Technik 13/1: Thermodynamik/Strömungsmechanik 1.2 Hydrodynamik

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Technik 13/1:
Thermodynamik/Strömungsmechanik
Im bisherigen Kurs beschäftigten wir uns nur mit
ruhenden Fluiden. Nun kommen noch Effekte hinzu, die
durch die Strömung entstehen.
Flüssigkeiten mit (zeitlich unveränderter) Strömung
:
1.2 Hydrodynamik
Beschleunigte oder rotierende Flüssigkeiten sollen nicht
betrachtet werden, sondern nur die Fälle, in denen die
Geschwindigkeit
der
Flüssigkeitsteilchen
örtlich
unverändert bleibt. Man spricht von stationären
Strömungen.
{stationär (lat) = standörtlich, bleibend, ortsfest, zeitlich unverändert}
Die örtliche Geschwindigkeit bleibt zeitlich
unverändert und ist immer
tangential zu Stromlinie
Weiterhin betrachten wir nur inkompressible Fluide, also
Stoffe, deren Dichte sich bei veränderten Drücken nicht
(oder nur unbedeutend) ändert. Neben Flüssigkeiten gilt
das auch für Gase, deren Geschwindigkeit weit unter der
Schallgeschwindigkeit bleibt.
1.2.1 Kontinuitätsgleichung
In einer stationären Strömung bleibt der Massenstrom (=
Massendifferenz pro Zeitdifferenz) unverändert.
Zeitabhängige Größen werden mit einem Punkt
über dem Formelbuchstaben gekennzeichnet
Da sich in den von uns betrachteten Fällen
die Dichte nicht ändert, kann sich auch
nicht der Volumenstrom ändern.
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Exkurs über Arbeit und Energie
Die Strömungsgeschwindigkeiten verhalten sich
umgekehrt wie die Strömungsquerschnitte.
Aus dieser Beziehung geht hervor, dass die Strömungsgeschwindigkeit bei großen Querschnitten klein, aber bei
kleinen Querschnitten groß ist. Dies wiederum hat zur
Folge, dass die Flüssigkeitsteilchen vor den Engstellen
beschleunigt werden müssen. Die Beschleunigungskräfte müssen „aus dem Druck kommen“. Der Druck
wird also an einer solchen Stelle schwächer.
Wie kann man das Wechselspiel von Geschwindigkeiten
und Drücken (und auch den Höhenlagen) in einer Strömung ermitteln?
1.2.2 Gesetz von Bernoulli
{Daniel Bernoulli, 1700-1782, geb. in Basel, Prof. in Petersburg}
Vorneweg: Druckverluste durch Reibung, die der Ingenieur mit Hilfe der Viskosität (=Zähflüssigkeit) des
Mediums und den geometrischen Verhältnissen berechnet,
wollen wir (vorerst) vernachlässigen. Wir arbeiten also
mit „idealen Flüssigkeiten“: Kompressibilität und
Reibung existieren nicht.
Oft ist es ratsam - und bei Technikern üblich - sich nicht
in Details zu verlieren (wo wann welche Kräfte wie
wirken usw.), sondern den Beobachtungsgegenstand von
außen zu betrachten: welche Dinge (Energien, Impulse,
Stoffe usw.) gehen ‘rein und wie kommen sie wieder
‘raus?
Das tat auch Bernoulli. Er betrachtete an zwei verschiedenen Stellen der Strömung, welche Energieformen
hinein- und herausgehen.
Zuvor aber noch ein ...
Arbeit ist das Produkt aus Kraft und zurückgelegtem
Weg, wobei beide in die gleiche Richtung wirken bzw.
aufeinander projiziert werden. Beispiele sind die Hubarbeit (W=FG ⋅ h) oder die Reibarbeit (W=FR⋅ s). Die Einheit
der Arbeit ist das Nm, was auch mit J (Joule, engl.
Physiker 1818-1889) oder auch mit Ws gleichgesetzt
werden kann.
Energie ist die Speicherform von Arbeit und damit die
Fähigkeit, Arbeit zu verrichten. Sie hat die gleichen
Einheiten und Formeln wie die Arbeit. So kann z.B. ein
Körper potentielle Energie (=Lageenergie) besitzen,
wenn seine Masse (als Ergebnis einer irgendwann
verrichteten Hubarbeit) eine erhöhte Lage besitzt.
Weitere wichtige Energieformen sind die Spannenergie
(z.B. in einer Feder) W=1/2 ⋅ F⋅ s und die kinetische
Energie (Bewegungsenergie, ~„Wucht“) Wkin=1/2 ⋅ m⋅ v2.
Energien können ineinander umgewandelt werden.
Dies soll am Beispiel eines Balles veranschaulicht
werden.
Der angehobenen Ball besitzt Lageenergie.
Beim Loslassen baut sich diese ab, denn es
wird Beschleunigungsarbeit verrichtet, worauf die kinetische Energie des Balles immer
größer wird. Beim Aufschlagen auf den
Boden, wird (sehr kurzfristig) Spannarbeit
geleistet: die kinetische Energie geht in Spannenergie über. Nun verrichtet der Ball Beschleunigungsarbeit und der beschriebene
Vorgang verläuft in umgekehrter Richtung
weiter.
