Zeeman-Effekt

Zeeman-Effekt
Stand: 9. August 2012
Literatur
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Unsöld – Physik der Sternatmosphären
Demtröder – Grundlagen und Techniken der Laserspektroskopie
Born & Wolf – Principles of Optics
Schpolski – Atomphysik I, II
Hellwege – Einführung in die Physik der Atome
Condon & Shortley – The Theory of Atomic Spectra
Kuhn – Atomic Spectra
Haken & Wolf – Atom und Quantenphysik
Siehe auch andere Lehrbücher über Atomphysik und Originalliteratur.
1 Einleitung
Wird eine Lichtquelle (z. B. eine Spektrallampe) in ein äußeres Magnetfeld gebracht und mit einem Spektrometer untersucht, so beobachtet man im Allgemeinen mit wachsendem Magnetfeld
zunächst eine Verbreiterung der Spektrallinien und schließlich ein Aufspalten der Spektrallinien in mehrere Komponenten, vorausgesetzt das Auflösungsvermögen des Spektrometers ist
ausreichend groß.
Als Lichtquelle wird im vorliegenden Experiment eine gleichstrombetriebene Na-Spektrallampe verwendet. Da die Lichtquelle im Magnetfeld betrieben wird, ergeben sich bei Erhöhung
des Feldes drastische Änderungen der Intensität und des charakteristischen Emissionsprofils,
was Gegenstand dieses Versuchs ist. Außerdem sollen Sie mit Hilfe eines Fabry-Perot-Interferometers (FPI) mit variablem Plattenabstand die Wellenlängen der Natrium-D-Linien exakt
bestimmen. Ein weiteres FPI mit festem Plattenabstand dient der Beobachtung der ZeemanAufspaltung.
2 Versuchsaufbau
Abbildung 1 zeigt den Versuchsaufbau. Als Lichtquelle wird eine Na-Dampflampe verwendet.
Das Licht wird durch die Linse 1 parallelisiert und durchläuft anschließend ein Lyot-Filter. Mit
dem Lyot-Filter können wahlweise die D1 - oder die D2 -Linie des Na-Lichts selektiert werden,
außerdem lässt sich ein definierter Polarisationszustand des von der Na-Lampe emittierten
Lichts auswählen. Das Licht durchläuft anschließend zur Analyse der Zeeman-Aufspaltung das
FPI. Durch die Linse 2 wird das Licht auf eine geeichte Skala projiziert und mit Hilfe einer
CCD-Kamera abgebildet. (Welchen Abstand müssen Linse 2 und Skala haben?)
1
Abbildung 1: Schematischer Versuchsaufbau
2.1 Das Fabry-Perot-Interferometer
Für den Nachweis der Zeeman-Aufspaltung ist ein hochauflösendes Spektrometer erforderlich.
Die Trennung der Zeeman-Komponenten wird mit einem Fabry-Perot-Interferometer durchgeführt wie es schematisch in Abbildung 2 dargestellt ist.
Ein FPI besteht aus zwei verspiegelten Glasplatten (das Reflexionsvermögen beträgt typischerweise R = 0.9 . . . 0.99), deren verspiegelte Seiten planparallel zu einander ausgerichtet
sind. Seine Wirkung beruht darauf, dass einfallendes Licht zwischen den verspiegelten Platten
mehrfach reflektiert wird und sich dabei kohärent überlagert.
Das FPI wird (idealerweise) mit einem parallelem Lichtstrahl (entspricht einer ebenen Welle)
senkrecht zur Spiegelebene bestrahlt. Nach dem Huygens’schen Prinzip kann jeder Punkt einer
Wellenfront als Ausgangspunkt einer Elementarwelle (Kugelwelle) betrachtet werden. Ausgehend von einem beliebigen Punkt der ersten Spiegelebene breitet sich diese Kugelwelle also
auch unter einem Winkel θ bezüglich der Strahlachse aus. Trifft diese Welle auf die zweite
Spiegelebene dann wird die Welle dort teilweise reflektiert, und teilweise transmittiert (siehe Abb. 2). Wird der reflektierte Anteil an der ersten Spiegelebene wiederum reflektiert dann
besteht nach dem erneuten Eintreffen an der zweiten Spiegelebene ein Wegunterschied von
∆l = 2d cos θ
zum eingangs transmittierten Anteil. Dabei ist d der Abstand der verspiegelten Platten. Konstruktive Interferenz tritt dann ein, wenn der Wegunterschied ein Vielfaches der Wellenlänge λ
beträgt, also wenn gilt
∆l = (n − k)λ
Hierbei wird n so gewählt, dass nλ/2 < d < (n + 1)λ/2 bzw. d = (n + ε)λ/2 mit 0 < ε ≤ 1 gilt,
so dass k als Zählindex für die Interferenzordnung verwendet werden kann. Damit erhält man
λ
λ
= 1 − (k + ε) .
2d
2d
Nach dem Durchtritt des Strahls durch das FPI wird das Licht mit einer Linse der Brennweite f
auf eine Ebene abgebildet, auf der die Interferenzringe mit den Durchmessern Dk beobachtete
werden können. Hierbei gilt die Bedingung
cos θk = (n − k)
tan θk =
Dk
2f.
