DISKRETE MATHEMATIK

DISKRETE MATHEMATIK
KOMBINATORIK
Mit Repetition
Zusammenfassung zur Vorlesung von
Prof. Dr. A. Steger
*
Variation=geordnet
(
) (
)
Kombination=ungeord.
*
+ *
+
Permutation
*
+
Lukas Cavigelli, Dezember 2010
[email protected]
BEWEISVERFAHREN
+
Ohne Repetition
*
+
. /
.
/
Anwendungen:
Klammerausdrücke, Triangulierungen in -Eck, Binärbäume
Ausdruck:
Für die Anzahl
der korrekten Klammerausdrücke mit
Klammerpaaren,
gilt:
∑
. /
Überlegungsweise: anhand von
(∑
)
∏ ( )
Klammerpaaren
Direkte Berechnung:
INDUKTION
.
PEANO-AXIOME
1.
2.
3.
4.
5.
)
(
)
/
√ ∑
⏟
Fakultätsfunktion:
⁄
√
Stirling-Formel:
Addieren, subtrahieren und multiplizieren von Möglichkeiten.
Prinzip der Inklusion-Exklusion (evtl. Mengen zeichen):
.
. /
/
(
. /)
Binomialkoeffizienten:
. /
(
(Induktionsaxiom)
BINOMIALKOEFFIZIENT
. /
.
/
UNTERE KOMPLEXITÄTSS CHRANKE
IMPLIKATION
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
w
f
w
w
. /
Kontrapunktion:
(
)
(
Disjunktion:
(
)
(
Konjunktion:
(
)
(
)
)
Jeder vergleichsbasierte Sortieralgorithmus benötigt zum
Sortieren einer Folge von Zahlen im schlimmsten Fall mehr
( )
als
Vergleiche.
Nicht vergleichsbasierter Sortieralgorithmus: Bucketsort
Zahlen in Kübel einsortieren und am Ende Kübel sortiert leeren.
. /
Rechenregeln:
. /
)
. /
)
. /
. /
.
/
. /
.
/
. /
.
/
.
/
GRAPHENTHEORIE
. /
SCHREIBWEISEN DIESER VORLESUNG
Mengen:
: natürliche Zahlen ohne
: natürliche Zahlen mit
: ganze Zahlen
: rationale Zahlen
: reelle Zahlen
+ mit
: *
, -: *
+ mit
Zahlen:
⌊ ⌋: grösste Zahl
⌊
kleiner gleich , ⌊ ⌋
⌈ ⌉: kleinste Zahl
⌈
grösser gleich , ⌈ ⌉
Mengenoperationen:
*
:
Differenz von und
) (
:
symmetrische Differenz (
*( )
:
kartesisches Produkt
:
Vereinigung von disjunkten Mengen
( ) : Potenzmenge von
*
+
(
∏
.
/
.
/
∑. /
(
)
: endliche, nicht-leere Menge von Knoten (Vetrices)
: Edges, Teilmenge der zweielementigen Teilmengen von
Vandermonde’sche Identität:
.
/
∑. /.
/
also
Veranschaulichung/Pascal’sches Dreieck:
(
)
∑. /
Andere Operatoren:
(
)(
)
⌋
⌉
ZAHLENPARTITIONEN
+
)
+
blabla
Diphantische Gleichungen:
)
)
∏
{*
+
}
SPEZIELLE GRAPHENKLA SSEN
(
(
. /
(
)
(
)
Hyperwürfel :
ist -regulär
( ) * +
( ) *
also ( )
Vollständig bipartiter Graph
ist -regulär
:
ist -regulär
:
+
( )
) mit *
+
Weg in ist eine Folge (
Pfad: Weg, bei dem alle Knoten verschieden sind
Zyklus: Pfad Weg mit identischem Start- und Endkonten
Kreis: Zyklus, bei dem alle Knoten verschieden sind.
enthält:
- keinen
( )
- keinen
- keinen
Herleitung für enthält keinen :
kein
mit
gilt:
und haben keine zwei gemeinsame Nachbarn.
