3. Die Kosten in der langen Frist

SWM
Statistics and Mathematical
Methods in Economics
VO 105.620 Grundlagen der Mikroökonomie
Die Kosten der Produktion (Kapitel 7)
ZIEL:
 Die Messung von Kosten
 Die Kosten in der kurzen Frist
 Die Kosten in der langen Frist
 Kurzfristige und langfristige Kostenkurven
 Die Produktion von zwei Gütern
 Dynamische Kostenänderungen
 Schätzung und Prognose der Kosten
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Bisher: Produktionstechnologie der Unternehmen
wie werden Faktoreinsatzmengen in Gütermengen umgewandelt
In diesem Kapitel:
wie bestimmen die Produktionstechnologie und die Preise der
Produktionsfaktoren die Produktionskosten des Unternehmens

Wahl der optimierenden, kostenminimalen Inputkombination
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1. Die Messung der Kosten
Ökonomische Kosten:
Kosten die einem Unternehmen aus der Nutzung ökonomischer Ressourcen in
der Produktion entstehen + Opportunitätskosten
Opportunitätskosten:
Kosten in Verbindung mit Möglichkeiten, die versäumt werden, wenn die Ressourcen
eines Unternehmens nicht der Verwendung mit dem höchst möglichen Wert
zugeführt werden.
Bsp.: ein Unternehmen besitzt ein Gebäude und zahlt für Büroräume keine
Miete, jedoch sind die Opportunitätskosten NICHT null !
das Unternehmen hätte durch Vermietung der Büroräume an ein
anderes Unternehmen Mieteinnahmen zahlen können
verlorene Mieteinnahmen = Opportunitätskosten der Nutzung der Büroräume
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1. Die Messung der Kosten
Versunkene Kosten (Sunk Cost):
Ausgaben, die getätigt worden sind und nicht rückgängig gemacht werden können,
d.h. diese Kosten werden die Entscheidung eines Unternehmens
nicht beeinflussen
Beispiel:
Ein Unternehmen zahlt eine Option von € 500.000 für den Kauf eines Gebäudes.
Der Preis des Gebäudes beträgt € 5 Millionen (d.h. € 5,5 Mio inkl. der Option)
Das Unternehmen findet ein anderes Gebäude welches € 5,25 Mio. kostet.
Das Unternehmen sollte das erste Gebäude kaufen, da die Option von
€ 500.000 versunkene Kosten sind und somit € 5Mio mit € 5,25 Mio verglichen
werden müssen.
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1. Die Messung der Kosten
Versunkene Kosten: Kosten die entstanden sind und nicht rückgängig
gemacht werden können.
Fixkosten: ändern sich mit dem Produktionsniveau NICHT, müssen auch
gezahlt werden, wenn nicht produziert wird.
Variable Kosten: ändern sich mit dem Produktionsniveau.
Beispiele:
Personalcomputer: die meisten Kosten sind variabel (Arbeit, Komponenten der
Herstellung wie Festplatten, Speicherchips, etc.…)
Software: die meisten Kosten sind versunken (Entwicklung der Software, ..)
Pizza: die meisten Kosten sind fix (Miete, Opportunitätskosten der Zeit des
Besitzers, etc.…)
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1. Die Messung der Kosten
Gesamtkosten = TK= FK + VK
Grenzkosten (GK): Erhöhung der Kosten, die sich aus der Erhöhung
des Outputs um eine zusätzliche Einheit ergibt
GK = ∆VK / ∆q = ∆TK / ∆ q
da Fixkosten unverändert sind wenn sich q ändert
Totale Durchschnittskosten (TDK): Gesamtkosten des Unternehmens
geteilt durch das Produktionsniveau
d.h. Kosten der Produktion pro Einheit
TDK = FDK + VDK = FK / q + VK / q = TK / q
die fixen Durchschnittskosten sinken mit wachsendem q
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1. Die Messung der Kosten
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2. Die Kosten in der kurzen Frist
Zur Produktion eines größeren Outputs muss das Unternehmen mehr
Arbeitskräfte (angenommen dies sei der einzige variable Inputfaktor) einstellen, d.h. die Kosten müssen erhöht werden.
Wie ändern sich die Kosten wenn der Output erhöht wird?
Unterscheidung zw.
Gesamtkosten
