Wahrscheinlichkeitsrechnung - pythagoras-club

Mathematik
bla
Repetition Wahrscheinlichkeitsrechnung
1
Anna hat einen Vorrat von roten und gelben Kugeln. Davon legt sie 3 rote und 5 gelbe in eine
Urne.
a) Anna zieht drei Kugeln miteinander aus der Urne. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit,
dass bei den drei gezogenen Kugeln beide Farben vertreten sind?
b)
Anna zieht zuerst eine einzelne Kugel aus der Urne. Wenn die gezogene Kugel rot ist, dann
ersetzt sie diese durch eine gelbe Kugel aus dem Vorrat. Wenn die gezogene Kugel gelb
ist, dann ersetzt sie diese durch eine rote Kugel. Jetzt zieht sie erneut drei Kugeln
miteinander aus der Urne.
b1) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den drei gezogenen Kugeln
mindestens eine rote Kugel befindet?
b2) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat sie beim Ziehen der einzelnen Kugel eine gelbe
Kugel gezogen, falls die drei gemeinsam gezogenen Kugeln alle gelb sind?
c)
Anna und Bruno machen das folgende Kugel-Spiel: Nacheinander ziehen sie je eine Kugel
aus der Urne, wobei Anna beginnt. Gewonnen hat, wer zuerst eine gelbe Kugel zieht und
das Spiel ist fertig. Anna und Bruno sind sich aber nicht einig, ob die jeweils gezogene
Kugel sofort wieder in die Urne zurückgelegt werden soll oder nicht.
Berechne für beide Spielvarianten die Wahrscheinlichkeit, dass Anna gewinnt.
2
Am Laplace-Gymnasium wird die Mathematik-Note mit einem Würfel ermittelt, wobei
verschiedene Verfahren angewendet werden. Man verwendet dabei „normale“ Spielwürfel mit
den Zahlen von 1 bis 6 und sogenannte „gezinkte“ Würfel, die nur die geraden Zahlen 2, 4, 6
jeweils auf zwei Seitenflächen aufweisen. Eine Note die genau 4,0 oder höher ist, gilt als
genügend.
Verfahren A: Es wird zweimal mit einem „normalen“ Würfel gewürfelt und der Durchschnitt der
beiden Würfe ergibt die Note.
a1) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine genügende Note zu erreichen?
a2) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, genau die Note 4,0 zu erreichen?
Verfahren B: Aus einer Urne mit 9 „normalen“ und 3 „gezinkten“ Würfeln werden zufällig zwei
Würfel gleichzeitig gezogen, anschliessend wird mit beiden gezogenen Würfeln einmal gewürfelt,
der Durchschnitt der Augenzahlen ergibt die Note.
b1) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine genügende Note zu erreichen?
b2) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein „gezinkter“ Würfel im Spiel war,
falls eine genügende Note erreicht wird?
Verfahren C: Es wird mit einem „gezinkten“ Würfel mehrmals gewürfelt und das beste Resultat
als Note gezählt.
c1) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine genügende Note zu erreichen, wenn dreimal
gewürfelt wird?
c2) Wie oft muss man würfeln, damit die Wahrscheinlichkeit die Note 6 zu erreichen 0,999
beträgt?
Verfahren D: Es wird sechsmal gewürfelt und die Anzahl der genügenden Ergebnisse (4) ergibt
die Note. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, so eine genügende Note zu erreichen…
d1) … mit einem normalen Würfel?
d2) … mit einem gezinkten Würfel?
E:\1_GYMER\_Unterricht\AUFGABEN\01_3 repe\repe_wahrsch.docx
1
LÖSUNGEN 1
a)
Anna zieht drei Kugeln miteinander aus der Urne. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei
den drei gezogenen Kugeln beide Farben vertreten sind?
8
   56
Anzahl Möglichkeiten aus 8 Kugeln 3 auszuwählen:
3
3 5
      3  10  30
 1  2 
3 5
      3  5  15
 2   1
Anzahl Möglichkeiten 1 rot / 2 gelb:
Anzahl Möglichkeiten 2 rot / 1 gelb:
Wahrscheinlichkeit
b)
P(A) =
30  15 45

 0.804
56
56
Anna zieht zuerst eine einzelne Kugel aus der Urne. Wenn die gezogene Kugel rot ist, dann
ersetzt sie diese durch eine gelbe Kugel aus dem Vorrat. Wenn die gezogene Kugel gelb ist,
dann ersetzt sie diese durch eine rote Kugel. Jetzt zieht sie erneut drei Kugeln miteinander aus
der Urne.
3r/5g
r
3/8
g
5/8
2r/6g
20/56
3xg
c)
4r/4g
36/56
4/56
52/56
mind. 1r
3xg
mind. 1r
b1)
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den drei gezogenen Kugeln
mindestens eine rote Kugel befindet?
3 36 5 52 23
3 20 5 4
5
 