Kantenweise ausgehend von (der keinen enthält) einen
neuen (bipartiten) Graphen :
Knotenmenge von
Knotenmenge von
{allen
zweielementigen Teilmengen der Knotenmenge von }
Kantenmenge von = verbinde
genau dann, mit
*
+
. / wenn *
+*
+
Graph
(wie oben konstruiert) hat die Eiganschaft:
(*
+)
Zähle Kanten in : Da bipartit, gilt:
( )
∑
∑*
( )
/
.
generiert eine Kante in
(
( )
∑
.
/
(
∑
⏟
|
( ))
∑
( )
|⏟
|
CATALAN-ZAHLEN
+
WEGE, PFADE, KREISE
∑
++
*
( )
(
) ist die Anzahl der Knoten mit
In jedem Graphen
ungeradem Grad gerade.
(
) gilt: Die Anzahl der
Korollar 2.6: Für jeden Graphe
Knoten mit ungeradem Grad ist gerade.
Durchschnittsgrad:
( )
∑
Arithmetisches & quadratisches Mittel:
⏟∑
( ) *
Nachbarschaft:
( )
Grad:
( )
G heisst k-regulär, wenn:
*
+
Sprechweise für
:
- u und v sind adjazent
- u und e sind inzident
(
) gilt:
Für jeden Graphen
∑
ASYMPTOTISCHE ABSCHÄ TZUNGEN
ANGEHENSWEISEN
)-regulär
BEGRIFFE
Gegenbeispiel
Gegenannahme zu Widerspruch führen.
Verankerung, dann Rekursion:
1. Induktionsanfang
zu zeigen:
< hier steht ( ) >
Beweis:
< hier steht der Beweis von ( ) >
(
)
2. Induktionsschritt ( )
Annahme:
< hier steht ( ) >
)>
zu zeigen:
< hier steht (
) unter Verwendung
Beweis:
< hier wird (
von ( ) bewiesen >
:
ist (
|
+ .
(*
/
+)
jedes Paar von Nahcbarn von
. Also:
( ))
∑
⏟
( )
( )
.
/
.
/
in
( )
∑
Es gilt immer: ∑
Für ungerichtete Graphen gilt somit:
TEILGRAPHEN
(
) heisst Teilgraph, von
Teilgraph: Ein Graph
(
) falls
und
-Bei einem Graphen ohne Mehrfachkanten:
-Bei ungerichtet. G. mit mehrf.-K.:
( )
( )
.
/
Induzierter Teilgraph: Teilgraph, bei dem gilt:
.
/
( )
.
-Bei ein Graph ohne mehrf.-K.:
- Bei unger. G. mit mehrf.-K.:
( )
Komponente: Zusammenhängender Teilgraph
(
) enthält mindestens
Lemma: Jeder Graph
viele Komponenten.
(
) enthält
Korollar: Jeder zusammenhängende Graph
mindestens
viele Kanten
Beweis: Es muss gelten
Definition zusammenhängend:
ist zusammenhängend, wenn
gilt: es gibt
einen - -Pfad in
(
) ein zusammenhängender Graph, ein
Lemma:
(
) zusammenhängend
Kreis in . Dann gilt:
(
) und
Lemma: Sei
beliebiger Knoten. Dann gilt:
zusammenh. genau dann, wenn - -Pfad in
(
) ein Graph. heisst Definition: Sei
zusammenhängend, wenn:
und
mit
- ist zusammenhängend.
gilt: ,
(
) ein Graph. Dann gilt: ist Satz von Menger: Sei
zusammenhängend genau dann, wenn
existieren -intern knotendisjunkte - -Pfade in .
HAMILTONKREISE & EUL ERTOU REN
Hamiltonkreis: Ein Hamiltonkreis ist ein Kreis, der jeden Knoten
des Graphen genau einmal enthält.
#möglicher Hamiltonkreise:
Eulertour: Eine Eulertour ist ein geschlossener Weg, der jede
Kante des Graphen genau einmal enthält.
Satz: Ein
Gitter enthält genau dann einen Hamiltonkreis,
wenn
gerade ist.
Satz: es gibt eine Eulertour
jeder Knoten hat eine gerade
Anzahl Kanten (=der Grad aller Knoten ist gerade).