Arbeit ist also (wie auch die Wärme, s. 2.4) eine Transportform
von Energie, sie ist immer zu der Zeit vorhanden,
während der eine Energieform in eine andere
umgewandelt wird.
Eine der wenigen Gesetze der Mechanik ist das
Energieerhaltungsgesetz, das zwar sehr einfach, aber
sehr bedeutend ist:
Energie kann weder erzeugt, noch vernichtet,
sondern nur ineinander umgewandelt werden.
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Bernoulli verglich an zwei beliebigen Stellen der
Strömung die jeweils vorherrschenden Energien (bezogen
auf eine Volumeneinheit).
1. Auf jede Volumeneinheit
wird Verschiebearbeit =
p⋅ A⋅ s = p⋅ V geleistet.
2. Sie besitzt Lageenergie
= m⋅ g⋅ h
3. Sie besitzt kinetische
Energie = ½⋅ m⋅ v2
Vernachlässigen wollen wir ...
4. die zwischen Querschnitt 1 und 2 (z.B. durch Pumpen)
zugeführte oder (z.B. durch Turbinen) abgeführte
Arbeit.
5. die zwischen 1 und 2 zu- oder abgeführte Wärme
6. die zwischen 1 und 2 entstandene Reibung und
7. die in der Volumeneinheit steckende innere Energie
(vgl. 2.5) = Schwingungsenergie der Moleküle.
Daraus ergibt sich die Bernoullische Energiegleichung:
Meistens ist es eleganter diese Energien durch das
Volumen zu teilen. Dann sieht die gleiche Gesetzmäßigkeit ganz anders aus:
Hinweise:
a) Die in die Formel einzusetzenden Drücke und Höhen
können von einer beliebigen Basis ausgehen, da sich
jew. nur ihre Differenzen auswirken.
Thermodynamik/Strömungsmechanik
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b) Der statische Druck ist der an der Querschnittsfläche
herrschende und messbare Druck; der Staudruck in der
obigen Formel beinhaltet nur den in Druck
umgerechnete Anteil der kinetischen Energie. Würde
man die Strömung auf die Geschwindigkeit Null
stauen, so würde der Druck um diesen Betrag
ansteigen. Für den hydrostatischen Druck-Anteil
gelten analoge (=entsprechende) Überlegungen.
In der Wasserstrahlpumpe
erhöht der eintretende Wasserstrom an der Düse und der
darauf folgenden Querschnittsverengung seine Geschwindigkeit. Dadurch wird
z.B. Luft aus dem Saugrohr
angesaugt.
1.2.3. Anwendungsbeispiele des Gesetzes von Bernoulli
Nach dem gleichen (Injektor)Prinzip funktionieren z.B.
Parfümzerstäuber, alte Vergaser von Ottomotoren,
Mischdüsen von Lackieranlagen oder auch viele
Brennerdüsen.
Der Druckverlauf
längs einer Röhre
mit Engstelle und
Querschnittserweiterung
demonstriert das
Gesetz von
Bernoulli
Der stetige Druckabfall wird durch Reibung bewirkt; am
Auslauf kann der (Über-)Druck nur Null (=Umgebungsdruck) sein. An der Engstelle herrscht nur ein sehr
geringer statischer Druck (u.U. sogar Unterdruck), der an
der Stelle mit geringer Geschwindigkeit wieder ansteigt.
Bläst ein Sturm gegen das Haus,
so werden die unteren Luftmassen abgebremst: dort herrschen kleinere Geschwindigkeiten und höhere Drücke. Im
Dachbereich herrschen hohe
Geschwindigkeiten und damit
geringere Drücke; das Dach wird nicht eingedrückt,
sondern abgehoben.
Diese Sogwirkung macht sich besonders am Schornstein
bemerkbar.
Beim Schiffsventilator strömt die Außenluft in der Nähe der Öffnung mit erhöhter
Geschwindigkeit vorbei; der dadurch
erzeugte Unterdruck saugt die Luft aus
dem Schiffsinnern.
Tragflügel
Durch die höheren Geschwindigkeiten an der
Oberseite der Tragfläche
entsteht der dynamische
Auftrieb.
Vergaser: Der
Unterdruck
saugt Kraftstoff in die
Luftdüse, wo
er fein zerstäubt wird. Erhöht man den Luftdurchsatz
(„mehr Gas geben“), so steigt die Geschwindigkeit und
somit die beschriebene Saugwirkung.
Segeln gegen den Wind
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1.2.4 Reibung in strömenden Medien
In diesem Kapitel soll nur allgemein und ohne Berechnungen auf den Einfluss von Reibung eingegangen
werden:
Wir betrachten eine ebene Strömung; solange keine Verwirbelung auftritt, gleiten die Flüssigkeitsschichten
aneinander vorbei.
Die Reibkraft steigt proportional zur Fläche und zur
Geschwindigkeit und umgekehrt proportional zum
Abstand.
