Physikalisches Anfaengerpraktikum Viskosität

Physikalisches Anfaengerpraktikum
Viskosität
Ausarbeitung von
Constantin Tomaras & David Weisgerber
(Gruppe 10)
Montag, 21. November 2005
eMail:
[email protected]
1
(1) Einleitung
Im Zuge unseres Praktikums durften wir diese Woche auf einige Arten eine wichtige
Materialkonstante bestimmen, die Viskosität.
Wichtig ist die Viskosität vor allem für Leute die gerne Honigbrote essen,den Honig
aber aufgrund seines widerspenstigen Verhaltens nicht nur auf ihrem Brot platzieren.
Andere die gerne mit dem Honig ein wenige herumspielen werden feststellen,dass dessen
Stroemungsverhalten sehr stark variieren kann. Je nach Küchentemperatur,der Fallhöhe
vom Löffel oder Spender bis zum Brot, und auch nach Art des Gefäßes aus dem er
ausströmt, ändert der auftreffende Klecks seine Form (vom Kegel bis zum
Schneckengewinde kann einiges an Formen beobachtet werden).
Man muss also einsehen dass die Viskosität keine wirkliche Konstante ist, sondern auf
sensible Weise von den Wechselwirkungen mit der Umgebung abhängt.
In der klassischen Mechanik versucht man sich der Zähigkeit idealisiert zu nähern.
Der theoretische Rahmen in dem Gesetze wie Stokesreibung und Hagen PoisuillePoisuille Gültigkeit besitzen beschränkt uns auch im Experiment: Entfernen wir uns aus
diesem handeln wir uns augenblicklich systematische Fehler ein.
(2) Das Kugelfallviskosimeter
i) Theorie
Eine Kugel vom Radius R fällt mit der Startgeschwindigkeit 0 in ein Becken mit einer
zähen Flüssigkeit. Dabei wirken folgende Kräfte:
•
•
•
Schwerkraft: −m⋅g
Auftriebskraft  fluid⋅V Kugel⋅g
Das Stokes´sche Reibungsgesetz:
F r =6⋅⋅⋅Rk⋅v 0
2
m ẍ=−m⋅g  fl⋅V K⋅g −6⋅⋅⋅RK⋅v 0

6⋅⋅⋅R K
ẍ=−g  fl⋅g −
⋅ẋ
m
K
 fl
a=1−
K
6⋅⋅⋅R K
b=
m
ẍ=a⋅g−b⋅ẋ
ẋ
d
=b⋅dt
a⋅g
− ẋ
b
a⋅g
ln 
− ẋ =−b⋅t
b
a⋅g
−b⋅t
− ẋ=C⋅e
b
a⋅g
−b⋅t
ẋ=
−C⋅e
b
a⋅g
a⋅g
ẋ 0=0=
−C ⇒C=
b
b
a⋅g
−b⋅t
ẋ=
1−e 
b
Ist die Auftriebskraft und die Reibungskraft gleich der Gewichtskraft, so bewegt sich die
Kugel mit einer konstanten Geschwindigkeit v(0), dies ist der stationäre Fall.
Wir geben zu bedenken, dass das Stokes´sche Gesetz nur für diesen Fall experimentell
ermittelt wurde. Nach dem Lösen der Differentialgleichung
m ẍ=∑ F i
i
wie oben beschrieben, erwartet man einen "gedämpften exponentiellen Anstieg" der
Geschwindigkeit beim eintauchen in die Flüssigkeit, bis auf eine stationäre
Endgeschwindigkeit.
In einem korrekten Experiment hätte immer der stationäre Fall abgewartet werden
müssen.
Unsere Messungen bestanden aber lediglich darin die Fallzeit der einzelnen Kugeln
zwischen zwei am Zylinder vorgefertigten Marken zu messen. Mit dem Auge ist dabei eine
deutliche Beschleunigung der Kugeln erkennbar.
Die Viskosität wird dann aus dem Kräftegleichgewicht nach
F g =F RF A
2⋅Rk⋅g
⇒=
9⋅
v
bestimmt.
3
ii) Durchführung
Im Kugelfallviskosimeter befindet sich Glycerin dessen Viskosität es auf oben
beschriebene Art und Weise zu messen gilt.
Die Durchfallstrecke wurde zu 35 cm bestimmt. Die Temperatur der Flüssigkeit wurde auf
20,7° C gemessen.
Die Kugeln werden durch eine Einlassröhre möglichst parallel zur Zylinderachse in das
Fallrohr gebracht, mit einem Sieb können sie wieder entfernt werden.
Das Gewicht von 10 Kugeln wurde auf 2,9309 g bestimmt,dadurch werden mögliche
Störrungen der Waage aufgrund des geringen Gewichts einer Kugel minimiert.
Mit einer Messleere wurde der Kugeldurchmesser auf 6,34 mm gemessen.
g
Die Dichte des Glycerins wurde mit einem Aräometer auf 1,230
bestimmt.
ml
3
3
Die Dichte der Kugeln wird aus dem Kugelvolumen nach V K = ⋅ r errechnet.
4
Dann endlich wird eine Kugel in den Zylinder geworfen,die Fallzeit wird peinlichst genau (
±0,3 s ) durch drücken der Stoppuhr beim passieren der Marken ermittelt. Die Messung
wird 10 mal wiederholt. Die gemessenen Zeitwerte liegen relativ nahe beieinander.
m=0,29309 g  m=0,091 g
d K =6,34 mm ⇒ r K =3,17 mm  r K =0,03 mm
4
V K = r 3K⋅=133,43 mm3
3
0,2931 g
g
K =
=2,1966 3  h=35 cm±0,3 cm
3
0,13343 cm
cm
h
t
35 cm
cm
v 1=
=10,9375
=v 2=v 7=v 8=v 10
3,2 s
s
35 cm
cm
v 3=
=10,606
=v 5=v 6
3,3 s
s
35cm
cm
v 4=
=11,29
=v 9
3,1 s
s
1
cm
cm
cm
cm
v = ⋅5⋅10,9375
3⋅10,606
2⋅11,29
=10,9086

