Ubungen zu Wellen und Elektrodynamik für Chemie

Institut für Experimentelle Kernphysik
Übungen zu Wellen und Elektrodynamik für Chemie- und
Bioingenieure und Verfahrenstechniker
WS 11/12
Prof. Dr. T. Müller
Dr. F. Hartmann
Blatt 1
Bearbeitung: 28.10.2011
Vorwort:
Die ersten Aufgaben sollen nur das Thema Einheiten, Ladung, Felder und Coulombkraft
vertiefen.
Als besonders wichtig erachte ich die letzten Übungen - das mathematische Vorgeplänkel. Bitte nutzen Sie diese, um eventuelle Wissenslücken in der Vektorrechnugn zu
schliessen. Die Begriffe Gradient, Divergenz und Rotation sollen hier nur mathematisch
eingeführt werden; der physikalische Nutzen wird sich im Laufe der Zeit und mit den
Anwendungen der Maxwell Gleichungen ergeben.
Es ist gut möglich, dass nicht alle Aufgaben während der Saalübung behandelt werden,
bzw. in der zweiten Übung fortgeführt werden.
1. Multiple Choice - Verständnisfragen [Giancoli/Pearson]
(a) Elektronen haben eine
• positive Ladung.
• negative Ladung.
• neutrale Ladung.
• variable Ladung.
(b) Die Einheiten der Permittivität sind
• einheitslos
• 1/4 π
• N m2
• C 2 /N m2
(c) Welche der folgenden Einheiten sind die Einheiten des elektrischen Feldes?
• N
• NC
• N/C
• N/m2
(d) Zwei Ladungen Q1 und Q2 sind durch einen Abstand D voneinander getrennt.
Wenn Q1 verdoppelt wird,
• nimmt die Kraft um den Faktor 2 zu.
• nimmt die Kraft um den Faktor 2 ab.
• bleibt die Kraft dieselbe.
• nimmt die Kraft um den Faktor 4 zu.
• nimmt die Kraft um den Faktor 4 ab.
(e) In der Abbildung ist Q1 negativ und hat einen kleineren Betrag als Q2 . Q2 ist
positiv. In welchem Punkt könnte eine positive Ladung platziert werden, auf die
möglicherweise eine Nettokraft gleich null wirken würde?
B
A
Q1
E
Q2
C
D
•
•
•
•
•
A.
B.
C.
D.
E.
(f ) In der Abbildung sind Q1 und Q2 positiv. In welchem Punkt würde das elektrische
Feld senkrecht nach oben gerichtet sein?
B
A
Q1
E
Q2
C
D
•
•
•
•
•
A.
B.
C.
D.
E.
(g) Vier Personen berichten, dass Sie eine negative Ladung mit einem bestimmten
Betrag haben. Welche Person sagt nicht die Wahrheit?
•
•
•
•
Meine
Meine
Meine
Meine
Ladung
Ladung
Ladung
Ladung
beträgt
beträgt
beträgt
beträgt
1.9 · 10−18 Coloumb
1.6 · 10−18 Coloumb
1.92 · 10−18 Coloumb
2.4 · 10−6 Coloumb
2. Ladung
(a) 5-Cent Münze
Schätzen Sie die Zahl der Elektronen in einer 5-EuroCent Münze...
3. Felder und Potentiale
(a) Zeichnen Sie die E-Felder ein.
2+
1+
+
-
+
2+
1-
+
2+
2+
+
(b) Zeichnen Sie die Äquipotentiale ein.
2+
-
2+
+
+
+
+
4. Elektrische Kraft und Gravitation
(a) Vergleichen Sie die elektrische Kraft, die zur Abstoßung zweier Elektronen führt,
mit der Gravitationskraft der beiden Elektronen, die anziehend ist.
(b) Wieviel mal größer als die bekannte Elektronenmasse müsste die Masse der Elektronen sein, damit beide Kräfte sich das Gleichgewicht halten?
Nehmen Sie benötigte Daten aus der Literatur.
5. Mathematisches Vorgeplänkel I - Rechnen mit Vektoren
(a) Gegeben sind die Punkte A(-3,-2,4);B(-1,0,2); und C(7,8,-6).
−→
−→
1. Berechnen Sie die Vektoren AB und AC
−→ −→
−→ −→
2. Berechnen Sie die Summe AB + AC und die Differenz AB − AC
−→
−→
3. Zeigen Sie, dass AC ein Vielfaches von AB ist.
4. Berechnen Sie die Koordinaten der Mittelpunktes M der Strecke AB.
(b) x sei eine beliebige reelle Zahl; ⃗a, ⃗b, ⃗c seien Vektoren.
⃗a = (1, x, 0); ⃗b = (−2x, 2, 0); ⃗c = (0, 2x, 0.5)
1. Zeichne Sie in der von (1,0,0) und (0,1,0) aufgespannten Ebene ⃗a und ⃗b für
x=0.5 und x=1.
2. Für welchen Wert von x ist ⃗c normiert, d.h. ein Einheitsvektor?
3. Für welche Werte x sind ⃗a und ⃗b bzw. ⃗a und ⃗c zueinander orthogonal?
4. Berechne das Vektorprodukt ⃗bX⃗c.
5. Wie berechnet man den Betrag eines Vektors und den Winkel zwischen 2
Vektoren mit Hilfe des Skalarprodukts?
6. Weshalb ist der Ausdruck ⃗a · ⃗b · ⃗c mathematisch nicht sinnvoll?
7. Berechnen Sie das Spatprodukt (⃗aX⃗b) · ⃗c.
Kleines Lexikon: Skalarprodukt; SpatKreuzprodukt
 bzw.
 

