Kapitel 11

Kapitel 11
Supraleitung
Unter gewissen Umständen werden die Leitungselektronen eines Festkörpers vom kollektiven Phänomen der Supraleitung erfasst. Entdeckt wurde der wichtigste Aspekt von Kamerlingh Onnes und Mitarbeitenden (1911). Sie fanden,
dass der elektrische Widerstand von Quecksilber (Hg) bei Abkühlung unter T = 4.2 K verschwindet. In der Folge
wurden viele weitere Materialien als Supraleiter experimentell identifiziert. Bis 1986 waren die höchsten beobachteten Sprungtemperaturen bei etwa 30 K limitiert. Die Entdeckung der sogenannten Hochtemperatur-Supraleiter durch
Bednorz und Müller (1986) bei IBM Rüschlikon leitete eine neue Entwicklung auf dem Gebiet der Supraleitung ein.
Heute ist der höchste experimentell reproduzierte Wert von Tc um 120 K. Zum Vergleich: Der Siedepunkt flüssigen
Stickstoffs liegt bei 77 K.
11.1
Experimentelle Tatsachen
11.1.1
Unendliche elektrische Leitfähigkeit
Supraleitende Substanzen verlieren unterhalb einer gewissen kritischen Temperatur Tc den Widerstand. Normalerweise ist das Temperatur-Intervall verbreitert, über den der Abfall des Widerstands auf R = 0 erfolgt. Die besten
elektrischen Leiter im Normalzustand (also nicht supraleitend) wie Cu, Au, Ag sind nicht supraleitend, nachdem was
wir heute wissen. Die Temperatur-Abhängigkeit des elektrischen Widerstands im Normalzustand lässt keine Aussage
über den möglichen Eintritt der Supraleitung bei tiefen Temperaturen zu.
Ohm’sches Gesetz: j = σE
Idealer Leiter:
σ=∞
⇒ρ=0
⇒E=0
d.h. das Ohm’sche Gesetz ist nicht mehr aussagekräftig
Maxwell’sche Gleichung:
rot E = - Ḃ
E = 0 impliziert Ḃ = 0
Dies bedeutet, dass sich im Innern eines idealen Leiters das Magnetfeld mit der Zeit nicht ändern kann.
⇒ Zustand eines idealen Leiters müsste davon abhängen, unter welchen äusseren Umständen das äussere Magnetfeld
ein- und ausgeschaltet wird ⇒ irreversible Vorgänge? Dies wird im Experiment an realen Supraleitern nicht beobachtet.
11.1
11.1. Experimentelle Tatsachen
Kapitel 11. Supraleitung
Abbildung 11.1: Verhalten eines idealen Leiters im externen Magnetfeld
11.1.2
Idealer Diamagnetismus
Meissner und Ochsenfeld 1933:
Bi = 0 für einen Supraleiter unterhalb Tc
⇒ jeder magnetische Fluss wird aus einem Supraleiter hinausgestossen
Abbildung 11.2: Schematische Darstellung des Meissner-Ochsenfeld Effekts
⇒ nicht mehr alleine mit den Maxwell-Gleichungen beschreibbar
⇒ Reversibilität im Verhalten eines Supraleiters muss gewährleistet sein
11.1.3
Phasenumwandlung
Wie bei anderen kooperativen Phänomenen (z.B. Ferromagnetismus) handelt es sich beim ´’Ubergang vom normalleitenden zum supraleitenden Zustand um eine Phasenumwandlung.
