9. Das elektrische Feld
Werbung
Das elektrische Feld 9-1 9. Das elektrische Feld Das elektrische Feld, ein besonderer Zustand des Raumes Versuch: Eine Hohlkugel wird mit einem Bandgenerator mit elektrischen Ladungen aufgeladen. Bringt man in die Nähe der geladenen Hohlkugel z.B. Papierschnipsel, so stellt man eine Kraftwirkung auf diese fest. Feststellung: Der Raum um einen elektrisch aufgeladenen Körper hat besondere Eigenschaften. Diesen Zustand des Raumes, der durch die Anwesenheit der elektrischen Ladung bedingt ist, nennt man elektrisches Feld. 9.1 Elektrische Ladungen als Ursache des elektrischen Feldes Es gibt positive und negative elektrische Ladungen. Das Elektron ist der Träger der kleinsten negativen Ladung Q = -1,602 ⋅ 10-19 C , das Proton trägt die gleich große positive Elementarladung. Ein Körper mit einem Elektronenüberschuss ist negativ geladen. Ein Körper mit einem Protonenüberschuss ist positiv geladen. Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab und ungleichnamige Ladungen ziehen sich an. 9.2 Elektrische Influenz a) elektrische Influenz bei Metallen Befindet sich ein Stück Metall gegenüber einem aufgeladenen Körper, dann verschieben sich die Elektronen im Metall so, dass sich gegenüber dem aufgeladenen Körper ungleichnamige Ladungen befinden. Diese Art der Ladungstrennung nennt man Influenz. 12 Ge, Elektrotechnik Das elektrische Feld 9-2 b) elektrische Influenz bei Isolatoren In Isolatoren gibt es keine freien Elektronen. Die Ladungen innerhalb der einzelnen Moleküle können sich aber durch Annäherung eines geladenen Körpers verschieben. Die neutralen Moleküle werden durch elektrische Influenz zu Dipolen. 9.3 Elektrische Feldlinien Zwischen zwei gegensinnig aufgeladenen Elektroden existiert ein elektrisches Feld. Bringt man in dieses Feld eine positive Probeladung, dann bewegt sich diese auf einer definierten Bahn von der positiven zur negativen Elektrode. Der Verlauf der Bahnkurve hängt von der Anordnung der Elektroden und dem Startpunkt der Probeladung ab. Die gebildeten Bahnkurven, denen eine positive Probeladung im elektrischen Feld folgt, werden als elektrische Feldlinien bezeichnet. Sie ermöglichen eine Modellvorstellung vom Aufbau des elektrischen Feldes. 12 Ge, Elektrotechnik Das elektrische Feld 9-3 Für den Verlauf von Feldlinien gelten folgende Regeln: 1) Die Feldlinien stehen senkrecht auf ihrer Austrittsebene und sie verteilen sich gleichmäßig auf den Raum. 2) Die Richtung der Feldlinien geht von der positiven zur negativen Ladung. Sie treten damit stets an der positiven Ladung aus und in die negative Ladung ein. 3) Die Dichte der Feldlinien gibt Aufschluss über die Stärke des Feldes. Je enger die Feldlinien beieinander liegen, umso stärker ist das elektrische Feld. a) Homogenes und inhomogenes Feld Beim homogenen Feld ist der Abstand zwischen den Feldlinien überall konstant, beim inhomogenen Feld dagegen nicht. homogenes Feld inhomogenes Feld b) Verschiedene Feldlinienbilder zwei parallele Platten 12 Ge, Elektrotechnik Kugel-Kugel Kugel-Platte Das elektrische Feld 9-4 9.4 Besondere Eigenschaften des elektrischen Feldes a) Spitzenwirkung b) Faradayscher Käfig Die Ladungen verteilen sich auf der Oberfläche des Metallkörpers so, dass sie umso dichter beisammensitzen, je kleiner der Krümmungsradius ist. An Spitzen ist die Feldstärke besonders groß. Innerhalb eines elektrisch leitenden Hohlkörpers besteht kein elektrisches Feld. Die influenzierten Ladungen im Käfig haben nur Feldlinien nach außen. Der Käfig selbst bleibt feldfrei. 9.5 Elektrische Feldstärke Auf eine Probeladung Q die sich in einem elektrischen Feld befindet wird eine Kraft F ausgeübt. Auf die doppelte Ladung 2Q wird die doppelte Kraft 2F ausgeübt usw. Das Verhältnis F 2F nF = = ... = bleibt konstant und ist ein Maß für die elektrische Q 2Q nQ Feldstärke. Elektrische Feldstärke: E= F Q (9.1) F: Kraft auf die Ladung in N Q: Elektrische Ladung in C bzw. As N Nm Ws VAs V E: Elektrische Feldstärke in = = = = As Asm Asm Asm m Wird auf eine Probeladung Q = 1 As eine Kraft F = 1 N ausgeübt, so beträgt die Feldstärke: E= V 1N =1 m 1 As 12 Ge, Elektrotechnik Das elektrische Feld 9-5 Die Feldstärke gibt an, wie groß die Kraft auf eine Ladung im Feld ist. Elektrische Feldstärke zwischen zwei parallelen Platten d +Q F (+) (-) E 1 2 U Zwischen zwei gegenseitig aufgeladenen parallelen Platten 1 und 2 herrscht eine Spannung U und ein homogenes elektrisches Feld E. Die Platten befinden sich in einem Abstand d. Man denke sich nun eine positive Probeladung Q von der Platte 1 losgelöst. Auf sie wirkt die Kraft F, welche die Ladung von der Platte 1 zur Platte 2 beschleunigt. Mit Gl. (9.1) findet man für die Kraft F = E ⋅Q Bei der Überführung der Probeladung von der Platte 1 zur Platte 2 wird die Arbeit W verrichtet. W = F ⋅d = E ⋅Q ⋅d Die Überführungsarbeit wird von der Spannung U zwischen den Platten geliefert. In Kapitel 3.7 wurde die zum Transport einer Ladungsmenge Q von