x - DHBW Mosbach
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Einführung in Quantenmechanik 1.Teil Welle-Teilchen-Dualismus / Komplementarität Licht als Teilchestrom : Photoeffekt, Einstein-Deutung DeBroglie-Wellenlänge Materiewellen Wellenfunktionen für Materie Lokalisation im Wellenbild - Unschärfen Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Wellenfunktion Exkurs: Wahrscheinlichkeit bei diskreten + kontinuierlichen Größen Doppelspalt-Versuch : Interpretation + Unschärferelationen Schrödingergleichung (SGL) Prof. Dr. H.Neuendorf BA Mosbach Es war eine ganz abenteuerliche Zeit, voll von Überraschungen und Enttäuschungen, von Erfolgen und von tiefliegenden Schwierigkeiten, deren Diskussion uns bis an die Grundlagen aller physikalischen Erkenntnis geführt hat. .... Werner Heisenberg Die bedeuteren Probleme […] können wir nicht auf derselben Denkebene lösen, die diese Probleme hervorrief Albert Einstein Zeitunabhängige 1d SGL eines Teilchens Anwendung der SGL auf einfach Systeme : 1d ∞ tiefer Potentialtopf : Energiequantisierung, Aufenthaltswahrscheinlichkeiten, Orthonormierung, Korrespomdenzprinzip 1d endlich tiefer Potentialtopf Harmonischer Oszillator Potentialstufen + Tunneleffekt Operatorformalismus der QM Zeitunabhängige 1d SGL mehrerer Teilchen : Energie-Entartung (Nicht-Unterscheidbarkeit, Symmetrische + Antisymmetrische Wellenfunktionen) © H.Neuendorf (1) Schrödinger-Gleichung Größenordnung [m] Festkörper © H.Neuendorf -- 10 -3 -- 10 -8 Molekül p n Valenzband ↔ Leitungsband 1 eV Sichtbares Licht Molekülrotationen 1 eV 0.1 eV Sichtbares Licht , IR -- 10 -10 e Elementarteilchen Quarks (5) Wechselwirkungsprozesse + Energien : Molekülschwingungen Atom Dirac-Gleichung Quantentheorie Quantenmechanik: Umfassende Beschreibung der Materie -- 10 -14 -- 10 -16 Elektronische Anregungen, Spektren 10 eV UV Radioaktiver Zerfall Um Strukturen auflösen zu können muss Wellenlänge der Strahlung kleiner als Messobjekt sein MeV γ-Strahlung Übergang Baryonenzustände Hochenergetische Teilchen Kurze Wellenlängen entsprechen hohen Energien GeV Mit kleineren Strukturen werden immer höhere Energien nötig E-Teilchenphysik = Hochenergiephysik Quantenmechanik: Einstieg → Welle-Teilchen - Dualismus Beispiel Licht Ausbreitung : Welleneigenschaften Wechselwirkung mit Materie : Teilcheneigenschaften (Photonen) Quantenmechanik: Verbinden beider Sichten durch Welle / Teilchen-Dualismus Klassische Welleneigenschaften : Klassische Teilcheneigenschaften : Amplitude, Intensität ∝ A2 Genau definierter Ort und Impuls Energiefluss, kein Materietransport Ort + Impuls gleichzeitig genau messbar Wellenlänge + Frequenz Unterscheidbare Teilchen Interferenz (konstr. + destr.) Keine Interferenz / Auslöschung von Teilchen Beugung Unschärfe h = 6.626·10-34 J s = 4.136·10-15 eV s Delokalisation Speziell Licht : Wellenenschaften des Lichts: Teilchenenschaften des Lichts: Frequenz f Ruhemasse m0 = 0 kg Wellenlänge λ=c/f Geschwindigkeit v=c Phasengeschwindigkeit vp = c / n = ω / k Energie E=h⋅f Gruppengeschwindigkeit vgr = dω / dk Masse m = E / c2 = h ⋅ f / c2 Feldstärken E(r,t), B(r,t) Impuls p=m·c= h⋅f/c=h/λ Intensität I = ½ c ε0E2 Drehimpuls S = h / 2π © H.Neuendorf (6) i (µA) Energiequantelung: Photoeffekt Photostrom i Bremspotential V0 A V (7) helles Licht, Intensität I2 > I1 Frequenz f = const schwaches Licht, Intensität I1 Vakuum Photoelektronen + - h·f Intensität I materialspezifische Grenzfrequenz materialunabhängige Steigung Frequenz f ft f2 -V02 -V01 hochfrequentes Licht f2 > f1 > ft f1 ft V 0 Elektronenemission aus Metalloberfläche bei Bestrahlung mit kurzwelligem Licht Na Li Entdecker: Heinrich Hertz (1887) Ni f [Hz] © H.Neuendorf i (µA) Grenzfrequenz ft I = const Lichtquelle V0 [V] V Intensität Anode Kathode 0 -V0 Exp. Analyse: Lenard (1900) Deutung: Einstein (1905) Emittierte Elektronen als Stromfluss (Photostrom) nachweisbar. Elektronenzahl abhängig von pos. oder neg. Vorspannung der Anode gegen Kathode : V > 0 : Elektronen von Anode angezogen V < 0 : Elektronen von Anode abgestossen → Bremspotential Photoeffekt i (µA) Metallkathode emittiert Elektronen (10) helles Licht, Intensität I2 > I1 V > 0 : Elektronen von Anode angezogen Wenn V hinreichend groß erreichen alle Elektronen die Anode Sättigungsstrom fliesst schwaches Licht, Intensität I1 Sättigungsstrom (Elektronenzahl) proportional zur Lichtintensität V < 0 : Elektronen von Anode abgestossen Nur Elektronen mit Ekin > e·|V| erreichen Anode V < V0 : Kein Elektron erreicht mehr die Anode 1 mv 2 2 max = eV0 Widersprüche zur klassischen Wellentheorie 1. V0 unabhängig von Lichtintensität I : Ekin der Elektronen hängt nicht von I ab 2. V0 direkt abhängig von Lichtfrequenz f : Ekin der Elektronen proportional zu f Keine Photoelektronen wenn f < ft unabhg von I-Licht Grenzfrequenz ft nur von Kathodenmaterial abhängig 3. Keine klassische Zeitverzögerung : Photostrom sofort (10-11s) nach Bestrahlungsbeginn © H.Neuendorf -V0 0 V Einsteins Deutung (1905) Die von Planck eingeführte Quantelung der Strahlungsenergie des schwarzen Körpers ist eine universelle Eigenschaft des Lichts. Lichtenergie ist nicht gleichmässig im Raum verteilt, sondern besteht aus diskreten Quanten h·f = Photon. Lichtenergie wird gequantelt übertragen ganz oder gar nicht = Elementarprozess Herausschlagen Elektron aus Kathodenmaterial erfordert materialspezifische Austrittsarbeit W Deutung Photoeffekt Potentialkurve ("Potentialtopf") der Elektronen im Bereich Metalloberfläche h·f Energie e- ½ mv2 0 h·f W Absorption Photoquant Abstand eV0 = 1 mv 2 2 W ft = h © H.Neuendorf Oberfläche Metall Austrittsarbeit W = Bindungsenergie der Oberflächenelektronen (Größenordnung 1 eV) Muss durch Lichtquanten h·f geliefert werden Wenn h·f < W tritt kein Photoeffekt auf Wenn h·f ≥ W tritt sofort Photoeffekt auf - unabhängig von Lichtintensität. Jedes einzelne Photon hat genügend Energie zur verzögerungsfreien Emission eines Elektrons bei Absorption Energiebilanz : Überschüssige Restenergie der Photonen = kinetische Energie Ekin der Elektronen gefüllte Elektronenzustände im (11) Einsteins Deutung (1905): Lichtquanten außerhalb Metall = h⋅ f −W max Unabhängige exp. Bestimmung der Naturkonstanten h Steigung materialunabhängig stets h / e Grenzfrequenz durch materialabhängige Austrittsarbeit W bestimmt : PhotoelektronenSpektroskopie ! V0 [V] materialspezifische Grenzfrequenz materialunabhängige Steigung h / e Na Mg Ni f [Hz] ft Nutzung Photoeffekt : Lichtsensor - Photomultiplier (12) Prinzip : Sekundärelektronen-Vervielfachung Lawineneffekt mit Verstärkung 106 Flächige Auflösung der Lichtintensität (Grundprinzip der Restlichtverstärkung) Realistischere Darstellung der Elektrodenanordnung beim Photoeffekt Innerer Photoeffekt bei Halbleiter-Photodiode (Umkehrung LED-Prinzip) Übung: Auswertung Messdaten für Natrium © H.Neuendorf (13) Licht: Welle-Teilchen-Dualismus E h⋅ f E = h⋅ f = m ⋅c2 m= 2 = 2 c c p = m ⋅c = E h⋅ f h = = c c λ = h λ= p 2π h ⋅ = ⋅k 2π λ Wellencharakter: e.m. Welle Teilchencharakter: Photon Wellenlänge λ Frequenz f Impuls p Beugung und Interferenz Effektive Masse m Delokalisiert - Energie kontinuierlich in Raum und Zeit verteilt Dominiert Ausbreitung im Raum Dominant bei niedrigen Energien Compton-Streuung mit Impulsübertrag Ablenkung durch Gravitation Energie- und Impulssatz gilt Lokalisiert