10
s
s
s
s
g
g
g
g
 fl =1,23 ±0,05 3 =1,23 3 ±0,05 3
ml
cm
cm
cm
m
2
2
2⋅3,17 mm ⋅9,81 2
2⋅Rk⋅g
s
=
=
=194,1 m Pa s
9⋅
v
cm
9⋅10,9086
s
v=
4
Fehlerrechnung:
Systematischer Fehler :
 t=0,3 s Reaktionszeit
 = K − fl
  2⋅ r  v    2⋅ r  v   K   fl
=


=


=

r
v

r
v

mk 3⋅ RK

⋅ K   fl
2⋅ R K  h  t
mk
RK
=

 
=
RK
h
t

0,001 g 3⋅0,03 mm
g
g


⋅2,1966 3 0,05 3
2,9303
g
3,17
mm
2⋅0,03 mm 0,3 cm 0,3 s
cm
cm
=



=
3,17 mm
35 cm 3,18 s
g
0,966 3
cm
=0,2328
⇒ =194,1 m Pa s±45,18 m Pa s

Die Hauptursache für den hohen Fehler liegt in der schlechten Zeitmessung.
Statistischer Fehler:
t
n
 x =s⋅

 xi −x 2
∑ n−1 =0,465
i=1
t=1,06 bei 10 Messwerte
 t=0,16 s ⇒ =27,17 m Pa s
⇒=194,1 m Pa s±67,25 m Pa s ~30%
s=
1
Korrigierte Werte der Viskosität für Messungen im endlichen Zylinder:
RRohr =26,59 mm±0,03 mm
t =3,21 s
2⋅R2K g
=
⋅ Kugel − fl =150,9188 m Pa
RK
9⋅v stat⋅12,4

