PH1. Die Strömung einer zähen Flüssigkeit

PROMOTE MSc
UNIT DESCRIPTOR – PHYSIK 1
Titel der Einheit
Die Strömung einer zähen Flüssigkeit
Stoffgebiet
Mechanik
Name und Email des
Einsenders
Renata Holubova
[email protected]
Ziel der Einheit
Die Einheit beschreibt die Grundgesetze der Strömungsmechanik.
Interdisziplinäre Beziehungen werden gezeigt – z.B. Blutfluss. Ein
Laborexperiment wird durchgeführt.
Inhalt
Laminare Strömung, turbulente Strömung, Poiseuille’sches Gesetz,
Reynoldszahl.
Voraussetzungen
Internet-Zugang
Bemerkungen
Die Einheit beinhaltet ein Laborexperiment. Die praktische
Aktivität führt zu einem Verständnis des Gesetzes und seiner
Anwendung in Technologie und Medizin. Interdisziplinäre
Beziehungen werden aufgezeigt. Weitere Anwendungen können
gezeigt werden – z.B. Ausbreitung von Umweltverschmutzungen.
PH1 – 1
Laminare und turbulente Strömung
Mittelschule (16–17jahre)
4 Unterrichtseinheiten (davon 2 Stunden Laborarbeit)
Inhalt: 1. Laminare Strömung
2. Gesetz von Poiseuille
3. Turbulente Strömung
4. Reynolds Nummer
Motivation:
Wirbelsturm in eine Flasche: Wie kann man das Wasser in die untere Flasche bekommen?
Luftwirbel: Lösch die Kerze aus!
Laminare Strömung
Ideale Fluide – Reibungsfreiheit – d.h.zwischen zwei parallel zueinander bewegten
Flüssigkeitsschichten treten keine Kräfte auf. Die Geschwindigkeit der Strömung ist konstant.
Die Viskosität ist gleich Null.
Reale Flüssigkeiten und Strömungen – Existenz der Viskosität. In der Mitte des
Rohres ist die Geschwindigkeit der Strömung maximal.
Wie kann man erklären, was ist Viskosität?
Für die Definition der Zähigkeit stellt man sich vor, dass die Flüssigkeit aus Schichten
aufgebaut ist. Die utere Platte beilbt in Ruhe, während die obere verschoben wird. Bei realen
Flüssigkeiten wird der Bewegung der Platte eine Reibungskraft entgegengesetzt. Jede Schicht
der Flüssigkeit reibt an ihren Nachbarschichten (sog. Scherung). Um den Widerstand zu
überwinden muss eine Kraft ausgeübt werden
F=
ηSv
y
,
wo S die Fläche der Schicht bedeutet, v ist die Geschwindigkeit, y die Verschiebung und η ist
die sog. Zähigkeit, oder dynamische Viskosität.
Einheit der Viskosität: Pa · s
Andere Einheiten: poise (P)
1 poise = 0,1 Pa · s
PH1 – 2
Jean Poiseulle (1797–1869) – französischer Physiker, er studierte die Bewegungen der
Flüssigkeiten in Röhren, er beschrieb die Gesetze der Blutströmung in unserem Körper.
Viskostät verschiedener Stoffe:
Bei normalen Bedingungen ist die Viskosität der Gase kleiner als die der
Flüssigkeiten. Die Viskosität ist von der Temperatur abhängig – bei Flüssigkeiten sink die
Viskosität mit zunehmender Temperatur, bei Gasen wächst die Viskosität mit zunehmender
Temperatur.
Viskostät
Wasser (20 oC)
Benzen C6H6
Ethanol C2H6O
Glycerol C3H8O3
Blut (37 oC)
Luft (18 oC)
1,00 · 10-3 Pa · s
0,65 · 10-3 Pa · s
1,20 · 10-3 Pa · s
1480,00 · 10-3 Pa · s
5,00 · 10-3 Pa · s
0,019 · 10-3 Pa · s
Laminare Strömung ist kennzeichnend für die Bewegung des Erdöls in der Pipeline.
Man soll die Menge der Flüssigkeit bestimmen, die durch einen Querschnitt des
Rohres während eines Zeitintervalls durchfliesst , das sog. Durchflussvolumen Q (m3/s). Q ist
dem Druckunterschied P2 – P1 zweier verschiedener Stellen proportional, ein längeres Rohr
führt zum grösseren Flusswiderstand als ein kürzeres Rohr. Die Flüssigkeiten, die eine hohe
Viskosität haben, fliesen langsammer als die, deren Viskosität niedrig ist. Das
Durchflussvolumen steigt mit der 4 Potenz des Radiuses.
Das Hagen-Poiseuille-Gesetz
Q=
πr 4 ( P2 − P1 )
8ηL
wo η die Viskosität bedeutet, r ist der Radius des Rohres, L die Länge des Rohres, P2 und P1
ist der Druck auf beiden Eden des Rohres.
Modell der laminaren Strömung – die Poiseuille Gleichung
R=
8ηL
πr 4
PH1 – 3
Das Modell wird für seine mathematische Einfachkeit erwähnt.
Die Lehre über die Strömung der Flüssigkeiten hat eine weite Anwendung, zum
Beispiel in der Medizin. Hier wird die erste Aproximation des Modells appliziert.