Photoeffekt, "sofortiger" Übertrag von Energie Dominiert Absorptions- und Emissionsvorgänge Dominant bei hohen Energien Grundlegend für das Verständnis der Natur 1. Welle-Teilchen-Dualismus ist komplementäre Beschreibung: Nicht auf einen Aspekt reduzierbar 2. Licht kein Sonderfall – auch Materie hat komplementären Charakter: ........... © H.Neuendorf DeBroglieWellenlänge DeBroglie-Hypothese (1924): Materiewellen DeBroglie-Wellenlänge λ= h h h = = p m⋅v 2m ⋅ Ek (14) "Der [...] Welle-Teilchen-Dualismus mußte ein absolut allgemeines, der gesamten physikalischen Natur innewohnendes Phänomen sein" Grundlegende allgemeine Komplementarität zwischen Welle und Teilchen: 2. Auch Materie hat komplementären Charakter: → Strahlung hat auch Teilcheneigenschaften → Materielle Teilchen haben auch Welleneigenschaften: ("Materiewelle") λ: Verschwindend klein für makroskopische Körper, aber endlich für mikroskopische Objekte !! Elektronen, Neutronen, Moleküle, .... zeigen Beugung und Interferenz Experimenteller Nachweis: Davission & Germer (1927) Interferenz von Elektronen-Strahlen an Ni-Oberflächen liefert Verteilungsmuster wie bei Röntgenstrahlen an Kristallen (Laue-Diagramme) Direkte Bestätigung der vorhergesagten DeBroglie-Wellenlänge λ ! Beschrieben durch Wellenfunktion = Lösung einer Wellengleichung Materiewellen sind "Wahrscheinlichkeitswellen" für Teilchen Strahlung: Abstrakte Bedeutung: Keine Schwingung von Feldgrößen wie bei Lichtwellen ... Amplitudenquadrat der Materiewelle ist proportional zur Teilchendichte – einzelnes Teilchen umso wahrscheinlicher anzutreffen, je größer Quadrat der Wellenamplitude an bestimmten Ort. © H.Neuendorf Felder E(r,t) B(r,t) lösen klassische Wellengleichung Materie: Wellenfunktion Ψ(r,t) löst Schrödingergleichung DeBroglie-Hypothese: Materiewellen DeBroglie-Wellenlänge DeBroglie-Frequenz = Einstein-Frequenz λ= h p f = E h (15) Publiziert in DeBroglies-Doktorarbeit. Hochspekulativ - da noch keinerlei experimentelle Beweise für Wellennatur von Teilchen vorlagen Experimenteller Beweis für Materiewellen: Beugungsexperimente mit Elektronen + Neutronen an Kristallen Typische Beugungsmuster Elektronenmikroskop liefert Abbildung analog LIMI, jedoch mit viel höherer Auflösung Beugungsmuster für Aluminiumfolie: a) von 0.071nm Röntgenstrahlung b) 600 eV = 0.05nm Elektronen c) 0.0568 eV = 0.12 nm Neutronen d) Doppelspalt-Intereferenzmuster von Elektronen : Interferenzmuster identisch wie bei Photonen derselben Wellenlänge Elektronenmikroskopisches Bild eines DNS-Moleküä Übereinstimmung der zugehörigen Wellenlänge mit DeBroglie-Voraussage Prinzipaufbau Elektronenmikroskop: Beschleunigung der Elektronen durch grosse Potentialdifferenz. Fokussierung durch magnetische Linsen. Aufzeichnung des Bildes auf fluoreszierendem Schirm © H.Neuendorf (16) Licht: Welle-Teilchen-Dualismus λ=c/f E = h·f m = h·f / c2 [Hz] [m] [ev] [kg] [kg m/s] UKW 10 8 3 4·10 -7 7·10 -43 2·10 -34 IR 10 12 3·10 -4 4·10 -3 7·10 -39 2·10 -30 5·10 14 6·10 -7 2 3.5·10 -36 1·10 -27 UV 10 16 3·10 -8 4·10 1 7·10 -35 2·10 -26 Röntgen 10 19 3·10 -11 4·10 4 7·10 -32 2·10 -23 Gamma 10 24 3·10 -16 4·10 9 7·10 -27 2·10 -18 Frequenzbereich Sichtbar Vergleich : f Proton mp = 1,673 ·10 -27 kg p = h / λ = m·c Elektron me = 9,11 ·10 -31 kg Teilchencharakter e.m. Strahlung umso ausgeprägter, je größer Photonenenergie: Niedrige Frequenzen - UKW, IR : Wellencharakter dominiert - Einzelne Photonen nur schwer zu registrieren Hohe Frequenzen - Röntgen, Gamma : Teilchencharakter dominiert - Photonen haben hohe Energien, einzeln nachweisbar - Wellenlänge nicht mehr direkt messbar, muss aus Energie berechnet werden Sichtbares Licht : Übergangsbereich zwischen beiden Extremen - Phänomene mit Wellencharakter und auch Teichencharkter darstellbar © H.Neuendorf λ : Wellenlängen viel kleiner als Abmessungen möglicher Hindernisse (Atomanstände in Kristallen) Keine Beugungs- und Interferrenzeffekte mehr darstellbar, rein geometrisches Verhalten (17) Wellencharakter von Materie Objekt m v λ=h/p [kg] [m/s] [m] 0,002 5 6,6·10 -32 10-4 10 6,6·10 -31 H20 (400 K) 3,0·10 -26 740 0,3·10 -10 Therm. Neutron 1,67·10 -27 2700 1,5·10 -10 Elektron (10eV) 9,11·10 -31 1,9·10 6 3,9·10 -10 Tischtennisball Staubkorn λ= h h = p m⋅v λ : Wellenlängen in Größenordnung von Atomanstände in Kristallen Beugungs- und Interferrenzeffekte darstellbar Welleneigenschaften nachweisbar durch: Interferenz + Beugung Typische Muster erst messbar, wenn Wellenlänge in Größenordnung A der Beugungsobjekte (Spaltebreite, Gitter, Atomabstände in Kristallen ≈ 0.1nm ) Makroskopische Objekte: λDeBroglie << A Mikroskopische Objekte: λDeBroglie ≈ A Rein geometrischer Strahlverlauf Beugungseffekte Je größer Impuls eines Objekts, desto schwieriger sind Welleneigenschaften nachweisbar Standardverfahren der Festkörperforschung : Thermische Neutronenstreuung © H.Neuendorf Welle-Teilchen-Dualismus - Komplementarität : (18) Zusammendenken sich klassisch ausschließender Eigenschaften Universum besteht ausschließlich aus Materie und Strahlung De Broglie-Hypothese ist grundsätzliche Aussage über umfassende Symmetrie der Natur : 1. Alle Träger von Impuls + Energie (Elektronen, Atome, Licht, Schall, ....) tragen sowohl Welleneigenschaften als auch Teilcheneigenschaften 2. Alles im Universum breitet sich wie eine Welle aus und überträgt Energie wie ein Teilchen In Experimenten sehen wir für Strahlung oder Materie entweder Welleneigenschaften oder Teilcheneigenschaften Das Wesen von Strahlung ebenso wie von Materie ist es jedoch, Teilchen- und Welleneigenschaften zu haben Diese sind komplementär zueinander : Sie scheinen sich auszuschließen und müssen doch beide zugleich berücksichtigt werden, um diese Wesensgesamtheit zu erfassen © H.Neuendorf Weg zur Quantenmechanik: Bisherige Gedankenführung h λ= p Licht (el.mag. Strahlung) als Paradigma Klassische Welle : (19) Teilcheneigenschaften : Photon aber auch (Interferenz, Beugung) (Photoeffekt, Impulsübertrag, Schwarzer Körper) Revolutionäre Ansätze Planck, Einstein : E = h·f DeBroglie : λ=h/p Licht : Übergang vom Wellenbild zum Teichenbild Materie : Übertragung auf Teilchenwelt Klassische Teilchen (Impuls, Masse, Lokalisation) Licht : aber auch Übergang vom Teilchenbild zum Wellenbild Welleneigenschaften : Materiewelle (Interferenz, Beugung) Wellenfunktionen E(r,t) B(r,t) Intensität ∝ E2 Lösungen der klassischen Wellen-DGL (aus Maxwell-Gl.) ∂ 2 E ( x, t ) ∂x 2 1 ∂ 2 E ( x, t ) = 2⋅ c ∂t 2 Materie: Wie lauten die Materie-Wellenfunktionen ? Welche (anschauliche) Bedeutung haben die Materie-Wellenfunktionen ? Lösungen welcher QM-Wellen-DGL sind sie ? Grundgleichung der QM - und damit der gesamten Physik ! © H.Neuendorf Problem : Vereinigung mit Feldgleichungen der ART steht immer noch aus .. (20) Lokalisation im Wellenbild: Puls = Wellenpaket Welle: Völlig delokalisiert Klassisches Teilchen: Rein harmonische Welle → Unendliche Ausdehnung in Raum und Zeit, jedoch eindeutige Frequenz und Wellenlänge Scharf lokalisiert vg Kurzzeitiger Wellenpuls: Räumlich und zeitlich begrenzt, lokalisiert, jedoch keine eindeutige Frequenz und Wellenlänge mehr Lokalisation durch Bildung Wellenpaket: Fourier-Synthese Kurzzeitiger Puls → Nicht durch einzelne harm. Welle beschreibbar Überlagerung vieler harmonischer Wellen unterschiedlicher Frequenz und Wellenlänge zu Wellengruppe = Wellenpaket : Ψ ( x, t ) = A( k ) cos(ω ⋅ t − k ⋅ x ) dk Konsequenz : Darstellung von Teilchen z.B. als Gaußsches Wellenpaket Klassische Unbestimmtheitsrelation der Signaltechnik: ∆x ⋅ ∆k ≈ 1 ∆t ⋅ ∆ω ≈ 1 ∆x, ∆t ↓ ⇔ ∆f ∆k ∆λ ↑ Je schärfer die räumliche und zeitliche Lokalisation, desto unbestimmter Frequenz und Wellenlänge des Signals / Teilchens Extremfall: Delta-Puls © H.Neuendorf (21) Materiewellenfunktion Ψ Charakteristische Teilcheneigenschaft = Räumliche Lokalisation Materiewellen müssen räumlich beschränkt sein (zB Elektron) Materiewellenfunktion Ψ(r,t) muss Wellenpaket (Wellengruppe) sein: Viele Wellenzahlen k und Frequenzen ω Teilchengeschwindigkeit: = Gruppengeschwindigkeit vg der Wellengruppe Beoabchtung des Teilchens: "Irgendwo" innerhalb räumlicher Ausdehnung des Wellenpaketes Grundlegende Konsequenz : Wellencharakter der Materie führt zu prinzipieller Unschärfe hinsichtlich Orts- / Impuls- / Energiebestimmung !! Ψ(x) E = h⋅ f = ⋅ω vp = f ⋅λ = vg = p= h λ = ⋅k A(k) p2 E= 2m E h E p v ⋅ = = = ≠ v! h p p 2m 2 x Ψ(x) A(k) dω dE / dE p = = = =v dk dp / dp m x © H.Neuendorf k k (22) Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Wellenfunktion Ψ(r,t) Intensität Abstrakter mathematischer Zugang: Wellenfunktion Ψ ist (i.A. komplexe!) Lösung der Schrödingergleichung. Enthält alle wesentlichen Informationen über System Wie lässt sich ihr Verlauf "anschaulich" interpretieren ? Wie hängen Wellenbild und Teilchenbild zusammen ? Analogie: Licht-Interferenz am Doppelspalt α Wellenbild versus Teilchenbild : Max Born (1882-1970) Licht-Wellenfunktion: e.m. Feldfunktionen E(r,t) B(r,t) Licht-Teilchen: Photonen gequantelt in Einheiten h·f Intensität der Lichtwelle ∝ E2 Photonendichte auch ∝ E2 Hell-Dunkel-Muster auf Detektorschirm: Quantenphänomen Dunkel = Destruktive Interferenz : Photonendichte = 0 E2 verschwindet Hell = Konstruktive Interferenz : Photonendichte maximal E2 maximal Somit E2 proportional zur Wahrscheinlichkeit, Photonen pro Volumeneinheit anzutreffen: © H.Neuendorf E2 ∝ Photonen-Aufenthaltswahrscheinlichkeit / Volumen Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Wellenfunktion Ψ(r,t) (23) Wieder : Übertrag der Licht-Verhältnisse auf Teilchen und ihre Materie-Wellenfunktion Intensität auf Detektorschirms ist proportional : 1. Im Wellenbild dem Amplitudenquadrat E2 der elektromagnetischen Lichtwelle 2. Im Teilchenbild der Photonendichte an diesem Punkt. Zusammenhang zwischen Photonen und der damit verbundener elektromagntischer Welle : Die Photonendichte im Raum ist direkt proportional zum Amplitudenquadrat der elektromagnetischen Welle an diesem Punkt Licht (WF)2 = Feldstärke2 = E2(r,t) ∝ Wellenbild Photonendichte ∝ Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte Statistisches Teilchenbild Materie (Materie-WF)2 = Ψ(r,t)2 ∝ Teichendichte ∝ Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte |Ψ Ψ(r,t) | 2 = Wahrscheinlichkeitsdichte : © H.Neuendorf ∝ Wahrscheinlichkeit, Teilchen pro Volumeneinheit anzutreffen ∝ Teilchen-Aufenthaltswahrscheinlichkeit / Volumen (24) Exkurs: Wahrscheinlichkeiten bei diskreten und kontinuierlichen Größen Diskrete Größe a → Endlich viele abzählbare mögliche Werte Bsp : Würfel - Augenzahlen a = 1, 2, 3, 4, 5, 6 P(a) = Wahrscheinlichkeit, dass Augenzahl a vorkommt Pges = Normierung auf 1 = Gewissheit Kontinuierliche reelle Grösse x → Unendlich viele mögliche Werte Bsp : Teilchenort x im Kasten der Länge L → Orte 0 ≤ x ≤ L P (a ) = 1 a 0 L x P(x) = 1 / L P(x) kann nicht Wahrscheinlichkeit sein, dass Ort x vorkommt !! Summe über ∞ viele Werte P(x) für ∞ viele Ortswerte x P ( x) = ∞ ist nicht normierbar : x P(x) ist nicht Wahrscheinlichkeit, sondern Wahrscheinlichkeitsdichte : 0 x x1 x2 L Antreffwahrscheinlichkeit pro Intervall ∆x für Intervall ∆x um Ort x ∆x Schiere Antreffwahrscheinlichkeit des Teilchens im Intervall ∆x um Ort x ist : P(x)·∆ Normierung auf 1 = Gewissheit → aus Summe wird Integral da kontinuierliche Größe : L L L 1 1 P ( x ) dx = dx = dx = 1 L L0 0 0 QM : © H.Neuendorf Ψ(x) Ψ(x)* entspricht P(x) Antreffwahrscheinlichkeit in bestimmten Intervall ist Fläche unter P(x) -Kurve : p( x1 , x 2 ) = x2 x1 P ( x ) dx Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Wellenfunktion Ψ(r,t) Statistische Deutung: Hebt Widerspruch zwischen Teilchen- und Wellenbild auf + Zeigt Zusammenhang zwischen beiden Bildern Starke Verringerung Lichtintensität bzw kurze Belichtungszeit : Nicht schwache Version des Interferenzmusters sondern Punktmuster abhängig von Gesamtzahl eintreffender Photonen Wirkung einzelner Photonen Teilchennatur Punktmuster entspricht Photonendichte : Photonenenergie lokalisiert, nicht verteilt über ganze Interferenzfigur Aber: Wellentheorie sagt das richtige Endmuster voraus Wellenfunktion hat auch für einzelnes Photon Bedeutung: Amplitudenquadrat prop. zu Photonen-Antreffwahrscheinlichkeit Statitische Gesamtverteilung aller Photonen erzeugt schließlich Interferenzmuster wie durch Wellennatur gefordert © H.Neuendorf (25) Wahrscheinlichkeitsinterpretation Wellenfunktion Ψ(r,t) © H.Neuendorf (26) (27) QM: Doppelspalt-Versuch Experimentelle Konstellation (Art der Messung) bestimmt, ob man Teilchen- oder Wellenverhalten erfasst und "sieht" : 1. Photo-Effekt Anregung einzelner Elektronen durch Photonen = Teilchencharakter 2. Doppelspalt-Experiment mit Elektronen Beide Spalte offen: Interferenzmuster = Wellenverhalten Nur 1 oder 2 offen: Jedem Pfad (1 oder 2) wird Wahrscheinlichkeitsamplitude Ψ(r,t) zugeordnet. Superpositionsprinzip der Wahrscheinlichkeitsampltuden : Ψ ges (r , t ) = Ψ1 (r , t ) + Ψ2 (r , t ) Messung der Intensität ∝ Wahrscheinlichkeitsverteilung P1 = Ψ12 P2 = Ψ22 P12 ≠ P1 + P2 ! P12 = (Ψ1 + Ψ2 ) = Ψ12 + Ψ22 + 2Ψ1Ψ2 ≠ P1 + P2 2 Detektor registriert stets nur "ganze" Elektronen, keine Anteile eines Elektrons Teilchencharakter Gesamtintensitätsverteilung auf Schirm zeigt jedoch Interferenzmuster Wellencharakter Welle-Teilchen-Dualismus : Elektronen werden wie Teilchen detektiert, propagieren aber (breiten sich aus) wie Wellen. Komplementarität von Wellen- und Teilchen-Eigenschaften Beide Eigenschaften (Aspekte) sind nicht gleichzeitig beobachtbar ! Welcher Aspekt jeweils zum Vorschein kommt hängt von experimenteller Anordnung ab .... © H.Neuendorf (28) QM: "Ein Objekt ist das, was es tut" Experimentelle Konstellation (Art der Messung) bestimmt, ob man Teilchen- oder Wellenverhalten erfasst und "sieht" : "In quantum thinking an objects is only what it does." 3. Doppelspalt-Experiment mit Elektronen-Detektor an einem Spalt Bestimmung des Durchgangswegs einzelner Elektronen Interferenzmuster = Wellenverhalten verschwindet !! Rein ballstische Häufung = Summe der Einzelspalt-Verteilungen = bloßes Teilchenverhalten P1 = Ψ12 P2 = Ψ22 P12 = Ψ12 + Ψ22 = P1 + P2 Lichtquelle sendet Photonen an denen Elektronen gestreut werden Feststellbar durch welchen Spalt Elektron lief Beobachtung des Elektronweg zerstört das Interferenzmuster. Nur noch Teilchenaspekt ist sichtbar, kein Wellenverhalten mehr. Beobachtung der Elektronen mittels Licht stellt Störung dar, die das Interferenzmuster verwischt. Experimenteller Welle-Teilchen-Dualismus : Wenn man versucht Welleneigenschaften zu messen, dann "sieht" man nur diese. Wenn man versucht Teilcheneigenschaften zu messen, dann "sieht" man nur diese. © H.Neuendorf Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Wellenfunktion Ψ (r,t) (29) Interferenzmuster nicht nur mit Licht, sondern auch mit materiellen Teilchen darstellbar Teilchen-Wellenfunktion = Ψ (r,t) Übertragung der Interpretation von Licht auf Materie: |Ψ Ψ | 2 proportional zur Wahrscheinlichkeit Teilchen pro Volumeneinheit anzutreffen = Wahrscheinlichkeitsdichte: |Ψ Ψ | 2 ∝ Teilchen-Aufenthaltswahrscheinlichkeit / Volumen Einheit |Ψ|2 im 3d-Fall: [m-3] Ψ(r,t) ist i.A. komplexe Funktion 2 Ψ = Ψ ⋅ Ψ* Idee für Normierung der Wellenfunktion : Antreffwahrscheinlichkeit dP im Teil-Volumen dV ist somit dP = |Ψ Ψ|2 ·dV Wahrscheinlichkeit, das Teilchen irgendwo im gesamten Raum anzutreffen, muss 1 sein Integral über gesamtes (relevantes) Volumen muss 1 liefern Nur normierbare Wellenfunktionen Ψ(r,t) sind physikalisch gültig ! Schränkt mögliche Lösungen der SGL ein 2 dP = Ψ ⋅ dV = Ψ ⋅ Ψ *dV Pges = * dP = Ψ ⋅ Ψ dV = 1 V © H.Neuendorf ! Die Wahrscheinlichkeitsdichte |Ψ Ψ | 2 ist ein reeler Wert messbar + physikalisch deutbar, während Wellenfunktion Ψ selbst nicht messbar ist !! Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Wellenfunktion Ψ(r,t) (30) Max Born : "Die Bewegung der Partikel folgt den Wahrscheinlichkeitsgesetzen, die Wahrscheinlichkeit selbst aber breitet sich nach dem Kausalgesetz aus" Dreidimensionales Wellenpaket, bewegt sich entlang x-Achse. Punkt gibt klassischen Ort des Teilchens an. Paket verbreitert sich bei zeitlicher Entwicklung durch Dispersionseffekt : Überlagerung unterschiedlicher Wellenfunktionen unterschiedlicher Phasengerschwindigkeit ...... © H.Neuendorf (31) Unschärfe der Wellenfunktion Ψ(r,t) : Unbestimmtheitsrelation Heisenberg 1927 Wahrscheinlichkeitsdichte |Ψ Ψ | 2 ist räumlich ausgedehnt Ort eines Teilchens prinzipiell nicht mehr exakt feststellbar : Ortsmessungen liefern verschiedene Werte - deren Verteilung ist durch |Ψ Ψ | 2 gegeben p = ⋅k Lokalisierte Zustände Bildung von Wellenpaketen → Klassische Unbestimmtheitsrelation der Signaltechnik: Räumlich schmale Pulse Breites Spektrum von Wellenzahlen k und Impulsen p Zeitlich schmale Pulse Breites Spektrum von Frequenzen f, ω und Energien E ∆x ⋅ ∆k ≈ 1 ∆t ⋅ ∆ω ≈ 1 ∆x ⋅ ∆p ≈ ∆ t ⋅ ∆E ≈ ⋅ E = h⋅ f .......und umgekehrt ! Unschärfen-Größenordnung h/2π beruht nicht auf messtechnisch unvollkommener Ausrüstung, sondern ist Folge des WellenTeilchen-Dualismus von Materie und Licht !! Unschärferelation (UR) der Quantenmechanik : Verteilungsfunktionen für Ort und Impuls / Energie und Zeitdauer lassen sich nicht gleichzeitig beliebig schmal machen. Ort und Impuls / Energie und Zeitdauer bleiben stets unscharf. UR beschreibt prinzipielle naturgegebene Untergrenze der korrespondierenden Unschärfe © H.Neuendorf = ⋅ω (32) Heisenbergsche Unschärferelation zwischen Ort und Impuls Mikroskopisches Teilchen fliegt durch Spalt – Welleneigenschaften bewirken Beugung 1. Unschärfe der Ortsbestimmung hinter dem Spalt : ∆y ≈ b Welle-Teilchen-Dualismus 2. Unschärfe im Vertikalimpuls ∆py : Damit Teilchen auch Randbreiche des zentralen Beugungsmaximums auf Schirm erreichen können, müssen sie nach Spaltdurchgang über Komponente des Impulses in y-Richtung verfügen ! y → ∆p y → p b Horizontalimpuls → ∆p y α sin(α1min ) ≈ α ≈ → p h ∆ y ⋅ ∆p y ≈ b ⋅ = h b © H.Neuendorf ∆y Detektierte Intensität = Teilchenzahl - zum größten Teil zwischen 1. Minima Beobachtung der Elektronen direkt hinter Spalt Elektronen α α DeBroglie : ∆p y p p= h λ λ ∆p y ≈ sin(α ) ⋅ p = 1 ⋅ ⋅ p b ∆p y ≈ λ h h ⋅ = b λ b Produkt der Unschärfen von Ortskomponente y und zugehöriger Impulskomponente ist mindestens von Größenordung des Planckschen Wirkungsquantums h !! Grundsätzliche Aussage über Messbarkeit ! Schrödingergleichung: Wellen- / Quantenmechanik (QM) De Broglie : (35) Heisenberg 1926 Schrödinger 1926 Teilchen haben Welleneigenschaften - bei sehr kurzen Wellenlängen aber nicht mehr bemerkbar Analogie: Optik: Licht durch Wellentheorie beschrieben → Wellen = Lösungen der Wellen-DGL Im Grenzfall kurzer Wellenlängen Übergang in die geometrische Optik QM: Materie durch Wellentheorie zu beschreiben → Ψ = Lösung der ????-DGL Im Grenzfall kurzer Wellenlängen Übergang in die klassische Mechanik Schrödinger-DGL : Kann nicht hergeleitet werden - ebensowenig wie die Newtonschen Bewegungsgesetze !! Hat axiomatischen Charakter - muß postuliert werden : Gültigkeit der Fundamentalgleichungen der Physik wird durch Übereinstimmung mit dem Experiment bestätigt. Folgen aus Naturbeobachtung, nicht aus mathematischen Herleitungen Sind jedoch selbst Grundlagen aller weiteren mathematischen Deduktionen ....... SGL kann jedoch plausibel gemacht werden: Operatorschreibweise des Energieerhaltungssatzes SGL ist nichtrelativistische Gleichung, erfasst keine relativistischen Effekte. Relativistische Wellengleichung 1928 durch Dirac aufgestellt © H.Neuendorf (36) Schrödingergleichung: Eindimensionaler Fall Ausgangspunkt: Teilchen als Materiewelle Gesamtenergie des Teilchens mittels DeBroglie-Beziehung : E ges 2 2 p2 k = Ek + E p = + Ep = + Ep 2m 2m 2 k2 E= + Ep 2m Spezialfall: Harmonische Wellenfunktion eines delokalisierten kräftefreien Teilchens exakter kinetischer Energie und Frequenz mit konstanter potentieller Energie : Ψ = A⋅e i (ω ⋅t − k ⋅ x ) = A ⋅ [cos(ω ⋅ t − k ⋅ x ) + i ⋅ sin (ω ⋅ t − k ⋅ x )] Normierungskonstante A Einsetzen Wellenfunktion in QM-Wellengleichung soll Energieausdruck liefern ! Mathematische Anforderungen : 1. Zwei Ableitungen nach Ort liefern Faktor k2 2. Potentielle Energie Ep muss als separater Faktor eingehen 3. Weitere Faktoren h/2π π und 2m müssen eingehen Klassische Wellengleichung erfüllt diese Anforderungen nicht ! ∂ 2 E ( x, t ) ∂x 2 1 ∂ 2 E ( x, t ) = 2⋅ c ∂t 2 4. Wellengleichung soll lineare DGL sein ! Jede Linearkombination von Lösungen Ψi der DGL ist wieder Lösung : Ψ ( x ) = a1Ψ1 ( x ) + a2 Ψ2 ( x ) © H.Neuendorf Dadurch hat Ψ Merkmale von Wellen: Konstruktive und destruktive Überlagerung darstellbar ! Jeder Term der Gleichung und jede Ableitung von Ψ (x) muss linear in Ψ (x) sein Zeitunabhängige SGL: Eindimensionaler Fall ∂ 2 Ψ( x ) + E p ( x ) ⋅ Ψ( x ) = E ⋅ Ψ( x ) − ⋅ 2 2m ∂x 2 − ⋅ 2 ∂2 − ⋅ 2 + E p ( x) = H 2m ∂x Wo steckt die Physik des speziellen Systems ? 1. Masse m des Teilchens ∂ + E p ( x ) Ψ( x ) = E ⋅ Ψ( x ) 2 m ∂x 2 2 (37) 2. Potentialverlauf !! E p (x) Das Potential ist die "Welt" in der sich das Teilchen bewegt ... 2 Hamilton-Operator Zeitunabhängige SGL verbindet die Wellenfunktion Ψ und die erlaubten Energie-Eigenwerte E Lösungs-Wellenfunktionen Ψ müssen nicht reel sein. Messwerte jedoch sind stets reele Zahlen Wellenfunktion Ψ selbst ist nicht direkt messbar, wohl aber die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte Was liefert die Lösung der Gleichung ? 