Physikalisches Anfaengerpraktikum Viskosität
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Physikalisches Anfaengerpraktikum Viskosität Ausarbeitung von Constantin Tomaras & David Weisgerber (Gruppe 10) Montag, 21. November 2005 eMail: [email protected] 1 (1) Einleitung Im Zuge unseres Praktikums durften wir diese Woche auf einige Arten eine wichtige Materialkonstante bestimmen, die Viskosität. Wichtig ist die Viskosität vor allem für Leute die gerne Honigbrote essen,den Honig aber aufgrund seines widerspenstigen Verhaltens nicht nur auf ihrem Brot platzieren. Andere die gerne mit dem Honig ein wenige herumspielen werden feststellen,dass dessen Stroemungsverhalten sehr stark variieren kann. Je nach Küchentemperatur,der Fallhöhe vom Löffel oder Spender bis zum Brot, und auch nach Art des Gefäßes aus dem er ausströmt, ändert der auftreffende Klecks seine Form (vom Kegel bis zum Schneckengewinde kann einiges an Formen beobachtet werden). Man muss also einsehen dass die Viskosität keine wirkliche Konstante ist, sondern auf sensible Weise von den Wechselwirkungen mit der Umgebung abhängt. In der klassischen Mechanik versucht man sich der Zähigkeit idealisiert zu nähern. Der theoretische Rahmen in dem Gesetze wie Stokesreibung und Hagen PoisuillePoisuille Gültigkeit besitzen beschränkt uns auch im Experiment: Entfernen wir uns aus diesem handeln wir uns augenblicklich systematische Fehler ein. (2) Das Kugelfallviskosimeter i) Theorie Eine Kugel vom Radius R fällt mit der Startgeschwindigkeit 0 in ein Becken mit einer zähen Flüssigkeit. Dabei wirken folgende Kräfte: • • • Schwerkraft: −m⋅g Auftriebskraft fluid⋅V Kugel⋅g Das Stokes´sche Reibungsgesetz: F r =6⋅⋅⋅Rk⋅v 0 2 m ẍ=−m⋅g fl⋅V K⋅g −6⋅⋅⋅RK⋅v 0 6⋅⋅⋅R K ẍ=−g fl⋅g − ⋅ẋ m K fl a=1− K 6⋅⋅⋅R K b= m ẍ=a⋅g−b⋅ẋ ẋ d =b⋅dt a⋅g − ẋ b a⋅g ln − ẋ =−b⋅t b a⋅g −b⋅t − ẋ=C⋅e b a⋅g −b⋅t ẋ= −C⋅e b a⋅g a⋅g ẋ 0=0= −C ⇒C= b b a⋅g −b⋅t ẋ= 1−e b Ist die Auftriebskraft und die Reibungskraft gleich der Gewichtskraft, so bewegt sich die Kugel mit einer konstanten Geschwindigkeit v(0), dies ist der stationäre Fall. Wir geben zu bedenken, dass das Stokes´sche Gesetz nur für diesen Fall experimentell ermittelt wurde. Nach dem Lösen der Differentialgleichung m ẍ=∑ F i i wie oben beschrieben, erwartet man einen "gedämpften exponentiellen Anstieg" der Geschwindigkeit beim eintauchen in die Flüssigkeit, bis auf eine stationäre Endgeschwindigkeit. In einem korrekten Experiment hätte immer der stationäre Fall abgewartet werden müssen. Unsere Messungen bestanden aber lediglich darin die Fallzeit der einzelnen Kugeln zwischen zwei am Zylinder vorgefertigten Marken zu messen. Mit dem Auge ist dabei eine deutliche Beschleunigung der Kugeln erkennbar. Die Viskosität wird dann aus dem Kräftegleichgewicht nach F g =F RF A 2⋅Rk⋅g ⇒= 9⋅ v bestimmt. 