MATRIXSCHREIBWEISE
(
)
{
*
Satz:
Satz:
Gerichteter Weg der Länge in einem Digraphen
(
)
(
)
und
( )
Adjazenzmatrix:
( )
{
(
Starker Zusammenhang:
und nach
nach
ger. Weg von
)
+
Baum: Ein Baum ist zusammenhängender, kreisfreier Graph.
Wald: Ein Wald ist ein Graph, in dem alle
Zusammenhangskomponenten Bäume sind.
Blatt: Ein Knoten in einem Baum heisst Blatt, wenn
( )
Wurzel: bla
(
) mit
Lemma 2.42: Jeder Baum
hat min. 2
Blätter.
(
) ein Baum und
Lemma 2.44: Ist
ein Blatt in ,
,
* +- ebenfalls ein Baum.
dann ist
(
) ein Baum , so gilt:
Satz 2.45: Ist
.
(
) ist ein Baum (hat also keinen Kreis)
Satz: Ein Graph
genau dann, wenn zusammenhängend ist und
.
(
) enthält
Satz 2.46: Jeder zusammenhängende Graph
einen Spannbaum.
Satz 2.47: Für
Knoten gibt es genau
markierte
Spannbäume.
Codierung für Bäume: blabla
) planar,
, dann
), bipartit, dann
Satz von Kuratowski: Ein Graph
er weder eine Unterteilung des
Teilgraphen enthält.
( )
(
)
(
Maxflow-Mincut Theorem:
( )
⏟
ist genau dann planar,wenn
noch des
als
GERICHTETE GRAPHEN ( DIGRAPHEN)
(
)
(
)
Ein planarer Graph
bei Adjazenzlitenspeicherung.
benötigt ( ) Speicher
Prüfercode!
Kantenseiten. Jede Kante hat 2 Seiten.
NP-vollständigkeit:
P: effizient entscheidbare Probleme, polynomial complexity
NP: (einseitig) effizient verifizierbare Probleme, non-polyn. c.
Prüfer-Code: Zur eindeutigen Codierung von Bäumen
Man sagt ein Knoten wird von überdeckt, falls es eine
Kante
gibt, die enthält. Ein Matching heisst
perfektes Matching, wenn jeder Knoten durch genau eine
Kante aus überdeckt wird, oder, anders ausgedrückt, wenn
.
(
Satz 2.51: Für einen bipartiten Graphen
genau dann ein Matching der Kardinalität
( )
( )
( )
Defintion:
⋃
⏟
) gibt es
, wenn:
Planar: Ein Graph ist planar, wenn er eine ebene Einbettung
hat, d.h. wie Knoten und Kanten in der Ebene so zeichnen
können, dass sich kein zwei Kanten kreuzen.
Jeden planaren Graphen kann man eben zeichnen.
) zusammenhängend
Satz (euler’sche Polyederformel): (
und eben eingebettet, dann gilt:
Aufpassen: Das Gebiet ausserhalb mitzählen!!
Achtung: Euler’sche Polyederformel gilt nur für kugelförmige
Objekte, z.B. nicht für Reifen (mit einem Loch)
(
(
⏟
)
)
)
(Unterscheidung Vorder- vs. Hintergrund, Objekterkennung)
Pixel
(je grösser desto mehr im Vordergrund),
(...Hintergrund).
Vordergrund:
{
}
Das ist viel zu granuliert (instabil). Deshalb führen wir ein:
*
+ und
Kante
je grössere, desto mehr ist und im gleichen Teil.
)
Für eine Auflösung (
) ∑
∑
∑
Qualitätsmass: (
Dies gilt es zu maximieren. Äquivalente Aussage:
∑(
(
(
).
Der Prüfercode ist (
Ein Knoten von Grad kommt (
)-mal im Code vor.
Ein Baum mit Elementen hat einen Code der Länge
)
Proposition: Kapazitäten ganzzahlig,
.
( ))) Zeit berechnen mit
max. Fluss in ( (
.
( ))
Proposition: allgemein (
Algorithmus!!!
Bipartites Matching als Fluss berechnen:
Zusätzlichen und -Knoten einführen. mit allen Knoten der
einen Seite des bipartiten Graphen verbinden, mit den
anderen. Dann: maximaler Fluss = bestes Matching.