R
5
  2 R K  v stat   K   fl
=



RK
v stat

g
  fl =0,05 3
cm

⇒
=0,2378

der statistische Fehler ist der selbe wie oben.
⇒ =150,92 m Pa s±51,95 m Pa s
Die Literaturwerte gehören zu 20°C. Unsere Messungen fanden ungefähr auch bei dieser
Temperatur statt.
(3) Viskosität und Strömungswiderstand
i) Theorie
Hagenpoiseuille-Gesetz
Die beiden nächsten Versuche beziehen sich auf den Strömungseigenschaften von
viskoser Materie in zylinderförmigen Rohren. Wir beginnen mit der Annahme dass an den
Enden des Rohres irgendeine Art von Druckdifferenz anliegt, die Flüssigkeit wird also
beschleunigt.
Es soll nun aufgrund der Bewegung der Flüssigkeit irgendeine Form von Reibungskräften
wirken, die der Strömung entgegen gerichtet ist. Die Reibungskräfte könnten sehr
komplex sein, beispielsweise könnte die Geschwindigkeitsverteilung im Rohr einer
Boltzmannverteilung ähneln (wie bei elektrischen Leitern) oder wir postulieren eine Art
Minimalprinzip nach dem sich die Geschwindigkeiten ausrichten müssten.
Die Art wie es tatsächlich gemacht wird ist, dass wir annehmen dass die Reibungskräfte in
der Flüssigkeit nur tangential wirken. Auf diese Art kann das Rohr mathematisch in
differentielle „Äquizylindergeschwindigkeitsflächen“ unterteilt werden. Die Geschwindigkeit
eines Massenpunkts in der Leitung hängt also nur vom Abstand zur Zylinderwand ab.
Diese Strömungsart wird als Laminar bezeichnet. Experimentell wird verifiziert dass zum
Scheren solch laminarer Flüssigkeitsschichten die Kraft
du
F r =n⋅A⋅
notwendig ist.
dr
Wir identifizieren diese als die Reibungskraft unseres Rohrproblems.
6
F r = p⋅A
du
− 2 r ⋅L =r 2  p
dr
p
 p r2
U r =∫
⋅r⋅drC=
⋅
2 L
2L 2
− p⋅R2
U  R=0=
=C
2 l 2
p 2 2
 U r=
⋅ R −r 
4l
2 r dr  R2−r 2
d
V  rdr=2 r dr⋅U =
⋅ p
dt
4 l
R
 R4  p
V =t ∫ 2  r u dr=
⋅t
8 l
0
4
8 l
dV  R
i=
=
⋅ p
W :=
dt 8  l
 R4
Durch den Ansatz und anschließendes Integrieren mit der Randbedingung dass u(R)=0 ist
erhalten wir den Zusammenhang zwischen angelegter Druckdifferenz und Rohrströmung.
Der Teil der Gleichung wird Strömungswiderstand genannt.
Dieses Hagenpoiseuille-Gesetz ist natürlich falsch wenn keine laminare Strömung
herrschte.
Eine wichtige Bedingung dafür ist dass die aus den Navier-Stokes-Gleichungen folgende
Reynoldszahl kleiner als 2000 ist. Für den Strömungswiderstand gelten die selben
Rechenregeln wie für den elektrischen.
Das Kapilarviskosimeter
Im ersten Versuch zum Hagenpoiseuille-Gesetz wurde jeweils einmal Luft und einmal
Wasser mit einer Spritze schnellstmöglich durch eine Injektionskanüle gejagt. Im Fall von
Luft begeht man dabei einen ziemlich groben systematischen Fehler da im
Hagenpoiseuille-Gesetz eine konstante Dichte angenommen wird. Durch das
Komprimieren der Luft im Kolben ändert diese ihre Dichte, beim Übergang durch die
Kanüle zu Normaldruck, was eine zusätzliche Änderung des Volumenstroms zur Folge
hat. Einen zusätzlichen Fehler begeht der Experimentator indem es ihm unmöglich ist die
Kraft auf den Kolben konstant zu halten. Ein weiterer Fehler ist dass die Spritze auch
unmöglich ruhig gehalten werden kann was zu Turbulenzen im Kolben führt. Man sieht
dass dieser Versuch also nur ein qualitativer ist.
Als erstes wird die Druckdifferenz bestimmt die der Drücker drücken kann.
Der Kolben wird mit 50 ml Luft gefüllt. Mit dem Daumen wird die Spritze verschlossen und
so stark wie möglich komprimiert. Aus dem Boyle-Mariotschen-Gesetz kann man dann die
Druckdifferenz zu p 2− pnormal bestimmen.
Im Versuch mit Luft werden 50 ml Luft angesaugt und dann die Zeit genommen die der
Experimentator benötigt den Kolben vollständig zu entleeren. Das gleiche wird mit 5ml
deionisiertem Wasser wiederholt.
7
4
v r  p
i= =
t
8 l
 p über : p 1 V 1= p2 V 2
p V
 p= p2− p1= 1 1 − p1=2283,15 hPa
V2
Radius aus Aufrißpackung (grob geschätzt ein Viertel des Aussendurchmessers):
Kanüle A:
d aussen =0,4 mm
L=19 mm
r=0,1 mm
mit Wasser:
t 1=21,7 s t 2 =22,3 s t 3=22,9 s t 4=21,4 s
t =22,073 s
4
−4
4
 r  p  t ⋅10 mm ⋅2883,15 hPa 22,073 s
W =
⋅ =
⋅
=0,00263 Pa s
8l
v
8⋅19 mm
5000 mm 3
Systematischer Fehler :
 t=0,3 s Reaktionszeit
 r=0,025
 V =0,5 ml Ablesefehler
p
=5 %
p
  2  r  t  l  V  p 1 p 2
=
  