P(mind. 1r) = 
P(3xg) = 
 

8 56 8 56 28
8 56 8 56 28
b2)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat sie beim Ziehen der einzelnen Kugel eine gelbe Kugel
gezogen, falls die drei gemeinsam gezogenen Kugeln alle gelb sind?
5 4

1
P(g | 3xg) = 8 56 
5
4
28
Anna und Bruno machen das folgende Kugel-Spiel: Nacheinander ziehen sie je eine Kugel aus
der Urne, wobei Anna beginnt. Gewonnen hat, wer zuerst eine gelbe Kugel zieht und das Spiel
ist fertig. Anna und Bruno sind sich aber nicht einig, ob die jeweils gezogene Kugel sofort wieder
in die Urne zurückgelegt werden soll oder nicht.
Berechne für beide Spielvarianten die Wahrscheinlichkeit, dass Anna gewinnt.
Variante 1: P(Anna) =
5 3 2 3 38 19
   

 0.679
8 8 7 6 56 28
Variante 2: P(Anna) =
5 3 3 5
5  9 
    ...    
8 8 8 8
8  64 
repe_wahrsch.docx
n1
 ... 
5

8
1
9
1
64

8
 0.727
11
2
LÖSUNGEN 2
2
Am Laplace-Gymnasium wird die Mathematik-Note mit einem Würfel ermittelt, wobei
verschiedene Verfahren angewendet werden. Man verwendet dabei „normale“ Spielwürfel mit den Zahlen von 1 bis 6 und sogenannte „gezinkte“ Würfel, die nur die
geraden Zahlen 2, 4, 6 jeweils auf zwei Seitenflächen aufweisen. Eine Note die genau
4,0 oder höher ist, gilt als genügend.
Verfahren A: Es wird zweimal mit einem „normalen“ Würfel gewürfelt und der
Durchschnitt der beiden Würfe ergibt die Note.
a1) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine genügende Note zu erreichen?
a2) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, genau die Note 4,0 zu erreichen?
Anzahl möglicher Würfe:
6×6 = 36
Günstige Würfe (Summe ≥ 8) (2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(3,6),(6,3),(4,4),(4,5),(5,4),(4,6),(6,4)
(5,5),(5,6),(6,5),(6,6)
a1)
P(N≥4) =
15
5

36 12
a2)
P(N=4) =
5
36
Verfahren B: Aus einer Urne mit 9 „normalen“ und 3 „gezinkten“ Würfeln werden zufällig
zwei Würfel gleichzeitig gezogen, anschliessend wird mit beiden gezogenen Würfeln
einmal gewürfelt, der Durchschnitt der Augenzahlen ergibt die Note.
b1) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine genügende Note zu erreichen?
b2) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein „gezinkter“ Würfel im
Spiel war, falls eine genügende Note erreicht wird?
2 normale Würfel wählen:
P(nn) =
1 normaler, 1 gezinkter Würfel:
P(gn) =
2 gezinkte Würfel wählen:
P(gg) =
9
( )
2
12
( )
2
9∙3
12
( )
2
3
12
( )
2
36
= 66
15
P(genügend/nn) = 36
=
27
66
P(genügend/gn) =
=
3
66
P(genügend/gg) =
6
9
15
36
36
66
27
66
9
18
3
66
6
9
b1)
P(genügend)
=
b2)
P(gggn / genügend)
=
repe_wahrsch.docx
30+27+4
132
27+4
61
=
=
31
61
61
132
9
18
= 0.462
= 0.508
3
Verfahren C: Es wird mit einem „gezinkten“ Würfel mehrmals gewürfelt und das beste Resultat
als Note gezählt.
c1)
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine genügende Note zu erreichen, wenn dreimal
gewürfelt wird?
c2)
Wie oft muss man würfeln, damit die Wahrscheinlichkeit die Note 6 zu erreichen 0,999
beträgt?
1 3
1
3
27
26
c1)
P(genügend) = 1 – P(2,2,2) = 1 - ( ) = 1 -
c2)
Die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis, bei x Würfen keine 6 zu würfeln, soll
kleiner als 0.001 sein:
2 𝑥
( ) < 0.001
3
x>
=
27
= 0.963
log⁡(0.001)
2
3
log⁡( )
= 17.03, also 18mal.
Verfahren D: Es wird sechsmal gewürfelt und die Anzahl der genügenden Ergebnisse (4) ergibt
die Note. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, so eine genügende Note zu erreichen…
d1) … mit einem normalen Würfel?
d2) … mit einem gezinkten Würfel?
Binomialverteilung:
d1)
n = 6, p = 1/3
P(X4) = 1 – P(X3) = 1 – 0.900 = 0.100
d2)
n = 6, p = 2/3
ungenügende Noten: p=1/3
P(X3) = 0.900
repe_wahrsch.docx
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