3 ii) Durchführung Im Kugelfallviskosimeter befindet sich Glycerin dessen Viskosität es auf oben beschriebene Art und Weise zu messen gilt. Die Durchfallstrecke wurde zu 35 cm bestimmt. Die Temperatur der Flüssigkeit wurde auf 20,7° C gemessen. Die Kugeln werden durch eine Einlassröhre möglichst parallel zur Zylinderachse in das Fallrohr gebracht, mit einem Sieb können sie wieder entfernt werden. Das Gewicht von 10 Kugeln wurde auf 2,9309 g bestimmt,dadurch werden mögliche Störrungen der Waage aufgrund des geringen Gewichts einer Kugel minimiert. Mit einer Messleere wurde der Kugeldurchmesser auf 6,34 mm gemessen. g Die Dichte des Glycerins wurde mit einem Aräometer auf 1,230 bestimmt. ml 3 3 Die Dichte der Kugeln wird aus dem Kugelvolumen nach V K = ⋅ r errechnet. 4 Dann endlich wird eine Kugel in den Zylinder geworfen,die Fallzeit wird peinlichst genau ( ±0,3 s ) durch drücken der Stoppuhr beim passieren der Marken ermittelt. Die Messung wird 10 mal wiederholt. Die gemessenen Zeitwerte liegen relativ nahe beieinander. m=0,29309 g m=0,091 g d K =6,34 mm ⇒ r K =3,17 mm r K =0,03 mm 4 V K = r 3K⋅=133,43 mm3 3 0,2931 g g K = =2,1966 3 h=35 cm±0,3 cm 3 0,13343 cm cm h t 35 cm cm v 1= =10,9375 =v 2=v 7=v 8=v 10 3,2 s s 35 cm cm v 3= =10,606 =v 5=v 6 3,3 s s 35cm cm v 4= =11,29 =v 9 3,1 s s 1 cm cm cm cm v = ⋅5⋅10,9375 3⋅10,606 2⋅11,29 =10,9086 10 s s s s g g g g fl =1,23 ±0,05 3 =1,23 3 ±0,05 3 ml cm cm cm m 2 2 2⋅3,17 mm ⋅9,81 2 2⋅Rk⋅g s = = =194,1 m Pa s 9⋅ v cm 9⋅10,9086 s v= 4 Fehlerrechnung: Systematischer Fehler : t=0,3 s Reaktionszeit = K − fl 2⋅ r v 2⋅ r v K fl = = = r v r v mk 3⋅ RK ⋅ K fl 2⋅ R K h t mk RK = = RK h t 0,001 g 3⋅0,03 mm g g ⋅2,1966 3 0,05 3 2,9303 g 3,17 mm 2⋅0,03 mm 0,3 cm 0,3 s cm cm = = 3,17 mm 35 cm 3,18 s g 0,966 3 cm =0,2328 ⇒ =194,1 m Pa s±45,18 m Pa s Die Hauptursache für den hohen Fehler liegt in der schlechten Zeitmessung. Statistischer Fehler: t n x =s⋅ xi −x 2 ∑ n−1 =0,465 i=1 t=1,06 bei 10 Messwerte t=0,16 s ⇒ =27,17 m Pa s ⇒=194,1 m Pa s±67,25 m Pa s ~30% s= 1 Korrigierte Werte der Viskosität für Messungen im endlichen Zylinder: RRohr =26,59 mm±0,03 mm t =3,21 s 2⋅R2K g = ⋅ Kugel − fl =150,9188 m Pa RK 9⋅v stat⋅12,4 R 5 2 R K v stat K fl = RK v stat g fl =0,05 3 cm ⇒ =0,2378 der statistische Fehler ist der selbe wie oben. ⇒ =150,92 m Pa s±51,95 m Pa s Die Literaturwerte gehören zu 20°C. Unsere Messungen fanden ungefähr auch bei dieser Temperatur statt. (3) Viskosität und Strömungswiderstand i) Theorie Hagenpoiseuille-Gesetz Die beiden nächsten Versuche beziehen sich auf den Strömungseigenschaften von viskoser Materie in zylinderförmigen Rohren. Wir beginnen mit der Annahme dass an den Enden des Rohres irgendeine Art von Druckdifferenz anliegt, die Flüssigkeit wird also beschleunigt. Es soll nun aufgrund der Bewegung der Flüssigkeit irgendeine Form von Reibungskräften wirken, die der Strömung