1. Zulässige Werte der Gesamtenergie = Energieniveaus 2. Wellenfunktionen Ψ(x) Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte | Ψ(x) | 2 3. Alle weiteren Observablen (=messbare Größen) aus Ψ(x) ....... Zeitunabhängige SGL ist gewöhnliche DGL in x. Wesentlich einfacher zu lösen als zeitabhängige SGL Zulässige Lösungen müssen normierbar sein!! - Normierungsbedingung : +∞ * Ψ ⋅ Ψ dx = 1 −∞ © H.Neuendorf Noch "elementar" lösbare Systeme : Teilchen im Potentialkasten Harmonischer qm. Oszillator Potentailstufe (Tunneleffekt) Wasserstoffatom (38) Zeitunabhängige Schrödingergleichung Forderungen an die Wellenfunktion: Form von Ψ(x) hängt von Potentialverlauf Ep(x) ab − 2 2m ⋅ ∂ 2ψ ( x ) ∂x 2 + E p ( x ) ⋅ψ ( x ) = E ⋅ψ ( x ) Physikalische Messwerte sind eindeutig. Aufenthaltswahrscheinlichkeit kann sich nicht von Punkt zu Punkt unstetig ändern + Aufenthaltswahrscheinlichkeit muß eindeutig sein + Die 2.Ortsableitung von Ψ(x) muß existieren Ψ(x) muß eine stetige und "glatte" sowie eindeutige Funktion sein : 1. Ψ(x) muß existieren und die SGL erfüllen 2. Ψ(x) und d Ψ(x) / dx müssen stetig sein 3. Ψ(x) und d Ψ(x) / dx müssen endlich sein 4. Ψ(x) und d Ψ(x) / dx müssen eindeutig sein 5. Ψ(x) muß für x→±∞ schnell genug gegen null gehen, damit Normierungsintegral endlich bleibt © H.Neuendorf Bei stationären Problemen ist die potentielle Energie Ep(x) zeitlich konstant – dh variiert nicht mit der Zeit Zeitunabhängige SGL für Ortsanteil Ψ(x) ist ausreichend. Zeitanteil ist bloße Oszillation mit Frequenz ω=E/ in der Form: exp( i·E·t / ) Gegenbeispiel : Einstrahlung E-Feld ins Atom → Effektive potentielle Energie des Elektrons variiert zeitlich Zeitabhängige SGL für Orts- und Zeitanteil Ψ(x,t) muss verwendet werden ! ∞ ∞ (44) Potentialtopf (Einfachstes System) Ep(x) Teilchen im Kastenpotential mit Länge L und unendlich hohen, unstetigen Wänden : zB: Elektron in Metall oder gefangen zwischen Elektroden Analog klassische schwingende eingespannte Saite ..... 0 L 0 ≤ x ≤ L: x < 0, x Teilchen muß sich im Kasten befinden E p ( x) = 0 SGL nur für Gebiet 0 ≤ x ≤ L zu lösen !! Ep(x) → ∞ außerhalb Kasten x > L : E p ( x) = ∞ Antreffwahrscheinlichkeit dort = 0 Ψ(x) verschwindet dort und an Rändern x < 0, x > L : Ψ( x) = 0 x=0 x = L : Ψ( x) = 0 Randbedingungen für stetige WF Ψ(x) Randbedingungen führen zu Quantelung der Energie .... Klassische Mechanik → Stehende Materiewelle + DeBroglie : n⋅ λ 2 = L n = 1,2,3,... λ= 2L n p= h λ = 2 2 2 p2 h π 2 2 E= = n2 ⋅ = n ⋅ = n ⋅ E1 2 2 2m 8m ⋅ L 2m ⋅ L © H.Neuendorf n⋅h 2L E1 = π2 2 2m ⋅ L2 EnergieQuantelung niedrigste erlaubte Energie E1 Lösung zeitunabhg SGL: Potentialtopf − SGL für Bereich innerhalb Kasten nimmt einfache Form an (analog DGL harmonischer Oszillator ....) ∂ 2ψ ( x ) ∂x 2 =− 2m ⋅ E 2 ⋅ψ ( x ) 2 2m 2m ⋅ E ψ ( x ) = A ⋅ sin 2 ⋅ 2 ∂ ψ ( x) ∂x 2 (45) = E ⋅ψ ( x ) ⋅ x + B ⋅ cos 2m ⋅ E 2 ⋅x Einbau der örtlichen Randbedingungen für x = 0 und x = L : x=0 x = L : Ψ ( x) = 0 Ψ (0) = 0 = B ⋅ cos(0) = B Ψ ( L) = 0 = A ⋅ sin E = n2 ⋅ 2m ⋅ E 2 © H.Neuendorf π2⋅ 2 2m ⋅ L2 ⋅ L = n ⋅π B=0 2m ⋅ E 2 2 ⋅ L = n ⋅π n = 1,2,3,... Quantisierung der Energie: Diskrete EnergieEigenwerte mit n als Quantenzahl n = 1,2,3,... 2 2m ⋅ E ⋅L 2m ⋅ E Konstante B muss 0 sein, Konstante A könnte 0 sein, wäre jedoch trivialer Fall, wo Ψ(x) überall 0 ist, dh gar kein Teilchen vorhanden. Dies gilt auch für n = 0. = n ⋅π L Ψn ( x ) = A ⋅ sin n ⋅π ⋅x L Bestimmung von A aus der Normierungsbedingung im relavanten Bereich: ..... (46) Lösung zeitunabhg SGL: Potentialtopf Bestimmung von A aus der Normierungsbedingung im relevanten Bereich: n ⋅π Ψn ( x ) = A ⋅ sin ⋅x L +∞ Im Bereich unendlichen Potentials außerhalb x = [0, L] verschwindet die WF und liefert keinen Beitrag zum Normierungsintegral. Integral muß nur im Bereich [0, L] ausgewertet werden : L * L Ψ ( x ) ⋅ Ψ ( x )dx = Ψ ( x ) ⋅ Ψ ( x )dx = A 2 ⋅ sin 2 −∞ A= 0 1 L sin 2 0 Ψn ( x ) = * n ⋅π ⋅ x dx L 2 n ⋅π ⋅ sin ⋅x L L 0 = 2 L n ⋅π ⋅ x dx =1 L Normierte WF : Eigenfunktionen = stationäre gequantelte Eigenzustände des Systems Quantenzahl n spezifiziert Energie und WF aufgrund Randbedingungen des Systems Grundzustand n = 1 Angeregte höhere Zustände n > 1 Entsprechen Wellenfunktionen einer stehenden Materiewelle analog eingespannter Saite ....... 2 En = n ⋅ © H.Neuendorf π2⋅ 2 2 2m ⋅ L n = 1,2,3,... Klassisches Teilchen kann jede beliebige Energie besitzen, aber in QM geben nur die Werte En gültige Lösungen der SGL - nur diese Energien sind erlaubt !! Energien, WFs und Aufenthaltswahrscheinlichkeiten En ∞ 25 E1 ∞ n 5 Energieniveauschema 16 E1 Mögliche Anregungsenergien 4 9 E1 4 E1 3 Grundzustand 2 1 E1 Ep = 0 2 E n = n ⋅ E1 E1 = n = 10 π2⋅ 2 2 2m ⋅ L >0 ∆E = E n − E m Diskretes gequanteltes Energie-Eigenwert-Spektrum mit Grundzustandsenergie > 0J Einsperren des Teilchens liefert stets endliche Nullpunktenergie © H.Neuendorf (47) (48) E(k)-Diagramm: Freies Teilchen versus Teilchen im Potentialkasten En ∞ 25 E1 ∞ n 5 Energieniveaus 16 E1 Quantisierung der kinetischen Energie En bedeutet zugleich Quantisierung erlaubter Impulse pn und Wellenzahlen kn nπ = ⋅ En = n ⋅ 2 L ⋅ 2m 2m L 2 4 pn = ⋅ 3 9 E1 Ekin, frei = 4 E1 2 E1 1 π2⋅ 2 2m 2 2 nπ = ⋅ kn L ⋅ k2 Freies Teilchen kann beliebige kinetische Energien, Impulse und Wellenzahlen annehmen Ep = 0 Einfluss der Quantisierung geht mit wachsender Kastengrösse L zurück. Je größer L, desto dichter liegen erlaubte Energien, Impulse und Wellenzahlen Desto mehr geht diskretes Potentialkasten - E(k)-Diagramm in kontinuierlichen Verlauf über © H.Neuendorf E(k)-Diagramm repräsentiert die "Bandstruktur" des Systems → Halbleiter !! 2 pn2 = 2m kn = nπ L Auftragung erlaubter Energiewerte gegen erlaubte Impulse bzw. Wellenzahlen : In Lit. auch oft W(k)Diagramm genannt ... Bohrsches Korrespondenzprinzip : (49) Für große Quanzenzahlen n und somit große Energien En geht qm Verteilung über in die klassische Verteilung Klassische Rechnung und qm. Rechnung liefern gleiches Resultat Die klassische Physik ist der Grenzfall der QM für große Quantenzahlen und Energien | Ψn2 ( x ) | = = n ⋅π 2 ⋅ sin 2 ⋅x = L L 2 1 1 ⋅ = =P L 2 L Mittelung über [ 0,L ] für große n Relative Energieänderung des qm. Systems nähert sich für n→∞ →∞ klassischen kontinuierlichen Verhältnissen, dh EnergieQuantisierung nicht von Bedeutung : Übergang vom gebundenen Teilchen zum freien Teilchen für L → ∞ : E1 = π2⋅ 2 2m ⋅ L2 lim E1 = 0 J L→∞ lim ∆E = E n − E m = 0J L →∞ © H.Neuendorf n = 10 Übergang zur klass. Gleichverteilung E n +1 − E n lim =0 n →∞ En Unendliche Kastenausdehnung entspricht einem freien Teilchen. Energiedifferenzen zwischen Energieeigenwerten gehen gegen Null Diskretes Energieeigenwertspektrum geht in ein kontinuierliches über. Für freie Teilchen kann Energie kontinuierliche Werte annehmen - nur für gebundene Teilchen treten diskrete quantisierte Energieeigenwerte auf (50) Orthonormierung WF stationäer Eigenzustände sind stets orthonormiert - Orthonormalitätsrelation (ONR) : +∞ +∞ Ψn ( x ) ⋅ Ψ ( x ) dx = Ψm ( x ) ⋅ Ψ ( x ) dx = δ nm = * m −∞ * n −∞ Analog zu 3dim Vektorraum mit kartesischen Einheitsvektoren 1 n=m 0 n≠m 0 → → → → → → → → → → e x ⋅ e y = e y ⋅ ez = ez ⋅ e x = 0 Im Beispiel des Kastenpotentials also : L → → e x ⋅ e x = e y ⋅ e y = ez ⋅ ez = 1 n ⋅π m ⋅π 2 2 ⋅ sin ⋅ x dx = δ nm ⋅ sin ⋅x ⋅ L L L L 3 i =1 e ni ⋅ e mi = δ nm Die stationären Eigenfunktionen Ψ(x) sind die Einheitsvektoren im Hilbertraums und spannen den Raum der möglichen reinen oder gemischen Zustände des Systems auf ONR ist das Skalarprodukt in einem unendlich dimensionalen Vektorraum = Hilbertraum Ψ ( x ) = a1 ⋅ Ψ1 ( x ) + a 2 ⋅ Ψ2 ( x ) + a 3 ⋅ Ψ3 ( x ) + .... = Anm: Dreidimensionales Kastenpotential liefert 3 Quantenzahlen n1, n2, n3 : Je eine zu Randbedingung jeder der drei Koordinaten x, y, z © H.Neuendorf i a i ⋅ Ψi ( x ) Anm: Komplette WF inklusive zeitabhängiger Term Ψn ( x , t ) = e i⋅ En ⋅t ⋅ Ψn ( x ) Potentialtopf mit endlich