=

r
t
l
V
p
 p1  V 1  V 2
2 r t l V
=
  
 p1


⋅p2=
r
t
l
V
p1
V1
V2
0,05
0,5
0,5  p1
0,5 0,5 p 2
=



5 %

⋅
=0,77=77 %
0,1 22,075 5
50 13  p
p
statistisch :
1
 t =s⋅
n

t i−t 2
∑ 3
i =1
t=1,20 für n=4
 t=0,383 W =0,00045
W =0,00263±0,02071 Pa s
s=
4
mit Luft (analoge Rechnung zu Kanüle mit Wasser) :
8
 L =0,00006852 Pa s
t =5,75 s
  L =51,53%
Statistischer Fehler :
 t =0,0916 s   L=0,0000010916 Pa s
−4
−4
L =0,6852⋅10 Pa s±0,3639⋅10 Pa s
Kanüle B:
d aussen =0,5 mm
L=25 mm
r=0,125 mm  r=0,03125 mm
mit Wasser:
t =8,075 s w =0,001786 Pa s
Systematischer Fehler :

=0,6795=67,95 %

Statistischer Fehler :
 t =0,10246 s  W =5,201⋅10−8 Pa s
W =0,001786 Pa s±0,0012136 Pa s
mit Luft:
t =2,4 s
 L =0,00003142 Pa s
Systematischer Fehler :

=73%

Statistischer Fehler :
 t =0,048 s  =1,08327⋅10−6 Pa s
 L=3,142⋅10−5 Pa s±2,40166⋅10−5 Pa s
Die Literaturwerte entsprechen für Luft:
und für Wasser: W =1,002 m Pa s
 L=0,0182 m Pa s
9
(4) Strömungswiderstand zweier Kanülen mittels Schweredruck
Ein Wassertank wird auf verschiedenen Höhen aufgehängt. Durch einen Schlauch wird
das Wasser durch die jeweilige Kanüle in ein Vorratsgefäß geleitet. Nach 2 Minuten wird
jeweils die Flüssigkeitsmenge im Gefäß gewogen. Auch hier versteckt sich in unserem
Versuchsaufbau ein kleiner systematischer Fehler.
Der Druck unter einer Flüssigkeitssäule ist bekanntlich proportional zu ihrer Höhe:
 p= g h
Die Höhe aber sinkt natürlich ein wenig wenn wir Flüssigkeit entweichen lassen.
Stellen wir die Differentialgleichung nach dem HPG auf erwarten wir tatsächlich wieder
exponentielles Verhalten.
dV
dh
h
= A⋅ =− g
dt
dt
W
dh
g
⇒ =−
⋅dt
h
WA
t
ln h=− g
C
WA
− g
h=e
t
W A
⋅C0
⇒ h0=h 0=C 0
− g
ht =e
t
WA
⋅h0
Dieses ist aber linearisierbar wenn angenommen wird ,dass  h klein gegenüber h ist
und der Druck somit beinahe konstant bleibt. Dieser systematische Fehler nimmt dann mit
zunehmender Höhe ab.
In einem Diagramm werden Druckdifferenz und Volumenstrom gegeneinander
aufgetragen.
Der Strömungswiderstand lässt sich dann in Form der Ausgleichsgeraden ablesen.
W=
p
dV
dt
Strom in ml/min Hoehendruck
Kanüle A:
0,4837
0,6378
1,1877
1,3881
0,7042
in Pa
5,5101
7,1828
12,5945
15,0543
11,1186
Kanüle B:
1,6244
0,8834
0,2096
3,4554
4,1232
11,1186
6,3956
4,9197
12,5945
14,7591
10
16
Kanuele A
15
14
Hoehendruck in Pa
13
12
11
10
9
8
7
6
1,4
1,3
1,2
1,1
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
5
Volumenstrom in ml/min
y*=a+bx
a
b
∆a
∆b
2,023062
9,393386
2,032655
2,148798
15
y-Achsen-Abschnitt
Steigung
Standardabweichung von a
Standardabweichung von b
Kanuele B
14
13
11
10
9
8
7
6
5
Volumenstrom in ml/min
y*=a+bx
a
b
∆a
∆b
5,069001
2,373980
1,101493
0,432684
y-Achsen-Abschnitt
Steigung
Standardabweichung von a
Standardabweichung von b
11
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
4
0
Hoehendruck in Pa
12
Kanuele A:
Pa s
Pa s
W 1=563,591
±128,928
ml
ml
Kanuele B :
Pa s
Pa s
W 2=142,439
±25,961
ml
ml
Mit Hilfe der Innenradien der beiden Kanülen, die mittels einem Mikroskops gemessen
wurden ist es nun möglich aus den beiden Werten die Viskosität des Wassers zu
berechnen:
100 Skalenteile≡1,058 mm
Kanüle A : d =16,5 Skt±0,5 Skt≡0,175 mm±5,29⋅10−3 mm
Kanüle B : d =28 Skt±0,5 Skt≡0,296 mm±5,29⋅10−3 mm
W  r4
=
8l
Pa s
563,591
⋅⋅0,0873 4 mm4
ml
 A=
=0,676 m Pa s
8⋅19 mm
Pa s
142,439
⋅⋅0,148 4 mm4
ml
 B=
=1,077 m Pa s
8⋅25 mm
Fehlerrechnung :
   W 2⋅ r
=


