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2016.11.18.
Prüfungsfrage
Mechanik IV.
Hydrostatik und Hydrodynamik
 Hydrostatik und Hydrodynamik: hydrostatischer druck,
Pascalsches Gesetz. Newtonsche und nicht newtonsche
Flüssigkeiten, Strömungsarten, Viskosität.
Kontinuitätsgleichung, Bernoulli-Gesetz, Hagen-PoiseuilleGesetz.
 Lehrbuch (Biophysik für Mediziner) 199-214 S.
BIOPHYSIK FÜR ZAHNMEDIZINER 1.
Dr. Tamás Huber
Institut für Biophysik
17. November 2016.
Fluideigenschaften
Strömungslehre
• Fluide unterteilen sich in Flüssigkeiten und Gase (drei
Phasenzuständen: feste Körper, Flüssigkeiten und Gase)
• Flüssigkeiten verändern ihr Volumen unter Druck kaum. Die
Gestalt einer Flüssigkeit ist aber beliebig. In der praktischen
Anwendung werden Flüssigkeiten als inkompressibel
betrachtet (Gase sind stark kompressibel).
• Im Gegensatz zu Gasen wirken noch erhebliche Kräfte zwischen
den Molekülen (Kohäsionskräfte).
HYDROSTATIK
HYDRODYNAMIK
keine Bewegung
sich bewegende Flüssigkeit
reibungsfreie Strömung
Dichte:
𝜌=
𝑚 𝑘𝑔
𝑉 𝑚3
Druck:
𝑝=
𝐹 𝑁
= 𝑃𝑎
𝐴 𝑚2
Newtonsches
Verhalten
Strömung mit Reibung
nicht-Newtonsche
Flüssigkeiten
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2016.11.18.
Berühmte Wissenschaftler der Strömungslehre
Hydrostatik
Der hydrostatische Druck (Schweredruck) ist der Druck, den eine Flüssigkeit auf die
Wand ausübt. Er ist abhängig von der Höhe, in der er gemessen wird, und kann für
inkompressible Flüssigkeiten nach der folgenden Beziehung berechnet werden:
Archimedes
(~ v Chr. 287-212)
Pascal
(1623-1662)
Newton
(1642-1727)
Bernoulli
p=
𝑚×𝑔
𝐴
=
𝜌×𝑉×𝑔
𝐴
=
𝜌×𝐴×ℎ×𝑔
𝐴
(1667-1748)
Das Pascalsche Gesetz besagt, dass sich der auf eine Flüssigkeit ausgeübte Druck zu
jeder Seite hin gleichmäßig verteilt.
p = F1/A1 = F2/A2.
Stokes
(1819-1903)
Reynolds
(1842-1912)
Bei welchem Gefäßboden kann man die größte Druck messen?
F1 « F2
Archimedisches Prinzip
Die Auftriebskraft eines Körpers in einem Medium ist ebenso groß wie die Gewichtskraft
des vom Körper verdrängten Mediums.
𝐹1 = 𝑝1 ∙ 𝐴 = 𝑔 ∙ 𝜌𝐹𝑙ü𝑠𝑠𝑖𝑔𝑘𝑒𝑖𝑡 ∙ ℎ1 ∙ 𝐴
𝐹2 = 𝑝2 ∙ 𝐴 = 𝑔 ∙ 𝜌𝐹𝑙ü𝑠𝑠𝑖𝑔𝑘𝑒𝑖𝑡 ∙ ℎ2 ∙ 𝐴
𝐹𝑔𝑒𝑠 = 𝐹2 − 𝐹1 = 𝑔 ∙ 𝜌𝐹𝑙ü𝑠𝑠𝑖𝑔𝑘𝑒𝑖𝑡 ∙ ℎ2 − ℎ1 ∙ 𝐴 = 𝑔 ∙ 𝜌𝐹𝑙ü𝑠𝑠𝑖𝑔𝑘𝑒𝑖𝑡 ∙ 𝑉 = 𝑔 ∙ 𝑚𝐹𝑙ü𝑠𝑠𝑖𝑔𝑘𝑒𝑖𝑡
Gewicht der Flüssigkeit = Auftriebskraft
In allen Gefäßen mit demselben Füllstand wirkt in derselben Höhe derselbe
Flüssigkeitsdruck auf den Gefäßboden, unabhängig von der Grundfläche und der
Gefäßgeometrie.