Grenzkosten
Durchschnittskosten
Die Ertragskurve bestimmt die Form der Kosten:
Bei steigenden Grenzerträgen steigt die Gütermenge im Verhältnis zum Input
und den variablen Kosten, und die Gesamtkosten sinken im Verhältnis
zur Gütermenge.
Bei abnehmenden Grenzerträgen sinkt die Gütermenge im Verhältnis zum Input
und den variablen Kosten, und die Gesamtkosten steigen im Verhältnis
zur Gütermenge.
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2. Die Kosten in der kurzen Frist
GK = ∆VK / ∆q = w ∆L / ∆ q
Aus Vorlesung 6 wissen wir: ∆ q / ∆ L = Grenzprodukt der Arbeit (GPL)
d.h. GK = w ∆L / ∆ q = w / GPL
Ein niedriges Grenzprodukt (GP) führt zu hohen Grenzkosten (GK)
und umgekehrt !
Gibt es mehr als einen Faktor, so ist ein Verlauf der Ertragskurven der
einzelnen Faktoren für den typischen Kostenverlauf weder notwendig noch
hinreichend!
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2. Die Kosten in der kurzen Frist
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3. Die Kosten in der langen Frist
Die kostenminimierende Inputwahl:
2 Inputs:
Arbeit (L) und Kapital (K)
Kosten der Arbeit: Lohnsatz (w)
Preis des Kapitals: Abschreibungssatz + Zinssatz = r
Bsp. für Preis des Kapitals (Kapitalnutzungskosten)
Delta kauft eine Boeing 737 für $ 150 Millionen mit einer erwarteten Nutzungsdauer
von 30 Jahren.
Jährliche ökonomische Abschreibung: $ 150 Millionen / 30 = $ 5 Millionen
Zinssatz = 10%
Kapitalnutzungskosten = $ 5 Millionen + (0,10)($150 Millionen-Abschreibung)
= ökonomische Abschreibung + (Zinssatz) (Wert des Kapitals)
Jahr 1 = $ 5 Millionen + (0,10)($150 Millionen) = $ 20 Millionen
Jahr 10 = $ 5 Millionen + (0,10)($100 Millionen) = $ 15 Millionen
r = 1/30 + 10% = 3,33 +10 = 13,33% Jahr
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3. Die Kosten in der langen Frist
Isokostengerade:
Kombination von L und K, die zu den gleichen Gesamtkosten gekauft werden
können.
C=wL+rK
 K = C/r –(w/r) L
Steigung der Isokostengerade : -(w/r) = ∆ K / ∆ L
Rate mit der Arbeit ohne Änderung der Kosten durch Kapital ersetzt werden kann.
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3. Die Kosten in der langen Frist
Minimierung der Kosten um ein bestimmtes Produktionsniveau zu erhalten:
Isokostengerade und Isoquante
Preisänderung
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3. Die Kosten in der langen Frist
Beziehung zwischen Isoquante, Isokostengerade, und Produktionsfunktion
GRTS = -∆K / ∆L = GPL / GPK
Steigung der Isokostengerade: : -(w/r) = ∆ K / ∆ L
 GPL / GPK = w/r  GPL /w = GPK / r
Ein kostenminimierendes Unternehmen wird seine Inputs so wählen, dass der
Wert des letzten Euros jedes zum Produktionsprozess hinzugefügten Inputs
den gleichen zusätzlichen Output erzielen sollte.
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3. Die Kosten in der langen Frist
Expansionspfad:
stellt bei jedem Produktionsniveau die Kombinationen von Arbeit und Kapital
mit den minimalen Kosten dar.
𝐶𝐶 =
€10
€20
𝐿𝐿 +
𝐾𝐾
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆
Expansionspfad: Kombination von L und K, welche das Unternehmen zur Minimierung
der Kosten in jedem Produktionsniveau einsetzt.
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3. Die Kosten in der langen Frist
Daraus resultierende Gesamtkostenkurve des Unternehmens:
Da die Produktion konstante Skalenerträge aufweist,
ist der Expansionspfad linear.
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4. Kurzfristige und langfristige Kostenkurven
Langfristig: alle Inputs sind variabel
Kurzfristig: zumindest ein Input ist fix (Kapital sei durch K1 beschränkt)
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4. Kurzfristige und langfristige Kostenkurven
(LDC oder LDK): Langfristige Durchschnittskostenkurve