2
Mit der Beziehung
1
1
cos θk = q
' 1 − tan2 (θk )
2
1 + tan2 (θk )
für kleine Winkel θk erhält man somit:
1
2
Dk
2f
2
s
λ
= (k + ε)
2d
bzw.
Dk = 2f
(k + ε)
λ
d
Aus der Differenz der Quadrate zweier Ringdurchmesser lässt sich damit die Wellenlänge bestimmen, wenn der Plattenabstand des FPI bekannt ist:
Dk21 − Dk22 = 4f 2 (k1 − k2 )
λ
d
Die Genauigkeit ist allerdings nicht ausreichend, um damit den geringen Wellenlängenunterschied zwischen der D1 - und der D2 -Linie zu bestimmen. Dies lässt sich aber erreichen mit
Hilfe eines FPI mit variablem Plattenabstand. Hier liegen für bestimmte Plattenabstände dk
die Ringsysteme für die D1 - und die D2 -Linie aufeinander. Die Bedingung dafür lautet:
dk = n
λ2
λ1
= (n + k)
2
2
(λ2 < λ1 )
Daraus ergibt sich
n
∆λ
λ2
λ1 − λ2
=n
=k
2
2
2
und nach Multiplikation mit λ1 /2
n
λ1 ∆λ
∆λ
λ1 λ2
= dk
=k
2 2
2
2 2
und schließlich
dk = k
λ1 λ2
2∆λ
bzw.
∆d =
λ1 λ2
.
2∆λ
Eine detailliertere mathematische Beschreibung eines FPI ist in [3] auf S. 329 f. und S. 283
zu finden.
Zur präzisen Ausmessung des Ringsystems wird in der Beobachtungsebene eine Längenskala
eingeblendet. Die Skaleneinteilung von 12 × 0,5 mm lässt sich, durch verschieben einer Ablesemarkierung (µm-Schraube), bis auf 0,005 mm genau ablesen. Zusätzlich ist die Skala auf einem
Verschiebereiter angebracht, der auf 0,01 mm genau eingestellt werden kann (toten Gang beachten!). Das Ringsystem mit der eingeblendeten Skala wird mit Hilfe einer CCD-Kamera mit
geeignetem Objektiv ausgemessen.
2.2 Das Lyot-Filter (LF)
Das Prinzip des Lyot-Filters beruht auf der Interferenz von polarisiertem Licht, das durch
doppelbrechende Kristalle läuft [1, 2]. Ein Lyot Filter besteht aus zwei Polarisationsfiltern und
einem doppelbrechenden Kristall dazwischen. Der Polarisationsfilter am Eingang ist dabei um
3
Abbildung 2: Schematisch Darstellung der Funktion eines FPI’s
45◦ gegenüber der optischen Hauptachsen des doppelbrechenden Kristalls gedreht. Mit dem
Eingangs-Polarisator kann selektiv eine Polarisation senkrecht zum Magnetfeld (σ-Linie) oder
parallel (π-Linie) dazu ausgesucht werden. Die Dicke des doppelbrechenden Kristalls ist so bemessen, dass nach dem durchlaufen die Polarisationsebenen der D1 - und D2 -Linien senkrecht
aufeinander stehen. Dadurch lassen sich je nach Stellung des Ausgangs-Polarisators die D1 oder D2 -Linie auswählen. Durch Drehung des Eingangs-Polarisators (zusammen mit dem doppelbrechenden Kristall) lassen sich π- und σ-Linien selektieren, da deren Polarisationsebenen
senkrecht (σ) und parallel (π) zum angelegten äußeren Magnetfeld liegen.
3 Zeeman-Effekt
Ein Elektron mit Gesamtdrehimpuls J = L + S (L und S sind Bahndrehimpuls und Spin des
Elektrons) erzeugt ein magnetisches Moment, das sich schreiben lässt als:
µJ = −gJ
µB
J
h̄
Dabei bezeichnen µB das Bohr’sche Magneton und gJ den Landé-Faktor,
µB =
eh̄
2me
und
gJ =
gS + gL gS − gL L(L + 1) − S(S + 1)
−
,
2
2
J(J + 1)
wobei gL = 1 und gS ' 2 die Landé-Faktoren für den Bahndrehimpuls und den Spin des
Elektrons bezeichnen.
Der Hamilton-Operator zur Beschreibung der Wechselwirkung eines Elektrons in einem äußeren Magnetfeld B ist gegeben durch:
ĤZee = −µJ · B = gJ
µB
(J · B)
h̄
Wird die z-Achse in Richtung des Magnetfeldes gewählt, so ergeben sich damit für die Energieterme
Em = mgJ µB B
mit
− J ≤ m ≤ J.