entgegen gerichtet ist. Die Reibungskräfte könnten sehr komplex sein, beispielsweise könnte die Geschwindigkeitsverteilung im Rohr einer Boltzmannverteilung ähneln (wie bei elektrischen Leitern) oder wir postulieren eine Art Minimalprinzip nach dem sich die Geschwindigkeiten ausrichten müssten. Die Art wie es tatsächlich gemacht wird ist, dass wir annehmen dass die Reibungskräfte in der Flüssigkeit nur tangential wirken. Auf diese Art kann das Rohr mathematisch in differentielle „Äquizylindergeschwindigkeitsflächen“ unterteilt werden. Die Geschwindigkeit eines Massenpunkts in der Leitung hängt also nur vom Abstand zur Zylinderwand ab. Diese Strömungsart wird als Laminar bezeichnet. Experimentell wird verifiziert dass zum Scheren solch laminarer Flüssigkeitsschichten die Kraft du F r =n⋅A⋅ notwendig ist. dr Wir identifizieren diese als die Reibungskraft unseres Rohrproblems. 6 F r = p⋅A du − 2 r ⋅L =r 2 p dr p p r2 U r =∫ ⋅r⋅drC= ⋅ 2 L 2L 2 − p⋅R2 U R=0= =C 2 l 2 p 2 2 U r= ⋅ R −r 4l 2 r dr R2−r 2 d V rdr=2 r dr⋅U = ⋅ p dt 4 l R R4 p V =t ∫ 2 r u dr= ⋅t 8 l 0 4 8 l dV R i= = ⋅ p W := dt 8 l R4 Durch den Ansatz und anschließendes Integrieren mit der Randbedingung dass u(R)=0 ist erhalten wir den Zusammenhang zwischen angelegter Druckdifferenz und Rohrströmung. Der Teil der Gleichung wird Strömungswiderstand genannt. Dieses Hagenpoiseuille-Gesetz ist natürlich falsch wenn keine laminare Strömung herrschte. Eine wichtige Bedingung dafür ist dass die aus den Navier-Stokes-Gleichungen folgende Reynoldszahl kleiner als 2000 ist. Für den Strömungswiderstand gelten die selben Rechenregeln wie für den elektrischen. Das Kapilarviskosimeter Im ersten Versuch zum Hagenpoiseuille-Gesetz wurde jeweils einmal Luft und einmal Wasser mit einer Spritze schnellstmöglich durch eine Injektionskanüle gejagt. Im Fall von Luft begeht man dabei einen ziemlich groben systematischen Fehler da im Hagenpoiseuille-Gesetz eine konstante Dichte angenommen wird. Durch das Komprimieren der Luft im Kolben ändert diese ihre Dichte, beim Übergang durch die Kanüle zu Normaldruck, was eine zusätzliche Änderung des Volumenstroms zur Folge hat. Einen zusätzlichen Fehler begeht der Experimentator indem es ihm unmöglich ist die Kraft auf den Kolben konstant zu halten. Ein weiterer Fehler ist dass die Spritze auch unmöglich ruhig gehalten werden kann was zu Turbulenzen im Kolben führt. Man sieht dass dieser Versuch also nur ein qualitativer ist. Als erstes wird die Druckdifferenz bestimmt die der Drücker drücken kann. Der Kolben wird mit 50 ml Luft gefüllt. Mit dem Daumen wird die Spritze verschlossen und so stark wie möglich komprimiert. Aus dem Boyle-Mariotschen-Gesetz kann man dann die Druckdifferenz zu p 2− pnormal bestimmen. Im Versuch mit Luft werden 50 ml Luft angesaugt und dann die Zeit genommen die der Experimentator benötigt den Kolben vollständig zu entleeren. Das gleiche wird mit 5ml deionisiertem Wasser wiederholt. 