einer Spannungsquelle U aufgewandte Arbeit mit der Formel W = U ⋅Q berechnet. Durch Gleichsetzen der Überführungsarbeit mit der von der Spannung U gelieferten Arbeit findet man E ⋅Q ⋅d = U ⋅Q 12 Ge, Elektrotechnik Das elektrische Feld U E= d (9.2) 9-6 U: Elektrische Spannung in V d: Plattenabstand in m V E: Elektrische Feldstärke in m Die Feldstärke zwischen zwei parallelen Platten ändert sich proportional mit der Spannung zwischen den Platten und umgekehrt proportional mit dem Plattenabstand. Hinweis: Die Feldstärke kann mit Hilfe von Feldlinien dargestellt werden. Durchschlagfeldstärke der Luft: Werden die Platten bei konstanter Spannung U = 3,2 kV einander näher gebracht, dann steigt die Feldstärke solange an, bis bei einem Abstand von ca. 1 mm ein Überschlag in der Luft erfolgt. Für E findet man dann: E= U 3,2kV kV = = 3,2 d 1mm mm Durchschlagfeldstärke der Luft: 3,2 12 Ge, Elektrotechnik kV mm Das elektrische Feld 9-7 9.6 Kapazität des Kondensators Kondensatoren sind prinzipiell alle ähnlich aufgebaut. Zwei elektrische Leiter zwischen denen sich ein Isolator (Dielektrikum) befindet, werden an eine Spannung angelegt. Einfachste Form: Plattenkondensator (ohne Dielektrikum) S + - + - + - + - + - 1 + - + - + - + - + - 2 UB Wird der Schalter S geschlossen, werden solange Elektronen von der am + Pol liegenden Platte 1 auf die am - Pol liegende Platte 2 transportiert, bis die Spannung U zwischen den Platten 1 und 2 gleich der Batteriespannung UB ist. +Q + UB + + + U + E - - - - d -Q Zwischen den Platten herrscht jetzt die elektrische Feldstärke: E= UB d Der Kondensator ist aufgeladen und bleibt auch aufgeladen, wenn die Batterie entfernt wird. Der Kondensator ist ein Ladungsspeicher. 12 Ge, Elektrotechnik Das elektrische Feld 9-8 Je größer die Spannung U an den Platten eines Plattenkondensators ist, umso mehr Ladungen Q fließen auf die Platten. Es gilt: U ⇒ Q Ladungen auf den Platten 2U ⇒ 2Q Ladungen auf den Platten 3U ⇒ 3Q Ladungen auf den Platten usw. Q ~ U ⇒ Q = k ⋅U Die Konstante k hängt vom Aufbau des Kondensators ab und wird als Kapazität C bezeichnet. Q = C ⋅U C= Q U (9.3) Q: Elektrische Ladung in As U: Elektrische Spannung in V As C: Elektrische Kapazität in = F (Farad) V Die Einheit der Kapazität ist das Farad (F). Da ein Farad ein sehr großer Wert ist, werden in der Technik die kleineren Einheiten mF, µF, nF, pF verwendet. Die Kapazität C gibt an, welche Ladung Q nötig ist, um den Kondensator auf die Spannung U aufzuladen. Kapazität des Plattenkondensators Es gibt drei Möglichkeiten die Ladungsmenge auf einem Kondensator zu vergrößern, ohne die Spannung zwischen den Platten zu verändern: 1) Vergrößern der Plattenoberfläche A Vergrößert man die Fläche eines Kondensators, dann stehen dadurch auch mehr Ladungsplätze zur Verfügung. Die Kapazität ist proportional zur Fläche: C~A 2) Verringern des Abstandes d zwischen den Platten Verringert man den Abstand d zwischen den Platten, dann wird die elektrische Feldstärke U zwischen den Platten vergrößert ( E = ). Eine größere Feldstärke bedeutet aber mehr d Ladungen auf den Platten . 12 Ge, Elektrotechnik Das elektrische Feld 9-9 Die Kapazität ist umgekehrt proportional zum Plattenabstand: C~ 1 d 1) und 2) zusammengefasst: ⇒C ~ A d ⇒C =k⋅ A d Die Konstante k hängt vom Material zwischen den Platten ab. 3) Verändern des Materials (= Dielektrikum) zwischen den Platten ohne Dielektrikum U mit Dielektrikum U Durch Influenz entstehen Dipole im Dielektrikum (Polarisation). Die ursprünglichen Feldlinien verschwinden dadurch. Es müssen neue Ladungen auf die Platten fließen, damit wieder die ursprüngliche Feldstärke entsteht. Die Ladungsvergrößerung durch Einfügen eines Dielektrikums wird durch die Materialkonstante k berücksichtigt, die nachfolgend als Dielektrizitätskonstante ε bezeichnet wird. Damit lautet die Formel zur Bestimmung der Kapazität eines Plattenkondensators: A C = ε⋅ d (9.4) 12 Ge, Elektrotechnik A: Plattenfläche in m2 d: Plattenabstand in m As Vm d As m As (mit ε = C ⋅ → [ε ] = ⋅ 2 = ) A V m Vm As = F (Farad) C: Elektrische Kapazität in V ε: Dielektrizitätskonstante in Das elektrische Feld 9-10 Befindet sich Vakuum (näherungsweise auch Luft) zwischen den Platten schreibt man: C0 = ε 0 ⋅ A d (9.5) ε0: elektrische Feldkonstante im Vakuum ε 0 = 8,86 ⋅ 10 −12 As Vm Durch den Einbau eines Dielektrikums wird die Kapazität gegenüber Vakuum (Luft) vergrößert. Der Vergrößerungsfaktor wird als Dielektrizitätszahl εr bezeichnet. Mit Gl. (9.4) und Gl. (9.5) findet man für die Dielektrizitätszahl εr: C ε = = εr C0 ε 0 (9.6) Beispiele für εr: Luft: εr = 1 Porzellan: εr = 5 Keramik: εr = 10 bis 50000 Für die Dielektrizitätskonstante ε kann nach Gl. (9.6) auch geschrieben werden: ε = εr ⋅ε0 εr: Dielektrizitätszahl, ohne Einheit ε0: elektrische Feldkonstante im Vakuum, ε 0 = 8,86 ⋅ 10 −12 ε: Dielektrizitätskonstante in 12 Ge, Elektrotechnik As Vm As Vm Das elektrische Feld 9-11 9.7 Reihen- und Parallelschaltung von