Geometrie - Aufgaben

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Geometrie - Aufgaben
Bestimmungsaufgaben
C
1) Gegeben sei ein Dreieck ABC, das folgende
Bedingungen erfüllt:
(a) DE||AC mit D AB und E BC ;
(b)
AC BC ;
(c)
FDB = 145°.
Ermittle die Größen der Winkel
2) Die abgebildete Figur
Bedingungen:
(a)
BAC = CBA =
(b)
BDC = EDA =
(c)
ACD = BCF =
ECG und
G
E
D
A
B
F
DEB.
erfülle folgende
C
F
E
;
;
.
a) Ermittle die Größe des Winkels
b) Drücke allgemein durch aus.
AAAAAA
A
CDE, wenn
D
B
= 70° gilt.
3) Die Geraden g1, g2, g3, g4 mögen einander in der
aus der Abbildung ersichtlichen Weise schneiden.
Dabei gelte = 50°, = 100°, = 70°.
a) Ermittle die Größe von .
b) Drücke die Größe von allgemein durch
, , aus.
c) Welche Bedingungen müssen die gegebenen Winkelgrößen erfüllen, damit g1||g2 gilt?
g4
g3
g1
4) Gegeben sei ein Dreieck ABC, das folgende Bedingungen
erfüllt:
(a)
AC BC ;
(b)
AD AE ;
A
(c)
ACD = BCP.
a) Ermittle die Größe des Winkels AED, wenn DCB = 80° gilt.
b) Ermittle die Größe des Winkels AED, wenn DCB = 40° gilt.
c) Wie groß muss DCB gewählt werden, damit DCB = AED gilt?
5) In einem Dreieck ABC schneide die Winkelhalbierende des Winkels
AB im Punkt D. Ferner gelte AD DC und DC BC .
Ermittle aus diesen Angaben die Größe
des Winkels BAC.
g2
E
C
D
P
B
ACB die Seite
6) Maxi konstruiert ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit den Schenkeln AB und AC sowie die von C ausgehende Innenwinkelhalbierende; D sei ihr Schnittpunkt mit AB . Sie verlängert CD über D hinaus bis zu demjenigen Punkt E, für den die Strecken DE und DB
gleich lang sind. Sie stellt fest: Ihre Konstruktion ist so beschaffen, dass EB||AC gilt.
muss dann der Innenwinkel BAC in dem Dreieck ABC haben, mit dem
Welche Größe
Maxi die Konstruktion begann?
7) Gegeben sei ein Quadrat ABCD mit der Seitenlänge s. Eine Parallele zu AB schneide
BC und AD in den Punkten E bzw. F, eine Parallele zu BC schneide AB und EF in G bzw.
H und eine Parallele zu AB schneide BE und GH in K bzw. L.
1
Ermittle den Umfang des Rechtecks LKEH in Abhängigkeit von s unter der Bedingung, dass
die Rechtecke AGHF, GBKL, LKEH und FECD untereinander flächeninhaltsgleich sind.
Beweisaufgaben
8) Ein Dreieck ABC erfülle folgende Voraussetzungen:
V1: w ist die Winkelhalbierende des zur Seite BC im Punkt B gehörenden Außenwinkels
dieses Dreiecks.
V2: Die Parallele p zu w durch den Punkt C schneide die Gerade AB im Punkt D.
Beweise, dass aus diesen Voraussetzungen die Behauptung BC BD folgt.
9) Ein Viereck ABCD erfülle folgende Voraussetzungen:
V1: ABCD ist ein Trapez mit den parallelen Seiten AB und CD .
V2: Die Seiten AD und CD sind gleich lang.
Beweise, dass aus diesen Voraussetzungen die Behauptung folgt, dass die Diagonale AC
den Winkel BAD halbiert.
10) Ein Viereck ABCD erfülle folgende Voraussetzungen:
V1: ABCD ist ein Quadrat.
V2:
M ist der Mittelpunkt der Seite BC ;
N ist der Mittelpunkt der Seite CD .
Beweise, dass aus diesen Voraussetzungen die Behauptung
NMA =
ANM folgt.
11) Ein Dreieck ABC erfülle folgende Voraussetzungen:
V1: K ist der Mittelpunkt der Seite AB des Dreiecks ABC.
V2: M ist der Mittelpunkt der Seite AC des Dreiecks ABC.
V3: Der Punkt D liegt so, dass der Mittelpunkt S der Strecke CD auf der Seite AB liegt.
V4:: N ist der Mittelpunkt der Strecke BD .
Beweise, dass unter diesen Voraussetzungen die Strecken MN und KS stets einander halbieren.
12) Ein Dreieck ABC erfülle folgende Voraussetzungen:
V1: Die Seitenhalbierenden CSc und ASa des Dreiecks ABC schneiden einander im
Punkt S.
V2: X ist der Mittelpunkt der Strecke AS .
V3: Y liegt auf dem Strahl CSc außerhalb des Dreiecks ABC so, dass CSc = 3· YSc gilt.
Beweise, dass aus diesen Voraussetzungen folgt, dass das Viereck XYSaC stets ein Parallelogramm ist.