11.2
Kapitel 11. Supraleitung
11.1. Experimentelle Tatsachen
Abbildung 11.3: Spezifische W´’arme als Funktion der Temperatur f´’ur Aluminium
Experimenteller Befund:
• Cp divergiert nicht bei Tc
⇒ keine latente Wärme
⇒ Keine Phasenumwandlung 1. Ordnung
• Entropie ist im supraleitenden Zustand immer kleiner als im fiktiven Normalzustand bei gleicher Temperatur
⇒ supraleitender Zustand ist ’geordneter’ als normalleitender Zustand
11.1.4
Kritisches Magnetfeld
• Externe Magnetfelder können die Supraleitung unterdrücken
• Unterdrückung hängt von der Temperatur ab
Experiment: Bestimmung kritischer Magnetfelder Hc (T )
H < Hc (T ) ⇒ supraleitender Zustand
H > Hc (T ) ⇒ normalleitender Zustand
11.3
11.2. Die London Gleichungen
Kapitel 11. Supraleitung
Abbildung 11.4: Schematische Messkurve des kritischen Magnetfeldes als Funktion der Temperatur
Hc (T ) kann experimentell aus Magnetisierungsmessungen bestimmt werden. Dabei gibt es zwei Typen von Kurvenformen:
Abbildung 11.5: Schematischer Unterschied der Typ I und Typ II Supraleiter
11.2
Die London Gleichungen
Beschreibung des elektromagnetischen Verhaltens eines Supraleiters nach London (1935).
Leiter ohne elektrischen Widerstand.
⇒ Bewegungsgleichung der Ladungsträger
mvs = eE
}
Stromdichte: js = ns evs
ns e 2
j̇s =
E
m
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶
1. London’sche Gleichung
E = 0 ⇒ j̇s = 0
⇒ im stationären Zustand ändert sich ein einmal fliessender Strom nicht wegen R = 0
Vorsicht: obige Herleitung wird an der Oberfläche eines Supraleiters problematisch.
11.4
Kapitel 11. Supraleitung
11.2.1
11.2. Die London Gleichungen
Quantenmechanik
Impuls eines Teilchens in externen Feldern:
p = mv + eA
Ein nicht bewiesenes, aber wahrscheinlich gültiges Theorem von Bloch besagt, dass der Grundzustand eines Systems
sich dadurch auszeichnet
⟨ p⟩ = 0
Damit erhält man
m⟨vs ⟩ = −eA
und
js = ns e⟨vs ⟩
=−
ns e2
A
m
zeitliche Änderung:
ns e2 ∂A ns e2
=
E
m ∂t
m
Die letzte Gleichung ist offenbar nicht eichinvariant und gilt so nur in der sogenannten London-Eichung, d.h. divA = 0
j̇ = −
11.2.2
2. London’sche Gleichung
Anwendung von rot auf obige Gleichung:
ns e 2
rot A
m
ns e2
=−
B
m
rotjs = −
Vergleich mit Maxwell-Gleichung:
rot B = j ⋅ µ0
liefert
rot rot B +
Wegen div B = 0 folgt
∆B =
ns e2 µ0
B=0
m
ns e 2 µ 0
B
m
1-dimensionaler Fall
⇒ Lösung B(x) = B(0)e−x/λ
m 1
mit λ2 =
n s e 2 µ0
x≫λ⇒B=0
Damit lernen wir, dass ein äusseres Magnetfeld exponentiell in einen Supraleiter abfällt. Der Abfall wird durch die
sogenannte London’sche Eindringtiefe
√
m
xL (0) =
ns (0)e2 µ0
beschrieben
Experimentell ist obige Aussage gut bestätigt. Man untersucht dazu Schichten eines Supraleiters verschiedener Dicke. Falls die Schichtdicke kleiner ist als die London’sche Eindringtiefe, so kann die Schicht supraleitendes Verhalten
(ρ = 0) zeigen, obwohl überall in ihrem Innern noch ein endliches Magnetfeld herrscht. Die Temperaturabhängigkeit
von λ(T ) ist durch die Temperaturabhängigkeit von ns (T ) gegeben. Auch dies lässt sich experimentell bestätigen.
11.5
11.3. Die Energielücke
11.3
Kapitel 11. Supraleitung
Die Energielücke
Normales Metall:
Supraleiter:
Zum Vergleich:
Im Grundzustand sind alle Elektronenzustände bei T = 0 bis EF gefüllt, alle Zustände
mit E > EF sind leer
Wie findet man einen Zustand niedriger Energie, wobei die Energie von der Grössenordnung kB Tc ist?
Für konventionelle Supraleiter ist Tc ≈ 4-20K, während TF = EF /kB ≈ 104 K
Wir wollen die Frage vom Experiment her beantworten und betrachten dazu die spezifische Wärme als Funktion der
Temperatur für zwei verschiedene Materialien Vanadium (V) und Zinn (Sn).