Kondensatoren 9.7.1 Reihenschaltung 11 12 21 22 Von der Platte 11 wird eine Ladung Q auf die Platte 22 verschoben. Von der Platte 21 wird dieselbe Ladung Q durch Influenz auf die Platte 12 verschoben. In der Reihenschaltung wird zwischen den Kondensatoren immer dieselbe Ladung verschoben und alle Kondensatoren laden sich auf denselben Wert von Q auf. Für n Kondensatoren in Reihe gilt: Q1 = Q2 = ... = Qn = Q = konstant Ersatzkapazität einer Reihenschaltung am Beispiel von zwei Kondensatoren Q, C1 U1 ESB Ug Q, C2 U g = U1 + U 2 mit U = Q und Q = konstant C 12 Ge, Elektrotechnik U2 Ug Q, Cg Das elektrische Feld 9-12 Q Q Q = + C g C1 C 2 1 1 1 = + C g C1 C 2 Für n Kondensatoren in Reihe gilt: n 1 1 =∑ C g i =1 C i (9.7) 9.7.2Parallelschaltung 11 12 21 22 Von der Platte 11 wird die Ladung Q1 auf die Platte 12 verschoben, von der Platte 21 wird die Ladung Q2 auf die Platte 22 verschoben. In der Parallelschaltung wird durch die Spannungsquelle die Gesamtladung transportiert. Die Ladungsmenge der Kondensatoren hängt von ihren jeweiligen Kapazitäten ab. Für n Kondensatoren in Parallelschaltung gilt: Q g = Q1 + Q2 + ... + Qn 12 Ge, Elektrotechnik Das elektrische Feld 9-13 Ersatzkapazität einer Parallelschaltung am Beispiel von zwei Kondensatoren Q1 C1 U Q2 C2 Q g = Q1 + Q2 mit Q = C ⋅ U und U = konstant C g ⋅ U = C1 ⋅ U + C 2 ⋅ U C g = C1 + C 2 Bei n Kondensatoren in Parallelschaltung gilt: n C g = ∑ Ci (9.8) i =1 12 Ge, Elektrotechnik ESB U Q, Cg Das magnetische Feld 10-1 10. Das magnetische Feld 10.1 Allgemeines über den Magnetismus Bringt man Eisen, Nickel oder Kobalt in die Nähe eines Magneten, so werden die genannten Stoffe angezogen. Man nennt sie ferromagnetische oder kurz magnetische Stoffe. Ferromagnetische Stoffe bestehen aus Elementarmagneten, die etwa so groß wie die Moleküle des Stoffes sind. Benachbarte Elementarmagnete beeinflussen einander durch magnetische Kräfte so, dass mehrere Tausend derartiger Elementarmagnete einen Bezirk (Weißscher Bezirk) bilden, in denen die Elementarmagnete gleich gerichtet sind. Ähnlich wie ferromagnetische Stoffe verhalten sich ferrimagnetische Stoffe, z.B. Chromdioxid oder Ferrit. Bringt man einen ferromagnetischen Stoff in die Nähe eines Magneten, so richten sich die Elementarmagnete und damit die Weißschen Bezirke in Richtung des äußeren Magnetfeldes aus. Dadurch entsteht ein neuer Magnet. Magnete üben Kräfte aus. Man hat festgestellt, dass Anziehung und Abstoßen auftreten können. Ähnlich wie bei der elektrischen Ladung muss man also zwei Pole annehmen. Man nennt sie Nordpol und Südpol. Gleichnamige Pole stoßen sich ab, ungleichnamige Pole ziehen sich an. Jeder Elementarmagnet hat zwei Magnetpole. Deshalb treten Magnetpole immer paarweise auf. Die Erde selbst ist ebenfalls ein Magnet. Hängt man einen Magneten drehbar auf, so zeigt einer seiner Pole deshalb nach Norden, der andere nach Süden. Man bezeichnet den Pol eines Magneten, der nach Norden zeigt, als Nordpol. Der Nordpol eines Magneten zeigt bei beweglicher Lagerung nach Norden. In der Umgebung eines Magneten befindet sich ein magnetisches Feld. Dieses Feld kann durch Eisenfeilspäne sichtbar gemacht werden. Die durch die Eisenfeilspäne gebildeten Linien heißen magnetische Feldlinien. Sie verlaufen in der Luft ohne Unterbrechung vom Nordpol zum Südpol und innerhalb des Magneten wieder zurück. Magnetische Feldlinien verlaufen außerhalb des Magneten vom Nordpol zum Südpol. 12 Ge, Elektrotechnik Das magnetische Feld 10-2 10.2 Magnetwirkung des elektrischen Stromes Elektrischer Strom bewirkt ein Magnetfeld. a) Gerader Leiter 1) Die magnetischen Feldlinien verlaufen kreisförmig um den Leiter. 2) Bei Stromrichtungsumkehr ändert sich die Feldlinienrichtung. Rechtsschraubenregel: Dreht man eine Rechtsschraube so, dass sie sich in Stromrichtung bewegt, dann entspricht die Drehrichtung dem Drehsinn der Feldlinien. 12 Ge, Elektrotechnik Das magnetische Feld 10-3 b) Leiterschleife I 1) In der Mitte der Schleife addieren sich die Felder der Einzelleiter zu einem Gesamtfeld. 2) Es entstehen ein Nord- und ein Südpol. 3) Bei Stromrichtungsumkehr wird die Schleife umgepolt. c) Spule (Luftspule) 1) In der Mitte der Spule addieren sich die Felder der Einzelschleifen zu einem starken Gesamtfeld. 2) Es entstehen ein ausgeprägter Nord- und Südpol. 3) Bei Stromrichtungsumkehr wird die Spule umgepolt. Spulenregel: Umfassen die Finger der rechten Hand die Spule in Stromrichtung, dann zeigt der abgespreizte Daumen in Richtung der Feldlinien, das heißt er zeigt zum Nordpol. N 12 Ge, Elektrotechnik Das magnetische Feld 10-4 d) Spule mit Eisenkern Bringt man einen ferromagnetischen Stoff in das Innere einer stromdurchflossenen Spule, so richten sich die Elementarmagnete in diesem Stoff aus. Dadurch entsteht ein neues Magnetfeld, das sich dem Spulenfeld überlagert. Das Magnetfeld wird verstärkt. Ein Eisenkern verstärkt ein vorhandenes Magnetfeld. 