W
r
⇒ A=0,676 m Pa s±0,196 m Pa s
⇒ B=1,077 m Pa s±0,235 m Pa s
Trotz der recht hohen Fehlertoleranz liegt der Wert für Kanüle A bei Zimmertemperatur
immer noch nicht im Bereich der Literaturwerte. Bei Kanüle B mussten wir wegen
andauernder Verstopfung die Kanüle wechseln was uns wohl insgesamt bessere
Messwerte einbrachte und einen Wert mit dem wir sehr nah an den Literaturwerten von
1 m Pa s liegen. Verstopfung könnte natürlich der Grund für den zu niedrigen Wert bei
Kanüle B sein.
12
(5) Ubbelohde Viskosimeter
Aufgrund starken Zeitmangels wurde der Versuch als Gruppenversuch durchgeführt.
Bei diesem Viskosimeter muss nur die Zeit gemessen werden die eine Probeflüssigkeit
zum Durchlaufen eines Rohrabschnitts benötigt. Alle anderen Daten befinden sich
in der Gerätekonstanten K.
t 1=5,52 min
t 2=5,54 min
t 3=5,55 min
K =0,002823
T =20,6 ° C
kinetische Viskositaet v=K⋅t =0,002823⋅5∗6054=0,999
m2
s
⇒=v⋅=1,0023 m Pa s
Wichtig bei dieser Art Viskosimeter, die auch heute noch gerne Verwendung finden um
die Viskosität von Wasser zu bestimmen, ist eine korrekte Temperatur. Hierzu wird in
unserem Versuch sogar ein spezielles Thermostat verwendet. Zur Durchführung des
Versuchs wird mit Hilfe einer Wasserstrahlpumpe die Probeflüssigkeit auf eine gewisse
Höhe im U-förmigen Rohr des Ubbelohde Viskosimeter gebracht. Danach fällt der
Wasserpegel sofort wieder ab und die Zeit, die der Wasserpegel braucht um zwischen
zwei vordefinierten Punkten zu fallen wird gemessen. Der so erhaltene Wert entspricht
ziemlich exakt den Literaturwerten für die Flüssigkeit von Wasser.
(6) Fragen
1) Bei der Blutsenkung misst man die Sinkgeschwindigkeit der Erythrozyten im
Blutplasma.
Eine erhöhte Sinkgeschwindigkeit liefert Hinweise auf Entzündungen und
vermehrten Gewebszerfall (Tumore).
Bestimmen Sie unter den idealisierten Bedingungen:
1. Die Erythrozyten sind Kugeln, sie fallen
2. in einem unbegrenzten Raum
3. in einer NEWTON'schen Flüssigkeit;
den Radius der Erythrozyten!
ρEry = 1,096g/cm3; ρPlasma = 1,027g/cm3 ; ηPlasma = 1,73mPas
BlutSenkungsGeschwindigkeit Männer = 3-6mm/h; BSG Frauen = 8-10mm/h
Bestimmen Sie die Reynoldszahl! Treten Wirbel auf?
2r g
⋅k − fl 
9v
9v
⇒ r=
2g k − fl 
⇒ r Männer =5,1 m−6
⇒ r Frauen =10,3 m−6
=
13
R=
r⋅ fl⋅v
−5
≈4,26⋅10