a1
b1
Skalarprodukt (inneres Produkt): ⃗a · ⃗b =  a2  ·  b2  = a1 · b1 + a2 · b2 + a3 · b3
a3
b3

 
 

b2b3 − a3b2
b1
a1
Vektorprodukt (Spatprodukt): ⃗ax⃗b =  a2  x  b2  =  a3b1 − a1b3 
a1b2 − a2b1
b3
a3
spannt einen senkrechten (zu ⃗a und ⃗b) Vektor auf, dessen Betrag der Fläche des von ⃗a
und ⃗b aufgespannten Parallelogramm entspricht.
8. Mathematisches Vorgeplänkel II
Mit Hilfe des sogenannten Nabla-Operators (in kartesischen Koordinaten)
∇=
∂
∂
∂
⃗ex + ⃗ey +
⃗ez
∂x
∂y
∂x
(1)
lassen sich der Gradient einer skalaren Funktion f (x, y, z) sowie die Divergenz und
Rotation einer vektorartigen Funktion F⃗ (x, y, z) schreiben.
grad f = ∇f,
div F⃗ = ∇ · F⃗ ,
rot F⃗ = ∇ × F⃗
√
mit r = |⃗r| = x2 + y 2 + z 2 .
(2)
Gegeben sei nun f (x, y, z) = f (r) = r2n
Bestimmen Sie dafür:
(a) grad f ,
(b) div grad f , (c) rot grad f ) ( a,b Optional (wird nicht in den Übungen behandelt)
(
Gegeben sei nun ⃗a =
)
−sin(2y)
;
+cos(2x)




xy
yz
⃗c =  yz  ⃗b =  xz 
xz
xy
Bestimmen Sie dafür:
(a) div ⃗(a); (b) div ⃗(b); (c) rot ⃗(b); (d) rot ⃗(c)
Hinweis: Die Ableitungen von f (r) nach x, y, z können und müssen mit Hilfe der
Kettenregel auf Ableitungen von f (r) nach r zurückgeführt werden. Die Aufgabe läßt
sich mit ihrem Wissen über Vektoren und Ableitungen lösen, ohne die genauen mathematischen bzw. physikalischen Eigenschaften von den eventuellen neuen Begriffen
Gradient, Divergenz und Rotation zu kennen!
Anmerkung: Den Vektor-Operatoren grad, div und rot werden Sie in diesem Semester
noch des öfteren begegnen.
Die Aufgabe lässt sich auch allgemeiner bearbeiten:
Die Ergebnisse lassen sich auf alle Funktionen f (r), die nur von r = |⃗r| abhängen, verallgemeinern. Bestimmen Sie auch für ein allgemeines f (r) die obigen drei Ausdrücke
und überprüfen Sie Ihr Ergebnis für den Spezialfall f (r) = r2n .
Kleines Lexikon: Gradient, Divergenz, Rotation:
Der Gradient gibt die Richtung des steilsten Anstieges (oder Abstieges) der Funktion
f (x, y, z) an. Er “verwandelt“ ein skalares Feld in ein Vektorfeld.
Die Divergenz eines Vektorfeldes ist gleich der Dichte des Flußes durch die Oberfläche
eines Volumenelementes. (Maß für Quellen- und Senken-Dichte)
Die Rotation zeigt in Richtung der Flächennormale des Flächenelementes mit der
größten Zirkulation. (Maß für die Wirbeleigenschaft des Feldes)
Operation Feld
Ergebnis
Symbol
Gradient
Skalares Feld U Vektorfeld grad U
∇U
⃗
⃗
Divergenz Vektorfeld V
Skalares Feld div V ∇ · V⃗
Rotation
Vektorfeld V⃗
Vektorfeld rot V⃗
∇ × V⃗
Hamiltonscher Operator: ∇ =
Laplace-Operator: △ = ∇ · ∇
∂
∂
∂
⃗e + ∂y
⃗ey + ∂x
⃗ez ,
∂x x
2
2
2
= ∂∂2 x + ∂∂2 y + ∂∂2 z
“Nabla“
Besondere Felder:
div rotV⃗ = 0
rot gradU = 0
quellenfreies Rotorfeld
⃗ = grad U (Feldstärke)
wirbelfreies Gradientenfeld(konservativ), z.B. E
Im quellenfreien Raum gilt “Laplacegleichung: div gradU = △U = 0
Im quellenbehafteten Raum gilt die Poisson-Gleichung: div gradU = △U = ϱ mit der
Quellendichte ϱ = ϱ(x, y, z).
www-ekp.physik.uni-karlsruhe.de/∼hartmann/Wellen-Elektrodynamik WS11 12.htm