10.3 Größen des magnetischen Feldes a) magnetischer Fluss Φ (Phi) Der magnetische Fluss Φ ist ein Maß für die Gesamtheit aller Feldlinien. Die Einheit des magnetischen Flusses ist Voltsekunde (Vs). Dabei gilt: 1 Vs = 1 Wb (Wb: Weber) b) magnetische Flussdichte B (magnetische Induktion) Die magnetische Flussdichte B gibt an, wie stark ein Raum an einer bestimmten Stelle vom magnetischen Fluss durchsetzt ist. Sie ist damit ein Maß für die Dichte der Feldlinien, das heißt für die Anzahl der Feldlinien pro Flächenelement. magnetische Flussdichte: Β= Φ A (10.1) B = Φ A Φ: Magnetischer Fluss in Vs oder Wb A: Fläche in m2 Vs Wb B: Magnetische Flussdichte in 2 = 2 = T (T: Tesla) m m Größenordnung der magnetischen Flussdichte: - Magnetfeld der Erde: ca. 0,00005 T - Stabmagnet: ca. 0,1 T - Starker Elektromagnet: ca. 100 T 12 Ge, Elektrotechnik Das magnetische Feld 10-5 c) elektrische Durchflutung Θ (Theta) Die elektrische Durchflutung Θ ist die Ursache für den magnetischen Fluss. Φ Durchfließt ein elektrischer Strom eine Spule, so entsteht ein Magnetfeld. Umfasst die Spule einen Ringkern, so verlaufen die Feldlinien kreisförmig durch diesen Kern. Verfolgt man den Weg des Stromes, so stellt man fest, dass dieser die kreisförmigen Feldlinien so oft durchflutet, wie die Spule Windungen hat. Bei einer Windung beträgt die Durchflutung einmal I. Bei N Windungen beträgt die Durchflutung I⋅N. Das Produkt I⋅N wird als elektrische Durchflutung Θ bezeichnet: Θ = I⋅N (10.2) I: Elektrische Stromstärke in A N: Windungszahl (ohne Einheit) Θ: Elektrische Durchflutung in A d) magnetische Feldstärke H Zur Kennzeichnung der Intensität eines Magnetfeldes an einem beliebigen Ort führt man die Feldstärke H ein. Sie hängt von zwei Größen ab: 1) Das magnetische Feld wird von der elektrischen Durchflutung verursacht, wobei eine größere Durchflutung zu einer Feldverstärkung führt. Man hat festgestellt, dass die Feldstärke proportional zur elektrischen Durchflutung ist. 2) Die Feldlinien müssen einen Weg überwinden, wobei lange Feldlinien zu einer Feldschwächung führen. Man hat festgestellt, dass die Feldstärke umgekehrt proportional zum Feldlinienweg ist. Die Wirkungen 1) und 2) auf die Stärke des magnetischen Feldes werden in der magnetischen Feldstärke berücksichtigt: magnetische Feldstärke: H = Θ l (10.3) Θ: Elektrische Durchflutung in A l: Feldlinienlänge in m A H: Magnetische Feldstärke in m 12 Ge, Elektrotechnik Das magnetische Feld 10-6 Hinweis: Für den allgemeinen Fall ist der Feldlinienweg praktisch nicht berechenbar. In besonderen Fällen, z.B. bei der Ringspule kann aber eine mittlere Feldlinienlänge angegeben werden. Bei der Ringspule entspricht die mittlere Feldlinienlänge dem Mittelwert zwischen dem inneren und äußeren Umfang. Beim stromdurchflossenen Leiter verlaufen die Feldlinien konzentrisch mit dem Radius r um den Mittelpunkt des Leiters. Damit beträgt die Feldstärke außerhalb des Leiters im Abstand r: H = Θ 2πr H Für einen stromdurchflossenen Stromstärke I gilt: H = x Leiter mit der r I 2πr e) Zusammenhang zwischen B und H Die magnetische Flussdichte in einer gegebenen Spule hängt von der Feldstärke und vom Medium ab, indem die Feldlinien verlaufen. Im Vakuum (näherungsweise auch für Luft) gilt: B0 ~ H B0 = k ⋅ H k= B0 H Einheit von k: Vs 2 [k ] = mA = Vsm2 = Vs Am Am m Die Konstante k wird als magnetische Feldkonstante µ0 bezeichnet und sie hat den Wert: µ0 = 1,257 ⋅ 10 −6 12 Ge, Elektrotechnik Vs Am Das magnetische Feld 10-7 Damit findet man für die Flussdichte im Vakuum (Luft): B0 = µ0 ⋅ H (10.4) Leitet man die Feldlinien durch einen ferromagnetischen Kern, dann wird die Flussdichte gegenüber Vakuum (Luft) vergrößert. Der Vergrößerungsfaktor wird als Permeabilitätszahl µr bezeichnet. Damit findet man für die Flussdichte in einem Kernmaterial: B = µ r ⋅ B0 mit Gl. (10.4) B = µ0 ⋅ µ r ⋅ H (10.5) µ 0 : magnetische Feldkonstante = 1,257 ⋅ 10 −6 Vs Am µ r : Permeabilitätszahl ( keineEinheit ) A m Vs B : magnetische Flußdichte in 2 m H : magnetische Feldstärke in Das Produkt aus µ0 und µr wird als Permeabilität µ bezeichnet. µ = µ0 ⋅ µ r Die Permeabilitätszahl µr steht in Tabellenbüchern. Sie gibt an, wie viel mal größer die Flussdichte in einem bestimmten Kernmaterial ist als im Vakuum (Luft). Beispiele: Luft: Gusseisen: Dynamoblech: Mu-Metall: µr = 1 µr = 200 µr = 3000 µr bis 300000 Werkstoffe, welche die Flussdichte gegenüber Vakuum • • • wesentlich vergrößern nennt man ferromagnetisch (µr >> 1). geringfügig vergrößern nennt man paramagnetisch (µr >1). geringfügig verkleinern nennt man diamagnetisch (µr <1). 