+ d
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Berechnung von Wärmeübertragern 6. Druckabfall Wärmeübergang nimmt mit steigender Geschwindigkeit zu Beispiel: turbulente, einphasige Strömung (theoretische Obergrenze: Schallgeschwindigkeit) α ≅ wm Zur Aufrechterhaltung der Strömungsgeschwindigkeit ist Energie erforderlich, welche sich als Druckabfall in der Strömung äußert. Grundgleichung zur Berechnung des Druckabfalls: Darin ist ζ = Widerstandsbeiwert ρ = mittlere Dichte längs des Strömungsweges w = mittlere Geschwindigkeit längs des Strömungsweges a = Körperfaktor. Im angelsächsischen Schrifttum vielfach statt Widerstandsbeiwertes ζ Reibungsbeiwert cf nach Fanning (Fanning friction factor) verwendet: ζ = 4cf. Folie 162 Berechnung von Wärmeübertragern 6.1 Druckabfall in geraden Rohren Körperfaktor: mit L= Rohrlänge d = Rohrdurchmesser (bei Rohren mit nicht kreisförmigen Querschnitt d = dh) 6.1.1 Laminare Strömung Annahme: - Re ≤ 2300 - voll ausgebildete Strömung v = 0, ∂w = 0, w = w (r ) ∂x v w - inkompressibles Medium, konstante Stoffwerte Folie 163 Berechnung von Wärmeübertragern 6.1.1 Laminare Strömung Kräftegleichgewicht: (differentiell dünnes kreisförmiges Fluidsegment) p ⋅ π ⋅ r 2 = ( p + dp )π ⋅ r 2 + τ ⋅ 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ dx R p r τ p + dp τ dx r ⋅ dp = −2 ⋅ τ ⋅ dx Newton’sches Schubspannungsgesetz: dw τ = −η ⋅ dr dw dp ⋅ r = ⋅ dx ⋅ ⋅ 2 η Es folgt: dr dp r ⋅ dr ⋅ = 2η ⋅ dw bzw. dx dp Da axiale Druckänderung ≠ f (r ) ist Integration möglich: dx 1 2 dp r ⋅ + C1 = 2η ⋅ w 2 dx Folie 164 Berechnung von Wärmeübertragern 6.1.1 Laminare Strömung Randbedingung: w=0 bei r = R ( ) dp 1 2 2 w= r −R ⋅ dx 4η r 2 w = wmax 1 − R womit folgt: bzw. 1 2 dp C1 = − R ⋅ 2 dx mit wmax 1 2 dp =− R ⋅ 4η dx (parabolische Geschwindigkeitsverteilung) Probe: w = wmax für r = 0 Mittlere Geschwindigkeit wm: R m = wm ⋅ A ⋅ ρ = ∫ w ⋅ ρ ⋅ dA realer Fall w(r) r=R r=0 0 R = ρ ∫ w ⋅ 2π ⋅ r ⋅ dr 0 idealer Fall wm r=R r=0 Folie 165 Berechnung von Wärmeübertragern 6.1.1 Laminare Strömung R wm = ρ ∫ w ⋅ 2π ⋅ r ⋅ dr 0 π ⋅ R2 ⋅ ρ R 2 = 2 ⋅ ∫ w ⋅ r ⋅ dr R 0 Nach Einsetzen von w(r) folgt ( R ) R ( ) 2 dp dp 2 2 wm = 2 ∫ r R ⋅ r 2 − R 2 ⋅ r ⋅ dr = − ⋅ r ⋅ dr 2 ∫ 2η ⋅ R dx 0 R 0 4η ⋅ dx bzw. R2 wm = − 8η dp ⋅ dx r 2 oder w = 2 wm 1 − R wmax Es zeigt sich, dass wm = 2 Folie 166 Berechnung von Wärmeübertragern 6.1.1 Laminare Strömung Volumenstrom bei laminarer Rohrströmung: 2 R V = A ⋅ wm = π ⋅ R ⋅ − 8η 2 dp dx 4 2 ⋅ R π ∫1 V ⋅ dx = − 8η ∫1 dp 2 4 π ⋅ R V ⋅ (x2 − x1 ) = − ⋅ ( p2 − p1 ) 8η 4 4 ( ) R p p R ∆p π ⋅ − π ⋅ 1 2 V = ⋅ ⋅ = (x2 − x1 ) 8η L 8η (Gleichung von Hagen-Poisseuille) Folie 167 Berechnung von Wärmeübertragern 6.1.1 Laminare Strömung Analyse des Druckabfalls bei laminarer Rohrströmung: R 2 dp wm = − ⋅ 8η dx Aus folgt 8η ⋅ wm Aus dp = − ⋅ ∫ dx folgt 2 ∫1 R 1 2 2 8η ⋅ dx dp = − ⋅ wm 2 R 8η ⋅ wm ⋅L ∆p= 2 R 8η ⋅ L ⋅ wm Umformungen: ∆ p = R2 Vergleich mit Grundgleichung ∆p = ζ ⋅ ρ L ⋅ w ⋅ liefert: 2 d 2 Folie 168 Berechnung von Wärmeübertragern 6.1.2 Turbulente Strömung Technisch glatte Rohre für 3500 < Re ≤ 100.000 für bis zu Re ≤ 3.000.000 Blasius Filonenko 1 ζ Colebrook White vollkommen rauhe Rohre Colebrook White = 1,82 ⋅ log Re − 1,64 1 Prandtl Übergangsgebiet glatte/rauhe Rohre 0,3164 Re1 / 4 ζ = = 2 ⋅ log ζ ζ ⋅ Re 2,51 2,51 k = −2 ⋅ log + 0,27 d ⋅ Re ζ ζ 1 3,715 = 2 ⋅ log ζ k /d 1 k … mittlere Höhe der Rauhigkeitserhebungen (in mm) (z.B. VDI-Wärmeatlas, Blatt Lb2, Tab. 1) Folie 169 Berechnung von Wärmeübertragern 6.1.2 Turbulente Strömung r Geschwindigkeitsverteilung allgemein: w = wmax 1 − R laminar: m=2, n=1 w(r) m n r=R r=0 parabolisches Geschwindigkeitsprofil turbulent: m=1, n=1/7 w(r) r=R r=0 gleichmäßigere Geschwindigkeitsverteilung als bei laminarer Strömung Folie 170 Berechnung von Wärmeübertragern 6.1 Druckabfall in geraden Rohren Merke: Druckverlust Strömung Folie 171 Berechnung von Wärmeübertragern 6.1.3 Nikuradse - (Moody -) Diagramm Folie 172 Berechnung von Wärmeübertragern 6.2 Druckabfall in Rohrwendeln und gekrümmten Rohren Anwendung von Rohrwendeln: Doppelrohr-Koaxial-Wärmeübertrager h1 D h1 ... Steigung der Wendel D ... mittlerer Durchmesser der Wendel d ... Durchmesser des Außenrohres d Kritische Reynolds-Zahl für Umschlag laminar/turbulent: ( Rekrit = 2300 ⋅ 1 + 8,6 (d/D ) 0,45 ) Folie 173 Berechnung von Wärmeübertragern 6.2 Druckabfall in Rohrwendeln und gekrümmten Rohren laminar: turbulent: ζ gekr 4 d = ζ lam 1 + 0,033 logRe D ζ gekr = ζ Blasius + 0,03 ⋅ d D mit ζ lam = mit ζ Blasius 64 Re 0,3164 = Re1/4 Im turbulenten Fall ist Widerstandsbeiwert vorwiegend vom Krümmungsverhältnis d/D und kaum noch von der Reynolds-Zahl abhängig. Für den Körperfaktor gilt: a=L/d Folie 174 Berechnung von Wärmeübertragern 6.2 Druckabfall in Rohrwendeln und gekrümmten Rohren Gekrümmte Rohre (Umlenkungen): Für den Körperfaktor gilt a=1 und es folgt für den Druckverlust ∆pu = ζ u ⋅ ρ 2 w2 mit ζ u = ζ u (r,ϕ ) Sonderfall: 180° - Krümmer ζ 180° r = 1,38 ⋅ 0,216 ⋅ di / 2 0 ,84 −1,96 r ⋅ Re −0,17 0,95 + 17,2 ⋅ di / 2 Folie 175 Berechnung von