)
(
Definition Matching:
Eine Kantenmenge
heisst Matching in einem Graphen
(
), falls kein Knoten des Graphen zu mehr als einer
Kante aus inzident ist, oder formal augedrückt, wenn:
(
BILDSEGMENTIE RUNG
Man kann einen bipartiten G. in ( ) Zeit auf Planarität testen.
Jedes Gebiet hat
)
(
MATCHINGS, HEIRATSSA TZ
PLANARE GRAPHEN
Satz: der Eintrag
der -ten Zeile und -ten Spalte in
beschreibt die Anzahl der Wegen der Länge von nach in .
(
)
(
)
Digraph:
Keine Mehrfachkanten (Def. in dieser Vorlesung)
Grad eines Knoten:
( )
*(
)
+
Ausgrad:
( )
*(
)
+
Ingrad:
(
(
BÄUME
/
ZUSAMMENHÄNGEND E GRAPH EN
Adjazenzmatrix:
( )
.
FLÜSSE IN NETZWERKEN
Netzwerk: bedeutet für diese Vorlesung gerichteter Graph.
(
)
(
): gerichteter Graph
Quelle,
Senke,
Kapazitätsfunkt.
Fluss:
, falls
( )
( )
1.
.
* + ∑( )
(
) ∑( )
(
)
2.
( )
( )
3. Der Wert des Flusses ist
( ) ∑( )
( )
∑( )
( ) ∑( )
( ) ∑( )
( )
Lemma:
( )
Berechnung des maximalen Flusses:
(
) ist eine
Ein ( )-schnitt in einem Netzwerk
) von mit
Partition (
und
.
(
) ∑( ) ( )
(
)
Kapazität:
also die Summe der Kapazitäten der Pfeile, die von S nach T
gehen. (die entgegengesetzten Pfeile NICHT abziehen)
) ein - -Schnitt in :
( )
(
)
Lemma: Fluss, (
) von :
Bew: Für eine Partition (
(
) ∑( ) (
(
).
)
)
)
∑
∑
∑
∑
∑
∑
) ein - -Schnitt in
und
* +
* +
), d.h. in
Betrachte die Kanten im Schnitt (
(
Kanten ( ) mit
. Ihr Beitrag zu
Kanten ( ) mit
... Betrag ∑
) in
(
Kanten (
. Beitrag: ∑( )
∑
.
(
)
∑
∑
.
) ist ∑
)
∑
ALGEBRA
MODULA RE ARITHMETIK
⟩
Definition 5.1 (Algebra, Operator): Ein Algebra ⟨
besteht aus einer nichtleeren Trägermenge und Operatoren
auf . Ein Operator ist eine Abb.
. Die
Konstante
nennt man die Stelligkeit des Operators.
Zweistellige Operatoren nenn man auch Verknüpfungen.
Definition 5.6 (neutrale Elemente): Sei ⟨ ⟩ eine Algebra mit
einem zweistelligen Operator . Ein Element
heisst
linksneutrales Element für den Operator , falls:
. Rechtsneutrales Element analog.
Ein neutrales Element ist rechts- und linksneutral.
Lemma 5.8: Sei ⟨ ⟩ eine Algebra mit einer zweistelligen
Verknüpfung . Dann gilt: Ist ein linksneutrales Element und
ein rechtsneutrales Element, so ist
. Insbesondere: Jede
.
Algebra ⟨ ⟩ mit einer zweistelligen Verknüpfung enthält
höchstens ein neutrales Element.
Definition 5.10: Sei ⟨ ⟩ eine Algebra mit einem zweistelligen
Operator und einem neutralen Element . Ein Element
heisst linksinverses Element von
, falls
.
Gilt stattdessen
, so nennt man ein rechtsinverses
Element von . Ein Element
heisst inverses Element, oder
auch kurz Inverses von , falls sowohl ein linksinverses als
auch ein rechtsinverses Element von ist.