12 Ge, Elektrotechnik Das magnetische Feld 10-8 f) Magnetisierungskennlinie Die Magnetisierungskennlinie ist die graphische Darstellung der Flussdichte in Abhängigkeit der Feldstärke. In einer Luftspule gilt: B0 = µ 0 ⋅ H Da µ0 = konstant ist, ist die Magnetisierungskennlinie eine Gerade. B0 H In ferromagnetischen Kernmaterialien gilt: B = µ0 ⋅ µ r ⋅ H µr ist keine Konstante. µr hängt davon ab, wie viel Elementarmagnete im Material ausgerichtet sind. Die Anzahl der ausgerichteten Elementarmagnete hängt von der Feldstärke ab. Ist die Feldstärke klein, dann sind noch fast keine Elementarmagnete ausgerichtet und µr ist dann sehr groß. Die Magnetisierungskurve steigt sehr steil an. Ist die Feldstärke groß, sind alle Elementarmagnete ausgerichtet (Sättigung) und µr ist dann 1. Die Magnetisierungskurve nimmt dieselbe Steigung an wie bei einer Luftspule. B Sättigung H 12 Ge, Elektrotechnik Das magnetische Feld 10-9 g) Hystereseschleife Ferromagnetische Stoffe werden zur Magnetfeldverstärkung in Spulen eingesetzt. Da der Einsatz von Spulen hauptsächlich in Wechselstromkreisen Anwendung findet, ist die sogenannte Hystereseschleife von Bedeutung. Hystereseschleife 1 2 3 6 5 4 Punkt 0: Ein ferromagnetischer Stoff zeigt keine magnetische Wirkung, wenn sich die Elementarmagnete in Unordnung befinden. Der Stoff zeigt nach außen keine Pole und keine Feldlinien. Punkt 1: Wird der Strom erhöht, steigt die magnetische Feldstärke H und mit H auch die magnetische Flussdichte B nach der sogenannten Neukurve von Punkt 0 bis Punkt 1 an. Die Elementarmagnete sind jetzt alle ausgerichtet und B kann nicht mehr größer als Bmax werden. Punkt 2: Wird der Strom wieder bis auf I = 0 verkleinert, so bleiben mehr oder weniger Elementarmagnete ausgerichtet. Bei der Feldstärke H=0 besteht noch ein Restmagnetismus, welcher Remanenz Br genannt wird. 12 Ge, Elektrotechnik Das magnetische Feld 10-10 Punkt 3: Erst bei einer Feldstärke in Gegenrichtung (hervorgerufen durch die Umpolung des Stromes), wird die magnetische Flussdichte B = 0 erreicht. Diese Feldstärke wird als Koerzitivfeldstärke -HC bezeichnet. Punkt 4: Bei einer weiteren Steigerung der Feldstärke H, steigt die magnetische Flussdichte B in negativer Richtung wieder an, bis alle Elementarmagnete in die andere Richtung ausgerichtet sind. Der Werkstoff ist jetzt umgepolt. Punkt 5: Wird der Strom wieder bis auf I = 0 verkleinert, so bleiben mehr oder weniger Elementarmagnete ausgerichtet. Bei der Feldstärke H = 0 besteht noch ein Restmagnetismus, welcher Remanenz -Br genannt wird. Punkt 6: Erst nach Umpolung des Stromes wird bei H = HC die magnetische Flussdichte B = 0 wieder erreicht. Punkt 1: Eine erneute Magnetisierung schließt die Kurve zu einer Schleife, der sogenannten Hystereseschleife. Bei Wechselströmen mit Netzfrequenz wird die Hystereseschleife 50 mal in der Sekunde durchlaufen. Dabei entstehen die sogenannten Hystereseverluste. Je größer die Fläche innerhalb der Schleife ist, umso größer sind diese Verluste. Sind Br und HC groß, spricht man von hartmagnetischen Werkstoffen. Sie werden wegen dem großen Restmagnetismus z.B. bei der Herstellung von Dauermagneten verwendet. Sind Br und HC klein, spricht man von weichmagnetischen Werkstoffen. Sie werden wegen der kleinen Hystereseverluste z.B. bei der Herstellung von Spulenkernen verwendet. 12 Ge, Elektrotechnik Das magnetische Feld 10-11 10.4 Kraftwirkungen im Magnetfeld a) Kraftwirkung auf einen stromdurchflossenen Leiter Auf einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld wird eine Kraft ausgeübt. 1 2 3 4 5 Befindet sich ein stromdurchflossener Leiter in einem äußeren Magnetfeld, dann überlagert sich das kreisförmige Magnetfeld des Leiters mit dem äußeren Magnetfeld derart, dass auf einer Seite des Leiters eine Magnetfeldverstärkung und auf der anderen Seite eine Magnetfeldschwächung entsteht (Bilder 1 bis 3). Die Kraft auf den Leiter ist so gerichtet, dass dieser in Richtung der Feldschwächung abgedrängt wird. Wird die Stromrichtung oder das Magnetfeld umgepolt, dann ändert sich die Richtung der Kraft (Bild 4 bzw. Bild 5). Wenn die Feldlinien des äußeren Magnetfeldes senkrecht zum Leiter verlaufen, ist die Kraft abhängig von: - der magnetischen Flussdichte B des äußeren Magnetfeldes - der Stromstärke I im Leiter - der Leiterlänge l im äußeren Magnetfeld Als Gleichung geschrieben findet man für den Betrag der Kraft: F = B ⋅ I ⋅l (10.6) B: Magnetische Flussdichte in Vs/m2 I: Elektrische Stromstärke in A l: Leiterlänge im Magnetfeld in m F: Kraft auf den Leiter in N [F ] = Vs2 ⋅ A ⋅ m = VAs = Ws = m m m Nm =N m Die Kraft steht immer senkrecht zur Stromrichtung sowie senkrecht zur Feldrichtung. Ihre Richtung kann mit der linken Handregel bestimmt werden. 