03 Zentrales Kräftesystem - Umwelt
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Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler 3. Zentrales ebenes Kräftesystem Eine Gruppe von Kräften, die an einem starren Körper angreifen, bilden ein zentrales Kräftesystem, wenn sich die Wirkungslinien aller Kräfte in einem Punkt schneiden. → F2 → f3 → f1 → F1 P → F3 → f2 3. Statik starrer Körper 1 Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler 3.1.1 Zerlegung von Kräften Eine Kraft lässt sich in der Ebene eindeutig in zwei Einzelkräfte zerlegen, deren Wirkungslinie vorgegeben sind und die sich in einem Punkt schneiden → → f2 f2 → → F F2 F → F2 f1 P → f1 F1 F1 Lageplan Kräfteplan → → Im Lageplan werden die Wirkungslinien und f 2 der Einzelkräfte festgelegt. r Sie bilden mit der Kraft F ein zentrales Kräftesystem. Im maßstäblichen Kräfteplan werden die Einzelkräfte r r ermittelt und wieder r in den Lageplan eingetragen. Die Einzelkräfte F1 und F 2 ersetzen die Kraft F. f1 3. Statik starrer Körper 2 Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler 3.1.2 Zusammenfassen von Kräften r r Zwei Kräfte F1 und r F2 , deren Wirkungslinien sich schneiden, können zu ihrer Resultierenden R zusammengefasst werden. Im Lageplan wird die relative Lage der Kräfte zueinander eingetragen. → → f2 r → f1 P F1 → F2 r → F1 → F2 R Lageplan R Kräfteplan Im maßstäblichen Kräfteplan erfolgt grafisch die Addition der Kräfte. Die Resultierende wird anschließend in den Lageplan eingezeichnet. Ihre Wirkungslinie geht durch den Schnittpunkt der angreifenden Kräfte. 3. Statik starrer Körper 3 Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler Sonderfall: Seilrolle r s1 r s2 P S S S R S S R r r S A r r Lageplan Kräfteplan Die Resultierende der Seilkräfte geht stets durch das Lager, sie bilden ein zentrales Kräftesystem. Die Lagerkraft ist der Resultierenden entgegengerichtet. 3. Statik starrer Körper 4 Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler Das Zusammenfassen mehrerer Kräfte kann Zusammenfassen von zwei Kräften realisiert werden. durch wiederholtes → F3 → F2 → → F1 F2 R1 P → R2 F4 → → F2 F3 → F3 R R → Lageplan F1 → → F1 F4 → F4 R Kräfteplan Die Resultierende ergibt sich durch Verbinden des Anfangspunktes mit dem Endpunkt des gebildeten Kraftecks. Zwischenresultierende werden i. allg. nicht eingetragen. Alle Kraftvektoren werden mit gleichem Umlaufsinn eingetragen. Die Resultierende ist den Kraftvektoren entgegengerichtet. 3. Statik starrer Körper 5 Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler Beispiel: Pfosten mit drei Kräften Gegeben: F1 = 30 kN, F2 = 40 kN und F3 = 20 kN Gesucht: Betrag und Richtung der Resultierenden R Richtung von F2 und Betrag von R, wenn diese senkrecht wirken soll Lageplan F2 Kräfteplan F3 F1 Kraftmaßstab: 1 cm = 10 kN 3. Statik starrer Körper 6 Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler Übung: Fundament mit drei längs belasteten Trägern Gegeben: F1 = 50 kN, F2 = 80 kN und F3 = 20 kN Gesucht: Betrag und Richtung der Resultierenden R Betrag von F3, damit R minimal wird Lageplan F1 Kräfteplan F2 F3 Kraftmaßstab: 1 cm = 10 kN 3. Statik starrer Körper 7 Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler 3.1.3 Rechnerische Behandlung