Lemma 5.11:
Lemma:
(
)
Lemma:
)
)(
((
((
(
)
(
))
))
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) gilt nur, wenn
ABER:
(
)
Euklidischer Algorithmus zur ggT-Bestimmung:
func Euklid(m,n):
if ( teilt ) then {return ;} else {return Euklid(
);}
Satz von Fermat:
(
)
* +
Satz von Euler: Für alle
mit
gilt:
( )
(
)
( )
GRUPPEN
Def. Gruppe:
Bestandteile: 1. Trägermenge , 2. Verknüpfung
Eigenschaften:
)
(
)
1. ist assoziativ, d.h. (
2. neutrales Elem.:
mit
3.
ein inverses Elem.
mit
) neutr. Elem: , inv. Elem:
Bsp.: Addition (
* + ) neutr. Elem: , inv. Elem: ⁄
Bsp.: Multipikation (
Satz:
ist
bzgl. Multipl. mod eine Gruppe
Gesetze:
(
)
Involution:
Kürzungsregel:
Eindeutigkeit:
Injektivität:
Surjektivität:
und
Ordnung:
( ) eines Elementes
Sei eine Gruppe. Die Ordnung
ist das minimale
, so dass
. Existiert es nicht
.
Lemma: eine endliche Gruppe, so hat jedes Elem. endl. Ord.
Lemma: eine Gruppe,
ein Elem. mit endl. Ord., dann:
( )
UNTERGRUPPEN
Def. Untergruppe:
⟨ ⟩ eine Gruppe und
, dann heisst ⟨ ⟩ Untergruppe
von , falls ⟨ ⟩ eine Gruppe ist.
Lemma: eine Gruppe, eine Untergruppe von , so sind die
neutralen Elemente von und identisch.
Lemma:
Sei eine Gruppe und
ein Elem. endl. Ordnung, so ist:
( )
{
}
die kleinste Untergruppe, die enthält.
* +
Def.:
*
Beweis:
abelsch
(
kommutativ
(
)
Vollst. bipartiter Graph: auf beiden Seiten n Knoten, dann alle
miteinander verbinden.
A5: 5 Tickets. gültig in beide Richtungen, aber nur 1mal
Tickets z.B.: {Basel,Bern},
{Basel,Locarno},{Bern,Locarno},{Bern,Zürich},{Locarno,Zürich}
Gibt es eine Rundreise bei der jedes Ticket verwendet wird? (=
euler-Tour) -> Graph
Euler-Tour vs. Euler-Spaziergang: Bei zweitem köenn start und
ende frei gewählt werden.
+
NEBENKLASSEN, SATZ V ON LA GRANGE
Def.: Sei
eine Untergruppe von und
, dann heisst:
*
+ eine rechte Nebenklasse von in .
*
+ eine linke Nebenklasse von in .
und
Falls
gilt, so heisst
auch Nebenkl. v. in .
*
+ ist Untergruppe.
⟩
Bsp: ⟨
*
+
Lemma: Sei Untergruppe von . Dann gilt:
1.
2. Für
sind Nebenkl.
und
ident. od. disjunkt
3. Ist endlich, so ist
Für linke Nebenklassen gelten analoge Aussagen.
Korollar: Sei eine Untergruppe . Dann bildet die Menge der
rechten (und ebenfalls der linken) Nebenklassen von eine
Partition in .
Def.: Die Anzahl verschiedener Nebenklassen von in heisst
( ).
der Index von in und wird abgekürzt mit
Satz (Lagrange): eine endl. Gruppe und eine Untergruppe
( ). Insbesondere teilt die
von . Dann gilt
Kardinalität von also diejenige von .
KÖRPER
Def Körper:
⟩ besteht aus einer Trägermenge und
Ein Körper ⟨
zwei zweistelligen Operatoren
, so dass:
⟩ ist eine abelsches Gruppemit neutr. Elem
1. ⟨
.
* + ⟩ ist eine abelsche Grp. mit neutr. Elem.
2. ⟨
.
(
) (
) (
)
3.
Eigenschaften:
Lemma: Für jeden Körper gilt:
Lemma: Für jeden Körper gilt:
oder
⟩ ist ein Körper
Satz: ⟨
ist Primzahl.
Satz: In jedem endl. Körper ist die multiplikative Gruppe
zyklisch, d.h.
mit
{
}.
Def primitives Element:
endl. Körper. Einen Generator der multiplikativen Gruppe
* + nennt man primitves Element.