hohen Wänden Ep(x) V0 B A 0 Teilchen im Kastenpotential mit Länge L und endlich hohen, unstetigen Wänden : B L (51) Teilchen habe Gesamtenergie E < V0 In klassischer Sicht weiterhin im Kasten "gefangen" (gebunden) x Nicht mehr zu verlangen, daß Ψ(x) an Rändern x = 0, x = L verschwindet. Dort nur Stetigkeit zu fordern! Zeitunabhängige SGL abschnittsweise in Gebieten A und B : ∂ 2ψ ( x ) = E ⋅ψ ( x ) − ⋅ 2m ∂x 2 2 A) 0 ≤ x ≤ L : E p = 0 B) x<0 x > L : E p = V0 ∂ 2ψ ( x ) + V0 ⋅ψ ( x ) = E ⋅ψ ( x ) − ⋅ 2 2 m ∂x 2 ∂ 2ψ ( x ) = (V0 − E ) ⋅ψ ( x ) ⋅ 2 2m ∂x 2 ∂ 2ψ ( x ) 2m 2 ( V E ) ( x ) = − ⋅ = ⋅ψ ( x ) ψ α 0 2 2 ∂x ψ ( x ) ∝ e −α ⋅ x © H.Neuendorf Oszillatorische Lösung analog ∞ hoher Kasten Exponentieller Abfall ins klassisch verbotene Gebiet hinein !! Randbedingung : Teillösungen aus A) und B) müssen stetig ineinander übergehen Führt zu leicht anderen Wellenlängen und Energieeigenwerten als beim unendlich tiefen Potentialtopf ..... (52) Potentialtopf mit endlich hohen Wänden: Lösungen der SGL Teilchen kann sich im Gegensatz zum klassischen Fall mit Wahrscheinlichkeit > 0 auch außerhalb des Kastens aufhalten - obwohl Gesamtenergie dort kleiner ist als potentielle Energie V0 Ausdruck des Wellencharakters der Teilchen und qm-Unschärfe : Teilchen tunnelt in klassisch verbotenen Bereich hinein !! Vergleich mit unendlich hohem Kastenpotential: Dort Ψ(x) = 0 bei x = 0 und x = L und außerhalb Kasten Hier Ψ(x) > 0 auch außerhalb Kasten [0,L] Wellenlängen sind größer und erlaubte Energien kleiner Es gibt nur endlich viele erlaubte Energieeigenwerte = gebundene Zustände. Je kleiner V0 desto weniger gebundene Zustände existieren © H.Neuendorf Je größer Gesamtenergie E desto weiter tunnelt Teilchen (53) Der harmonische Oszillator in der QM Teilchen im harm. quadratischen Potential - "Masse an Feder" Anwendung: Schwingungsverhalten von Molekülen ! 1 1 E p = k ⋅ x 2 = m ⋅ω 2 ⋅ x 2 2 2 ω= 1 1 1 E = m ⋅ v 2 + m ⋅ω 2 ⋅ x 2 = m ⋅ω 2 ⋅ A2 2 2 2 k m Klassische Sicht : E p ( x ) = E p (− x ) Teilchen kann sich nur zwischen Umkehrpunkten A und - A aufhalten, die durch Gesamtenergie E festliegen. Alle Werte von E sind erlaubt. Die niedrigste Energie ist E = 0J (Ruhelage im Ursprung). Klassische Aufenthaltswahrscheinlichkeit ∝ Aufenthaltsdauer ∝ 1/ v maximal an Umkehrpunkten x=± A, minimal im Ursprung x = 0 SGL des Problems: − 2 2m ⋅ ∂ 2ψ ( x ) ∂x 2 1 + m ⋅ ω 2 ⋅ x 2 ⋅ψ ( x ) = E ⋅ψ ( x ) 2 Mathematische Lösung bereits nichttrivial (Hermitesche Polynome) Aussagen aufgrund Symmetrie des Problems : Potential Ep ist symmetrisch zu x = 0 : Ep (x) = Ep (-x) Aufenthaltswahrscheinlichkeit auch symmetrisch zu x = 0 © H.Neuendorf Nur bestimmte Werte von E ergeben "gutartige" = normierbare Lösungen Ψ(x), die für x → ± ∞ schnell genug gegen Null gehen ψ ( x ) 2 = ψ (− x ) 2 a ) ψ ( x ) = +ψ ( − x ) b) ψ ( x ) = −ψ (− x ) Der harmonische Oszillator in der QM Grundzustandsenergie = Lösung liefert erlaubte gequantelte Energie-Eigenwerte En : Nullpunktenergie : En = n + 1 ⋅ ⋅ω 2 n = 0,1,2,3,... Energie-Eigenwerte liegen äquidistant : ∆E = ⋅ ω 1 E0 = ⋅ ⋅ω 2 Energiedifferenz zwischen aufeinander folgenden Zuständen : ∆E = ⋅ ω Auswahlregel: ∆ n = ±1 Nur Photonen dieser Energie können bei Übergängen zwischen Schwingungsniveuas absorbiert oder emmitiert werden Energieniveaus im Potential des harmonischen Oszillators : Die Frequenz absorbierter oder emittierter Photonen ist gleich der Schwingungsfrequenz Behandlung des qm. harmonischen Oszillators ist Grundlage für alle Probleme, die mit Molekülschwingungen verknüpft sind : Analyse von Molekül-Schwingungsspektren © H.Neuendorf (54) Der harmonische Oszillator in der QM Ψ0 ( x ) = A0 ⋅ e − mω Ψ1 ( x ) = A1 ⋅ mω Ψ2 ( x ) = A2 ⋅ 1 − x2 / 2 ⋅e Ψ(x): Für gerade n symmetrisch bzgl Ursprung → gerade WF − mω x 2 / 2 2m ωx 2 ⋅e − mω x 2 / 2 Für ungerade n antisymmetrisch bzgl Ursprung → ungerade WF ... Endliche Aufenthaltswahrscheinlichkeit außerhalb des klassischen Bereichs [ ±A ] Gestrichelt: Klassische Aufenthaltswahrscheinlichkeit Senkrechte Linien: Klassische Umkehrpunkte ± A Auch im Grundzustand n = 0 schon endliche Aufenthaltswahrscheinlichkeit bei |x| > 0 , Teilchen nicht nur im Ursprung aufgrund Nullpunktenergie !! © H.Neuendorf (55) (56) Exkurs: Lösungsvarianten der 1d-SGL Teilchen hat Gesamtenergie E SGL : läuft auf Potentialstufe mit Energie Ep = V0 ∂ 2ψ ( x ) + V0 ⋅ψ ( x ) = E ⋅ψ ( x ) − ⋅ 2 2m ∂x 2 Wir suchen eine Funktion Ψ(x), deren zweimalige örtliche Ableitung ..... Zwei verschiedene Lösungstypen : a) E > V0 : 2m ⋅ ( E − V0 ) ∂ 2ψ ( x ) = − ⋅ψ ( x ) 2 2 ∂x Oszillatorische Lösung, darstellbar durch komplexe e-Fkt 2m ⋅ ( E − V0 ) ∂ 2ψ ( x ) = − ⋅ψ ( x ) = − k 2 ⋅ψ ( x ) 2 2 ∂x k= ψ ( x ) = A ⋅ e i ⋅k ⋅ x + B ⋅ e − i ⋅k ⋅ x b) E < V0 : 2 m ⋅ ( E − V0 ) >0 Nur die komplexe e-Fkt. liefert das erforderliche negative Vorzeichen bei zweimaliger Ableitung Exponentiell abfallende oder ansteigende Lösung reelle e-Fkt - meist nur exp. Abfall normierbar (Tunneleffekte) 2m ⋅ ( E − V0 ) 2m ⋅ (V0 − E ) ∂ 2ψ ( x ) ( ) x = − ⋅ = = α 2 ⋅ψ ( x ) ψ 2 2 2 ∂x ψ ( x ) = A ⋅ e α ⋅ x + B ⋅ e −α ⋅ x © H.Neuendorf Nur die reelle e-Fkt. erhält das Vorzeichen bei zweimaliger Ableitung α= 2m ⋅ (V0 − E ) >0 Anwendung auf PotentialstufenProbleme ..... (57) Ep(x) Die Potentialstufe mit Ep < E E Teilchen läuft mit Gesamtenergie E > Ep gegen Potentialstufe an Klassische Erwartung: Teilchen kann Stufe stets überwinden, läuft dahinter mit verminderter Geschwindigkeit weiter SGL: I) − 2 2m ⋅ ∂ 2ψ ( x ) ∂x ∂ 2ψ ( x ) ∂x 2 II ) − 2 2m ⋅ =− 2m ⋅ E 2 ∂x 2 2 =− Region I Teilchenstrahl / Welle läuft von links nach rechts = E ⋅ψ ( x ) ∂ 2ψ ( x ) ∂ 2ψ ( x ) ∂x 2 V0 ⋅ψ ( x ) = − k12 ⋅ψ ( x ) k1 = Region II 0 x 2m ⋅ E k= 2 ⋅ψ ( x ) = λ k1 > k 2 + V0 ⋅ψ ( x ) = E ⋅ψ ( x ) 2m ⋅ ( E − V0 ) 2π − k 22 ⋅ψ ( x ) k2 = 2m ⋅ ( E − V0 ) Identische Struktur der SGLs für beide Regionen, jedoch unterschiedliche Wellenzahlen k : Allgemeine Lösung sind komplexe e-Funktionen = I ) Ψ ( x ≤ 0) = A ⋅ e − i ⋅k1⋅ x + B ⋅ e i ⋅k1⋅ x Überlagerung nach links und rechts laufender Wellen = II ) Ψ ( x > 0) = C ⋅ e − i ⋅k2 ⋅ x + D ⋅ e i ⋅k2 ⋅ x Überlagerung von Transmission und Reflexion !! © H.Neuendorf (58) Potentialstufe: Interpretation der Lösungen - Koeffizienten In Region I : Anlaufende Welle (nach rechts) + Teilweise reflektierte Welle (nach links) A,B ≠0 In Region II : Teilweise transmittierte Welle (nach rechts), kein Anteil nach links C≠0 D=0 Lösungen der SGL müssen bei x = 0 stetig sein : ΨI ( x = 0) = Ψ II ( x = 0) dΨI dx x =0 = dΨ II dx A+ B = C k1 ⋅ A − k1 ⋅ B = k 2 ⋅ C x =0 Gleichungen lassen sich nach B und C als Funktion von A auflösen: B= k1 − k 2 ⋅A k1 + k 2 C= Wellenlänge der Materiewelle ändert sich beim Übergang von Region I nach II: 2π k= λ k1 > k 2 ⇔ λ1 < λ 2 2k1 ⋅A k1 + k 2 Daraus erhält man Transmissionskoeffizienten T und Reflexionskoeffizienten R als relative Raten der Transmission und Reflexion: (R+T=1) B 2 k1 − k 2 R= 2 = k1 + k 2 A © H.Neuendorf 2 T= C 2 A 2 = 4k12 (k1 + k 2 )2 Aufenthaltswahrscheinlichk eit ist Quadrat der WF ! Potentialstufe: Interpretation der Lösungen Konsequenzen : 1. Auch wenn E > V0 wird R nicht null. Im Gegensatz zur klassischen Erwartung werden stets einige Teilchen auch reflektiert ! 