Wärmeübertragern 6.2 Druckabfall in Rohrwendeln und gekrümmten Rohren ζ Widerstandsbeiwert von Rohrbögen bei hohen Reynolds-Zahlen (>105) nach Hofmann und Wasielewski Folie 176 Berechnung von Wärmeübertragern 6.2 Druckabfall in Rohrwendeln und gekrümmten Rohren 3,5 di ϕ ζ u = 0,131 + 0,159 ⋅ r 180° Für überschlägige Berechnungen (große Reynolds-Zahlen): (Weisbach) Für Krümmern mit kleineren Biegewinkeln als umgerechnet werden: ζ = ζ 90° ⋅ ϕ = 90° kann proportional ϕ 90° Folie 177 Berechnung von Wärmeübertragern 6.3 Druckabfall bei Querschnittsänderungen Querschnittsänderungen treten beim Durchströmen von Wärmeübertragern mehrfach auf: - Ein- / Austritt des Fluides in / aus dem Apparat - Ein- / Austritt in / aus Umlenkkammern Zu unterscheiden sind - unstetige Querschnittsveränderungen - stetige Querschnittsveränderungen Folie 178 Berechnung von Wärmeübertragern 6.3.1 Unstetige Querschnittsänderungen Plötzliche Querschnittserweiterung: ∆p1 = ζ 1 ⋅ ρ w1 2 2 2 A1 ζ 1 = 1 − A2 Maximalwert: ζ 1 = 1 für Ausströmen ins Freie (A2 → ∞) Der o.g. Druckverlust wird von einem Anstieg des statischen Drucks infolge Verzögerung des Fluids (Bernoulli) überlagert. Folie 179 Berechnung von Wärmeübertragern 6.3.1 Druckabfall bei unstetigen Querschnittsänderungen Plötzliche Querschnittsverengung: - Druckverlust durch Beschleunigung (Bernoulli) - Druckverlust durch Strahleinschnürung Kontraktionszahl µ = As / A2 ∆p = ζ 1 ⋅ ρ 2 w1 2 A mit ζ 1 = 1 A2 2 1 ⋅ − 1 µ 2 oder ∆p = ζ 2 ⋅ ρ 2 w2 2 1 mit ζ 2 = − 1 µ 2 Folie 180 Berechnung von Wärmeübertragern 6.3.1 Druckabfall bei unstetigen Querschnittsänderungen Plötzliche Querschnittsverengung bei w1 ≈ 0: (Ausfluss aus großem Behälter) Abhängigkeit der Strahleinschnürung von Ausführung des Rohranschlusses: Folie 181 Berechnung von Wärmeübertragern 6.3.2 Druckabfall bei stetigen Querschnittsänderungen - Diffusoren (Erweiterungen) ∆ p1 = ζ 1 ⋅ ρ w1 2 2 2 A1 ζ 1 = k (α ) ⋅ 1 − A2 α 5° 7,5° 10° 15° 20° k (α ) 0,13 0,14 0,16 0,27 0,43 40° 1,0 180° 1,0 Ab 40o Öffnungswinkel ist bereits der Druckabfall für plötzliche Querschnittserweiterung erreicht! Folie 182 Berechnung von Wärmeübertragern Beispiel 1: Druckabfall bei unstetiger Querschnittsänderungen Testgeometrie: kg ρ = , 0 4 Fluid m3 m2 ν = 9,96 ⋅ 10 Fluid s −5 technisch glattes Rohr, Kreisquerschnitt A1=0,0001 m2 w1=20 m/s A2=0,000025 m2 (w2=80 m/s d2=0,005 m) (d1=0,01 m) l1=0,02 m l2=0,02 m (Re1=2008) (Re2=4016) Gesamtdruckverlust: ∆pgesamt= ∆pBernoulli+ ∆pReibung, 1 + ∆pReibung, 2 + ∆pRohrverengung Folie 183 