7 4 v r p i= = t 8 l p über : p 1 V 1= p2 V 2 p V p= p2− p1= 1 1 − p1=2283,15 hPa V2 Radius aus Aufrißpackung (grob geschätzt ein Viertel des Aussendurchmessers): Kanüle A: d aussen =0,4 mm L=19 mm r=0,1 mm mit Wasser: t 1=21,7 s t 2 =22,3 s t 3=22,9 s t 4=21,4 s t =22,073 s 4 −4 4 r p t ⋅10 mm ⋅2883,15 hPa 22,073 s W = ⋅ = ⋅ =0,00263 Pa s 8l v 8⋅19 mm 5000 mm 3 Systematischer Fehler : t=0,3 s Reaktionszeit r=0,025 V =0,5 ml Ablesefehler p =5 % p 2 r t l V p 1 p 2 = = r t l V p p1 V 1 V 2 2 r t l V = p1 ⋅p2= r t l V p1 V1 V2 0,05 0,5 0,5 p1 0,5 0,5 p 2 = 5 % ⋅ =0,77=77 % 0,1 22,075 5 50 13 p p statistisch : 1 t =s⋅ n t i−t 2 ∑ 3 i =1 t=1,20 für n=4 t=0,383 W =0,00045 W =0,00263±0,02071 Pa s s= 4 mit Luft (analoge Rechnung zu Kanüle mit Wasser) : 8 L =0,00006852 Pa s t =5,75 s L =51,53% Statistischer Fehler : t =0,0916 s L=0,0000010916 Pa s −4 −4 L =0,6852⋅10 Pa s±0,3639⋅10 Pa s Kanüle B: d aussen =0,5 mm L=25 mm r=0,125 mm r=0,03125 mm mit Wasser: t =8,075 s w =0,001786 Pa s Systematischer Fehler : =0,6795=67,95 % Statistischer Fehler : t =0,10246 s W =5,201⋅10−8 Pa s W =0,001786 Pa s±0,0012136 Pa s mit Luft: t =2,4 s L =0,00003142 Pa s Systematischer Fehler : =73% Statistischer Fehler : t =0,048 s =1,08327⋅10−6 Pa s L=3,142⋅10−5 Pa s±2,40166⋅10−5 Pa s Die Literaturwerte entsprechen für Luft: und für Wasser: W =1,002 m Pa s L=0,0182 m Pa s 9 (4) Strömungswiderstand zweier Kanülen mittels Schweredruck Ein Wassertank wird auf verschiedenen Höhen aufgehängt. Durch einen Schlauch wird das Wasser durch die jeweilige Kanüle in ein Vorratsgefäß geleitet. Nach 2 Minuten wird jeweils die Flüssigkeitsmenge im Gefäß gewogen. Auch hier versteckt sich in unserem Versuchsaufbau ein kleiner systematischer Fehler. Der Druck unter einer Flüssigkeitssäule ist bekanntlich proportional zu ihrer Höhe: p= g h Die Höhe aber sinkt natürlich ein wenig wenn wir Flüssigkeit entweichen lassen. Stellen wir die Differentialgleichung nach dem HPG auf erwarten wir tatsächlich wieder exponentielles Verhalten. dV dh h = A⋅ =− g dt dt W dh g ⇒ =− ⋅dt h WA t ln h=− g C WA − g h=e t W A ⋅C0 ⇒ h0=h 0=C 0 − g ht =e t WA ⋅h0 Dieses ist aber linearisierbar wenn angenommen wird ,dass h klein gegenüber h ist und der Druck somit beinahe konstant bleibt. Dieser systematische Fehler nimmt dann mit zunehmender Höhe ab. In einem Diagramm werden Druckdifferenz und Volumenstrom gegeneinander aufgetragen. Der Strömungswiderstand lässt sich dann in Form der Ausgleichsgeraden ablesen. W= p dV dt Strom in ml/min Hoehendruck Kanüle A: 0,4837 0,6378 1,1877 1,3881 0,7042 in Pa 5,5101 7,1828 12,5945 15,0543 11,1186 Kanüle B: 1,6244 0,8834 0,2096 3,4554 4,1232 11,1186 6,3956 4,9197 12,5945 14,7591 10 16 Kanuele A 15 14 Hoehendruck in Pa 13 12 11 10 9 8 7 6 1,4 1,3 