13) Beweise folgenden Satz:
Halbiert man die der Seite BC anliegenden Außenwinkel eines Dreiecks ABC und fällt vom
Schnittpunkt M dieser Halbierenden auf die Seiten dieses Dreiecks oder auf deren Verlängerungen die Lote MD , ME und MF , dann gilt MD = ME = MF .
14) In einem gleichschenkligen Dreieck ABC (mit der Basis AB ) habe der Winkel ACB ein
Gradmaß von 120°.
Beweise, dass unter diesen Voraussetzungen die Mittelsenkrechte der Seite BC und die Mittelsenkrechte der Seite AC die Seite AB stets in drei gleich lange Teile zerlegen.
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15) Gegeben sei ein Dreieck ABC mit AB < AC und BAC = . Sei D derjenige Punkt auf
AC , für den CD = AB gilt; sei M der Mittelpunkt von AD und N der Mittelpunkt von BC ; sei
E der Schnittpunkt der beiden Geraden MN und AB.
Beweise, dass unter diesen Voraussetzungen stets AEM = 1 gilt.
2
16) Sei ABCD ein Viereck, in dem die Diagonale AC den Winkel BAD halbiert. Der Punkt D
liege auf der Mittelsenkrechten mAC von AC und mAC schneide die Gerade AB im Punkt E.
a) Beweise, dass unter diesen Voraussetzungen ABCD stets ein Trapez ist.
b) Welches spezielle Viereck liegt vor, falls E = B gilt? Beweise deine Vermutung.
17) In einem Kreis mit dem Mittelpunkt M seien A und C die Endpunkte eines Durchmessers.
Durch A und durch C seien zwei Geraden gezogen, die zueinander parallel sind und die den
Kreis in B bzw. D schneiden.
Beweise, dass unter diesen Voraussetzungen die Gerade BD stets durch den Mittelpunkt M
dieses Kreises verläuft.
Konstruktionsaufgaben
18) Zu konstruieren sind alle (bis auf Kongruenz verschiedene) Dreiecke ABC, die folgende
Bedingungen erfüllen:
(a)
AC = b = 5 cm;
(b) CH = hc = 4 cm;
(c)
BS
(d)
(e)
CH ist eine Höhe im Dreieck ABC;
BS ist eine Seitenhalbierende im Dreieck ABC.
= sb = 6 cm;
a) Beschreibe deine Konstruktion und stelle fest, ob durch die gegebenen Stücke das Dreieck bis auf Kongruenz eindeutig bestimmt ist.
b) Fertige eine Konstruktionszeichnung an.
19) Zu konstruieren sind alle (bis auf Kongruenz verschiedene) Dreiecke ABC, die folgende
Bedingungen erfüllen:
(a) BC = a = 6 cm;
(b)
AHa = ha = 4 cm;
(c)
ASa = sa = 4,5 cm;
(d)
AHa ist eine Höhe im Dreieck ABC;
(e)
ASa ist eine Seitenhalbierende im Dreieck ABC.
a) Beschreibe deine Konstruktion und stelle fest, ob durch die gegebenen Stücke das Dreieck bis auf Kongruenz eindeutig bestimmt ist.
b) Fertige eine Konstruktionszeichnung an.
c) Beweise folgenden Satz: Wenn ein Dreieck ABC wie beschrieben konstruiert wird, dann
erfüllt es die gegebenen Bedingungen (a) bis (e).
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20) Zu konstruieren sind alle (bis auf Kongruenz verschiedene) Vierecke ABCD, die folgende
Bedingungen erfüllen:
AB = a = 8 cm;
(a)
(b) CD = c = 3 cm;
(c)
AC = e = 7 cm;
(d) BD = f = 6 cm;
(e) ABCD ist ein Trapez mit AB||CD.
.
a) Beschreibe deine Konstruktion.
b) Beweise folgenden Satz: Wenn ein Viereck ABCD die Bedingungen (a) bis (e) erfüllt,
dann lässt es sich wie beschrieben konstruieren.
21) Zu konstruieren sind alle (bis auf Kongruenz verschiedene) Vierecke ABCD, die folgende
Bedingungen erfüllen:
(a) ABCD ist ein Drachenviereck (mit der Symmetrieachse AC);
(b)
AC = f = 7 cm;
(c)
AB + BC = s = 10 cm;
(d)
BAD =
= 60°.
a) Gib eine Konstruktionsbeschreibung an.
b) Beweise folgenden Satz: Wenn ein Viereck ABCD die Bedingungen (a) bis (d) erfüllt,
dann lässt es sich wie beschrieben konstruieren.
22) Zu konstruieren sind alle (bis auf Kongruenz verschiedene) Dreiecke ABC, die folgende
Bedingungen erfüllen:
(a)
AB + BC = s;
(b) CH = hc;
(c)
(d)
CBA =
;
CH ist eine Höhe im Dreieck ABC.
a) Beschreibe deine Konstruktion.
b) Beweise folgenden Satz: Wenn ein Dreieck ABC die Bedingungen (a) bis (d) erfüllt, dann
lässt es sich wie beschrieben konstruieren.
c) Beweise folgenden Satz: Wenn ein Dreieck ABC wie beschrieben konstruiert wird, dann
erfüllt es die gegebenen Bedingungen (a) bis (d).
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