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2016.11.18. Prüfungsfrage Mechanik IV. Hydrostatik und Hydrodynamik Hydrostatik und Hydrodynamik: hydrostatischer druck, Pascalsches Gesetz. Newtonsche und nicht newtonsche Flüssigkeiten, Strömungsarten, Viskosität. Kontinuitätsgleichung, Bernoulli-Gesetz, Hagen-PoiseuilleGesetz. Lehrbuch (Biophysik für Mediziner) 199-214 S. BIOPHYSIK FÜR ZAHNMEDIZINER 1. Dr. Tamás Huber Institut für Biophysik 17. November 2016. Fluideigenschaften Strömungslehre • Fluide unterteilen sich in Flüssigkeiten und Gase (drei Phasenzuständen: feste Körper, Flüssigkeiten und Gase) • Flüssigkeiten verändern ihr Volumen unter Druck kaum. Die Gestalt einer Flüssigkeit ist aber beliebig. In der praktischen Anwendung werden Flüssigkeiten als inkompressibel betrachtet (Gase sind stark kompressibel). • Im Gegensatz zu Gasen wirken noch erhebliche Kräfte zwischen den Molekülen (Kohäsionskräfte). HYDROSTATIK HYDRODYNAMIK keine Bewegung sich bewegende Flüssigkeit reibungsfreie Strömung Dichte: 𝜌= 𝑚 𝑘𝑔 𝑉 𝑚3 Druck: 𝑝= 𝐹 𝑁 = 𝑃𝑎 𝐴 𝑚2 Newtonsches Verhalten Strömung mit Reibung nicht-Newtonsche Flüssigkeiten 1 2016.11.18. Berühmte Wissenschaftler der Strömungslehre Hydrostatik Der hydrostatische Druck (Schweredruck) ist der Druck, den eine Flüssigkeit auf die Wand ausübt. Er ist abhängig von der Höhe, in der er gemessen wird, und kann für inkompressible Flüssigkeiten nach der folgenden Beziehung berechnet werden: Archimedes (~ v Chr. 287-212) Pascal (1623-1662) Newton (1642-1727) Bernoulli p= 𝑚×𝑔 𝐴 = 𝜌×𝑉×𝑔 𝐴 = 𝜌×𝐴×ℎ×𝑔 𝐴 (1667-1748) Das Pascalsche Gesetz besagt, dass sich der auf eine Flüssigkeit ausgeübte Druck zu jeder Seite hin gleichmäßig verteilt. p = F1/A1 = F2/A2. Stokes (1819-1903) Reynolds (1842-1912) Bei welchem Gefäßboden kann man die größte Druck messen? F1 « F2 Archimedisches Prinzip Die Auftriebskraft eines Körpers in einem Medium ist ebenso groß wie die Gewichtskraft des vom Körper verdrängten Mediums. 𝐹1 = 𝑝1 ∙ 𝐴 = 𝑔 ∙ 𝜌𝐹𝑙ü𝑠𝑠𝑖𝑔𝑘𝑒𝑖𝑡 ∙ ℎ1 ∙ 𝐴 𝐹2 = 𝑝2 ∙ 𝐴 = 𝑔 ∙ 𝜌𝐹𝑙ü𝑠𝑠𝑖𝑔𝑘𝑒𝑖𝑡 ∙ ℎ2 ∙ 𝐴 𝐹𝑔𝑒𝑠 = 𝐹2 − 𝐹1 = 𝑔 ∙ 𝜌𝐹𝑙ü𝑠𝑠𝑖𝑔𝑘𝑒𝑖𝑡 ∙ ℎ2 − ℎ1 ∙ 𝐴 = 𝑔 ∙ 𝜌𝐹𝑙ü𝑠𝑠𝑖𝑔𝑘𝑒𝑖𝑡 ∙ 𝑉 = 𝑔 ∙ 𝑚𝐹𝑙ü𝑠𝑠𝑖𝑔𝑘𝑒𝑖𝑡 Gewicht der Flüssigkeit = Auftriebskraft In allen Gefäßen mit demselben Füllstand wirkt in derselben Höhe derselbe Flüssigkeitsdruck auf den Gefäßboden, unabhängig von der Grundfläche und der Gefäßgeometrie. Ein Container wird durch einen Draht ins Wasser getaucht. Wie grosse Kraft spannt den Draht, wenn der Container halbe Tonne wiegt? (Wasser = 1000 kg/m3, Container 7850 kg/m3) Veingetaucht = m/Container T= G-FAuftrieb= mg - Wasser*g*Veingetaucht T= 4905 – 625 = 4280 N 2 2016.11.18. Strömungstypen Ursache der Strömung: Druckdifferenz p auf einer Strecke des Rohrsystems. laminare Strömung turbulente/verwirbelte Strömung • wenn Strömungsgeschwindigkeit im Verhältnis zur Viskosität kleiner ist • wenn Strömungsgeschwindigkeit im Verhältnis zur Viskosität proportional grösser ist • geschichtete Stromlinien • mischende Flüssigkeitsschichten • im Falle von glatten Oberflächen • im Falle von rauen Oberflächen Strömung mit Reibung Bei idealen Flüssigkeiten tritt keine innere Reibung (Viskosität) und keine Reibung an den Gefäßwänden auf. Newtonsches Reibungsgesetz: Newtonsche Fluide: linearer Zusammenhang zwischen der Schubspannung τ (F/A) und der Schergeschwindigkeit ∆v/∆h (z.B. Wasser, Öle, Luft, und andere Gase). v F A h F Viskosität: Ns2 Pa s Nicht-Newtonsche Fluide: • Dilatante Fluide: mit steigender Schergeschwindigkeit die Viskosität nimmt zu, d.h. das Fluid wird dickflüssiger (z.B. Stärkesuspensionen). • Pseudoplastische (strukturviskose) Fluide: Ab einer kritischen Schergeschwindigkeit nimmt die Viskosität ab (biologische Flüssigkeiten z.B. Blut). • Stoffart • Konzentration • Temperatur (↑Temp , η ↓) Schubspannung Viskosität wird beeinflusst von: Viskosität m dilatant Newtonsche pseudoplastisch Schergeschwindigkeit • Druck Schergeschwindigkeit 3 2016.11.18. Bernoulli-Gleichung Kontinuitätsgleichung Energiegleichung nach Bernoulli: Strömt ein Fluid stationär (d. h., alle die Strömung beeinflussenden Größen sind von der Zeit unabhängig) durch eine geschlossene Rohrleitung, dann fließt durch jeden Querschnitt in jeder Zeiteinheit die gleiche Flüssigkeitsmenge unabhängig von der jeweiligen Form und Größe des Querschnitts. Bei der stationären verlustfreien Rohrströmung inkompressibler Fluide ist die Summe von potentieller Energie, kinetischer Energie und Druckenergie konstant. mgh1 = mgh2 Volumenstromstärke: IV p1 V + mgh1 + (mv12/2) = p2 V + mgh2+ (mv22/2) p1 V A v t A v t t v12 2 g h1 p2 p v2 2 Physikalische Parameter des Blutkreislaufs I. Aneurysma Blutgefäß Durchmesser Blutgefäßerweiterung an einer bestimmten Stelle V1 p1 g h2 Hydrostatische Druck Dynamische Druck A1 2 g h konstant Statische Druck 𝐼𝑉 = 𝑄 = 𝐴 × 𝑣 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 v22 A2 V2 p2 A1 V1 p1 Gesamtquerschnitt (cm2) Aorta 25 mm 4 Arterie 4 mm 20 Arteriole 30 µm 40 Kapillare 8 µm 2500 Venule 20 µm 250 Vene 5 mm 80 Vena cava 30 mm 8 Anteil der Gesamtblutvolumens (%) 15 p (Hgmm/kPa) v (m/s) 100/13 0.33 96/12.7 85->30/ 11.3->4 Positiv feedback A nimmt zu v vermindert sich p nimmt zu Kontinuitätsgleichung v x A konstant Bernoulli-Gleichung p 1 2 v 2 konstant 5 30->10/ 4->1.3 0.0003 10/1.3 59 5/0.66 0.006 0/0 0.22 4 2016.11.18. Physikalische Parameter des Blutkreislaufs II. Die Reynolds-Zahl Re= Strömungsgeschwindigkeit GesamtQuerschnitt R 1160 R 1160 𝒗∙𝝆∙𝒓 𝜼 laminar turbulent Eine Flüssigkeit fließt mit 2,4 m/s Geschwindigkeit in einem Rohr mit einem Durchmesser von 25 mm. Laminare oder turbulente Strömung können wir feststellen, wenn die Viskosität der Flüssigkeit 0,41 Pas und die Dichte 820 kg/m3 beträgt? R = (2.4*820*12.5*10-3) / 0.41 = 60 Laminare Strömung Druck Aorta Arterien Arteriolen Kapillaren Venen Das Stokessche Reibungsgesetz FR = 6 · π ·η ·r· v Das Gesetz von Hagen-Poiseuille FR FA Betrachtet man eine Kugel, welche in eine Flüssigkeit fällt, so wird diese aufgrund der wirkenden Schwerkraft nach unten beschleunigt. Allerdings wird die Beschleunigung immer kleiner, je schneller die Kugel sinkt, bis sich diese nur noch mit einer konstanten Geschwindigkeit durch die Flüssigkeit bewegt. Die aneinander reibenden Flüssigkeitsschichten erzeugen eine der Bewegung entgegengesetzte Reibungskraft, deren Betrag proportional zu r, v und der Viskosität der Flüssigkeit η ist. Die Schwerkraft wird von der Reibungskraft kompensiert. Die Volumenstromstärke IV durch ein Rohr ist umgekehrt proportional zur Viskostität η und zur Länge l, sowie direkt proportional zur Druckdifferenz ∆p=p1−p2 an den Rohrenden und zur vierten Potenz des Rohrradius r: Q r 4 p 8 l 5 2016.11.18. Das Pechtropfenexperiment ist ein Langzeitversuch zur Beobachtung des Tropfverhaltens von Pech, einem bei Zimmertemperatur superzähen Stoff, der augenscheinlich ein Feststoff ist. (Thomas Parnell, University of Queensland, 1927) DANKE FÜR IHRE AUFMERKSAMKEIT! Die Viskosität von Pech ist 2,3×1011 größer als des Wassers. Datum Ereignis 1927 Experiment wurde vorbereitet 1930 Trichter wurde geöffnet Dauer (Monate) Dezember 1938 1. Tropfen fiel 96–107 Februar 1947 2. Tropfen fiel 99 April 1954 3. Tropfen fiel 86 Mai 1962 4. Tropfen fiel 97 August 1970 5. Tropfen fiel 99 April 1979 6. Tropfen fiel 104 Juli 1988 7. Tropfen fiel 111 28. November 2000 8. Tropfen fiel 148 9. Tropfen berührte den 8. Tropfen 158 April 2014 http://smp.uq.edu.au/content/pitch-drop-experiment 6