12 Ge, Elektrotechnik Das magnetische Feld 10-12 Linke Handregel (Motorregel): Hält man die linke Handfläche so auf, dass das äußere Magnetfeld in dieselbe eintritt, und zeigen die Finger in die Stromrichtung, dann gibt die Zeigerichtung des Daumens die Kraftrichtung an. Lorentzkraft Der Stromfluss in elektrischen Leitern bedeutet eine Ladungsträgerbewegung. Man kann daher in der Gleichung (10.6) an Stelle eines Stromelements I ⋅ l eine entsprechende Ladungsbewegung Q ⋅ v setzen. Man erhält dann: F = B ⋅Q ⋅v (10.6') Q: Elektrische Ladung in As v: Ladungsträgergeschwindigkeit in m/s In Worten: Bewegt sich eine Ladung Q im Magnetfeld der Flussdichte B mit der Geschwindigkeit v, so erfährt sie eine Kraft F, die man Lorentzkraft nennt. b) Kraftwirkung auf eine stromdurchflossene Spule Auf eine stromdurchflossene Spule im Magnetfeld wird ein Drehmoment ausgeübt. Eine stromdurchflossene Spule ist ein Elektromagnet mit Nord- und Südpol. Befindet sich nun eine drehbar gelagerte, stromdurchflossene Spule in einem äußeren Magnetfeld, dann wirken die Magnetpole der Spule und des äußeren Magnetfeldes so aufeinander, dass die Spule ein Drehmoment erfährt. Die Spule dreht solange, bis das Spulenfeld in Richtung des äußeren Magnetfeldes zeigt. S N 12 Ge, Elektrotechnik Das magnetische Feld 10-13 Anwendungen: Drehspulmesswerk Ein Drehspulmesswerk benutzt die Kraftwirkung auf eine stromdurchflossene Spule zur Erzeugung des Zeigerausschlags. Der Zeiger ist mit einer drehbar gelagerten Spule verbunden. Die Spule befindet sich in dem Magnetfeld eines Dauermagneten. Wird die Spule vom Messstrom durchflossen, so wird sie ausgelenkt. Der Ausschlagwinkel ist dabei direkt proportional zu dem Messstrom durch die Spule. Elektromotormotor Die beiden Anschlüsse der Drehspule (Doppel-T-Anker) sind an einem Kollektor angeschlossen. Der Kollektor besteht aus zwei voneinander isolierten Halbringen aus Kupfer. Die Stromzufuhr zur Drehspule erfolgt über feststehende Kohlebürsten die über den Kollektor schleifen. Diese Anordnung wird als Stromwender bezeichnet. Die Magnetpole der Drehspule und die Magnetpole des Feldmagneten wirken so aufeinander, dass die Drehspule ein Drehmoment erfährt. Beim Durchlaufen der magnetischen Achse des Feldmagneten sorgt der Stromwender dafür, dass die Drehspule umgepolt wird und das Drehmoment seine Richtung beibehält. 12 Ge, Elektrotechnik Das magnetische Feld 10-14 c) Kraftwirkungen zweier stromdurchflossener Leiter aufeinander Werden zwei parallele Leiter in gleicher Richtung vom Strom durchflossen, dann ziehen sie sich an. Werden zwei parallele Leiter in entgegengesetzter Richtung vom Strom durchflossen, dann stoßen sie sich ab. Die Kraftwirkung zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern der Länge l hängt von der gegenseitigen Stromrichtung und der Lage der Leiter ab. Verlaufen die beiden Leiter in einem Abstand a zueinander, dann erzeugt der Strom IL im linken Leiter im Abstand a die magnetische Flussdichte BL. Für deren Betrag gilt: BL = µ 0 ⋅µ r ⋅ H L BL = µ 0 ⋅µ r ⋅ mit H L = IL 2πa IL 2πa Der rechte Leiter mit dem Strom IR befindet sich somit im Magnetfeld des linken Leiters. Es wirkt die Kraft FR auf den rechten Leiter. Für deren Betrag gilt: FR = BL ⋅ I R ⋅ l FR = µ0 ⋅ µ R ⋅ l ⋅ IL ⋅ IR 2πa Ebenso befindet sich der linke Leiter im Magnetfeld des rechten Leiters, so dass auch gilt: FL = FR. Die Richtung der Kräfte findet man mit der linken Handregel heraus. 12 Ge, Elektrotechnik Das magnetische Feld 10-15 10.5 Spannungserzeugung im Magnetfeld a) Bewegter Leiter im Magnetfeld (Generatorprinzip) Wird ein Leiter in einem Magnetfeld so bewegt, dass er Feldlinien schneidet, so wird in ihm während der Bewegung eine Spannung induziert Diesen Vorgang nennt man Induktion. Erklärung: B I F e v • Bewegt man einen Leiter, so bewegen sich auch zwangsläufig die freien Elektronen in ihm. • Die bewegten Elektronen erzeugen kreisförmige Magnetfelder, deren Drehsinn mit der Rechtsschraubenregel ermittelt werden kann. • Die kreisförmigen Magnetfelder überlagern sich mit dem äußeren Magnetfeld derart, dass auf die Elektronen eine Kraftwirkung ausgeübt wird. Die Richtung der Kraft kann mit der linken Handregel bestimmt werden. • Die Elektronen sammeln sich an einem Ende des Leiters. Die positiven Atomrümpfe bleiben zurück. Dies führt zu einer Ladungstrennung und damit auch zu einer Spannungserzeugung. • Wird die Bewegungsrichtung oder das äußere Magnetfeld umgepolt ändert sich die Richtung der induzierten Spannung. 12 Ge, Elektrotechnik Das magnetische Feld 10-16 Wenn der Leiter senkrecht zu dem äußeren Magnetfeld bewegt wird, dann ist die induzierte Spannung Ui abhängig von: - der magnetischen Flussdichte B des äußeren Magnetfeldes - der Geschwindigkeit v des bewegten Leiters - der Leiterlänge l im äußeren Magnetfeld Als Gleichung geschrieben findet man für den Betrag der induzierten Spannung: Ui = B ⋅ v ⋅l (10.7) B: Magnetische Flussdichte in Vs/m2 v: Geschwindigkeit des Leiters in m/s l: Leiterlänge im Magnetfeld in m Ui: Induzierte Spannung in V [U i ] = Vs2 ⋅ m ⋅ m = V m s Die Stromrichtung und damit auch die Richtung der induzierten Spannung kann mit der rechten Handregel bestimmt werden. Die Stromrichtung steht immer senkrecht zur Bewegungsrichtung sowie senkrecht zur Feldrichtung. Rechte Handregel (Generatorregel): Hält man die rechte Handinnenfläche so auf, dass das äußere Magnetfeld in dieselbe eintritt, und zeigt der Daumen in die Bewegungsrichtung, dann gibt die Zeigerichtung der Finger die Stromrichtung an. 12 Ge, Elektrotechnik Das magnetische Feld 10-17 b) Das