Kein Folientitel
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2.2 Strömende Flüssigkeit P2 Ursache: Druckdifferenz innere Reibung P1 V Volumen Viskosität konstante Strömungsgeschwindigkeit P1 < P2 Stromstärke V Q t m3 s Beispiel: Herz, linker Ventrikel: 70 Schläge / min mit je 70 ml: Q 70 0,07l / min 4,9l / min 8 105 m3 / s auch Herzzeitvolumen genannt Strömungswiderstand Zusammenhang zwischen Druckdifferenz und Stromstärke Beispiel: Strömungswiderstand, den der linke Ventrikel spürt p2 = Druck in Aorta = 100 mmHg = 13,3 kPa p1 = venöser Druck = 3 mmHg = 0,4 kPa p p2 p1 R Q Leitwert Q R1 p R p 12,9kPa 97mmHg 8 Pa 1 , 6 10 20mmHg min/ l Q 8 105 m3 / s m3 / s 4,9l / min Strömung laminar oder turbulent Zerlegung in nicht durchmischende Schichten Kraft F keine Zerlegung möglich Fläche A r v v ist als zurückgelegte Strecke in einer 1s gezeichnet Bild für Umströmung eines in Hindernisses Experiment: Platte viskoser Flüssigkeit Schubspannung F A erzeugt eine Geschwindigkeitsscherung mit Grad v r Verhältnis Schubspannung zu Schergrad ist die Viskositätskonstante der Flüssigkeit N m Pa s m2 m / s oder Newton-Flüssigkeit: ist unabhängig von Schubspannung und Schergrad Tintendüsen Laminare Strömung um ein Hindernis Röhrenströmung 0 Geschwindigkeit hoch v v p1 Gleichgewicht p= p1-p2 v r r 2 p 2rl Kraft auf Zylinderdeckel Reibungskraft auf Zylindermantel vmax r 0,5 r 0 Abstand vom Zentrum 0 Druckdifferenz p ergibt Kraft Rohrlänge l Mittel -r0 2r Geschwindigkeit p2 v 1 p r r 2l v 1 p r02 r 2 4l Summation über Intervalle r s g t s 12 g t 2 t Stromstärke durch ein Rohr V Q r02 v Mittel 1s Volumenfluß V pro Sekunde Leitwert 4 r02 r mit v Mittel p Q 0 p 8l 8l Gesetz von Hagen-Poiseuille Empfindlichkeit mit Rohrquerschnitt: Verdopplung der Stromstärke erfordert nur 19% Vergrößerung des Radius 1,194 2 Strömungswiderstand eines Rohres, wenn eine Newton-Flüssigkeit strömt: R 8l r04 Zahlenbeispiel: Eimer Wasser (10l) aus der Hausleitung in 1 Minute füllen. 10l 1.67 104 m 3 / s Q Welche Druckdifferenz zwischen Hauszuleitung und Ausfluß ist notwendig, 60s wenn die Rohrlänge mit Radius 0,5cm im Haus 20m ist? (H2O bei 10°C) = 1,31∙10-3 Pa·s R= 1,07∙108 Pa·s/m3 notwendiges p = 18 kPa 0,2 bar (Blutplasma bei 37°C) = 1,3∙10-3 Pa·s als Newton-Flüssigkeit Beispiele rechnen: Welche Adernlängen gehören zu welchen Radien? Man benutze den bekannten Strömungswiderstand. Strömung in dehnbaren (elastischen) Gefäßen Durchblutung oder Stromstärke Q dehnbares, aber druckpassives Gefäßsystem (z.B. Lunge, Skelettmuskel) dehnbares, aber autoregulierendes Gefäßsystem (z.B. Niere, Darm, Gehirn) starres Rohr kritischer Verschlußdruck arteriovenöse Druckdifferenz Druck-Stromstärke-Beziehungen p [Ns/m2 =Pa·s] 2 -1 10 Apparente Viskosität 5 in der realen Blutströmung Einfluß von suspendierten Zellen 2 10-2 5 1 5 -1 10 5 0 10 10 5 [s-1] 50 [10-3N/m2] 3 Axialmigration Einfluß der Gefäßdurchmesser Fåhraeus-Lindqvist-Effekt relative Viskosität 10-2 große Streuung der Meßpunkte 2 1 0 Plasmaviskosität 1 10 100 Gefäßdurchmesser [µm] 1000 Blutsenkung Sinkgeschwindigkeit von Erythrozyten im Blutplasma Gleichgewicht von Auftriebskraft FA und Reibungskraft FR FA FR vs FA g r Er r Plasma V und Stokes-Formel Kugel fällt mit Geschwindigkeit vs in Flüssigkeit mit Werte für Blut: a 2,5 µm eff. Kugelradius und rEr = 1,1∙103 kg/m3 Sinkgeschwindigkeit FR 6 a v s vergleiche: = 1,3∙10-3 Pa·s bei 37°C = 1,7∙10-3 Pa·s bei 23°C rPlasma = 1,03∙103 kg/m3 v s 5,6 10 7 m / s 2 mm / h typische Werte beim Menschen: 3 -11 mm/h (geschlechtsabhängig) Strömungssysteme Ausgangspunkt: p Q R Rohrhintereinanderanordnung (Reihenschaltung) Q R1 p1 p2 Q R2 p p2 p2 p3 p1 p3 Q 1 R1 R2 Rgesamt links p3 Stromstärke überall gleich rechts p1 p3 p1 p2 p2 p3 Q R1 Q R2 Q Rgesamt Strömungswiderstände werden addiert. Rgesamt R1 R2 Verzweigungen (Parallelschaltung) R2 Q ges p1 R1 Q 2 Q 1 p2 Q ges p p2 p1 p2 p1 p2 Q ges Q1 Q 2 1 Rges R R 1 2 unten oben Kontinuität der Strömung Strömungsleitwerte werden addiert 1 1 1 Rges R1 R2 Kreislaufverzweigung Energiebilanz in der Strömung kin. Energie eines strömenden Teilvolumens mit Masse m kin. Energiedichte im strömenden Volumen: wkin 1 2 Wkin 12 m v 2 m 2 1 v 2 r v2 V Massendichte Querschnittsänderung führt zu Änderungen der Strömungsgeschwindigkeit A1 Änderung der kin. Energiedichte A2 Gibt es potentielle Energie in einer Flüssigkeit? Experiment Ja, Druck in der Flüssigkeit kann durch Ausströmen in kin. Energie umgewandelt werden. Q A1 v1 A2 v 2 Ansatz: W pot p V v 2 v1 wpot W pot V p Pot. Energiedichte ist der Druck! 2 1 w w w p r v Energiesatz in der Strömung: Gesetz von Bernoulli ges pot kin 2 Blut: Gesamtdruck systolischer Druck dynamischer Druck oder Staudruck diastolischer Druck Strömung bei Querschnittsänderung ohne Reibung statischer Druck v1 v2 mit Reibung Druckreduktion bei schneller Strömung v3 dynamischer Druck p -p v0 , p 0 10 pReibung h p10=grh v0 << v p1 p0 1 Gesetz von Bernoulli bei Gasen und das Fliegen einblasen ? Aerodynamisches Paradoxon Papierexperiment Sturmschäden Aufblasen eines Cabrio Turbulenz Strömungsschichten durchmischen sich Ubicampus qualitativ: Balance zwischen Reibung und Strömungsmomenten nicht mehr gegeben Impulse Viskosität [Pa·s = N·s/m2] Kraftstöße pro Fläche d mv r vd V Mantelfläche Reynoldsche Zahl r vd Re Erfahrung: Strömung laminar, wenn Re < 2300 Blut- und Atmungsströmung meist laminar geräuscharm Molekulare Kräfte