Konstante Skalenerträge: Durchschnittskosten sind bei allen Produktionsniveaus
konstant.
Zunehmende Skalenerträge: Durchschnittskosten sinken bei allen Produktionsniveaus.
Abnehmende Skalenerträge: Durchschnittskosten steigen bei Erhöhung der
Produktionsniveaus.
Langfristig entstehen den Unternehmen zunehmende und abnehmende
Skalenerträge. Daher verläuft die Durchschnittskostenkurve „U-förmig“.
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4. Kurzfristige und langfristige Kostenkurven
LGK < LDC: LDC sinkt
LGK > LDC: LDC steigt
LGK
LDC
Im Minimum von LDC: LDC = LGK
Beweis:
Es gilt: LDC=LTC/q
Ableitung nach q (Quotientenregel)
(LGK q – LTC)/q2= (LGK-LTC/q)/q=
(LGK-LDC)/q
und null setzen, ergibt:
LGK=LDC
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4. Kurzfristige und langfristige Kostenkurven
Größenvorteile und Größennachteile
Größenvorteile: zu einer Verdoppelung des Outputs ist weniger als eine
Verdoppelung der Kosten notwendig
Zunehmende Skalenerträge: der Output erhöht sich um mehr als das Doppelte,
wenn alle Inputs verdoppelt werden (konstantes Inputverhältnis)
d.h. der Begriff Größenvorteile umfasst zunehmende Skalenerträge als Sonderfall,
ist aber allgemeiner da sich ändernde Inputproportionen möglich sind, wenn
das Produktionsniveau variiert.
Messung anhand der Kosten-Output-Elastizität EC
EC = (∆C/C) / (∆q/q) = (∆C/∆q) / (C/q) = GK / DC
EC = 1 wenn GK = DC : weder Größenvorteile noch Größennachteile
EC >1 wenn GK > DC: Größennachteile
EC <1 wenn GK < DC: Größenvorteile
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4. Kurzfristige und langfristige Kostenkurven
Beziehung zw. kurzfristigen und langfristigen Kosten
Langfristig sind alle Inputfaktoren und daher alle Kosten variabel.
Langfristige Durchschnittskostenkurve:
für jedes Outputniveau wählt man jene Betriebsgröße, mit der dieses Outputniveau zu den
geringsten Kosten erzeugt werden kann.
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Appendix
Minimierung der Kosten der Produktion eines gegebenen Outputniveaus
Isokostengerade:
Kombination von L und K welche
zu gegebenen Gesamtkosten
gekauft werden können.
Isokostengleichung:
PL L + PK K = TC
K = (TC/ PK ) - (PL / PK ) L
In der Graphik sind die Preise
wie folgt:
PK = PL =25
d.h. K = 4 - L
Appendix
Isokostendiagramm:
Schar von Isokostengeraden
wobei die Faktorkosten gegeben
sind.
Anstieg der Isokostengeraden:=
Opportunitätskosten einer Einheit
Kapital in Einheiten von Arbeit
Appendix
Änderung der Faktorpreise
Isokostengerade A:
Arbeit und Kapital kosten beide £25
Isokostengerade B:
Preis der Arbeit steigt auf £50
Isokostengerade C:
Kapitalpreis steigt auf £50
Appendix
Problem der Kostenminimierung
Man sucht die Faktorkombination
(K,L) mit welcher ein gegebener
Output zu minimalen Kosten
produziert werden kann.
Im Kostenminimierungspunkt muss
die Steigung der Isoquante gleich
der Steigung der Isokostengerade sein:
GRTS =
dK
f
P
= L = L
dL
f K PK
wobei die Produktionsfunktion durch:
formal:
min PL L + PK K
L,K
s.t. f ( K , L) = q
q = f ( K , L)
gegeben sei.
Appendix
Analytische Bestimmung der Minimalkostenkombination
Die Produktionsfunktion sei durch eine Cobb-Douglas Funktion gegeben:
y = aK b L1−b
a > 0,0 < b < 1
Division von II/I  man erhält K als
Funktion von L
Einsetzen von L als Funktion von K in (III) 
l = rK + wL + λ ( y − aK b L1−b )
∂l
b
= r −λ y = 0
∂K
K
∂l
1− b
= w−λ
y=0
∂L
L
∂l
= y − aK b L1−b = 0
∂λ
(I)
1−b
(II)
(III)
 b w
K =

r
b
1
−


*
y
 b w
, L* = 

a
b
r
−
1


−b
y
a
Appendix
Anmerkung:
Das Gewinnmaximierungsproblem kann in 2 Teilprobleme zerlegt werden.
1.
Kostenminimierung: für jedes Outputniveau wird der kostenminimierende
Faktoreinsatz bestimmt.
2.
Bei gegebener Kostenfunktion wird der profitmaximierende output
bestimmt.