Lenzsche Gesetz • Wird ein Leiter in einem Magnetfeld so bewegt, dass er Feldlinien schneidet, so wird in ihm während der Bewegung eine Spannung induziert die einen Strom zur Folge hat, dessen Richtung mit der rechten Handregel bestimmt werden kann. • Der induzierte Strom ruft ein kreisförmiges Magnetfeld um den bewegten Leiter hervor, dessen Drehsinn mit der Rechtsschraubenregel bestimmt werden kann. • Das kreisförmige Magnetfeld des Leiters überlagert sich mit dem äußeren Magnetfeld derart, dass auf einer Seite des Leiters eine Magnetfeldverstärkung und auf der anderen Seite eine Magnetfeldschwächung entsteht. • Es entsteht eine Lenzsche Kraft auf den Leiter, die diesen gegen seine Bewegungsrichtung in Richtung der Feldschwächung abzudrängen versucht. Die Richtung der Kraft kann mit der linken Handregel bestimmt werden. Lenzsches Gesetz: Der durch eine Induktionsspannung hervorgerufene Strom ist stets so gerichtet, dass sein Magnetfeld der Ursache der Induktion entgegenwirkt. Im obigen Beispiel ist die Ursache der induzierten Spannung und damit auch des Leiterstromes die Bewegung des Leiters nach rechts. Nach Lenz muss eine Gegenkraft nach links wirken, um die Leiterbewegung zu bremsen. 12 Ge, Elektrotechnik Das magnetische Feld 10-18 10.6 Das Induktionsgesetz Versuch: Zwei Spulen werden nebeneinander auf einen ferromagnetischen Kern (hier nicht gezeigt) geschoben. In der ersten Spule wird durch Ändern des Spulenstromes die Anzahl der von ihr erzeugten Feldlinien verändert. Die zweite Spule wird mit einem Spannungsmesser verbunden. Der Zeigerausschlag wird bei verschiedenen Windungszahlen der Spule 2 beobachtet. Ergebnisse: • Beim Anwachsen des Stromes in der ersten Spule schlägt der Zeiger des Instruments aus. • Bei gleichbleibendem Strom geht er auf Null zurück. • Beim Verkleinern des Stromes schlägt der Zeiger des Instruments in entgegengesetzter Richtung aus. • Wird der Strom schneller verändert, dann wird der Zeigerausschlag größer. • Wird die Windungszahl der zweiten Spule erhöht, dann wird der Zeigerausschlag größer. Auswertung: Die von der Spule 1 erzeugten Feldlinien ( = magnetischer Fluss Φ ) durchsetzen wegen des ferromagnetischen Kerns auch die Spule 2. Bei Änderung des magnetischen Flusses in Spule 1 entsteht in Spule 2 eine Induktionsspannung Ui, deren Größe abhängt von: ∆Φ , • der Flussänderungsgeschwindigkeit ∆t Die Flussänderungsgeschwindigkeit ist ein Maß dafür, wie schnell sich der magnetische Fluss in einer Spule während einer bestimmten Zeitspanne ändert. • von der Windungszahl N der Spule 2. Als Gleichung geschrieben findet man für den Betrag der induzierten Spannung: Ui = N ⋅ ∆Φ ∆t N: Windungszahl der Spule ∆Φ Vs : Flussänderungsgeschwindigkeit in =V ∆t s Ui: Induktionsspannung in V 12 Ge, Elektrotechnik Das magnetische Feld 10-19 In der Literatur ist es üblich, in diese Gleichung ein Minuszeichen einzufügen. Es sagt etwas über die Richtung der Induktionsspannung aus. Setzt man z.B. voraus, dass der Feldstrom, der den magnetischen Fluss hervorruft, mit zunehmender Zeit stärker wird, dass ∆Φ/∆t also positiv ist, so hat der induzierte Strom die Gegenrichtung zum Feldstrom. Die Induktionsspannung hat für diesen Fall die Gegenrichtung zu derjenigen Spannung, die den Fluss verursacht. Das Einfügen des Minuszeichens ist gleichbedeutend mit dem Hinweis, dass die Richtung der Spannung nach dem Lenzschen Gesetz zu bestimmen ist. Induktionsgesetz: In einer Spule mit N Windungen wird bei einer Änderung des magnetischen Flusses Φ durch diese Spule eine Induktionsspannung Ui induziert. Sie genügt der Gleichung: Ui = −N ⋅ ∆Φ ∆t (10.8) Es ist gleichgültig, auf welche Weise die Änderung des magnetischen Flusses herbeigeführt wird. Hinweis: Eine einzige Leiterschleife (N = 1) genügt schon um eine Spannungsinduktion hervorzurufen. Vollzieht man den Grenzübergang ∆t gegen Null, dann nimmt die Gleichung die folgende Differentialform an: ui = − N ⋅ dΦ dt 12 Ge, Elektrotechnik (10.9) Das magnetische Feld 10-20 10.7 Induktion der Ruhe und Induktion der Bewegung Eine Spannung kann auf zwei Arten in einer Spule induziert werden. a) Induktion der Ruhe Wird eine Spule von einem veränderlichen Magnetfeld durchsetzt, dann wird in ihr eine Spannung induziert. Da keine mechanische Teile bewegt werden spricht man von einer Induktion der Ruhe. b) Induktion der Bewegung Die Flussänderung und damit die induzierte Spannung in der Spule wird durch eine Bewegung der Spule im Magnetfeld erzeugt. Wirbelströme: Induktionsspannungen bzw. Induktionsströme treten nicht nur in Spulen auf, sondern in allen Metallen, die sich in einem Magnetfeld bewegen, bzw. die von einem veränderlichen Magnetfeld durchsetzt werden. Die dabei fließenden Induktionsströme haben keinen eindeutig vorgegebenen Stromweg, sie werden daher Wirbelströme genannt. Wirbelströme sind bei elektrischen Maschinen (Motoren, Generatoren, Transformatoren, usw.) unerwünscht, weil sie Verluste (Erwärmung) verursachen und den Wirkungsgrad senken. Die technische Nutzung von Wirbelströmen ist z.B. in Wirbelstrombremsen und bei der induktiven Erwärmung von Metallen möglich. 