Proportionalitätsfaktor, der die (temperaturabhängige) Zähigkeit der jew Flüssigkeit beschreibt, macht aus der Proportion eine Gleichung.
Diese stoffabhängige Viskosität (lat. = Zähflüssigkeit)
schwankt stark mit der Temperatur.
Solange Strömungsgeschwindigkeit und Abstand nicht zu
groß sind und die Zähflüssigkeit (rel. zur Masse) nicht zu
gering ist, gleiten die Flüssigkeitsschichten störungsfrei
aneinander vorbei. Man spricht von einer laminaren
Strömung.
{Laminar (lat.)= dünnblättrig, abscherend}
In Rohren verteilt sich die
Geschwindigkeit einer
laminaren Strömung
parabelförmig.
(math. herleitbar)
Kommt es jedoch in der Strömung zu Verwirbelungen, so
spricht man von einer turbulenten Strömung.
(Turbulenz = aufgeregte Bewegtheit)
Die Geschwindigkeitsverteilung ist bei turbulenter
Strömung gleichmäßiger.
(nur empirisch zu bestimmen)
Die Strömungsverluste sind
viel größer.
Thermodynamik/Strömungsmechanik
Der Ingenieur, der sich mit Strömungen in Leitungen und
Kanälen befasst, errechnet aus der Geometrie seiner
Anlage, der Geschwindigkeit, der Zähigkeit und der
Trägheit des strömenden Mediums eine Ähnlichkeitszahl
(sog. Reynoldszahl). Mit deren Hilfe kann er dann auf
Bekanntes (z.B. Beiwerte in Formeln, Tabellen und
Diagrammen) zugreifen und auf seine Anlage umrechnen.
Er kann z.B. voraussagen, ob Turbulenz vorherrschen
wird und wie groß die Strömungsverluste sind. Wir
rechnen damit nicht.
Da in der Umwelttechnik (z.B. beim Windsichten) oft
strömende Medien zum Trennen, Sortieren oder
Klassifizieren von unterschiedlichen Mengenanteilen
eingesetzt werden, interessiert uns ...
1.2.5 Kraft auf umströmte Körper FW
Strömt ein Fluid gegen ein Hindernis (z.B. der Wind gegen die Hauswand) oder bewegt sich das Hindernis in
einem Fluid (z.B. ein rüde rasender Radfahrer), dann
wirkt eine Kraft („Druckwiderstand„), die von der
Geschwindigkeit und der Form abhängt.
Durch die Verzögerung) des
Mediums (-> dyn. Druckanteil
sinkt) erhöht sich vor Punkt 1 lt.
Bernoulli-Gl. der statische Druck.
Der Strömungswiderstand errechnet sich also aus dem
„Staudruck“
, der noch mit einer Fläche multipliziert
werden muss. Diese ist aber nicht identisch mit der
Projektionsfläche des Körpers, sondern ist meistens
(besonders bei strömungsgünstigen Formen) kleiner. Man
verwendet deshalb einen sog. Druckwiderstandsbeiwert
CD, der experimentell ermittelt wird.
Gleiches gilt auch für bewegte Körper
in ruhenden Medien.
Vor der bewegten Platte wirkt der
Staudruck; hinter Platte entsteht durch
die Wirbel ein Unterdruck.
Datum:
Seite
Da zu dem Druckwiderstand noch die in 1.2.4 angesprochene Reibkraft addiert werden muss, berechnen wir
den (gesamten) Strömungswiderstand mit Hilfe eines im
Labor ermittelten Widerstandsbeiwerts CW :
FW = CW ⋅
ρ
2
⋅v 2 ⋅ A
Der Strömungswiderstand ist proportional
zum Quadrat der Strömungsgeschwindigkeit
Widerstandsbeiwerte CW :
Kreisplatte
1,5
Zylinder
0,8
Halbkugel, hohl
1,34
Kugel
0,4
Halbkugel, rund
0,34
Stromlinienform
0,06
Praktische Anwendung findet diese Erkenntnis z.B. bei
den Schwebekörper-Durchflussmessgeräten:
Im leicht konischen senkrechten Glasrohr
befindet sich ein Schwebekörper. Seine
Tauchgewichtskraft (=FG-FA) wird durch
den Strömungswiderstand FW
kompensiert. Reduziert sich z.B. der
Volumenstrom, so sinkt der Körper
tiefer, bis die Geschwindigkeit an der
Engstelle wieder ausreichend hoch ist.
Den Volumenstrom kann man dann an einer geeichten
Messskala ablesen. (Der Schrägschlitz versetzt den Schwebekörper
in Rotation. Dieser wird durch die Kreiselwirkung stabilisiert.)
Da unsere Strömungslehre hier schon abrupt endet, bleibt
noch etwas Platz für andere Durchflussmessgeräte:
Die nach dem Verdrängerprinzip arbeitende Ovalradzähler oder Flügelrad-Durchflussmessern dürfen bes. bei
kleinen Volumenströmen
keine zu große Reibung
besitzen (-> Messfehler).
Bei Ultraschalldurchflussmessern wird die unterschiedliche
Schallgeschwindigkeit ausgenutzt. )