Berechnung von Wärmeübertragern Beispiel 1: Druckabfall bei unstetiger Querschnittsänderungen ∆pBernoulli = ( w 2 ρ 2 2 − w1 2 ) ( ) 0,4 2 = 80 − 20 2 Pa 2 ∆pRe ibung ,1 l1 ρ 2 64 0,02 0,4 2 ⋅ w1 = = (ζ 1 ) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 20 2008 0,01 2 d h,1 2 ∆pRe ibung ,2 l2 ρ 2 0,3164 0,02 0,4 2 ⋅ w2 = 80 = (ζ 2 ) ⋅ ⋅ ⋅ 1/ 4 4016 0,005 2 d h, 2 2 ∆pRohrverengung ρ 2 A1 = (ζ E ) ⋅ w1 = 2 A2 2 2 1 ρ 2 − 1 ⋅ w1 µ 2 2 0,4 2 1 ⋅ 20 2 = (4) − 1 ⋅ 0,62 2 Gesamtdruckänderung: ∆p gesamt Folie 184 Berechnung von Wärmeübertragern 6.4 Umströmte Körper Kreiszylindrisches Rohr: Für den Körperfaktor gilt a = d ⋅ L - kleine Reynolds-Zahlen (Re < 1): (d ... Zylinderdurchmesser, L ... Zylinderlänge) ζ = 8π Re(2,002 − lnRe ) - große Reynolds-Zahlen (Diagramm nach Zierep): Widerstandsbeiwerte eines umströmten Kreiszylinders Folie 185 Berechnung von Wärmeübertragern 6.4 Umströmte Körper Rohrbündel: ∆p = ζ ⋅ a ⋅ ρ 2 ⋅ wmax 2 Stoffwerte bei (ϑ´+ ϑ´´)/2 Maximale Strömungsgeschwindigkeit im engsten Querschnitt: - wmax in A2 falls 2·A2< A1: 2·(sd-d)·l < (sq-d)·l sd < (sq+ d)·0,5 wmax = sq·w0 / (2·(sd-d)) a = NR-1 - wmax in A1 falls 2·A2 ≥ A1: 2·(sd-d)·l ≥ (sq-d)·l sd ≥ (sq+ d)·0,5 wmax = sq·w0 / (sq-d) a = NR Folie 186 Berechnung von Wärmeübertragern 6.4 Umströmte Körper Widerstandsbeiwert: - fluchtende Rohranordnung Re + 1000 2000 ζ = ζ lam ⋅ f zn,lam + (ζ tur ⋅ f z ,tur + f n,tur )⋅ 1 − EXP − - versetzte Rohranordnung ζ = ζ lam ⋅ f zn,lam + (ζ tur ⋅ f z ,tur - Falls Re ≤ 10: Re + 200 + f n,tur )⋅ 1 − EXP − 1000 ζ = ζ lam ⋅ f zn,lam - Falls 104 ≤ Re ≤ 3·105: ζ = ζ tur ⋅ f z ,tur + f n,tur Folie 187 Berechnung von Wärmeübertragern 6.4 Umströmte Körper Widerstandsbeiwert: (laminar) - fluchtende Rohranordnung f a ,lam, f = (turbulent) ζ tur = f a ,tur , f Re f a ,tur , f s 0,1⋅ l sq ζ lam = f a ,lam, f Re 2 0,5 s 280 ⋅ π ⋅ l − 0,6 + 0,75 d 1, 6 s sq sl 4 ⋅ − π ⋅ q d d d 0, 6 0,94 1 − 0, 47⋅ sl −1,5 sq sl / d sq sl ⋅10 + 0,03 ⋅ − 1 ⋅ − 1 = 0,22 + 1,2 ⋅ 1,3 d d sq − 0,85 d Folie 188 Berechnung von Wärmeübertragern 6.4 Umströmte Körper Widerstandsbeiwert: - versetzte Rohranordnung (laminar) Für sd ≥ (sq+ d)·0,5 f a ,lam,v = Für sd < (sq+ d)·0,5 f a ,lam,v = ζ lam = f a ,lam,v Re 2 0,5 s 280 ⋅ π ⋅ l − 0,6 + 0,75 d 1, 6 sq sl sq 4 ⋅ − π ⋅ d d d 2 0,5 s 280 ⋅ π ⋅ l − 0,6 + 0,75 d s sq sl 4 ⋅ − π ⋅ d d d d 1, 6 Folie 189 Berechnung von Wärmeübertragern 6.4 Umströmte Körper Widerstandsbeiwert: - versetzte Rohranordnung f a ,tur ,v (turbulent) ζ tur = f a ,tub,v Re 0, 25 3 3 s s 1,2 l − 1 − 0,01 ⋅ q − 1 + ⋅ = 2,5 + 0 , 4 1, 08 s sq sq l − 0,85 d Folie 190 Berechnung von Wärmeübertragern 6.4 Umströmte Körper Einfluß der Rohrreihenanzahl: f zn,lam = - laminar: NR < 10 NR ≥ 10 f zn,lam = - turbulent: 5 ≤ NR < 10 NR ≥ 10 0 , 25 NR 0,57 10 η W 4 sq ⋅sl 0 , 25 π ⋅d 2 −1⋅Re η F 0,57 η W 4 sq ⋅sl 0 , 25 π ⋅d 2 −1⋅Re η F f n,tur f n,tur mit sd ≥ (sq+ d)·0,5 sd < (sq+ d)·0,5 1 1 = ζ 0 ⋅ − N R 10 =0 ζ0 = 1 sq d 2 s 2 d − 1 d ζ0 = sq sq − 1 d d 2 Folie 191 Berechnung von Wärmeübertragern 6.4 Umströmte Körper - Einfluss der Temperaturunterschiede zwischen Fluid und Rohrwand: η f z ,tur = W η - Reynoldszahl: Re = wmax ⋅ d ν 0,14 Stoffwerte bei mittlerer ϑ ′ + ϑ ′′ Fluidtemperatur ϑBez = 2 Folie 192 Berechnung von Wärmeübertragern 6.5 Druckabfall bei Plattenwärmeübertragern - Gesamtdruckverlust für beide Seiten des PWA getrennt zu berechnen - setzt sich additiv aus Druckverlust im Plattenspalt und im Verteiler zusammen - Druckverlust des Plattenspaltes dominiert gegenüber dem Druckverlust im Verteiler L ρ 2 ΔpSpalt = ζ Spalt ⋅ ⋅ w Spalt ⋅ Platte ⋅ fp 2 d h ,Spalt Mit m ζ Sp = c3 ⋅ ReSpalt d h,Spalt = 2 ⋅ sSpalt fp = fp∗ für Seite mit niedrigerem Druck fp = 1 / fp∗ für Seite mit höherem Druck fp∗ = 1 + 0,3133 ⋅ Δp ∗0,3257 Δp ∗ < 0,5 Δp ∗ > 0,5 fp∗ = 1 + 0,2580 ⋅ Δp ∗0,0456 Δp ∗ = ( p1,m − p2,m )/100000Pa Folie 193 Berechnung von Wärmeübertragern 6.5 Druckabfall bei Plattenwärmeübertragern - Platten mit harter Prägung haben achtmal höheren Strömungswiderstand als weiche Platten - Strömungskanal aus harter und weicher Prägung hat Druckverlust, der ca. arithmetischem Mittel von hart und weich entspricht Bild: Druckverlustbeiwert als Funktion der Reynoldsfür Platten mit „harter“ und „weicher“ Prägung (aus Martin: Wärmeübertrager) Folie 194 Berechnung von Wärmeübertragern Beispiel 2: Druckabfall im Kompaktwärmeübertrager Geometrie: Schnitt X-X X Kanal 3 U2 U3 Kanal 2 E Kanal 1 U1 X E ... Eintritt A ... Austritt U1 .. Umlenkung 1 U2 .. Umlenkung 2 U3 .. Umlenkung 3 l A di,1 da,1 di,2 da,2 di,3 da,3 Folie 195 Berechnung von Wärmeübertragern Beispiel 2: Druckabfall im Kompaktwärmeübertrager Gesamtdruckverlust: 0, da Ein- und Austrittsquerschnitt gleich groß ∆pgesamt= ∆pBernoulli, 1-2 + ∆pBernoulli, 2-3 + ∆pBernoulli, 3-1 +∆pReibung, Kanal 1 + ∆pReibung, Kanal 2 + ∆pReibung, Kanal 3 + ∆pEintritt + ∆pAustritt + ∆pUmlenkung 1-2 + ∆pUmlenkung 2-3 + ∆pUmlenkung 3-1 Folie 196 Berechnung von Wärmeübertragern Beispiel 2: Druckabfall im Kompaktwärmeübertrager • Druckverlust am Eintritt: Annahme: Fluid fließt