12 Ge, Elektrotechnik Das magnetische Feld 10-21 10.8 Das Transformatorprinzip (Induktion der Ruhe) Aufbau: R Auf einem geschlossenen Eisenkern befinden sich zwei galvanisch getrennte Spulen (Primärund Sekundärspule). An die Primärspule mit der Windungszahl N1 wird eine Wechselspannung U1 angeschlossen. An die Sekundärspule mit der Windungszahl N2 wird eine Last (z.B. Widerstand) angeschlossen. Wirkungsweise: Die Wechselspannung erzeugt in der Primärspule den Wechselfluss Φ1, der wegen dem Eisenkern auch die Sekundärspule durchsetzt. In der Sekundärspule wird nach dem Induktionsgesetz eine Wechselspannung U2 induziert: U 2 = − N2 ⋅ ∆Φ1 ∆t Je nach Windungszahl der Sekundärspule kann U2 größer oder kleiner als U1 gemacht werden. 12 Ge, Elektrotechnik Das magnetische Feld 10-22 10.9 Bewegte Leiterschleife im Magnetfeld (Induktion der Bewegung) Eine über einen Widerstand R geschlossene Leiterschleife wird in ein bestehendes Magnetfeld so hinein bewegt, dass der magnetische Fluss Φ mit der Zeit in der Leiterschleife zunimmt. Induktionsgesetz: In der Leiterschleife wird wegen der Flusszunahme ∆Φ im Zeitabschnitt ∆t eine Spannung Ui induziert: Ui = −N ⋅ ∆Φ ∆t mit N = 1 (eine Schleife) Lenzsches Gesetz: Nach Lenz treibt die induzierte Spannung Ui einen Strom I so durch die Leiterschleife, dass dieser der Flusszunahme (= Ursache von Ui) entgegenwirkt. Die Richtung des Stromes muss also so sein, dass ein Gegenfluss Φg die Flusszunahme abschwächt. Richtung von Ui: Der Pluspol von Ui befindet sich an der Widerstandsseite, wo der Strom in diesen hinein fließt. 12 Ge, Elektrotechnik Das magnetische Feld 10-23 Spannungserzeugung mit rotierenden Leiterschleifen im Magnetfeld (Generatormodell) Verdeutlichung anhand eines einfachen Modells: Zwischen den Polen eines Dauermagneten rotiert eine (in der Praxis mehrere) Leiterschleife(n). Wenn die Leiterschleife mit gleichförmiger Geschwindigkeit rotiert, kann beobachtet werden, dass sich die Anzahl der magnetischen Feldlinien in der Leiterschleife mit der Zeit dauernd ändert. Nach dem Induktionsgesetz wird in der Leiterschleife während der Drehung eine Spannung induziert, die ständig ihren Betrag und die Richtung ändert. Wird die Spannung wie gezeigt über zwei getrennte Schleifringe abgegriffen, dann erhält man eine Wechselspannung. Wird die Schleife wie beim Motor bereits gezeigt mit einem Stromwender verbunden, dann kann eine pulsierende Gleichspannung abgegriffen werden. 12 Ge, Elektrotechnik Das magnetische Feld 10-24 10.10 Selbstinduktion Eine Spule mit N Windungen wird über einen Schalter an eine Gleichspannungsquelle angeschlossen. 1. Nach dem Schließen des Schalters fließt ein Strom I durch die Spule, der ein Magnetfeld Φ in ihr aufbaut. Dies hat eine Flusszunahme in der Spule zur Folge. 2. In der Spule wird wegen der Flusszunahme eine Spannung Ui induziert. Da die Flusszunahme durch die Spule selbst verursacht wird, nennt man die induzierte Spannung Selbstinduktionsspannung. 3. Nach Lenz treibt die induzierte Spannung Ui einen Gegenstrom Ig so durch die Spule, dass dieser der Flusszunahme (= Ursache von Ui) entgegenwirkt. Die Richtung des Stromes muss also so sein, dass ein Gegenfluss Φg die Flusszunahme abschwächt. 10.11 Induktivität einer Spule Die Selbstinduktionsspannung einer Spule wird wesentlich durch die Spulendaten beeinflusst. Dazu gehören die Windungszahl, die Abmessungen der Spule und die Permeabilitätszahl des Kerns. Die Spulendaten ergeben gemeinsam den Selbstinduktionskoeffizienten. Dieser Koeffizient wird Induktivität L genannt. Die Induktivität einer Spule ist eine Baugröße; sie entspricht der Kapazität eines Kondensators bzw. dem Widerstandswert eines ohmschen Widerstandes. Man kann sagen: Die Induktivität einer Spule ist ein Maß für ihre Fähigkeit, bei Stromänderungen eine Selbstinduktionsspannung zu erzeugen. 12 Ge, Elektrotechnik Das magnetische Feld 10-25 Mathematische Herleitung der Induktivität einer Spule: Wird in einer Spule mit N Windungen der magnetische Fluss Φ geändert, weil sich der Strom in der Spule ändert, so wird in ihr nach dem Induktionsgesetz eine Selbstinduktionsspannung erzeugt. Aus dem Induktionsgesetz: ui = − N ⋅ dΦ dt Durch Erweitern folgt: ui = − N ⋅ di dΦ dΦ di ⋅ = −N ⋅ ⋅ di dt di dt Nimmt man an, dass µr konstant ist, dann ändert der magnetische Fluss sich proportional mit der ihn erzeugenden Stromstärke und es gilt: dΦ Φ = di I Daraus folgt für die Selbstinduktionsspannung: ui = − N ⋅ Φ di ⋅ I dt Der Ausdruck L= N ⋅Φ I N ⋅Φ heißt Induktivität L: I (10.10) N: Windungszahl der Spule Φ: Magnetischer Fluss in der Spule in Vs I: Spulenstrom in A L: Induktivität in Vs/A=H (Henry) Das Induktionsgesetz kann damit auch in der folgenden Form geschrieben werden: ui = − L ⋅ di dt (10.11) [ui ] = Vs ⋅ A = V A s 12 Ge, Elektrotechnik
