F - Umwelt-Campus Birkenfeld
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Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler 4. Allgemeines ebenes Kräftesystem Eine Gruppe von Kräften, die an einem starren Körper angreifen, bilden ein allgemeines Kräftesystem, wenn sich ihre Wirkungslinien nicht in einem gemeinsamen Punkt schneiden. → F2 → f3 → P2 f1 P1 P3 → F1 → F3 → f2 Das allgemeines Kräftesystem beinhaltet das zentrale Kräftesystem als Sonderfall. 4. Allgemeines Kräftesystem 1 Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler 4.1 Äquivalenz von Kräften und Momenten 4.1.1 Zusammensetzen von Kräften Beim allgemeinen Kräftesystem sind neben Betrag und Richtung im Kräfteplan auch der Angriffspunkt der Resultierenden im Lageplan zu bestimmen → F2 Lageplan R r1 f3 → F1 F3 → → → Kräfteplan P1 P f1 → → f2 F3 R R1 r1 → F2 → F1 Zwei Kräfte mit gemeinsamen Schnittpunkt bilden mit ihrer Resultierenden ein zentrales Kräftesystem. Durch Einzeichnen der Wirkungslinien im Lageplan lässt sich schrittweise der Angriffspunkt der Endresultierenden konstruieren 4. Allgemeines Kräftesystem 2 Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler Bei parallelen oder fast parallelen Kräften versagt das vorgestellte Verfahren, da keine gemeinsamen Schnittpunkte konstruiert werden können. Das Verfahren wird dahingehend abgeändert, indem Hilfskräfte eingeführt werden, die sich gegenseitig aufheben. → → R F2 R2 R H → R1 P2 F2 R2 F1 h → P1 F1 R1 H P H Lageplan r2 Kräfteplan r1 Die Resultierende wirkt parallel zu den Kräften. Der Schnittpunkt P teilt den Abstand der Kräfte im umgekehrten Verhältnis zu ihren Beträgen. 4. Allgemeines Kräftesystem 3 Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler 4.1.2 Kräftepaare Die Reduktion auf eine einzige Resultierende gelingt nicht für den Fall gleich großer, parallel und entgegengesetzt gerichteter Kräfte. → r2 → → R1 F1 h P1 H H r r F1 = −F2 und r r F1 F2 → r r ⇒ R1 = −R2 und r r R1 R2 P2 → F2 → r1 R2 Versucht man, ein solches Kräftepaar zusammenzufassen, erhält man Resultierende, die wiederum ein Kräftepaar bilden. Zwei parallele Kräfte mit gleichem Betrag und entgegengesetzter Orientierung werden als Kräftepaar bezeichnet. Die Resultierende eines Kräftepaares ist null. 4. Allgemeines Kräftesystem 4 Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler 4.1.3 Momente Da sich Kräftepaare nicht auf Einzelkräfte reduzieren lassen, bilden sie selbständige Grundelemente eines allgemeinen Kräftesystems. Kräftepaare üben auf einen Körper ein Drehmoment aus. Die Wirkung eines Moments auf einen starren Körper besteht in dem Bestreben, ihn um eine Achse zu drehen. → positiv z M y x → F → → F F negativ a → F → M Das Drehmoment r ist wie die Kraft eine gerichtete Größe. Der Momentenvektor M steht senkrecht zur Ebene, die das Kräftepaar aufspannt. 4. Allgemeines Kräftesystem 5 Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler Der Momentenvektor gibt die Richtung der Drehachse an und wird durch einen Doppelpfeil gekennzeichnet. Symbolisch kann ein Moment auch durch einen gekrümmten Pfeil dargestellt werden. Die Orientierung ergibt sich nach der Rechten-Hand-Regel: Zeigt der Daumen der rechten Hand in Richtung des Momentenvektors, zeigen die Finger in Drehrichtung des Moments. Momente, die entgegengesetzt dem Uhrzeigersinn drehen, sind positiv (+) definiert, Momente mit Drehrichtung im Uhrzeigersinn sind negativ (-). Der Betrag des Momentenvektors M ist das Produkt aus dem Betrag F und dem Abstand a des Kräftepaares M=F·a 4. Allgemeines Kräftesystem [Nmm, Nm = kgm2/s2, kNm] 6 Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler Der Betrag des Moments eines Kräftepaares ist unabhängig vom Bezugspunkt b → Moment des Kräftepaars: M = F·a a MA → A → → F M Moment bezüglich A: F MA = F·(a + b) – F·b = F·a = M Daraus folgt, dass Kräftepaare beliebig parallel verschoben werden dürfen, ohne dass sich ihre Wirkung auf das Kräftesystem ändert. Im Gegensatz zu den liniengebundenen Kräften handelt es sich bei Momenten an starren Körpern um freie Vektoren. → → M M → → M M 4. Allgemeines Kräftesystem 7 Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler 4.1.4 Versetzungsmoment Eine Kraft kann an einem starren Körper parallel zu ihrer Wirkungslinie schoben werden, wenn das Versetzungsmoment berücksichtigt wird. a a → ver- a → F r f F → → F F M = F·a → F → ' f → f → ' → f f → ' f → f r f ' Hierzu werden auf der Wirkungslinie im Abstand a zwei entgegengesetzte Kräfte mit dem Betrag von F eingetragen, die sich gegenseitig aufheben. Es ergibt sich ein Kräftepaar, das durch das Versetzungsmoment M=F·a ersetzt werden kann. 4. Allgemeines Kräftesystem 8 Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler → M=F·a Das Versetzungsmoment einer Kraft F bezüglich eines beliebigen Punktes A wird auch als statisches Moment bezeichnet. A f → F a Beispiele: a) Winkelhaken b) Welle mit Zahnrad F F a r = 4. Allgemeines Kräftesystem M=F·a = F F M=F·r 9 Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler 4.2 Statische Bestimmtheit Liegen alle Lasten und Reaktionskräfte eines starren Körpers in einer Ebene, so bezeichnet man diesen Körper als starre Scheibe. y Die Lage einer starren Scheibe in ihrer Ebene wird durch genau drei unabhängige ϕ Koordinaten eindeutig bestimmt. r A' yA A ψ xA ,yA und ϕ oder rA ,ψ und ϕ A xA x Eine ungefesselte, starre Scheibe besitzt f = 3 unabhängige Freiheitsgrade (Bewegungsmöglichkeiten). Durch Lagerungen wird die Anzahl der Freiheitsgrade reduziert. Eine starre Scheibe ist statisch bestimmt gelagert, wenn ihr Freiheitsgrad f = 0 ist. Dies stellt eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung dar. 4. Allgemeines Kräftesystem 10 Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler Stäbe fixieren eine Scheibe nur in eine Richtung. Sie binden jeweils einen Freiheitsgrad. r r r r r r s s s s s s 2 1 3 2 1 r r 3 s2 s1 P r s3 a) Stabile Lagerung, Wirkungslinien der Lagerkräfte haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt. 4. Allgemeines Kräftesystem b) Labile Lagerung, Wirkungslinien der Lagerkräfte gehen durch einen Pol, um den sich die Scheibe drehen kann. c) Instabile Lagerung, Wirkungslinien der Lagerkräfte sind parallel, die Scheibe kann sich verschieben. 11 Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler 4.3 Auflagerreaktionen Ein starrer Körper muss in bestimmter Art und Weise gelagert werden, damit er sich nicht unter der Wirkung äußerer Kräfte verschiebt. In den Auflagerpunkten wirken Reaktionskräfte, die mit den vorgegebenen Kräften im Gleichgewicht stehen. Sämtliche Lagerungen, die in der Technik vorkommen, lassen sich auf drei Grundtypen zurückführen: • Gelenk • Führung und • Einspannung Ein Gelenk kann kein Moment, eine Führung keine Kraft übertragen. In der Ebene ist ein Lager je nach Anzahl der auftretenden unabhängigen Auflagerreaktionen ein-, zwei- oder dreiwertig, 4. Allgemeines Kräftesystem 12 Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler a) Einwertige Lager Rollen bzw. Gleitlager Pendelstütze Gleithülse Seil Bei einwertigen Lagern tritt die Kraft als einzige Unbekannte auf. Die Kraftrichtung ist durch die Konstruktion vorgegeben b) Zweiwertige Lager Gelenklager Pendelstützen Führung α Bei zweiwertige Lagern treten grundsätzlich zwei Unbekannte auf, entweder eine Kraft und eine Richtung (Gelenklager), zwei Kräfte (Pendelstützen) oder eine Kraft und ein Moment (Führung). 