Übungsaufgaben 1

Impuls- und Energieerhaltung
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1. Ein 10 g schweres Geschoß trifft mit der Geschwindigkeit
v
v = 450
km
zentral auf einen 5,0 kg schweren Block, der
h
sich vor einer Feder mit der Härte D = 500
N
befindet, und bleibt darin stecken.
m
a) Wie weit wird die an einer Wand befestigte Feder dadurch zusammengedrückt ?
b) Wie viel mechanische Energie geht dadurch verloren ?
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung :
Gegeben : v = 450
km
m
= 125
h
s
m = 0,010 kg M = 5 kg D = 500
N
m
a) Gesucht : x
Die kinetische Energie des Blocksnach dem unelastischen Stoß (mit der darin steckenden
Kugel) wird in potentielle Energie der Elastizität verwandelt.
Imulserhaltung :
0,010 ⋅ 125
mv
u =
=
5,01 kg
(M + m)
1
1
D⋅x2 = (M + m)⋅u2
2
2
m
s
⇒
= 0,25
x =
m
s
M+m
⋅u
D
x =
5,01 kg
m
N ⋅ 0,25 s = 2,5 cm
500 m
b) Gesucht : ∆E
2

1
m 1
⋅78 J0,01 kg ⋅ 125  − 500⋅(0,025 m)2 =
2
s 2

__________________________________________________________________________
∆E =
1
1
m⋅v2 − D⋅x2
2
2
∆E =
A
2. Ein kleine Kugel rollt von A aus die nach B führende Bahn hinab und stürzt von dort auf den
(schraffiert gezeichneten) Boden.
h1
a) Mit welcher Geschwindigkeit verlässt die
Kugel bei B die Bahn ?
B
h2
b) Mit welcher Geschwindigkeit und unter welchem Winkel gegen die Horizontale gemessen trifft die Kugel auf den Boden ?
Es ist h1 = 1,2 m und h2 = 0,3 m
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Gegeben : h1 = 1,2 m
h2 = 0,30 m
a) Gesucht v
Energieerhaltung :
mg⋅h1 = mg⋅h2 +
1
mv 2
2 2
v2 =
m
m
⋅ 0,9 m = 4,2
2
s
s
2 ⋅ 9,81
⇒
v2 =
2g⋅h1 − h2


