Wir messen die Entfernung eines Punktes (z.B. Baum, Kirchturm

Wir messen die Entfernung eines Punktes (z.B. Baum, Kirchturm, Berg, …)
mit Hilfe von Kompass und Maßband
Problem:
2 Personen (Person A und Person B) wollen die Entfernung zu einem Baum messen. Gesucht ist die Entfernung von Person A zum Baum (rote Linie). Es stehen zwei Kompasse
und ein 50-Meter Maßband zur Verfügung.
Um die Entfernung zum Baum zu ermitteln, bilden die beiden Personen und der Baum ein
rechtwinkliges Dreieck. Der rechte Winkel ist dabei bei Person A. Zwischen den beiden Personen ist das 50-Meter Maßband gespannt. Person A steht genau 50 Meter von Person B
entfernt.
Die Entfernung von Person A zum Baum kann man auf zwei Arten ermitteln. Man kann sie
ausrechnen (Methode 1) oder zeichnerisch bestimmen (Methode 2). Dabei nutzen wir die Eigenschaften des rechtwinkligen Dreiecks. Zuerst müssen wir aber noch das Dreieck bilden
und die Winkel im Dreieck ermitteln.
Anleitung:
Wir bilden ein rechtwinkliges Dreieck und bestimmen die Winkel im Dreieck.
1. Schritt:
Person A peilt mit dem Kompass den Baum an. Die rote Spitze der Kompassnadel (Norden)
liegt bei 50°. (Beachte: Die Kompassrose nicht drehen! Die Kompassrose ist immer in Nordrichtung gestellt. Nur so kann man mit beiden Kompassen die Winkel genau berechnen. Wir
messen mit dem Kompass nicht die Himmelsrichtung des Baumes, sondern die Abweichung
der Nordrichtung von der Peilung des Baumes.)
2. Schritt:
Personen A und B spannen das Maßband zwischen sich. Die Entfernung liegt jetzt genau
bei 50 Meter. Dies ist notwendig, damit der Winkel zwischen Person B, dem Baum und Person A nicht zu klein ist.
3. Schritt:
Person A peilt mit dem Kompass Person B an. Dabei steht Person B links von Person A. Da
die Nordrichtung beim Anpeilen des Baumes auf 50° liegt, muss sich jetzt die Nordrichtung
beim Anpeilen von Person B auf 140° befinden. (Begründung: Der Kompass ist rechts drehend. Er dreht sich also im Uhrzeigersinn. Wenn ich mich um 90° nach links drehe, zeigt der
Kompass 90° mehr an. Die Kompassnadel bewegt sich nicht, doch der Kompass dreht sich
unter der Nadel um 90° nach links. Also zeigt er mir 50° + 90° = 140° an. Person B steht
richtig, wenn die Nordrichtung auf 140° zeigt.) Person A gibt Person B an („Links!“ oder
„Rechts!“), wo Person B zu stehen hat. Steht Person B richtig, überprüfen beide noch mal,
ob sie auch 50 Meter von einander entfernt sind (Maßband gespannt).
4. Schritt:
Person B peilt den Baum an. Die rote Spitze der Kompassnadel (Norden) liegt bei 10°.
5. Schritt:
Bei Person A lag die Nordrichtung beim Anpeilen des Baumes bei 50° und bei Person B lag
die Nordrichtung beim Anpeilen des Baumes auf 10°. Damit kann man den Winkel zwischen
der Person B, dem Baum und der Person A (Winkel α in der Zeichnung) ausrechnen. Der
Winkel ist 50° - 10° = 40°. α = 40°.
6. Schritt:
Zwei der drei Winkel im Dreieck kennen wir nun. Den dritten Winkel (Winkel β in der Zeichnung) können wir berechnen, weil wir wissen, dass die Summe der Winkel im Dreieck immer
180° ist. Der Winkel zwischen Person A, Person B und dem Baum ist also 180° - 90° - 40° =
50°. β = 50°.
Methode 1: Wir berechnen die Entfernung von Person A zum Baum.
Wir kennen nun die drei Winkel und eine Seite im rechtwinkligen Dreieck. Das rechtwinklige Dreieck hat besondere Eigenschaften. Die längste Seite wird Hypotenuse (c) genannt,
die beiden anderen Seiten, die rechtwinklig zueinander stehen, werden Katheten (a und b) genannt.
Bezogen auf unser Beispiel mit dem Baum und den Personen A und B ergibt sich folgendes: Der rechte Winkel ist bei
Person A, das bedeutet Punkt C ist bei Person A. Person B entspricht dem Punkt B in diesem Dreieck. Der
Baum liegt bei Punkt A. Gesucht ist die Kathete b. Die Kathete a ist unser Maßband (a = 50 Meter). Der
Winkel α ist der Winkel zwischen Person B, dem Baum und Person A (α = 40°). Der Winkel β ist der Winkel zwischen Person A, Person B und dem Baum (β = 50°).
Mit Hilfe der Winkelfunktionen (auch trigonometrische Funktionen genannt) kann man die fehlenden Seiten
im Dreieck berechnen.
Der Tangens gibt das Verhältnis zwischen der Gegen- und der Ankathete an. Es gilt:
tan β = b / a
Der Winkel β sowie Kathete a sind bekannt (β = 50°, a = 50 m). Gesucht wird die Entfernung von Person A
zum Baum, also die Kathete b. Durch Auflösen der Formel auf b erhält man:
b = tan β · a
eingesetzt: b = tan 50° · 50 m
Der Baum ist 60 Meter von Person A entfernt.
b ≈ 60 m
Methode 2: Wir bestimmen zeichnerisch die Entfernung von Person A zum Baum.
Wir kennen die drei Winkel und eine Kathete im Dreieck. Im Folgenden werden wir das Dreieck zeichnen.
1. Schritt:
Wir zeichnen die Kathete a. Die 50 Meter in der Realität sind in unserer Zeichnung 5 cm.
Das bedeutet, dass 1 cm in der Zeichnung 10 Meter in der Realität darstellt. Das entspricht
einem Maßstab von 1:1000.
2. Schritt:
Wir zeichnen am einen Ende der Kathete a den Winkel β und verlängern ihn. Das stellt die
Hypotenuse dar. An dieser Ecke des Dreiecks stand die Person B.
3. Schritt:
An das andere Ende der Kathete a zeichnen wir eine Senkrechte. An dieser Ecke des Dreiecks stand die Person A. Die Senkrechte schneidet die Hypotenuse. Am Schnittpunkt zwischen Senkrechte und Hypotenuse liegt der Baum. Wir erhalten zeichnerisch die gesuchte
Kathete b. Nun messen wir die Länge der Kathete b. Sie beträgt etwa 6 cm. Das entspricht
einer Entfernung von 60 Metern in der Realität. Die Person A ist 60 Meter vom Baum entfernt.