Ein Container wird durch einen Draht ins Wasser getaucht. Wie grosse Kraft spannt den
Draht, wenn der Container halbe Tonne wiegt? (Wasser = 1000 kg/m3, Container 7850
kg/m3)
Veingetaucht = m/Container
T= G-FAuftrieb= mg - Wasser*g*Veingetaucht
T= 4905 – 625 = 4280 N
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Strömungstypen
Ursache der Strömung: Druckdifferenz p auf einer Strecke des Rohrsystems.
laminare Strömung
turbulente/verwirbelte Strömung
• wenn Strömungsgeschwindigkeit im
Verhältnis zur Viskosität kleiner ist
• wenn Strömungsgeschwindigkeit im
Verhältnis zur Viskosität proportional
grösser ist
• geschichtete Stromlinien
• mischende Flüssigkeitsschichten
• im Falle von glatten Oberflächen
• im Falle von rauen Oberflächen
Strömung mit Reibung
Bei idealen Flüssigkeiten tritt keine innere Reibung (Viskosität) und keine Reibung an den
Gefäßwänden auf.
Newtonsches Reibungsgesetz:
Newtonsche Fluide: linearer Zusammenhang zwischen der Schubspannung τ (F/A) und der
Schergeschwindigkeit ∆v/∆h (z.B. Wasser, Öle, Luft, und andere Gase).
v
F    A 
h
F
Viskosität:
   Ns2  Pa  s
Nicht-Newtonsche Fluide:
• Dilatante Fluide: mit steigender Schergeschwindigkeit die Viskosität nimmt zu, d.h.
das Fluid wird dickflüssiger (z.B. Stärkesuspensionen).
• Pseudoplastische (strukturviskose) Fluide: Ab einer kritischen
Schergeschwindigkeit nimmt die Viskosität ab (biologische Flüssigkeiten z.B. Blut).
• Stoffart
• Konzentration
• Temperatur (↑Temp , η ↓)
Schubspannung
Viskosität wird beeinflusst von:
Viskosität
m
dilatant
Newtonsche
pseudoplastisch
Schergeschwindigkeit
• Druck
Schergeschwindigkeit
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Bernoulli-Gleichung
Kontinuitätsgleichung
Energiegleichung nach Bernoulli:
Strömt ein Fluid stationär (d. h., alle die Strömung beeinflussenden
Größen sind von der Zeit unabhängig) durch eine geschlossene
Rohrleitung, dann fließt durch jeden Querschnitt in jeder Zeiteinheit
die gleiche Flüssigkeitsmenge unabhängig von der jeweiligen Form
und Größe des Querschnitts.
Bei der stationären verlustfreien
Rohrströmung
inkompressibler
Fluide ist die Summe von
potentieller Energie, kinetischer
Energie und Druckenergie konstant.
mgh1 = mgh2
Volumenstromstärke:
IV
p1 V + mgh1 + (mv12/2) = p2 V + mgh2+ (mv22/2)
p1 
V
A  v  t


 A v
t
t
  v12
2
   g  h1  p2 
p
  v2
2
Physikalische Parameter des Blutkreislaufs I.