r r Für die Resultierende R mehrere Kräfte Fi gilt: → → → → n → R = F 1 + F 2 + ... + F n = ∑ F i i =1 r Zweckmäßigerweise werden die Kraftvektoren Fi in Richtung eines x,yKoordinatensystem zerlegt. Die skalaren Komponenten der Resultierenden ergeben sich aus der Summe der skalaren Komponenten der Einzelkräfte: n n R x = ∑ Fix i =1 R y = ∑ Fiy i =1 Der Betrag der Resultierenden ergibt sich aus R = R x2 + R y2 und für den Winkel der Resultierenden gegenüber der x-Achse gilt tan ϕ R = 3. Statik starrer Körper Ry Rx 8 Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler Beispiel: Zusammenfassen dreier Kräfte Gesucht: Betrag und Richtung der Resultierenden y F1 = 30 N F2 = 40 N α1=120° α2=30° 0 α3=-15° x F3 = 50 N 3. Statik starrer Körper 9 Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler Übung: Geschleppter Tanker in Fahrrinne Gegeben: F1 = 50 KN, α1 = 30°, α2 = 15° Gesucht: F2 und R, wenn der Tanker in der Fahrrinne bleiben soll F1 α1 y Fahrrinne α2 F2 x 3. Statik starrer Körper 10 Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler 3.2 Gleichgewicht von Kräften Ein Körper befindet sich im statischen Gleichgewicht, wenn die auf ihn einwirkenden Kräfte sich gegenseitig aufheben. → F3 → F1 → f2 P R F4 → Krafteck F4 f4 → → → F2 → F3 → f1 F1 F2 f3 Lageplan Kräfteplan Kräfte mit gemeinsamen Schnittpunkt heben sich auf, wenn ihre Resultierende verschwindet, d. h. das Krafteck geschlossen ist. Alle Kräfte besitzen beim Gleichgewicht den gleichen Umlaufsinn. 3. Statik starrer Körper 11 Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler 3.2.1 Grafische Behandlung Ein zentrales Kräftesystem befindet sich im statischen Gleichgewicht, wenn das Krafteck geschlossen ist Mit der Gleichgewichtsbedingung lassen sich für ein ebenes, zentrales Kräftesystem stets zwei unbekannte Größen ermitteln: • Zwei unbekannte Kräfte • Zwei unbekannte Richtungen • unbekannter Betrag und unbekannte Richtung Die Ermittlung der Gleichgewichtskräfte erfolgt grafisch durch vektorielle Addition der angreifenden Kräfte und Bestimmung der unbekannten Kräfte bzw. Richtungen aus der Bedingung, dass das Krafteck im Kräfteplan geschlossen ist. Mehr als zwei unbekannte Größen lassen sich mit der Gleichgewichtsbedingung für ein ebenes, zentrales Kräftesystem nicht ermitteln. 3. Statik starrer Körper 12 Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler Beispiel: Gewicht an zwei Seilen S2 Lageplan S1 G=30 N Kraftmaßstab: 1 cm = 10 N G Beispiel: Gewicht an drei Seilen S2 Kräfteplan S3 S1 G G 3. Statik starrer Körper 13 Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler Beispiel: Spannvorrichtung Gegeben: Seilkraft S = 300 N Gesucht: Feder- und Stabkräfte Lageplan Umlenkrolle Seil Spannrolle r s2 r f r s1 S r s3 Feder S Kräfteplan Kraftmaßstab: 1 cm = 100 N 3. Statik starrer Körper 14 Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler Beispiel: Seilzug Gegeben: G1 = G2 = 50 N, G3 = 60 N Gesucht: Seilwinkel α und β Lageplan A S1 α G1= S1 = 50 N S3 B β G2=50 N G3 = S3 = 60 N G2 G2 G1 Kräfteplan Kraftmaßstab: 1 cm = 20 N 3. Statik starrer Körper 15 Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler Beispiel: Seilaufhängung F = 4 kN, G = 2 kN, α = 45° β, S, S1 und S2 Gegeben: Gesucht: Kräfteplan