2. Wert von R hängt nur von Differenz (k1 - k2)2 ab, nicht davon ob k1 oder k2 größer ist Potentialanstieg hat gleiche ReflexionsWirkung wie gleich großer Potentialabfall !! Zeitliche Entwicklung eines Teilchens, dargestellt als eindimensionales Wellenpaket: Dies wird teilweise reflektiert, teilweise transmittiert. Scharfe Spitzen sind Artefakte der unsteigen Steigung von Ep bei x = 0. Punkt = Position des klassischen Teilchens Weiterer Fall: Gesamtenergie E < V0 ....... © H.Neuendorf B 2 C 2 A 2 (59) k − k2 R= 2 = 1 k1 + k 2 A T= = 4k12 (k1 + k 2 )2 2 Potentialstufe: Gesamtenergie E < V0 (60) Ep(x) Teilchen läuft mit Gesamtenergie E < V0 gegen Potentialstufe Klassische Erwartung: Kein Teilchen überwindet Stufe, alle Teilchen reflektiert V0 QM : SGL in Region II : ∂ 2ψ ( x ) 2m ⋅ (V0 − E ) 2 = ⋅ = ⋅ψ ( x ) ( x ) ψ α 2 2 ∂x Region II Region I ∂ 2ψ ( x ) II ) − + V0 ⋅ψ ( x ) = E ⋅ψ ( x ) ⋅ 2 2m ∂x 2 0 α= E x ± 2m ⋅ (V0 − E ) Nur negativer Exponent liefert eine normierbare, für x → ∞ exp. abfallende Lösung : (Anm: Komplexe e-Fkt. funktioniert nicht – keine oszillatorische Lösung im Gebiet II möglich) II ) ΨII ( x > 0) = C ⋅ e −α ⋅ x α= 2m ⋅ (V0 − E ) 2 Ψ ( x > 0) = C 2 ⋅ e − 2α ⋅ x > 0 In Region II Ψ-Verlauf wie bei Potentialtopf mit endlich hohen Wänden : Materiewelle dringt kleines Stück in verbotenes Gebiet x > 0 ein. Materiewelle tunnelt umso tiefer, je höher die Energie E des Teilchens © H.Neuendorf Im Gegensatz zur klassischen Erwartung werden nicht alle Teilchen reflektiert : Auch hinter Potentialstufe gibt es endliche Aufenthaltswahrscheinlichkeit, die jedoch exponentiell abfällt Endliche Eindringtiefe der Teilchen in klassisch verbotenen Bereich : Tunneleffekt ! (61) Ep(x) Potentialstufe: Gesamtenergie E < V0 I ) ΨI ( x < 0) = A ⋅ e − i⋅k ⋅ x + B ⋅ e + i⋅k ⋅ x 1 II ) ΨII ( x > 0) = C ⋅ e 1 V0 Lösungen der beiden Teilgebiete −α ⋅ x Müssen stetig ineinander übergehen 0 1) ΨI ( x = 0) = A + B = C = ΨII ( x = 0) d ΨI dx 2) x =0 Region II Region I Einbau der Stetigkeitsforderungen : E x B=C−A = − i ⋅ k1 ⋅ A + i ⋅ k1 ⋅ B = − α ⋅ C = d ΨII dx x =0 − i ⋅ k1 ⋅ A + i ⋅ k1 ⋅ (C − A) = −α ⋅ C − i ⋅ k1 ⋅ A − i ⋅ k1 ⋅ A = −α ⋅ C − i ⋅ k1 ⋅ C 2 ⋅ i ⋅ k1 C = A α + i ⋅ k1 k1 = 2m ⋅ E α= 2 ⋅ i ⋅ k1 ⋅ A = (α + i ⋅ k1 ) ⋅ C 2m ⋅ (V0 − E ) Übung : C 2i ⋅ E = A i ⋅ E + (V0 − E ) © H.Neuendorf C 2 4E = 2 A V0 Berechnung der Ausdrücke für C/A und des Quadrats. Tip: Quadrieren durch Multiplikation mit konjugiert Komplexen! (62) Potentialbarriere mit Ep > E Teilchen läuft mit Gesamtenergie E < V0 gegen Potentialbarriere Klassische Erwartung: Kein Teilchen durchdringt Barriere, alle Teilchen an ihr reflektiert QM / SGL: Völlig anderes Verhalten – Zusammensetzung aus bereits bekannten Teilabschnitten ∂ 2ψ ( x ) ⋅ = E ⋅ψ ( x ) I ) + III ) − 2 2 m ∂x 2 ∂ 2ψ ( x ) 2 = − k 1, 3 ⋅ψ ( x ) 2 ∂x k1,3 = 2m ⋅ E E < V0 somit dort exp. Abfall ins klass. verbotene Gebiet II hinein ∂ 2ψ ( x ) ⋅ + V0 ⋅ψ ( x ) = E ⋅ψ ( x ) II ) − 2 2m ∂x 2 ∂ 2ψ ( x ) 2 = ⋅ψ ( x ) α ∂x 2 α= ± 2m ⋅ ( E − V0 ) Anwendung: RTM © H.Neuendorf (63) Die Potentialbarriere mit Ep > E In den verschiedenen Gebieten wiederum oszillierende und exponentielle Lösungsanteile Region I: Einfallende (nach rechts) und reflektierte (nach links) osz. Materiewelle Region II: Zwei exponentielle Anteile a) Nach rechts (x↑) exp. abfallender Anteil = Transmission aus I nach II b) Nach links (x↓) exp. abfallender Anteil = Reflexion an Grenze II / III Region III: Osz. Transmissionswelle aus II nach III. Nur Anteil nach rechts I) Ψ ( x ≤ 0) = A ⋅ e − i ⋅k1⋅ x + B ⋅ e i ⋅k1⋅ x II ) Ψ (0 ≤ x < a ) = C ⋅ e −α ⋅ x + D ⋅ e +α ⋅ x III ) Ψ ( x > a ) = F ⋅ e − i ⋅k3 ⋅ x + G ⋅ e i ⋅k3 ⋅ x Wiederum Stetigkeitsforderungen an Übergängen zwischen Regionen zu erfüllen → Liefert Beziehungen zwischen Koeffizienten A, B, C, D, F Grundphänomen: Tunneleffekt WF fällt an Barriere nicht sprunghaft auf null, sondern dringt mit exponentiellem Abfall ins Gebiet II ein. In III wieder oszillierende WF Einige Teilchen können Barriere durchdringen = "Tunneln" (Klassisch unmöglich!) Wahrscheinlichkeit gegeben durch Transmissionskoeffizienten T ( I/III ) : Näherung ΨI ( x = 0) = ΨII ( x = 0) ΨII ( x = a ) = ΨIII ( x = a ) dΨ I dx dΨII dx x =0 © H.Neuendorf dΨII = dx x =0 x =a dΨIII = dx x =a G=0 T= F 2 A 2 ∝ e − 2α ⋅a −1 T = 1+ sinh 2 (α ⋅ a ) E E 4 ⋅ 1− V0 V0 ScanningTunnelingMicroscope © H.Neuendorf (64) Auflösen einzelner Atome + Moleküle (66) Operatorformalismus der QM Sinn physikalischer Theorien = Deutung + Vorhersage experimenteller Messwerte Physikalische Größen = Messwerte → Durch Wellenfunktion Ψ(x) und zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung |Ψ Ψ(x) |2 festgelegt - liefert Erwartungswerte phys. Größen Der qm. Erwartungswert einer physikalischen Größe ist der Mittelwert dieser Größe, den man erwartet, wenn man eine Messung dieser Größe an sehr vielen Teilchen mit identischer Wellenfunktion Ψ(x,t) vornimmt. Erwartungswert des Ortes <x> : Gewichtete Mittelung über alle möglichen Orte x, gewichtet mit Antreffwahrscheinlichkeit Allgemein: Erwartungswert einer Funktion <f(x)> : Gewichtete Mittelung über Funktionswerte f(x) an allen möglichen Orten x, gewichtet mit Antreffwahrscheinlichkeit © H.Neuendorf x = +∞ * x ⋅ Ψ ( x ) ⋅ Ψ ( x ) dx = −∞ +∞ Ψ * ( x ) ⋅ x ⋅ Ψ ( x ) dx −∞ Bsp: Liefert für ∞ hohes Kastenpotential <x> = L / 2 f ( x) = +∞ Ψ * ( x ) ⋅ f ( x ) ⋅ Ψ ( x ) dx −∞ Auch Erwartungswerte andere physikalischen Größen lassen sich in dieser Formulierung angeben ...... (67) Operatorformalismus der QM Zeitunabhängige SGL ist Eigenwertgleichung : Operator der Gesamtenergie wirkt auf WF und liefert Wert der Gesamtenergie − 2 2m ⋅ ∂ 2 Ψ ( x) ∂x 2 + E p ( x) ⋅ Ψ( x) = − 2 ⋅ ∂2 2m ∂x 2 + E p ( x ) Ψ ( x ) = Hˆ Ψ ( x ) = E ⋅ Ψ ( x ) Umformulierung liefert Erwartungswert-Ausdruck der Gesamtenergie <E> : − 2 ∂2 ⋅ 2m ∂x 2 + E p ( x) Ψ ( x) = E ⋅ Ψ ( x) * Ψ ( x) ⋅ − +∞ E = +∞ ∂2 * 2 ⋅ ∂2 2m ∂x 2 + −∞ ... dx −∞ +∞ + E p ( x ) Ψ ( x ) dx = E ⋅ Ψ * ( x ) ⋅ Ψ ( x ) dx = E Ψ * ( x ) ⋅ Hˆ Ψ ( x ) dx −∞ Multiplikation von links ... ⋅ + E p ( x) Ψ ( x) = Ψ ( x) ⋅ E ⋅ Ψ ( x) 2m ∂x 2 Ψ * ( x) ⋅ − −∞ © H.Neuendorf 2 Ψ * ( x) ⋅ −∞ Die Anwendung des Gesamtenergie-Operators auf die Wellenfunktion liefert den physikalischen Erwartungswert der Gesamtenergie = Mittelwert aller möglichen Messwerte der Gesamtenergie (68) Operatorformalismus der QM Operator der Gesamtenergie wirkt auf WF und liefert Wert der Gesamtenergie − 2 2m ⋅ ∂ 2 Ψ ( x) ∂x 2 Hˆ = − 2 + E p ( x) ⋅ Ψ( x) = − ⋅ ∂2 2m ∂x 2 2 2 ⋅ ∂2 2m ∂x 2 + E p ( x) + E p ( x ) Ψ ( x ) = Hˆ Ψ ( x ) = E ⋅ Ψ ( x ) Aus Gesamtenergie-Operator (Hamilton-Operator) folgen auch andere Operatoren : ∂2 2 ˆ p Eˆ k = − ⋅ = 2m ∂x 2 2m 2 2 pˆ = − ⋅ ∂2 ∂x 2 ∂ pˆ x = ⋅ i ∂x Somit berechnen sich zB Erwartungswerte des Impulsquadrats <p2> und der x-Komponente des Impulses <px> völlig analog zu anderen Größen durch Erwartungswert-Integral : p 2 = px = © H.Neuendorf +∞ * 2 Ψ ( x ) ⋅ pˆ Ψ ( x ) dx = +∞ −∞ −∞ +∞ +∞ −∞ −∞ Ψ * ( x ) ⋅ pˆ x Ψ ( x ) dx = * Ψ ( x) ⋅ − Ψ * ( x) ⋅ 2 d2 dx 2 Ψ ( x ) dx d Ψ ( x ) dx i dx Anm: Operatoren wirken auf Ψ, nicht auf Ψ*! Reihenfolge spielt nur eine Rolle, wenn der Operator eine Ableitung enthält, wie zB Impulsoperator Einige Operatoren der QM Symbol fˆ ( x ) Physikalische Größe Operator f ( x) Jede Funktion von x, zB der Ort x selbst oder das Potential Ep(x) x-Komponente des Impulses ∂ i ∂x pˆ y y-Komponente des Impulses ∂ i ∂y pˆ z z-Komponente