute 1,609 km.
Um den Doppelschritt als Maß verwenden zu können, ist es notwendig die eigene
Schrittlänge zu kennen. Dafür zählt man auf einer 100-m-Bahn oder einer Straße mit Kilometersteinen die Anzahl der Doppelschritte, die man für diese Strecke
benötigt. Danach dividiert man die zurückgelegte Distanz durch die Anzahl der
Doppelschritte und erhält so das Schrittmaß (Länge des Doppelschrittes). Will
man die Schrittzahl für eine bestimmte Distanz wissen, dividiert man einfach die
entsprechende Distanz durch das ermittelte Schrittmaß. Um im Gelände nun eine
Entfernung in Metern zu ermitteln, multipliziert man die gezählten Doppelschritte
mit seinem Schrittmaß.
Schattenmethode
Diese Methode wurde vom griechischen Philosoph, Kaufmann, Mathematiker,
und Astronom Thales von Milet (um 640 bis 550 v. Chr.) angewandt, um die Höhe
der Cheops-Pyramide zu ermitteln. Laut der Legende legte er sich dabei in den
Sand und markierte die eigene Körpergröße. Daraufhin stellte er sich an das Ende
dieser gemessenen Länge und wartete solange, bis seine Schattenlänge seiner
Körpergröße entsprach. Thales von Milet zog nun den einfachen Schluss, dass in
diesem Moment auch der Schatten der Pyramide ebenso lang sein müsste wie die
Höhe der Pyramide. Durch Abschreiten konnte er den Pyramidenschatten leicht
messen.
Mathematische Grundlage:
Ist der Schatten eines senkrecht stehenden Objektes gleich lang wie seine Höhe,
liegt im geometrischen Sinn ein rechtwinkelig gleichschenkeliges Dreieck vor. Das
bedeutet, beide Katheten sind gleich lang und schließen einen Winkel von 90° ein.
Die beiden anderen Winkel müssen demnach je 45° betragen, da die Winkelsumme im Dreieck 180° ist. Der Sonnentrahl bildet in unserem Dreieck die Hypotenuse und muss in diesem speziellen Fall in einem Winkel von 45° zur Erdoberfläche
einfallen.
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Einfache Höhenvermessung
Auch wenn es sich bei der Höhenmessung der Cheops-Pyramide nicht ganz so
zugetragen hat - da eine Pyramide kein sekrechtes Objekt ist - so eignet sich diese Methode gut um mit einfachen Mitteln bestimmte Höhen zu ermitteln.
Försterdreieck
Die Methode „Försterdreieck“ haben Förster entwickelt um auch bei schwierigen
Verhältnissen im Wald und ohne Sonne die Höhe von Bäumen zu messen. Sie
orientiert sich an der Schattenmethode, also dem rechtwinkelig gleichschenkeligem Dreieck. Als Hilfsmittel wird hierfür lediglich ein gleichschenkelig rechtwinkliges Holzdreieck oder Geodreieck mit einem befestigten Lot benötigt. Bei der
Messung visiert man über die Hypotenuse bei waagrechter Kathete und entfernt
sich so weit vom zu messenden Baum oder anderen Objekt, bis die Visierlinie
die Spitze des Baumes trifft. Die Entfernung des Beobachters vom Objekt entspricht dann der Höhe oberhalb der Augenhöhe. Zu dieser gemessenen Höhe
muss dann noch die Augenhöhe addiert werden.
Proportionalitätsmethode
Bei dieser Methode zur indirekten Höhenmessung wird ein Stock einer bestimmten Länge benötigt. Dieser wird in einer bestimmten Entfernung von dem zu messenden Objekt senkrecht in den Boden gesteckt. Anschließend geht man ein paar
Schritte weiter, auf die Knie und mit dem Auge möglichst tief zum Boden. Man
markiert dann den Punkt, von dem aus man über die Stockspitze die Spitze des
Objekts anvisieren kann. Die Höhe des Objekts verhält sich zur Stocklänge nun
wie der Abstand des markierten Punktes zur Basis des Objekts zum Abstand des
markierten Punktes zum Stock.
Mathematische Grundlage:
Die beiden Dreiecke ABS und ACH sind ähnliche Dreiecke, bei denen das Verhältnis zweier entsprechender Seiten das Gleiche ist.
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