Da die Reynolds-Zahl kleiner als 1 ist, treten keine Wirbel auf und man kann von
laminarer Strömung ausgehen.
2) Wie ändert sich der Gefäßwiderstand bei Halbierung des Kapillardurchmessers?
Diskutieren Sie die Folgen der Arterienverkalkung!
8 l
d 4
 
2
8l
8l
W verkalkt =
=16⋅
=16⋅W normal
4
d
d 4
 
 
4
2
W normal =
Bei einer Halbierung des Durchmessers wird gleichzeitig der Widerstand um das 16-fache
größer da hier der Radius in der 4. Potenz eingeht. Die Folgen einer Arterienverkalkung
sind sehr gefährlich und sollten nicht unterschätzt werden.
3) Wie groß ist die Reynoldszahl in der Aorta für die mittlere Blutgeschwindigkeit
vmittel = 40cm/s und die maximale systolische Geschwindigkeit vmax = 120cm/s.
Welche Strömungsart erwarten Sie?
Von welcher Blutgeschwindigkeit an gibt es sicher turbulente Strömung?
rAorta = 1,2cm; ρVollblut = 1,06g/cm3.
=3,5 m Pa s
r⋅ ⋅v
Rmittel = blut =1453

Rmax =4361
Ich erwarte bei mittleren Blutgeschwindigkeiten laminare Strömung die allerdings bei
hohen Blutgeschwindigkeiten zu turbolenter Strömung übergehen kann.
Ab einer Blutgeschwindigkeit von
Rkrit⋅
cm
v=
=63,8
mit Rkrit =2320
r⋅ blut
s
erwarte ich turbolente Strömung.
14
4) Welche Viskosität der Luft berechnen Sie aus der Höchstgeschwindigkeit eines
Fallschirmspringers im freien Fall? Machen Sie ergänzende Annahmen. Was fällt Ihnen
auf? Berechnen Sie die Reynoldszahl!
v=55
m
s
g
da der Mensch zu 65% aus Wasser besteht
cm3
mit diesen Angaben kann man den Radius schätzen den ein Mensch als Kugel annehmen würde:
m
m
= =
V 4 3
r
3
1
3
⋅m 3
4
⇒ r=
 =25 cm

2r g
⇒=
⋅k − luft =0,011 Pa s
9v
Die Dichte schätze ich auf  Mensch=1,2
Der ermittelte Wert ist doch um einige Größenordnungen zu groß im Gegensatz zu den
Literaturwerten. Ich vermute das liegt daran, dass bei dieser Geschwindigkeit laminare
Strömung nicht mehr anzunehmen ist.
R=
r⋅ Luft⋅v
=9665

Was meine Vermutung bestätigt
5) Berechnen Sie die Reynoldszahl bei normaler Atmung durch die Nase, indem Sie den
Radius der Nasenlöcher schätzen. Bei normaler Ruheatmung atmet man ca. 15 mal
pro Minute jedes Mal ca. 0,5 Liter Luft
(Dichte von Luft ρL = 1,29·10-3g/cm3).
Versuchen Sie abzuschätzen, ob bei verstärkter Atmung turbulente Strömung in den
Nasenlöchern erreicht wird.
r Nasenloch=0,75 cm
15
⋅0,5 dm3
60s
v=
=7,07
 r2
Bei dieser niedrigen Reynolds-Zahl wird man wohl auch bei verstärkter Atmung niemals
turbolente Strömung erreichen.
15