Das Hagen-Poiseuille-Gesetz kann man als eine Analogie des Ohmschen Gesetzes
betrachten. Die Änderung der Spannung ∆V ist abhängig vom dem elektrischen Widerstand R
und dem Strom I
∆V = R I
Je grösser der Strom (der elektrische Fluss) oder der Widerstand, desto höhere Spannung wird
benötigt. Die Kalkulation des Flusses der Flüssigkeiten kann als eine Analogie der
elektrischen Ohmschen Schaltung betrachtet werden. In diesem Modell ist ∆V analog zu ∆P,
R=
8ηL
, und ∆P = Q R..
πr 4
Der Flusswiderstand steigt linear mit der Länge des Rohres, aber verhält sich
umgekehrt proportional zur 4 Potenz des Radiuses. Z.B. ein Rohr mit einem Radius 1 cm hat
16mal grösseren Flusswiderstand als ein Rohr, dessen Radius 2 cm beträgt (die Länge und der
Fluss bleiben erhalten).
Das Durchflussvolumen 100 cm3 /s kann man ändern:
Zweifache Länge ……. Durchflussvolumen 50 cm3/s
Zweifache Viskosität
50 cm3/s
Zweifacher Druck
200 cm3/s
Zweifacher Radius
1600 cm3/s
Beispiel: Eine Okklusion der Aorta
Okklusion
0%
20 %
50 %
80 %
Druck 120 mmHg
100 cm3/s
41 cm3/s
6,3 cm3/s
0,16 cm3/s
Druck der benötigt wird für Wiederherstellung
des Durchflusses
120 mmHg
293 mmHg
1920 mmHg
75 000 mmHg
Turbulente Strömung
Die Flussigkeitselemente bewegen sich nicht mehr nur in Hauptströmungsrichtung,
sondern auch quer zu ihr.
Wann überschlägt sich die laminare Strömung in eine turbulente? Der Űberschlag wir
durch die Reynoldszahl bestimmt
ρrv
R=
,
η
wo v die kritische Geschwindigkeit bedeutet. Für Wasser beträgt R ~ 2000. Wasser in einem
Rohr, dessen Radius 2 cm ist (Gartenschlauch), hat eine kritische Geschwindigkeit
PH1 – 4
1.10 −3 N ⋅ s/m 2
= 0,1 m/s = 10 cm/s. In Wirklichkeit beträgt die Geschwindigkeit
10 3 kg/m 3 0,02m
1 m/s und die Strömung ist turbulent.
vc = 2000
Űbungen:
1. Für die Strömung des Wassers durch ein Rohr mit dem Radius 6,8 · 10–3 m wird ein
Druckunterschied von 1,5 · 103 Pa benötigt. Das Durchflussvolumen des Wassers ist
3,2 · 10–4 m3/s. Wie lang ist das Rohr? Viskosität des Wassers ist η = 1 · 10–3 Pa.s.
2. Die Schlagader hat eine Länge 0,1 m a der Radius ist 1,5.10-3 m. Das
Durchflussvolumen des Blutes beträgt 1 · 10–7 m3/s. Wie gross ist der
Druckunterschied auf beiden Eden der Ader? Viskosität des Blutes η = 4 · 10–3 Pa · s.
3. Rechne die maximale Geschwindigkeit des Blutes in einer Schlagader, damit der Fluss
laminar bleibt. (R = 8 · 10–3 m, ρ = 1060 kg · m–3)
Laborarbeit
Es wird eine laminare Strömung studiert. Es wird der Flusswiderstand gemessen verschiedener Kapillaren, zweier Kapillaren paralell und
in der Reihe verbunden.
Messungsergebnisse werden mit den theoretischen Voraussetzungen verglichen.
Material: 2 Bechergläser, Kapillaren, Schlauch, Stoppuhr, Wasserbehälter
Vorgang:
Wir studieren den Fluss einer idealen Flüssigkeit durch eine Kapillare aus Glas. Es gilt
ρrv
.
∆P = R Q, R =
η
Der Wasserbehälter wird in einer Höhe h plaziert. Die Kapillare wird waagrecht
befestigt und mit einem Schlauch mit dem Ausfluss des Wasserbehälters verbunden. Der
Druckunterschied ist dann gleich dem hydrostatischen Druck hρg, ρ ist die Dichte des
Wassers. Das Wasser fliesst in einen kalibrierten Behälter (die Masse kann auch auf einer
Waage bestimmt werden). Es wird die Zeit gemessen und der Radius der Kapillare. Das
Durchflussvolumen wird berechnet. Der Wasserstand im Behälter muss konstant bleiben.
Es wird gemessen: der Fluss durch Kapillaren gleicher Länge und verschiedenen Radius,
gleichem Radius aber verschiedener Länge, eine Kapillare wird in verschieder Höhe plaziert
(die Temperatur, die Dichte des Wassers, die Feuchtigkeit sind konstant). Im zweiten Teil der
Laborarbeit wird die Analogie zum Ohmschen Gesetz gemessen – gleiche Kapillaren werden
in Reihe und paralell verbunden und es wird das Durchflussvolumen gemessen und mit der
Theorie verglichen.
Animation:
http://www.physik.uni-wuerzburg.de/physikonline.htmlhttp://pen.physik.unikl.de/medien/MM_Videos/index.html
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