b) Gesucht : v2
Energierehaltung :
v =
2gh1
v =
2⋅9,81
m
m
⋅ 1,2 m = 4,9
2
s
s
Geschwindigkeitdreieck :
cosα =
4,2
4,9
m
s
m
s
⇒
α = 30°
Die Kugel triff 30° gegen die Horizontale auf.
__________________________________________________________________________
km
4. Eine Rakete der Masse 10 t bewegt sich mit v = 1
von der Erde weg.
s
Welche Geschwindigkeit erhält die Rakete, wenn plötzlich ein
Geschwindigkeit von 2
1
ihrer Masse mit einer
10
km
relativ zur Rakete nach hinten ausgestoßen wird ?
s
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Lösung :
Im Bezugssystem, in dem sich die Rakete mit 1
ausgestoßen.
km
km
bewgt, werden die Treibgase mit 1
h
h
Impulserhaltung :
Gegeben : v1 = 1000
m
s
u2 = − 1000
m
s
M = 10000 kg m = 1000 kg
Gesucht : u1
− 1 t ⋅( − 1 km
km
s )
M⋅v1 = (M − m)⋅u1 + m⋅u2 ⇒ u1 =
=
= 1,2
9t
h
M−m
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------M⋅v1 − m⋅u2
10 t ⋅ 1
km
s
5. Ein Wagen A der Masse m1 trifft in einem ersten Versuch in zentralem Stoß mit der Gecm
schwindigkeit 50
auf einen ruhenden Wagen B der Masse m2.
s
Nach dem Zusammenstoß bewegt sich A in 10
rend sich B mit 30
cm
in die entgegengesetzte Richtung, wähs
cm
bewegt.
s
In einem zweiten Versuch wird A mit einem Gewicht der Masse 1,0 kg beladen und stößt
cm
wiederum mit der Geschwindigkeit 50
auf B. Nach dem Stoß bleibt A in Ruhe, wähs
cm
rend B mit 50
weiterfährt. Man berechne die Masse beider Wägen.
s
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------m
m
m
m
Gegeben : v1 = 0,5
v2 = 0
u1 = − 0,1
u2 = 0,3
s
s
s
s
m2 = m1 + ∆m mit ∆m = 1 kg
v1 = 0,5
m
s
v2 = 0
m
s
u1 = 0
m
s
u2 = 0,5
m
s
Gesucht : m1 und m2
Impulserhaltung und Lösung des Gleichungssystems ergibt :
m1 = 1 kg und m2 = 2 kg
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Wurfbewegungen
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m
1. Ein Ball wird mit einer Geschwindigkeit von 20
im Winkel von 30° abgeschossen und
s
landet auf einem 3,75 m hohen Dach.
Wann erreicht er das Dach und wie weit ist er bis zum Auftreffen in horizontaler Richtung
geflogen ?
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung :
Gegeben : v0 = 20
m
s
α = 30°
h = 3,75 m
Gesucht : T, W
v0x = v0⋅cosα vx = 17,3
m
v = v0⋅sinα
s 0y
v0y
Steigzeit : t1 =
g
m
s
9,81 m2
s
t1 =
10
v0x = 10
m
s
= 1,0 s
Steighöhe:
H = v0y⋅t1 −
1
g⋅t 2
2 2
H = 10
2
m
1
m
⋅ 1 − ⋅ 9,81 2 ⋅ 1 s = 5,1 m
s
2
s  
Fallzeit :
1
g⋅t 2 = H − h
2 2
⇒
t2 =
2⋅(H − h)
g
t2 =
2⋅(5,1 m − 3,75 m)
= 0,52 s
9,81 m2
s
T = t1 + t2 = 1,52 s
m
⋅ 1,52 s = 26,3 m
s
___________________________________________________________________________
m
2. Ein Stein wird mit einer Geschwindigkeit von 16
s
unter einem Winkel von 60° aus einem 2,0 m über
dem Boden gelegenem Fenster F eines Hauses geworF
Mauer
fen so, dass er gerade noch über eine in 14 m Entfer14m
nung stehende Mauer fliegt.
W = v0x⋅T
W = 17,3
a) Bestimmen Sie die Höhe der Mauer.
b) Berechnen Sie, in welcher Entfernung von der Mauer der Stein zu Boden fällt.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung :
Gegeben : v0 = 16
m
s
α = 60 °
w = 14 m
a) Gesucht : h
v0x = 8
m
s
Zeit beim Überfliegen der Mauer : t =
v0y = 13,9
w
v0x
t =
14 m
= 1,75 s
8 ms
m
s
Steigzeit : T =
v0y
= 1,4 s
g
Steighöhe : H = 9,8 m
Zeit bis zum Überqueren der Mauer : 1,75s − 1,4 s = 0,35 s
In dieser Zeit wird durchfallen : 0,60 m
Höhe der Mauer : 9,8 m + 2 m − 0,6 m = 11, 2 m
Zeit vom Scheitel bis zum Auftreffen : t1 =
2⋅11,8 m
= 1,6 s
9,81 m2
s
Wurfweite : W = 26,4 m
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Kreisbewegung
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1. Eine Achterbahn enthält einen kreisförmigen Looping mit 22 m Durchmesser.
a) Wie schnell muss ein Wagen im obersten Punkt des Loopings sein, damit sich die Passagiere gerade schwerelos fühlen ?
b ) Mit welcher Kraft wird dann eine Personen mit 80 kg Masse im untersten Punkt der
Kreisbahn gegen ihren Sitz gedrückt ?
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung :
Gegeben : r = 11 m
a) Gesucht : v
Im höchsten Punkt der Loopingbahn ist die erforderliche Zentripetalkraft gleich der Summe
der Gewichtskraft der Person und einer von der Bahn stammenden Kraft. Beide Kräfte sind
nach unten gerichtet.
Eine Person fühlt sich schwerlos, wenn sich nicht mehr gegen ihren Sitz gedrückt wird.
Folge : Die Bahn übt keine Kraft mehr auf die Person aus.
Fr = G
⇔
m⋅
v2
= m⋅g ⇒
r
v =
g⋅r = 10,4
m
s
b) Gesucht : F1 für m = 80 kg
Im tiefsten Punkt ist die erforderliche Zentritalkraft gleich der Summe der Gewichtskraft
der Person und einer von der Bahn stammenden Kraft. Diese Kraft ist entgegengesetzt
gleich der Kraft mit der die Person in den Sitz gedrückt wird und nach oben gerichtet.
Die Geschwindikeit im tiefsten Punkt der Pahn berechnet sich mit dem Energiererhaltungssatz.
1
1
m⋅v2 + mg⋅2r = mg⋅v12
2
2
Fr1 = G + F1 = − mg + F1
F1 = 6mg
⇒
v1 =
⇒ m⋅
v2 + 4gr
⇒ v1 =
v12
= − mg + F1
r
5gr = 23,2
m
s
⇒ 5mg = − mg + F1
F1 = 4,7 kN
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------km
2. Ein 900 kg schweres Auto fährt auf nasser Straße (µH = 0,60) mit 108
eine Kurve mit
h
200 m Radius.
Untersuchen Sie rechnerisch, ob das Auto dabei ins Schleudern kommt.
Gegeben : m = 900 kg µH = 0,60
v = 108
km
m
= 30
h
s
r = 200 m
Die erforderliche Zentripetalkraft darf die Haftreibungskraft nicht übersteigen.
Fr = m
v2
r
 m 2
30 s 