Abbildung 11.6: Messung der elektronischen spezifischen Wärme für die Supraleiter V und Sn
Ces beschreibt die spezifische Wärme des elektronischen Systems, der phononische Anteil wurde bereits herausgerechnet. Unterhalb von T < Tc findet man
Ces ∼ γTc e−bTc /T
γTc : spezifische Wärme des Elektronengases bei T = Tc
exponentielle Temperatur-Abhängigkeit von Ces
⇒ minimale Anregungsenergie ∆E ∼ bTc
⇒ Existenz einer Energielücke im Anregungszustand der Elektronen im supraleitenden Zustand
Falls eine solche Energielücke existiert, so muss sie auch durch die Absorption von elektronenmagnetischer Strahlung
verifiziert werden können.
Wenn die Frequenz des eingestrahlten Lichts nicht mehr ausreicht, um Elektronen über die Energielücke hinweg
anzuregen, dann werden im supraleitenden Zustand keine zusätzlichen Photonen absorbiert.
Eine Frequenz von 1/λ ≈ 20 cm−1
⇒ ν ≈ 6 ⋅ 1011 s−1
⇒ Eg ≈ kB ⋅ 28 K
11.6
Kapitel 11. Supraleitung
11.3. Die Energielücke
Abbildung 11.7: Schematische Messung der Energielücke durch Absorbtion elektromagnetischer Strahlung. Gezeigt
wird das Verhältnis der Absorption im supraleitenden und normalleitenden Zustand.
Der Tunneleffekt ist eine weitere Methode, um die Energielücke eines Supraleiters experimentell zu untersuchen.
Dabei wird eine Schichtstruktur folgender-massen aufgebaut:
Normalleiter
Oxidschicht (sehr dünn)
Supraleiter
Bandschema:
Normalleiter
D(E)
EF
EF
D(E)
Dicke der Oxidschicht
Supraleiter
Experiment: Anlegen einer Spannung zwischen Supraleiter und Normalleiter und Messung des dann fliessenden Stromes
Für kleine Spannungen ∣eV ∣ < Bandlücke des Supraleiters fliesst kein Strom bei T = 0 da sich im Supraleiter keine Zustände an der Fermi-Energie befinden. Erst wenn EF den oberen Rand der Energielücke im Supraleiter erreicht,
kann ein Strom fliessen. Die Strom-Spannungs-Charakteristik wird dann durch die Form der Zustandsdichte im SL
bestimmt.
Die gesamte im Tunnelspektrum beobachtete Energielücke (Anlegen positiver und negativer Spannungen) ist 2∆
(Begründung später). Das Auftreten der Energielücke zeigt sehr deutlich den kooperativen Charakter dieser Phasenumwandlung, durch welche sich das Anregungsspektrum für alle Leitungselektronen ändert.
11.7
11.4. Elektronen-Paare und Flussquantisierung
Kapitel 11. Supraleitung
Abbildung 11.8: Schematische Messung des Tunnelstromes für verschiedene Temperaturen
11.4
Elektronen-Paare und Flussquantisierung
Der elektrische Strom wird in metallischen Festkörpern durch einzelne Elektronen getragen. Die Elektron-ElektronWechselwirkung ist im Ein-Teilchen-Bild zunächst negativ, d.h. zwei Elektronen stossen sich aufgrund des CoulombGesetzes ab. In Anwesenheit eines Fermi-Systems ist es jedoch möglich, dass in einem elektronischen System durch
eine beliebig schwache attraktive Wechselwirkung zwischen Elektronen eine Paarbildung stattfinden kann. Offensichtlich braucht es dazu mehr als die reine Coulomb-Wechselwirkkung. In den meisten Fällen sind Phononen für die
Paarbildung der Elektronen verantwortlich. Diese grundlegende Erkenntnis geht auf Cooper (1956) zurück.
