1. a. Die bewegten Ladungen unterliegen der Lorentz

1.
~
a. Die bewegten Ladungen unterliegen der Lorentz-Kraft F~L = e~v × B.
Um die Richtung von F~L zu kennen, müssen wir noch die Richtung von ~v
bestimmen. Der Strom I ist gegeben durch I = eρLDv und soll in positive
x-Richtung fliessen. Bei negativem e muss demnach auch v negativ sein,
d.h. die negativen Ladungen bewegen sich in negative x-Richtung. Damit
bewegen sich die negativen Ladungen auf die Seitefläche I zu. Die positiv
geladene Seitenfläche ist also die Seitenfläche II.
b. Wegen der Lorentzkraft laden sich die beiden Seitenflächen I und II elektrisch auf. Daraus resultiert ein elektrisches Feld entlang der y-Achse.
Im Gleichgewicht kompensiert die Kraft durch das elektrische Feld die
Lorentzkraft:
~ + eE
~ =! 0
F~L + F~E~ = e~v × B
⇒
!
⇒
−evB~ey + eE~ey = 0
I
UH = LE = LvB =
B
eρD
c. Die Stromdichte J ist gegeben durch J =
2.
I
.
DL
Also ist UH =
JL
eρ
B.
a. Wir haben eine ähnliche Situation wie bei einer unendlich langen Spule.
Aus Symmetriegründen muss das Magnetfeld entlang der Zylinderachse
zeigen.
~ω
~i
B
Anhand der Zirkulation entlang der Schleife berechnen wir nun das Magnetfeld im Innenraum:
!
Bi L = µ0 σL
2πR
T
⇒
Bi = µ0 σ
2πR
T
Dabei haben wir ausgenützt, dass das Magnetfeld im Aussenraum verschwindet.
b. Bi = 8π 2 · 10−3 T = 8π 2 mT
1
3.
~ · ~e kennen wir aus den Übungen:
a. Den Mittelwert von S
D
E
~ · ~e
S
=
t
ε0 c2 ~ 2 ~ · E · k · ~e
2ω
Die Beträge der ~k-Vektoren in den beiden Medien sind gegeben durch
ω
ω
n und kp = p
c
c
kn =
Das Verhältnis der Amplituden der elektrischen Felder in den beiden
Medien erhalten wir aus den Fresnel-Formeln:
Ep
2kn
2n
=
=
En
kn + kp
n+p
Also:
D
T =D
~p · ~e
S
E
Et
~n · ~e
S
=
t
p
4x
4n2
· =
2
(n + p) n
(1 + x)2
mit x =
n
p
b. Wir schauen, ob die Bedingung T ≤ 1 eine Einschränkung für x bedeutet:
4x
≤1
(1 + x)2
⇔
4x ≤ (x + 1)2 = x2 + 2x + 1
0 ≤ x2 − 2x + 1 = (x − 1)2
⇔
Diese Bedingung ist für alle x erfüllt.
c. Um das x, das zu T = 1 führt, zu finden, ersetzen wir oben ≤ durch =
und erhalten x = ±1. Nach Voraussetzung ist x positiv, also x = 1.
Alternative Rechnung zu b. und c.: T (x) ist eine stetig differenzierbare Funktion mit T (0) = 0 und limx→∞ T (x) = 0. Dazwischen nimmt die
Funktion ein Maximum an. Dieses Maximum erhalten wir aus T ′ (x) = 0.
Die Rechnung führt wieder auf x = 1. An dieser Stelle ist T = 1. Damit
sind die Teilfragen b. und c. beantwortet.
4. Am Ort ~r haben wir die Superposition der Kugelwellen, die von den beiden
Punktquellen ausgehen:
ψtotal (~r) ∝
~
eikr eik|~r−d|
+ r
~
r − d~
Wir verwenden jetzt die Taylor-Entwicklung für ~r − d~:
~
r − d~


~r · d~
≈ r 1 − 2 
|~r|
2
und erhalten:
ik |~
r −d~|
e
Mit der Approximation
~
ikr 1− ~r·d2
≈e
1
|~r−d~|
≈
1
|~
r|
|~
r|
= eikr e−ikd cos ϕ
haben wir schliesslich:
eikr eikr −ikd cos ϕ eikr 1 + e−ikd cos ϕ
+
·e
=
r
r r
ikd cos ϕ
−ikd cos ϕ
2 (1 + cos(kd cos ϕ))
· 1+e
∝ 1+e
ψtot (~r) ∝
|ψtot (~r)|2
Die Bedingung für destruktive Interferenz ist also kd cos ϕ = (2n + 1)π, wobei
n eine ganze Zahl bezeichnet.
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