Fr = 900 kg ⋅
= 4,05 kN
200 m
m
= 8,8 kN
s2
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Ein Verkehrsflugzeug, das noch nicht landen darf, fliegt über dem Flughafen eine Wartekm
schleife (immer im Kreis). Dazu drosselt es seine Geschwindigkeit auf 360
und neigt
h
sich um 15° gegen die Horizontale.
Maximale Haftreibungskraft : F = uH⋅mg F = 0,6 ⋅ 900 kg ⋅ 9,81
a) Welchen Radius hat der Kreis, den es fliegt ?
b) Wie viele Umdrehungen pro Minute macht das Flugzeug ?
c) Wie groß ist die gesamte Kraft, die in dieser Situation auf einen 70 kg schweren Passagier wirkt ?
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung :
a) Gesucht : r
tanα =
2
m⋅ vr
Fr
v2
=
=
G
mg
rg
⇒ r =
2

m
100 s 


r =
tan153,8 km° ⋅ 9,81
v2
tanα⋅g
m
s2
= 3,8 km
b) Gesucht : n
v = ω⋅r = 2πf⋅r
n = f⋅t
v
⇒ f =
2π⋅r
f =
100
m
s
2π 3800 m
= 4,19 ⋅ 10−3 Hz
f = 4,19⋅10−3 Hz ⋅ 60 s = 0,25
α
Kraft auf Tragflächen
G
Tragflächen
Fr
Das Flugzeug mach in der Minute eine Viertelumdrehung.
___________________________________________________________________________
4. Um welchen Winkel muß sich ein Radfahrer gegen die Vertikale neigen, wenn er mit
km
18
ein Kreisstück mit 10 m Radius durchfährt ?
h
Wie groß muß die Haftreibungszahl mindestens sein, damit das Rad bei waagerechtem Boden nicht wegrutscht ?
Gegeben : v = 18
km
m
= 5
h
s
r = 10 m
α
Gesucht : α, µH
G
Fr
Haftreibungskraft
Normalkraft auf Boden
2
m⋅ vr
Fr
v2
tanα =
=
=
G
mg
rg
FHR ≥ Fr
⇔
µH⋅mg ≥ m⋅
 m 2
5 s 


tanα =
10 m ⋅ 9,81
v2
r
⇒
µH ≥
v2
rd
m
s2
⇒
α = 14,3°
µH ≥ 0,26
___________________________________________________________________________
5. Die Ketten eines Kettenkarussells sind im Abstand 6,0 m von der Drehachse aufgehängt.
Die Ketten sind 5,0 m lang.
Um welchen Winkel neigen sich die Ketten nach außen, wenn sich das Kettenkarussel mit
der Frequenz 0,05 Hz dreht ?
Mit welcher Bahngeschwindigkeit bewegt sich eine mitfahrende Person ?
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Gegeben : d = 6,0 m
L = 5,0 m
f = 0,05 Hz
α
Gesucht : α und v
Man verlängert gedanklich die Kette bis zum Schnittpunkt
mit der Drehachse und betrachtet den Aufhängpunkt.
G
d
α
Fr
α
Fr
m⋅ω2⋅r
tanα =
=
G
mg
⇒
2π⋅f2⋅d