Satz: blabla
RSA-VERSCHLÜSSELUNG
Initialisierung:
Wahl von zwei Primzahlen
(zufällig)
Wahl von k: Zufällig Zahlen wählen, durchtesten bis
( ))
(
wobei
(Euklid erw.) also ( )
(
)(
)
( ) (Euklid erw.)
Wahl von so dass
Verschlüsselung:
Verschlüsseln:
Gesendete Nachricht:
Entschlüsseln:
), also
ALLGEMEINE FORMEL N
SERIE 4
SUMMENFORME L N
 ∑
∑
 ∑
(
∏
)
(
∏
)
∑
(
(
 ∑
(
 ∑
)(
)
)
A1: a) Entfernen von Kanten
A3: einmal gibt es einen, einmal nicht
# Derangement (= fixpunktfrei Permutation) = Subfakultät:
( )
∑
TIPPS
+:
SERIE 5
)
AUS DEN ÜBUNGEN
*
A2: „topologische Sortierung“: Nummerierung der Knoten, so
dass alle Pfeile sortiert sind, also dass alle Pfeile von einer
kleineren zu einer grösseren Zahl zeigen (wenn die Knoten
nummeriert sind).
Funktionen, die 1 auf 1 und 2 auf 2 abbilden.
* +
* +
*
+
Anteil = #spezielle/#total. Hier: total=n!, Anteil=D_n/n!
SERIE 6
Erweiterter Euklidischer Algorithmus:
m
99
78
21
15
6
3
n
78
21
15
6
3
0
q
1
3
1
2
2
s
t
1
0
m
99
78
21
15
6
3
n
78
21
15
6
3
0
q
1
3
1
2
2
s
-11
3
-2
1
0
1
t
14
-11
3
-2
1
0
⌊ ⁄ ⌋
SERIE 3
A1: Petersen-Graph
( ) *
+ *
+
Kante zwischen Mengen, die kein gleiches Element haben.
+ gibt, dann kann
Beweis: falls es ein Dreieck (oben z.B. *
keine Wahl für die übrigen Ecken getroffen werden, so dass ale
Menge disjunkt sind.
A2: Gegeben: 2 längste Pfade. Behauptung: 1 Knoten
gemeinsam.
Methode: Annahme es stimme nicht, dann Widerspruch zeigen.
Zwei gleichlange Pfade, Verbindung einfügen -> Widerspruch
A3: Gegeben: Graph G. 2 disjunkte Kreise. Zeigen: es gibt
einen Pfad so lange wie die Kreise zusammen - 1.
Bsp: Party-Organisation: 8 Bands, Organisator wählt 3 aus. Es
hat n Gäste. Nach einer Umfrage merkt er: Für jedes Tripel von
Bands mögen min. 4/5 der Gäste alle 3.
Beh: Min. 1 Gast hat alle 8 gewählt
Trick: zähle alle ((⏟
)
), so dass Gast g (
hat. S: Summe aller gewählten Tripel.
∑
.
∑*
+
. /
/
. /.
) gewählt
Dabei ist das unterste der ggT der ursprünglichen
Der erweiterte Euklid löst die Gleichung ̃
̃
mit ̃
̃
als eine Lösung davon.
Verallgemeinerte Version:
Gleichung genau dann lösbar, wenn
( ̃
̃
)
Alle Lösungen: (
(
(
)
) teilt .
)
Falls Gleichung der Form
selbes Verfahren
anwenden für
.
Falls Gleichung der Form
dann selbes Verfahren
für
.
Allgemeine Vereinfachungen:
Wenn teilt
, dann
(
)
Wenn
, dann
Satz von Euler bzw. Kleiner Satz von Fermat:
( )
(
)
mit
mit ( ) die Euler’sche -Funktion.
(
)
( ) ( ) mit
(
)
.
( )
mit prim.
Sonderfall (Kl. Satz von Fermat): ( )
wenn prim.
( )
(
)
Daraus folgt:
mit
. /
. /
A4: Hamiltonkreise zählen in
: (Tipp: <=10)
und
( ̃ ̃)
Ordnung ist immer Teiler von ( ) (nicht ( ) direkt)
via Primfaktorzerlegung, dann probieren