Lageplan B A S2 S1 F α S β C G F y x G F Kraftmaßstab: 1 cm = 1 kN 3. Statik starrer Körper 16 Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler Übung: Kugeln in zylindrischer Aufnahme Gegeben: G = 25 N Gesucht: Kontaktkräfte r f2 G Lageplan r f1 G G r f1 m r f2 r g G m r f3 r f4 r f2 r f3 g r f4 Kraftmaßstab: 1 cm = 10 N 3. Statik starrer Körper 17 Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler 3.2.2 Rechnerische Behandlung Aus der Forderung eines geschlossenen Kraftecks ergibt sich für die Gleichgewichtsbedingung eines zentralen Kräftesystems, dass die Resultierende verschwindet: → → → → n → ! R = F 1 + F 2 + ... + F n = ∑ F i = 0 i =1 Die Resultierende ist dann Null, wenn ihre skalaren Komponenten Null sind: n R x = ∑ Fix = 0 i =1 n R y = ∑ Fiy = 0 i =1 Ein zentrales Kräftesystem befindet sich im Gleichgewicht, wenn die Summe der Kräfte in den Koordinatenrichtungen jeweils für sich verschwindet. Die Orientierung der unbekannten Kräfte wird im Lageplan zunächst willkürlich festgelegt. Ergibt die Rechnung einen negativen Betrag der Kraft, so ist die tatsächliche Kraftrichtung entgegengesetzt der angenommenen. 3. Statik starrer Körper 18 Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler Beispiel: Last an zwei Seilen Gegeben: G = 30 N, α = 45°, β = 30° Gesucht: Seilkräfte S1 und S2 S2 S1 β =30 ° α = 45° y G=30 N x G 3. Statik starrer Körper 19 Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler Beispiel: Seilaufhängung F = 9 kN G = 3 kN, α = 60° β, S, S1 und S2 Gegeben: Gesucht: S2 A S1 B α S β C y x F G Hinweis: tan β=sin β/cos β 3. Statik starrer Körper 20 Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler Übung: Kugeln in zylindrischer Aufnahme Gegeben: G = 25 N Gesucht: Kontaktkräfte Freikörperbilder r f2 Gleichgewichtsbedingung G G r f1 r r g G g r G 3r r cos α = = 0,5 2r 2r α r 3. Statik starrer Körper r f3 r f4 r f2 ⇒ α = 60° 21 Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler Ergänzung: Kugeln in prismatischer Aufnahme Gegeben: G1 = 20 N, G2 = 30 N Gesucht: Kontaktkräfte G1 Lageplan G2 m2 m1 Kraftmaßstab: 1 cm = 10 N r f1 F1 r f1 F2 r g1 r f2 r f3 Kräfteplan r f2 G1 r f4 3. Statik starrer Körper G2 r f3 F4 F1 r f4 r f1 F3 r g2 F4 ≈ 49 N g G1 r f1 r f4 F2 ≈ 19 N r f2 F1 ≈ 15N G2 F3 ≈ 48 N r f3 F1 22 Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler ...Fortsetzung Gegeben: G1 = 20 N, G2 = 30 N, α = 60° Gesucht: Kontaktkräfte Geometrie G2 G1 r 2r 3r r f1 r β r f3 r f4 α y δ r f3 2r α x sin δ = 3. Statik starrer Körper r 1 = 3r 3 1 ⇒ δ = arcsin = 19,5° 3 β = α − δ = 45° − 19,5° = 25,5° 23 Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier Technische Mechanik I Prof. Dr.-Ing. T. Preußler Freikörperbilder G1=20r N ∑F ∑F x r f1 f2 F1 r g1 F2 G2=30 N F 2 = F1 ⋅ r f3 F4 F1 r f4 r f1 r g2 3. Statik starrer Körper = 0 = F2 ⋅ sinα + F1 ⋅ sin β − G1 sin α ⇒ F1 ⋅ cos β ⋅ + F1 ⋅ sin β − G1 = 0 cos α G1 F1 = sin β + cos β ⋅ tan α 20 = = 15 N sin 25,5° + cos 25,5° ⋅ tan 45° y y x = 0 = F1 ⋅ cos β − F2 ⋅ cosα ∑F ∑F x = 0 = F4 − F1 ⋅ cos β − F3 ⋅ cos α y = 0 = F3 ⋅ sinα − F1 ⋅ sin β − G2 F3 = F3 cos β cos 25 , 5 ° = 15 ⋅ = 19 , 2 N cos α cos 45 ° F1 ⋅ sin β + G2 15 ⋅ sin 25,5° + 30 = = 48,9 N sin α sin 45° F4 = F1 ⋅ cos β + F3 ⋅ cos α = 48,1 N 24