1,2 1,1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 5 Volumenstrom in ml/min y*=a+bx a b ∆a ∆b 2,023062 9,393386 2,032655 2,148798 15 y-Achsen-Abschnitt Steigung Standardabweichung von a Standardabweichung von b Kanuele B 14 13 11 10 9 8 7 6 5 Volumenstrom in ml/min y*=a+bx a b ∆a ∆b 5,069001 2,373980 1,101493 0,432684 y-Achsen-Abschnitt Steigung Standardabweichung von a Standardabweichung von b 11 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 4 0 Hoehendruck in Pa 12 Kanuele A: Pa s Pa s W 1=563,591 ±128,928 ml ml Kanuele B : Pa s Pa s W 2=142,439 ±25,961 ml ml Mit Hilfe der Innenradien der beiden Kanülen, die mittels einem Mikroskops gemessen wurden ist es nun möglich aus den beiden Werten die Viskosität des Wassers zu berechnen: 100 Skalenteile≡1,058 mm Kanüle A : d =16,5 Skt±0,5 Skt≡0,175 mm±5,29⋅10−3 mm Kanüle B : d =28 Skt±0,5 Skt≡0,296 mm±5,29⋅10−3 mm W r4 = 8l Pa s 563,591 ⋅⋅0,0873 4 mm4 ml A= =0,676 m Pa s 8⋅19 mm Pa s 142,439 ⋅⋅0,148 4 mm4 ml B= =1,077 m Pa s 8⋅25 mm Fehlerrechnung : W 2⋅ r = W r ⇒ A=0,676 m Pa s±0,196 m Pa s ⇒ B=1,077 m Pa s±0,235 m Pa s Trotz der recht hohen Fehlertoleranz liegt der Wert für Kanüle A bei Zimmertemperatur immer noch nicht im Bereich der Literaturwerte. Bei Kanüle B mussten wir wegen andauernder Verstopfung die Kanüle wechseln was uns wohl insgesamt bessere Messwerte einbrachte und einen Wert mit dem wir sehr nah an den Literaturwerten von 1 m Pa s liegen. Verstopfung könnte natürlich der Grund für den zu niedrigen Wert bei Kanüle B sein. 12 (5) Ubbelohde Viskosimeter Aufgrund starken Zeitmangels wurde der Versuch als Gruppenversuch durchgeführt. Bei diesem Viskosimeter muss nur die Zeit gemessen werden die eine Probeflüssigkeit zum Durchlaufen eines Rohrabschnitts benötigt. Alle anderen Daten befinden sich in der Gerätekonstanten K. t 1=5,52 min t 2=5,54 min t 3=5,55 min K =0,002823 T =20,6 ° C kinetische Viskositaet v=K⋅t =0,002823⋅5∗6054=0,999 m2 s ⇒=v⋅=1,0023 m Pa s Wichtig bei dieser Art Viskosimeter, die auch heute noch gerne Verwendung finden um die Viskosität von Wasser zu bestimmen, ist eine korrekte Temperatur. Hierzu wird in unserem Versuch sogar ein spezielles Thermostat verwendet. Zur Durchführung des Versuchs wird mit Hilfe einer Wasserstrahlpumpe die Probeflüssigkeit auf eine gewisse Höhe im U-förmigen Rohr des Ubbelohde Viskosimeter gebracht. Danach fällt der Wasserpegel sofort wieder ab und die Zeit, die der Wasserpegel braucht um zwischen zwei vordefinierten Punkten zu fallen wird gemessen. Der so erhaltene Wert entspricht ziemlich exakt den Literaturwerten für die Flüssigkeit von Wasser. (6) Fragen 1) Bei der Blutsenkung misst man die Sinkgeschwindigkeit der Erythrozyten im Blutplasma. Eine erhöhte Sinkgeschwindigkeit liefert Hinweise auf Entzündungen und vermehrten Gewebszerfall (Tumore). Bestimmen Sie unter den