4
D1 (589,5932 nm)
D2 (588,9965 nm)
+ 32
P1/2
P3/2
+ 12
+ 12
− 12
π1
σ1− σ2+
S1/2
− 12
− 32
π2
σ1+ π1 σ1− σ2+ π2 σ2−
+ 12
S1/2
− 12
+ 12
− 12
Abbildung 3: Schematische Darstellung der Zeeman-Aufspaltung bei den Na-D-Linien
Abbildung 3 zeigt die Zeeman-Aufspaltung Na-D-Linien. Bei der D1 -Linie findet der Übergang
vom P1/2 -Niveau ins S1/2 -Niveau, bei der D2 -Linie vom P3/2 -Niveau ins S1/2 -Niveau statt. Dabei spalten das P3/2 -Niveau vierfach, das P1/2 - und das S1/2 -Niveau zweifach auf. Für optische
Dipol-Übergänge muss außerdem gelten ∆m = 0, ±1, so dass sich für die D1 -Linie 4 und für
die D2 -Linie 6 Übergänge ergeben. Nach Konvention werden die Übergänge mit ∆m = ±1 σLinien (Polarisation senkrecht zur Magnetfeldrichtung) und die Übergänge mit ∆m = 0 πLinien (Polarisation parallel zur Magnetfeldrichtung) genannt.
4 Aufgabenstellung
1.) Eichung des Magneten Zuerst wird bei konstanter Stromstärke I die Homogenität
des Elektromagneten überprüft und danach die magnetische Induktion B in Abhängigkeit von
I (maximal 40 A) aufgenommen. Beachten Sie dabei, dass die Spulen während des Betriebes
wassergekühlt sein müssen!
Das Magnetfeld wird mit Hilfe eines Gauß-Meters bestimmt.
2.) Justage des optischen Teils der Apparatur Machen Sie zuerst eine Vorjustage,
indem Sie das Ringsystem auf die CCD-Kamera abbilden und diese Abbildung optimieren.
3.) Bestimmung der Wellenlängen der D1 - und D2 -Linie Bestimmen Sie mit Hilfe
des FPI mit festem Plattenabstand (d = 6,052 mm) die mittlere Wellenlänge der Na-D-Linien.
Verwenden Sie dafür sowohl die D1 - als auch die D2 -Linie.
Messen Sie an dem FPI mit variablen Plattenabstand (ohne Magnetfeld) die Abstandsänderung ∆d, die erforderlich ist, damit die Ringsysteme der D1 - und D2 -Linie aufeinander liegen.
Bestimmen Sie ∆d über 10 Perioden und bestimmen sie daraus ∆λ.
4.) Beobachtung der Zeeman-Aufspaltung
a) qualitativ: Stellen Sie das Lyot-Filter auf die D1 -Linie ein und erhöhen Sie den felderregenden Strom langsam bis zu einem Wert entsprechend einem Magnetfeld von 3 kG.
5
Danach setzen Sie einen Polarisator ein und bestimmen durch Drehen des Polarisators
den Polarisationszustand der Spektrallinien. Stellen Sie das Lyot-Filter nun auf die D2 Linie ein und versuchen Sie auch hier den Polarisationszustand der Spektrallinien zu
bestimmen. Die Ergebnisse sollen mit Hilfe eines Diagramms festgehalten werden.
b) quantitative Bestimmung der Energieaufspaltung: Es soll durch erneutes Ausmessen der
Ringe die Energieaufspaltung in Abhängigkeit vom Magnetfeld bestimmt werden. Es gilt
für die Intensitätsmaxima:
2nL d cos θ
mλ
m=
bzw.
cos θ =
λ
2nL d
und damit
∂ cos θ
m
=
∂λ
2nL d
=⇒
∆ cos θ
∆λ
=−
cos θ
λ
Andererseits gilt für kleine Winkel θ:
sin θ ∆θ
∆ cos θ
=−
' −θ ∆θ
cos θ
cos θ
Man erhält also für kleine Winkel θ für den Durchmesser Dm des m-ten Rings:
Dm
= tan θ ' θ
2f
∆λ
Dm0 ∆Dm0
= θ ∆θ =
λ
2f 2f
und schließlich
λ
∆λ = 2 Dm0 ∆Dm0 , wenn m0 = const.
4f
Durch Ausmessen der Ringdurchmesser und des Abstandes zweier Zeeman-Komponenten
kann damit die Energieaufspaltung bestimmt werden.
Untersuchen Sie in dieser Weise bei mehreren benachbarten Ringen (Ringsystemen) die
Konstanz der Größe Dm ∆Dm , und tragen Sie die Aufspaltungsenergie für die π- und σKomponenten der D1 - und D2 -Linie auf. – Welche Aussagen lassen sich über die LandéFaktoren von Grund- und angeregtem Zustand gewinnen?
Wir können nun die Aufspaltungsfaktoren für verschiedene Zustände in einer Tabelle
zusammenfassen. Tragen Sie bitte die Werte in Ihre Kopie ein.
Zustand
S1/2
P1/2
P3/2
D3/2
D5/2
g
5.) Unter welchen Bedingungen ist der Abstand zwischen benachbarten aufgespalteten Niveaus unabhängig von der Art des Zustandes gleich
eh̄B
2mc
und wie heißt dieser Effekt?
∆E =
6