des Impulses ∂ i ∂z pˆ x Hˆ Gesamtenergie Eˆ k Kinetische Energie Lˆ z z-Komponente des Drehimpulses © H.Neuendorf Der Erwartungswert bzw(69) Mittelwert einer physikalischen Größe <O>, die durch einen Operator O dargestellt wird ist gegeben durch : O = +∞ Ψ * ( x ) ⋅ Oˆ Ψ ( x ) dx −∞ ⋅ ⋅ ⋅ − 2 ∂2 ⋅ 2m ∂x − 2 ⋅ 2 + E p ( x) ∂2 2m ∂x 2 ∂ ⋅ i ∂φ Operatorformalismus der QM Operator Eigenfunktion ∧ Ψn (r ) A a = * Eigenwert = ∧ Ψ (r ) A Ψ (r ) dV a Eigenfunktion ⋅ Ψn (r ) Reelle Eigenwerte a können diskret oder kontinuierlich sein Wenn sich das qm. System nicht in einem Eigenzustand Ψn befindet, sondern in einem allgemeinen Zustand, so ergibt sich für den Operator ein schwankender Messwert mit Mittelwert = Erwartungswert <a> Allgemeiner Zustand Ψ ergibt sich durch Überlagerung (Linearkombination, Superposition) der Eigenzustände Ψn Ψ (r ) Allgemeiner Zustand des Systems Ψn (r ) Messprozess Anwendung Operator A Messprozess Anwendung Eigenzustand Operator A des Systems © H.Neuendorf Ψn (r ) an Eigenfunktion Messwert Eigenwert Ψn (r ) Eigenfunktion (70) Wellenfunktion enthält alle verfügbaren Informationen eines qm. Systems. Messgrößen werden durch Operatoren dargestellt. Mögliche Messwerte eines Operators A sind Eigenwerte a des Operators an Messwert Eigenwert Ψ (r ) = n c n ⋅ Ψn (r ) Wiederholung einer Messung in einem je neu präparierten System liefert einen je anderen Messwert. Mehrmalige Wiederholung der Messung am jeweils neu präparierten System ergibt eine Verteilung der Messwerte mit Erwartungswert <a> als Mittelwert. Der erhaltene Messwert an ist der Eigenwert der Eigenfunktion Ψn . Hierdurch befindet sich das Teilchen nach der Messung im Eigenzustand zum entsprechenden Messwert. Die Messung verändert damit den Zustand des Systems. Befindet sich das System in einem Eigenzustand zum Operator A, so bleibt dieser Eigenzustand nach einer Messung erhalten. (71) Zeitunabhängige Schrödingergleichung für mehrere Teilchen Kompliziertere Atome als Wasserstoff besitzen mehrere Elektronen SGL enthält deren Wechselwirkung mit Potentialen + deren WW untereinander Mikroskopische Teilchen der gleichen Sorte (zB Elektronen) sind nicht unterscheidbar sie haben keine Identität wie klassische makroskopische Teilchen Dies muß in den Lösungen der SGL zum Ausruck kommen !! Bsp: Zwei identische Teilchen im ∞ hohen 1-dim Kastenpotential 2 Ortskoordinaten SGL zweier Teilchen 1 und 2 der Masse m an Orten x1 und x2 : − 2 2m ⋅ ∂ 2 Ψ ( x1 , x 2 ) ∂x12 − 2 2m ⋅ ∂ 2 Ψ ( x1 , x 2 ) ∂x 22 + E p ( x1 , x 2 ) ⋅ Ψ ( x1 , x 2 ) = E ⋅ Ψ ( x1 , x 2 ) Wenn Teilchen 1 und 2 wechselwirken enthält potentielle Energie eine untrennbare Kombination der Koordinaten beider Teilchen, zB Coulomb-Term bei geladenen Teilchen : Nur wenn Teilchen nicht miteinander wechselwirken ist potentielle Energie die (separierte) Summe der Einzel-Ep-Werte : Lösung der SGL für nicht wechsewirkende Teilchen ist einfaches Produkt der Einteilchen-Lösungen und deren Linearkombinationen ! © H.Neuendorf q2 E p ( x1 , x 2 ) = ⋅ 4πε 0 x 2 − x1 1 E p ( x1 , x 2 ) = E p ( x1 ) + E p ( x 2 ) Ψn n ( x1 , x2 ) = Ψn ( x1 ) ⋅ Ψn ( x2 ) 1 2 1 2 Zeitunabhängige Schrödingergleichung für mehrere Teilchen (72) Zwei identische nicht wechselwirkende Teilchen im ∞ hohen 1-dim Kastenpotential : Gesamtwellenfunktion ist Produkt der Einteilchen-Wellenfunktionen Separationsansatz Übung ..... Gesamtenergie ist Summe der Einteilchen-Energien Ψn1n2 ( x1 , x2 ) = Ψn1 ( x1 ) ⋅ Ψn2 ( x2 ) = En1n2 = En1 + En2 = π2 2 π ⋅ n1 π ⋅ n2 2 ⋅ sin ⋅ x1 ⋅ sin ⋅ x2 L L L π2 2 π2 2 2 2 ( ⋅ n + ⋅ n = ⋅ n + n 1 2) 2 2 2 2 mL 2mL 2mL 2 1 Grundzustand niedrigster Energie ist eindeutig : 2 2 n1 = n2 = 1 Erster angeregter Zustand auf zwei verschiedene Weisen darstellbar (ist entartet) : n1 = 2 n2 = 1 oder n1 = 1 n2 = 2 E21 = E12 Ψ21 ≠ Ψ12 WF verschieden, da sie Teilchen an verschiedenen Orten in verschiedenen Zuständen beschreiben : Ψ21: T1 bei x1 im Zustand 2 + T2 bei x2 im Zustand 1 Ψ12: T1 bei x1 im Zustand 1 + T2 bei x2 im Zustand 2 © H.Neuendorf ⇔ Teilchen-Vertauschung ändert Gesamtenergie nicht Ein Energieniveau mit mehreren verschiedenen WF: Entartung der Wellenfunktion / des Zustands hier: 2-fache Entartung aufgrund Vertauschbarkeit der Teilchen 2 verschiedene WFs gehören zur gleichen Energie Austausch-Entartung (76) Zusammenfassung h = 6.626·10-34 J s = 4.136·10-15 eV s Planck-Konstante : Impuls p = h / λ Energie E = h·f Welle-Teilchen-Dualismus : Licht, Elektronen, Neutronen und alle Träger von Impuls und Energie zeigen sowohl Wellen- als auch Teilcheneigenschaften. Alles breitet sich wie eine Welle aus und zeigt Beugung und Interferenz, jedoch tauscht wie ein Teilchen Energie in diskreten Paketen aus. Nur weil die Wellenlänge klassischer Objekte so klein ist, werden Beugung und Interferenz nicht beobachtet. Werden makroskopische Mengen von Energie ausgetauscht, sind so viele Energie-Quanten involviert, dass EnergieQuantisierung sich nichtt bemerkbar macht. Unschärfe-Prinzip : Die Wellennatur von Teilchen führt zur Unschärferelation zwischen Ort und Impuls bzw. zwischen Energie und Zeit. Photoelektrischer Effekt : eV0 = Ek = h·f - W Quantenmechanik : Der Zustand eines Teilchens wird durch seine Wellenfunktion ψ(x,t) beschrieben, die sich als Lösung der SGL ergibt : II ) − 2 2m ⋅ ∂ 2ψ ( x ) ∂x 2 + E p ( x ) ⋅ψ ( x ) = E ⋅ψ ( x ) Das Quadrat ψ(x)ψ(x)* der Wellenfunktion hat die Bedeutung einer Wahrscheinlichkeitsdichte Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen im Bereich dx anzutreffen ist somit: Die Wellenfunktionen sind auf 1 normiert : +∞ ! ψ(x)ψ(x)*·dx Ψ ( x ) ⋅ Ψ * ( x ) dx =1 −∞ Die Wellenfunktion eines bestimmten Energiezustands wird durch eine Quantenzahl n charakterisiert. In drei Dimensionen gibt es drei Quantenzahlen, die mit Randbedingungen in jeder Dimension verknüpft sind. Der Erwartungswert einer physikalischen Größe ist der statistische Mittelwert, der sich ergibt, wenn dieselbe Messung an vielen Teilchen im gleichen qm. Zustand ausgeführt wird. +∞ O = Ψ * ( x ) ⋅ Oˆ Ψ ( x ) dx −∞ © H.Neuendorf (77) Klassisches und quantenmechanisches System System Klassische Beschreibung Quantenmechanische Beschreibung Messgröße = Observable Vektoren und Skalare Operatoren Orts-, Impuls-, Drehimpulsvektor Bsp: Drehimpuls ∧ → → L = ⋅ r×∇ i Energie, Zeit Mathematische Abbildung Vektorrechnung - Vektoranalysis Operatorenalgebra Gesamtenergie E = Ek + Ep Hamilton-Operator Beschreibung der raumzeitlichen Entwicklung Bewegungsgleichung Zeitabhängige SGL Lösung liefert definierte Bahnkurve des Teilchens : → r (t ) ∂2 + E p ( x) ⋅ 2m ∂x 2 2 ∂ 2ψ ( x ) ∂ − ⋅ + E p ( x ) ⋅ψ ( x ) = ⋅ ψ ( x ) 2 2m ∂x i ∂t 2 Lösung liefert skalare aber evtl komplexe Wellenfunktion. Diese enthält alle verfügbaren Informationen über das System Es gibt keine Bahnkurve sondern nur Antreffwahrscheinlichkeit im Volumen dV Messprozess Observablen können jederzeit unabhängig Messprozess verändert das System, zB sind Ort voneinander gemessen werden, zB Ort und Impuls nicht gleichzeitig scharf messbar. und Impuls. System wird durch den Unschärferealtion Messvorgang nicht verändert Korrespondenzprinzip Defintionen der klassischen Mechanik, die Wenn das qm System genügend groß wird, muss keine Ableitungen enthalten gelten auch die QM in die klassische Mechanik übergehen für entsprechende Operatoren der QM © H.Neuendorf