Der Zustand der gepaarten Elektronen ist gerade um 2∆ vom Normalzustand getrennt. Dies wurde von Bardeen,
Cooper, und Schrieffer 1957 in der sogenannten BCS-Theorie der Supraleitung im Detail ausgearbeitet. Die Tatsache der Paarbildung ist gerade im Unterschied der gemessenen Energielücken (spezifische Wärme Cp (T ), infrarot
Absorption) erkennbar. Obwohl zur Anregung eines ’Cooper-Paares’ eine Energie von 2∆ nötig ist, misst das thermische Experiment nur die notwendige Energie für ein statistisch unabhängiges Teilchen, d.h. ∆. Die Paarbildung kann
besonders gut in Experimenten, bei denen die Quantisierung des magnetischen Flusses wichtig ist, verifiziert werden.
Deshalb soll das Phänomen der Flussquantisierung hier diskutiert werden.
Annahme: Wellenfunktion des supraleitenden Zustands
ψ = ψ0 eiϕ(r,t)
√
Amplitude: ψ0 = ns
( kompatibel mit London-Gleichungen)
Teilchenstrom (quantenmechanisch)
̵
h
e
(ψ ∗ gradψ − ψgradψ ∗ ) − A∣ψ∣2
2mi
m
̵
e
h
= ns ( gradϕ − A)
m
m
jp =
11.8
Kapitel 11. Supraleitung
11.5. Ginzburg-London Theorie
Linienintegral über einen supraleitenden Ring mit Strom j = ejp
⇒ ∮ jds +
̵
e2 ns
ns he
∮ Ads =
∮ gradϕds
m
m
da ∮ Ads = ∬ rot Adf = Φ
und ψ(0) = ψ(2π) (periodische Randbedingungen)
̵
ns he
e2 ns
Φ=
2πn
m
m
Weg sei im Innern des Supraleiters gewählt, wo j = 0 gilt.
∮ jds +
⇒ e2 Φ = h ⋅ en ⇒ Φ =
h
n
e
Bedeutung: Quantisierung des Flusses innerhalb des Rings.
Experimentelle Beobachtung: Das entsprechende Flussquantum beträgt
h
2e
⇒ die Ladung, die den supraleitenden Strom trägt, ist 2e ⇒ Bestätigung der Idee der Cooper-Paare.
Φ0 =
11.5
Ginzburg-London Theorie
Diese Theorie beschreibt allgemein Phasenumwandlungen. Hier konzentrieren wir uns auf ihre Anwendung auf die
Supraleitung.
London-Gleichungen: Dichte der supraleitenden Elektronen ns
Interpretation über makroskopische Wellenfunktion
Evidenz für Paarbildung: ψψ ∗ = 12 ns
wobei ns jetzt die Dichte der Cooper-Paare beschreibt. Eine Phasenumwandlung kann allgemein durch einen Ordnungsparameter beschreiben werden, der sich charakteristisch ändert während der Phasenumwandlung. Hier bietet
sich die Grösse ∣ψ∣2 als Ordnungsparameter an:
∣ψ∣2
∣ψ∣2
= 0 für T > Tc
= maximal für T = 0 K
Ginzburg und Landau: entwickle in der Nähe von Tc die freie Energie als Funktion des Ordnungsparameters, der in
der Umgebung von Tc klein ist und für T > Tc kontinuierlich gegen Null strebt.
Dichte der freien Energie:
1
fs − fn = α∣ψ∣2 + β∣ψ∣4
2
fn ∶ freie Energie im Normalzustand
fs ∶ im supraleitenden Zustand
fs : muss ein Minimum für kleine Werte von ∣ψ∣2 haben⇒ β >0
thermodynamisches Gleichgewicht:
∂f
=0
∂∣ψ∣2
⇒ α + β∣ψ∣2 = 0
α
⇒ ∣ψ∣2 = − > 0 für T < Tc
β
11.9
11.5. Ginzburg-London Theorie
Kapitel 11. Supraleitung
Dies gilt im Inneren des Supraleiters, wo keine Oberflächeneffekte zu berück-sichtigen sind. Definition des kritischen
Magnetfeldes:
Hc2
8π
Hc2
α2
⇒ −
=−
8π
2β
⇒ α = α(T ) und α muss bei Tc das Vorzeichen wechseln.