tanα =
g
(0,1π)2⋅6 m
tanα =
9,81 m2
⇒ α = 3,45°
s
m
v = ω⋅R = ω⋅d + L⋅sinα v = 0,1π⋅6 m + 5 m ⋅ sin3,45° = 2,0




s
___________________________________________________________________________
km
in einer Kurh
ve von 900 m Radius senkrecht auf die Verbindungslinie beider Schienen drückt, so dass
jegliche Kippgefahr ausgeschlossen ist ?
6. Wie stark muss die äußere Schiene überhöht sein, damit ein Zug mit 216
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung :
Gegeben : v = 216
m
km
= 60
s
h
r = 900 m
Gesucht : α
tanα =
v2
rg
 m 2
60 s 


tanα =
900 m ⋅ 9,81
m
s2
⇒ α = 22°
___________________________________________________________________________
7. Ein kleiner Körper mit der Masse 0,5 kg wird an einem Faden der Länge 1,0 m auf einem
Kreis in einer vertikalen Ebene herumgeschleudert. Dabei wird die Umlaufgeschwindigkeit
des Körpers ganz allmählich gesteigert. Bei einer Belastung von 25 N reißt der Faden.
a) An welcher Stelle der Bahn der Faden reißt ? Begründung !
b) Welche Bahngeschwindigkeit hat der Körper zu diesem Zeitpunkt ?
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lösung :
Gegeben : m = 0,5 kg r = 1,0 m
F = 25 N
a) Im tiefsten Punkt, da hier Gewichtskraft und Fadenkraft entgegengesetzt gerichtet sind
b) Gesucht : v
Fr = G + F = − mg + F
⇒
m
v2
= − mg + F
r
⇒
v =
F − mg
⋅r
m
25 N − 0,5kg ⋅ 9,81
m
s2
m
0,5 kg
s
___________________________________________________________________________
v =
⋅ 1 m = 40
Harmonische Schwingung
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1. Ein Federpendel vollführt 12 Schwingungen in 15 s wobei der Abstand der Umkehrpunkte
16 cm beträgt. Die Zeitmessung beginnt bei Durchgang durch die Nulllage nach oben.
a) An welcher Stelle befindet sich der Körper nach 0,70 s ?
b) Bestimme Geschwindigkeit und Beschleunigung nach 0,70 s und gib die jeweilige Richtung an.
c) Wann besitzt der Körper maximale Geschwindigkeit und wie groß ist sie ?
d) Nach welcher Zeit befindet sich der Körper zum sechsten Mal 3 cm über der Nulllage ?
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Zwischen zwei entspannten Federn, die auf Zug und Druck reagieren, und deren jede die
N
Federhärte 0,1
hat, ist eine Kugel mit der Masse 200 g befestigt.
cm
Die Kugel wird um A = 5 cm seitlich ausgelenkt.
Berechnen Sie :
a) die zur Auslenkung A nötige Kraft FA.
b) die Zeitdauer T einer Schwingung.
c) die Geschwindigkeit der Kugel beim Durchgang durch die Gleichgewichtslage.
d) die Beschleunigung der Kugel beim Durchgang durch die Gleichgewichtslage.
e) die Auslenkung der Kugel, bei der die Kugel 30% ihrer Maximalgeschwindigkeit hat.
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3. Dreißig Zentimeter unter dem Aufhängepunkt eines 50 cm langen
Fadenpendels befindet sich ein fester Stift S, an den sich der Faden
während des Schwingens vorübergehend anlegt.
Wie viele Schwingungen führt das Pendel in einer Minute aus
S
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Lösung :
T = π⋅
l1
+ π⋅
g
l2
g
n = 52
___________________________________________________________________________