Aneurysma
Blutgefäß
Durchmesser
Blutgefäßerweiterung an einer bestimmten Stelle
V1
p1
   g  h2
Hydrostatische Druck
Dynamische
Druck
A1
2
   g  h  konstant
Statische
Druck
𝐼𝑉 = 𝑄 = 𝐴 × 𝑣 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡
  v22
A2
V2
p2
A1
V1
p1
Gesamtquerschnitt
(cm2)
Aorta
25 mm
4
Arterie
4 mm
20
Arteriole
30 µm
40
Kapillare
8 µm
2500
Venule
20 µm
250
Vene
5 mm
80
Vena cava
30 mm
8
Anteil der
Gesamtblutvolumens
(%)
15
p
(Hgmm/kPa)
v
(m/s)
100/13
0.33
96/12.7
85->30/
11.3->4
Positiv feedback
A nimmt zu
v vermindert sich
p nimmt zu
Kontinuitätsgleichung
v
x
A  konstant
Bernoulli-Gleichung
p 
1
2
 v 2  konstant
5
30->10/
4->1.3
0.0003
10/1.3
59
5/0.66
0.006
0/0
0.22
4
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Physikalische Parameter des Blutkreislaufs II.
Die Reynolds-Zahl
Re=
Strömungsgeschwindigkeit
GesamtQuerschnitt
R  1160
R  1160
𝒗∙𝝆∙𝒓
𝜼
laminar
turbulent
Eine Flüssigkeit fließt mit 2,4 m/s Geschwindigkeit in einem Rohr mit einem Durchmesser
von 25 mm. Laminare oder turbulente Strömung können wir feststellen, wenn die
Viskosität der Flüssigkeit 0,41 Pas und die Dichte 820 kg/m3 beträgt?
R = (2.4*820*12.5*10-3) / 0.41 = 60
Laminare Strömung
Druck
Aorta
Arterien Arteriolen Kapillaren
Venen
Das Stokessche Reibungsgesetz
FR = 6 · π ·η ·r· v
Das Gesetz von Hagen-Poiseuille
FR
FA
Betrachtet man eine Kugel, welche in eine Flüssigkeit fällt, so wird diese aufgrund
der wirkenden Schwerkraft nach unten beschleunigt. Allerdings wird die
Beschleunigung immer kleiner, je schneller die Kugel sinkt, bis sich diese nur
noch mit einer konstanten Geschwindigkeit durch die Flüssigkeit bewegt.
Die aneinander reibenden Flüssigkeitsschichten erzeugen eine der Bewegung
entgegengesetzte Reibungskraft, deren Betrag proportional zu r, v und der
Viskosität der Flüssigkeit η ist. Die Schwerkraft wird von der Reibungskraft
kompensiert.
Die Volumenstromstärke IV durch ein Rohr ist umgekehrt proportional zur
Viskostität η und zur Länge l, sowie direkt proportional zur Druckdifferenz
∆p=p1−p2 an den Rohrenden und zur vierten Potenz des Rohrradius r:
Q
r 4 p
8 l
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Das Pechtropfenexperiment ist ein Langzeitversuch zur Beobachtung des
Tropfverhaltens von Pech, einem bei Zimmertemperatur superzähen Stoff, der
augenscheinlich ein Feststoff ist.
(Thomas Parnell, University of Queensland, 1927)
DANKE FÜR IHRE
AUFMERKSAMKEIT!
Die Viskosität von Pech ist 2,3×1011 größer als
des Wassers.
Datum
Ereignis
1927
Experiment wurde
vorbereitet
1930
Trichter wurde geöffnet
Dauer (Monate)
Dezember 1938
1. Tropfen fiel
96–107
Februar 1947
2. Tropfen fiel
99
April 1954
3. Tropfen fiel
86
Mai 1962
4. Tropfen fiel
97
August 1970
5. Tropfen fiel
99
April 1979
6. Tropfen fiel
104
Juli 1988
7. Tropfen fiel
111
28. November
2000
8. Tropfen fiel
148
9. Tropfen berührte den
8. Tropfen
158
April 2014
http://smp.uq.edu.au/content/pitch-drop-experiment
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