4. Allgemeines Kräftesystem 13 Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler Beim Gelenklager kann die Kraftrichtung mit unbekanntem Winkel durch zwei unbekannte Kräfte mit beliebiger Richtung ersetzt werden. α = Die Kraftrichtungen werden zweckmäßigerweise senkrecht zueinander gewählt. = c) Dreiwertige Lager Einspannung α = Bei dreiwertige Lagern treten drei Unbekannte auf: Kraft, Kraftrichtung und Moment bzw. zwei Kräfte und ein Moment. 4. Allgemeines Kräftesystem 14 Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler Lagerungstyp Symbol Lagerreaktion Freiheits- Wertiggrad keit Rollen- oder Gleitlager, Pendelstütze, Seil 1 Gelenklager 2 Führung 2 Einspannung 4. Allgemeines Kräftesystem kein 3 15 Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler In der Ebene werden einwertige Lager (Rollen- oder Gleitlager, Pendelstütze) als Loslager, zweiwertige (Gelenklager, Führung) als Festlager bezeichnet. Für Einspannungen ist auch der Begriff Festpunkt gebräuchlich Die Bilder zeigen die technische Ausführung des Loslagers einer historischen Eisenbahnbrücke, welches als reibungsfreies Auflager idealisiert werden kann. (nach Gabbert/Raecke: Technische Mechanik für Wirtsschaftsingenieure) 4. Allgemeines Kräftesystem 16 Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler 4.4 Gleichgewicht von Kräften und Momenten Ein allgemeines Kräftesystem ist im statischen Gleichgewicht, wenn alle Kräfte sich gegenseitig aufheben und kein Kräftepaar (Moment) auftritt. Neben der Einspannung ist die Kombination aus Fest- und Loslager sowie die Lagerung durch drei Pendelstützen bei statisch bestimmt gelagerten Scheiben von besonderer Bedeutung. a) Fest- und Loslager b) Pendelstützen → → F A A A F A C B B B B C Bei der Lagerung durch Fest- und Loslager treten mindestens drei, bei der Lagerung durch Pendelstützen mindestens vier Kräfte auf. 4. Allgemeines Kräftesystem 17 Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler 4.4.1 Grafische Behandlung 4.4.1.1 Drei-Kräfte-Verfahren Im Gleichgewichtsfall muss die Reaktionskraft im Festlager die Resultierende aus der eingeprägten Kraft und der Kraft im Loslager aufheben. → Lageplan a b Kräfteplan P → b A → F → F A A B → f a B B Die Resultierende bildet mit der Kraft im Loslager nur dann kein Kräftepaar, wenn sich die Wirkungslinien aller Kräfte in einem Punkt schneiden. Drei Kräfte bilden im Gleichgewichtsfall stets ein zentrales Kräftesystem. 4. Allgemeines Kräftesystem 18 Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler Übung: Scheibe mit Einzellast Gegeben: Horizontale Last F = 3 kN Gesucht: Auflagerkräfte A und B Lageplan Kräfteplan → f a A B 2a Kraftmaßstab: 1 cm = 1 kN 4. Allgemeines Kräftesystem 19 Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler 4.4.1.2 Vier-Kräfte-Verfahren Beim Vier-Kräfte-Verfahren nach Culmann werden aus der eingeprägten Kraft und einer Lagerkraft eine Resultierende gebildet, die im Gleichgewicht mit den restlichen Lagerkräften steht. Lageplan r c r b Kräfteplan → A B P2 → f A F A r B → P1 r a R r a → b C → F C r c C B Es tritt nur dann kein Kräftepaar auf, wenn die Resultierende auf der Verbindungslinie der Schnittpunkte P1 und P2 der beteiligten Kräfte liegt. 4. Allgemeines Kräftesystem 20 Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler Übung: Scheibe mit Einzellast Gegeben: Kraft F = 8 kN Gesucht : Auflagerkräfte A, B, C Lageplan Kräfteplan C B A Kraftmaßstab: 1 cm = 2 kN 4. Allgemeines Kräftesystem 21 Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler 4.4.2 Rechnerische Behandlung Ein allgemeines Kräftesystem ist im Gleichgewicht, wenn alle Kräfte und alle Kräftepaare null werden, d. h. wenn die resultierende Kraft und das resultierendes Moment verschwinden. n → r R = ∑ Fi = 0 Kräftegleichgewicht: i =1 Momentengleichgewicht: n n r → r r M R = ∑ M i = ∑ Fi × ri = 0 i =1 i =1 In Komponentendarstellung ergeben sich in der Ebene drei notwendige und hinreichende Gleichgewichtsbedingungen, wobei P ein willkürlich gewählter Bezugspunkt für das Momentengleichgewicht ist: n n ∑F ix =0 i =1 4. Allgemeines Kräftesystem n ∑F iy i =1 =0 ∑M P iz =0 i =1 22 Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler Die Kräftegleichungen lassen sich durch Momentengleichungen ersetzen, sofern die Bezugspunkte zur Bildung der Momentengleichgewichte unterschiedlich gewählt werden und nicht auf einer Linie liegen. Die Gleichgewichtbedingung kann somit auch durch eine Kräftegleichung und zwei Momentengleichungen n n n ∑ Fix = 0 ∑M i =1 i =1 P1 iz =0 P2 M ∑ iz = 0 i =1 oder drei Momentengleichungen n ∑M n P1 iz =0 i =1 ∑M i =1 n P2 iz =0 ∑M P3 iz =0 i =1 mit unterschiedlichen Bezugspunkten P1, P2 und P3 ersetzt werden. In der Ebene sind jeweils nur drei Gleichgewichtbedingungen linear von einander unabhängig. 4. Allgemeines Kräftesystem 23 Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler Obwohl die Lage der Bezugspunkte mit den o.g. Einschränkungen prinzipiell beliebig ist, hängt von der geschickten Wahl der Rechenaufwand entscheidend ab. Grundsätzlich gilt, nur solche Bezugspunkte für die Aufstellung von Momentengleichgewichten zu wählen, deren Abstände bekannt oder aus der Geometrie leicht ermittelbar sind und die auf der Wirkungslinie mindestens einer unbekannter Kraft liegen. Dies trifft immer für Auflager zu. n n n ∑ Fix = 0 ∑M = 0 B M ∑ iz = 0 i =1 i =1 i =1 A iz Bezugspunkte zur Aufstellung von Momentengleichgewichten sind in der Regel in die Auflagerpunkte zu legen. Bei der analytischen Bestimmung von Auflagerreaktionen werden diese meist als Druckkräfte, d. h. mit der Pfeilspitze zum Freikörperbild orientiert eingetragen. Die tatsächliche Orientierung ergibt sich aus dem Vorzeichen des Berechnungsergebnisses. Abhebende Kräfte besitzen negative Vorzeichen. 4. Allgemeines Kräftesystem 24 Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler Beispiel: Scheibe mit Einzellast y h=1m A Freikörperbild F F=3 kN x b=2m B Gleichgewichtsbedingungen 4. Allgemeines Kräftesystem 25 Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler Beispiel: Gelagerte Scheibe mit Momentenlast Freikörperbild M=2 kNm B A y M L=0,8 m x Gleichgewichtsbedingungen 4. Allgemeines Kräftesystem 26 Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler Übung: Gelagerte Scheibe mit Kraft- und Momentenlast Gegeben: F = 5 kN, M = 2 kNm, L = 2 m, h = 1 m, α = 30° Gesucht: Auflagerreaktionen Freikörperbild α h F M F B A y M L x Gleichgewichtsbedingungen 4. Allgemeines Kräftesystem 27 Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler Ergänzung: Durch drei Gleitlager gelagerte Scheibe mit Einzellast F=8 kN α C C y h=1m x y y x c A x y y P y aus (3): aus (1) – (2): Fx ∑F = 0 = A + C + F = ( A + C + F) ⋅ cosα ∑F = 0 = A + B − C + F = ( A − C + F) ⋅ sinα + B 3b 3b h = = ⋅ + ⋅ − ⋅ M 0 B F F = B+F −F ∑ 4 4 2 x a P B b=2m x Ax A α Cy Cx α = 45° F Fy x y x 2h 3b 2 ⋅1 cos 45° − sin 45°) = −3,77 kN 3⋅ 2 B − 3,77 C= = = −2,67 kN 2 ⋅ sinα 2 ⋅ sin45° B Ay ⇒ F + A+ C = 0 −B ⇒ F + A−C = sinα 2h ⇒ B = F ⋅ cosα − F ⋅ sin α 3b (1) (2) (3) B = 8⋅( 4. Allgemeines Kräftesystem aus (1): A = −C − F = 2,67 − 8 = −5,33 kN 28 Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler → Alternativ: Berechnung durch Momentengleichgewichte F=8 kN α F C a2 α = 45° h=1m P1 A B A P2 a3 C α b → a a1 → b=2m f a4 B P3 → c h 2 3b + B⋅ 2 4 ⇒B=− 2h 2 2 2 ⋅F = − ⋅ 8 = −3,77 kN 3b 3⋅ 2 h 2 3h 2 +C⋅ 2 2 ⇒C = − F 8 = − = −2,67 kN 3 3 ∑M P1 = 0 = F ⋅ a1 + B⋅ a2 = F ⋅ ∑M P2 = 0 = F ⋅ a1 + C ⋅ a3 = F ⋅ ∑M = 0 = −F ⋅ a4 − A⋅ a3= −F ⋅ h 2 − A⋅ P3 4. Allgemeines Kräftesystem 2 16 3h 2 ⇒ A = − F = − = −5,33 kN 3 3 2 29