idealisierten Bedingungen: 1. Die Erythrozyten sind Kugeln, sie fallen 2. in einem unbegrenzten Raum 3. in einer NEWTON'schen Flüssigkeit; den Radius der Erythrozyten! ρEry = 1,096g/cm3; ρPlasma = 1,027g/cm3 ; ηPlasma = 1,73mPas BlutSenkungsGeschwindigkeit Männer = 3-6mm/h; BSG Frauen = 8-10mm/h Bestimmen Sie die Reynoldszahl! Treten Wirbel auf? 2r g ⋅k − fl 9v 9v ⇒ r= 2g k − fl ⇒ r Männer =5,1 m−6 ⇒ r Frauen =10,3 m−6 = 13 R= r⋅ fl⋅v −5 ≈4,26⋅10 Da die Reynolds-Zahl kleiner als 1 ist, treten keine Wirbel auf und man kann von laminarer Strömung ausgehen. 2) Wie ändert sich der Gefäßwiderstand bei Halbierung des Kapillardurchmessers? Diskutieren Sie die Folgen der Arterienverkalkung! 8 l d 4 2 8l 8l W verkalkt = =16⋅ =16⋅W normal 4 d d 4 4 2 W normal = Bei einer Halbierung des Durchmessers wird gleichzeitig der Widerstand um das 16-fache größer da hier der Radius in der 4. Potenz eingeht. Die Folgen einer Arterienverkalkung sind sehr gefährlich und sollten nicht unterschätzt werden. 3) Wie groß ist die Reynoldszahl in der Aorta für die mittlere Blutgeschwindigkeit vmittel = 40cm/s und die maximale systolische Geschwindigkeit vmax = 120cm/s. Welche Strömungsart erwarten Sie? Von welcher Blutgeschwindigkeit an gibt es sicher turbulente Strömung? rAorta = 1,2cm; ρVollblut = 1,06g/cm3. =3,5 m Pa s r⋅ ⋅v Rmittel = blut =1453 Rmax =4361 Ich erwarte bei mittleren Blutgeschwindigkeiten laminare Strömung die allerdings bei hohen Blutgeschwindigkeiten zu turbolenter Strömung übergehen kann. Ab einer Blutgeschwindigkeit von Rkrit⋅ cm v= =63,8 mit Rkrit =2320 r⋅ blut s erwarte ich turbolente Strömung. 14 4) Welche Viskosität der Luft berechnen Sie aus der Höchstgeschwindigkeit eines Fallschirmspringers im freien Fall? Machen Sie ergänzende Annahmen. Was fällt Ihnen auf? Berechnen Sie die Reynoldszahl! v=55 m s g da der Mensch zu 65% aus Wasser besteht cm3 mit diesen Angaben kann man den Radius schätzen den ein Mensch als Kugel annehmen würde: m m = = V 4 3 r 3 1 3 ⋅m 3 4 ⇒ r= =25 cm 2r g ⇒= ⋅k − luft =0,011 Pa s 9v Die Dichte schätze ich auf Mensch=1,2 Der ermittelte Wert ist doch um einige Größenordnungen zu groß im Gegensatz zu den Literaturwerten. Ich vermute das liegt daran, dass bei dieser Geschwindigkeit laminare Strömung nicht mehr anzunehmen ist. R= r⋅ Luft⋅v =9665 Was meine Vermutung bestätigt 5) Berechnen Sie die Reynoldszahl bei normaler Atmung durch die Nase, indem Sie den Radius der Nasenlöcher schätzen. Bei normaler Ruheatmung atmet man ca. 15 mal pro Minute jedes Mal ca. 0,5 Liter Luft (Dichte von Luft ρL = 1,29·10-3g/cm3). Versuchen Sie abzuschätzen, ob bei verstärkter Atmung turbulente Strömung in den Nasenlöchern erreicht wird. r Nasenloch=0,75 cm 15 ⋅0,5 dm3 60s v= =7,07 r2 Bei dieser niedrigen Reynolds-Zahl wird man wohl auch bei verstärkter Atmung niemals turbolente Strömung erreichen. 15