von einem Raum, in welchem geringe Geschwindigkeit herrscht in das Rohr, Abhängigkeit des Widerstandsbeiwerts von Ausbildung des Rohranschlusses ρ ∆pEintritt = ζ Eintritt ⋅ w 2 2 2 Folie 197 Berechnung von Wärmeübertragern Beispiel 2: Druckabfall im Kompaktwärmeübertrager • Druckverlust am Austritt: Annahme: Fluid fließt von Rohr in Raum, in welchem geringe Geschwindigkeit herrscht in das Rohr, plötzliche Querschnittserweiterung ∆pAustritt = ζ Austritt ⋅ ρ 2 w1 2 2 ζ Austritt A = 1 − 1 ≈ 1 A 2 A2 groß Folie 198 Berechnung von Wärmeübertragern Beispiel 2: Druckabfall im Kompaktwärmeübertrager • Reibungsdruckverlust in den Kanälen 1, 2, und 3: l1 ρ1 2 ⋅ w1 ∆pReibung,1 = ζ 1 ⋅ d i,1 2 laminar: ζ = ∆pReibung,2 l ρ2 2 ⋅ = ζ 2 ⋅ 2 w2 d h, 2 ∆pReibung,3 l ρ3 2 ⋅ w3 = ζ 3 ⋅ d h,3 2 64 Re turbulent (technisch glatte Rohre): ζ = 0,3164 Re1/ 4 1 = 1,82 ⋅ lg Re − 1,64 ζ turbulent (rauhe Rohre): Blasius Filonenko 3500 < Re ≤ 100.000 Re ≤ 3 ⋅ 10 6 2,51 1 k = −2 ⋅ lg + 0,27 Colebrook (Übergang glatt/rauh) d ζ ζ ⋅ Re 1 3,715 = 2 ⋅ lg ζ k/d vollkommen rauh Folie 199 Berechnung von Wärmeübertragern Beispiel 2: Druckabfall im Kompaktwärmeübertrager • Druckverlust Umlenkungen: ∆pUmlenkung = (ζ ϕ + ζ Erweiterung ) ⋅ ρ 2 w1 2 - Fluid wechselt Strömungsrichtung um ϕ=180o , d.h. Druckverlust durch Rohrkrümmer 3,5 di ϕ ζ ϕ = 0,131 + 0,159 ⋅ r 180° - Querschnittserweiterung ζ Erweiterung A = 1 − 1 A2 2 Bei der Umlenkung von Kanal 3 auf 1 tritt statt einer Querschnittserweiterung eine Verengung auf, für diese gilt: ζ Verengung A = 1 A2 2 1 ⋅ − 1 µ 2 Folie 200 Berechnung von Wärmeübertragern Beispiel 2: Druckabfall im Kompaktwärmeübertrager • Druckänderungen durch Beschleunigung/Verzögerung Wird das Fluid beschleunigt, so sinkt der statische Druck, bei einer Verzögerung des Fluid nimmt der statische Druck wieder zu. Da der Einströmquerschnitt gleich groß ist wie der Ausströmquerschnitt heben sich die durch Verzögerung und Beschleunigung auftretenden Druckänderungen auf: ∆pBernoulli 1-2 = ρ 2 ( w2 − w1 ) 2 2 ∆pBernoulli 2-3 = ρ 2 ( w3 − w2 ) 2 2 ∆pBernoulli 3-1 = ρ 2 ( w1 − w3 ) 2 2 ∆pBernoulli = ∆pBernoulli 1-2 + ∆pBernoulli 2-3 + ∆pBernoulli 3-1 = 0 Folie 201 Berechnung von Wärmeübertragern Anwendung: Druckabfall Beispiel : Stationärer Fließprozess, kompressibles Medium 1 2 Forderung: 3 Druckverlust: p2 ≥ ∆p + p1 p Notwendige Gebläseleistung: T1 t falls polytrope Z.Ä. 1 s con n= wt ,12 mit ∆p = p2 − p3 2 T2 v Beispiel : Stationärer Fließprozess, inkompressibles Medium Notwendige Pumpenleistung: Folie 202