fs − fn = −
Reihenentwicklung: (nur 1. Term dominant)
α = α′ (T − Tc ) = α′ (t − 1)
∂α
mit α′ =
>0
∂T
t = T /Tc
β ∶ Konstante
⇒ Hc ∼ (1 − t)
∣ψ∣2 ∼ (1 − t)
⇒ ns ∼ λ−2 ∼ (1 − t)
eingesetzt in freie Energien:
′
α2
(1 − t)2 Tc2
fs − fn = −
2β
∂2f
Cp = −T
∂T 2
⇒ Cp hat eine Diskontinuität bei Tc
′
∆c α 2
=
Tc
β
ausserdem gibt es äussere Magnetfelder:
fs − fn = α∣ψ∣2 +
2
β
1
̵ − e∗ A] ψ∣2 + H
∣ψ∣ +
∣[−i
h∇
2
2m∗
8π
m∗ = 2me
} Paarbildung
e∗ = 2e
H = rot A ∶
A=0
} ⇒ fs − fn = α∣ψ∣2 + β∣ψ∣4
ψ = const.
mit
ψ = ψ0 eiφ(r,t)
folgt
2
2
1
̵ − e∗ A] ψ∣ + H =
∣
[−i
h∇
2m∗
8π
2
̵2
h
1 ̵
e∗
2
(∇∣ψ∣)
+
(
h∇ϕ
−
A)
∣ψ∣2
2m∗
2m∗
c
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
kinetische Energie kinetische Energie der
aufgrund von Gra- durch das Magnetfeld
dienten in der Am- induzierten Superströme
plitude von ψ
11.10
Kapitel 11. Supraleitung
11.5. Ginzburg-London Theorie
Bedingung: freie Energie F = ∫ fs d3 r muss ein Minimum haben
SL
Variationsrechnung bzgl. ψ und A:
1
̵ − e∗ A]2 ψ + β∣ψ∣2 ψ + αψ = 0
[−ih∇
∗
2m
e∗2 ∗
e∗
∗
∗
[ψ
∇ψ
+
ψ∇ψ
]
−
ψ ψA
und js =
2m∗
m∗
Die beiden letzten Gleichungen heissen Ginzburg-Landau Gleichungen. Die 1. Gleichung ist formal gleich einer
Schrödinger-Gleichung eines Teilchens der Masse m∗ und dem Eigenwert -∞. Der nichtlineare Term ∣ψ∣2 ψ kann als
zusätzliches Potential interpretiert werden. Die 2. Gleichung entspricht dem Ansatz für die Stromdichte am Anfang
des Kapitels.
Spezialfall:
ψ = ψ(x) in einer Dimension
B0 = 0
⇒ −
̵ 2 ∂2ψ
h
+ αψ(x) + βψ 3 (x) = 0
2m∗ ∂x2
2
ψ∞ : im Innern des Supraleiters ∣ψ∞ ∣ = − αβ
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶
f=
ψ
ψ∞
x
Oberfläche des Supraleiters bei x=0:
̵ 2 ∂2f
h
2
+ αψ(x) + βf 3 ⋅ ψ∞
=0
∗
2
2m ∂x
̵ 1 ∂2f
h
⇒ −
+ f − f3 = 0
2m∗ ∣α∣ ∂x2
−
Definiere Länge: ξ =
Randbedingungen:
√
̵2
h
2m∗ (α)
f (∞) = 1
f (0) = 0
∂f
∣
=0
∂x x→∞
x
⇒ Lösung: f (x) = tanh √
2ξ
Anstieg des Ordnungsparameters von Null auf seinen Maximalwert erfolgt innerhalb einer Länge der Grössenordnung
ξ. Diese Länge heisst Kohärenzlänge.
1
ξ(T ) ≈ (1 − t)− 2
⇒ divergiert für T → Tc
∣ψ∞ ∣2 =
−Hc2
8π
=
−α
β
−α
2β
⎫
2e2
2
2
⎪
⎪ α(T ) = − mc
2 Hc (T )λ (T )
⎬
2
4
16π e
2
4
⎪
⎪
⎭ β = m2 c4 Hc (T )λ (T )
mit
λ2 =
⇒ ξ(T ) =
c2 m
4π ns e2
Φ0
√
2π 2Hc (T )λ(T )
11.11