7.1 Algebra Beispiele - Gymnasium bei St. Anna

Gymnasium bei St. Anna, Augsburg
7.1
Algebra
7.1.1 Rechnen mit rationalen Zahlen und Termen
WH:
Siehe dazu 5.2.3 Vorrangregeln und 5.2.4 K-, A-, D-Gesetze sowie
6.2 Rechengesetze für Bruchzahlen
Def.:
1. − a heißt Gegenzahl von a und es gilt: – (− a) = a
2. Der Koeffizient eines Produktterms ist der Zahlenfaktor dieses
Terms.
3. Terme heißen gleichartig, wenn sie sich nur im Koeffizienten
unterscheiden, also sämtliche Variablen gleich oft vorkommen.
Regel:
Statt eine rationale Zahl zu subtrahieren, addiert man ihre Gegenzahl.
Beispiele: a)
b)
Regel:
(− 14) − (− 9) = (− 14) + (+ 9) = −14 + 9 = −5
4,6 − (− (−8 34 ) ) = 4,6 − (+ 8,75) = 4,6 − 8,75 = −4,15
Gleichartige Terme werden addiert bzw. subtrahiert, indem man
ihre Koeffizienten addiert bzw. subtrahiert und die gemeinsamen
Variablen beibehält (Anwendung des Distributivgesetzes).
Ungleichartige Terme können nicht zusammengefasst werden.
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Entfernen (Setzen) von Klammern
Steht vor einer Klammer kein Vorzeichen, so ist es ein (unsichtbares)
Pluszeichen.
Steht vor einer Klammer ein Pluszeichen und ist die Klammer nicht mit einer
Punktrechnung verbunden, so können beide Klammern samt Pluszeichen
weggelassen werden und alle Vorzeichen der Summanden innerhalb der
Klammer bleiben unverändert.
Steht vor einer Klammer ein Minuszeichen und ist die Klammer nicht mit
einer Punktrechnung verbunden, so können beide Klammern samt
Minuszeichen nur weggelassen werden, wenn alle Vorzeichen der
Summanden innerhalb der Klammer geändert werden.
Beispiele: a) 2a – (− 3b ·(–c) – 4 · (– 2d) + 6e) = 2a + 3b ·(–c) + 4 · (– 2d) – 6e
= 2a – 3bc – 8d – 6e
b) 2a – [(–3b + 4c) – (–7a + 9c) ] =
2a – [ –3b + 4c + 7a – 9c ] =
2a + 3b – 4c – 7a + 9c =
–5a + 3b + 5c
Multiplikationsregel (Divisionsregel):
4xy + 7xy – 9xy = (4 + 7 – 9)xy = 2xy
2ax2 – 5x2a – 6xax = (2 – 5 – 6)ax2 = –9ax2
Zwei rationale Zahlen werden multipliziert (dividiert),
indem man ihre Beträge multipliziert (dividiert) und
dem Produkt (Quotienten) das folgende Vorzeichen gibt:
c)
10 ax2 – 5ax kann in diesem Sinne nicht zusammengefasst, aber
mit dem Distributivgesetz zu dem Produkt 5ax(2x – 1)
verwandelt werden.
+
–
d)
e)
3a – 4b lässt sich nicht zusammenfassen.
14a2b + 21ab2 = 7ab(2a + 3b)
Beispiele: a)
b)
Bei der Multiplikation von Termen dürfen (nach dem Kommutativgesetz) die Zahlen und Variablen untereinander vertauscht werden.
Beispiele: a)
b)
c)
4a · 5b = 4·5·a·b = 20ab
2a · (–4)·a2 = 2·(–4)·a·a2 = –8a3
x2·y3·z·x·z2·y4 = x2·x·y3·y4·z·z2 = x3·y7·z3
→
→
→
→
+
–
–
+
wenn beide Faktoren (Dividend und Divisor) gleiche Vorzeichen,
wenn sie verschiedene Vorzeichen besitzen.
Beispiele:
Def.:
Regel:
+·+
+·–
–·+
–·–
(+ 2) · (+ 3) = + 6
(− 2) · (− 3) = + 6
(– a) · (+ 5) = − 5a
(+ x) · (− y) = − xy
Der (absolute) Betrag einer Zahl a ist ihre Entfernung vom Nullpunkt.
Er wird mit | a | bezeichnet.
Beispiele: a)
b)
|–3|=3
| 6 – 10 | = | – 4 | = 4
c)
Für x < 0 gilt: | 2x | – 6x = – 2x – 6x = –8x = 8·|x|
d)
Für x ≥ 0 gilt: | 2x | – 6x = + 2x – 6x = – 4x = – 4·|x|
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7.1.2 Lösungsverfahren für Gleichungen
Def.:
1. Gleichungen, die dieselbe Lösungsmenge besitzen, heißen äquivalent.
2. Eine Umformung, die eine Gleichung in eine äquivalente überführt,
heißt Äquivalenzumformung.
−
Umformungsregel für Gleichungen:
1. Gleichungen bleiben äquivalent, wenn man jeweils auf beiden Seiten der
Gleichung
denselben Term addiert
denselben Term subtrahiert
mit demselben von Null verschiedenen Term multipliziert
mit demselben von Null verschiedenen Term dividiert.
2. Beim Umformen von Gleichungen in der 7. und 8. Klasse bringt man alle
Terme, die die Unbekannte enthalten, auf eine Gleichungsseite und alle
sonstigen Terme auf die andere Seite. Dabei geht man umgekehrt zu den
Vorrangregeln (siehe 5.2.3) vor, d. h. bei einer Gleichung 2·x + 4 = 7·x + 9
wird nicht zuerst dividiert, sondern zuerst subtrahiert, da beide Terme jeweils
Summen sind.
für a ≠ 0 gilt die Lösungsmenge L = { ba }
für a = 0 gibt es zwei Fälle:
L = Q für b = 0 und L = ∅ für b ≠ 0
= 3 (ax – 2) – 4x
= 3ax – 6 – 4x
= 3ax – 4x – 6
= 3ax – 4x
| Klammerauflösen
| Zusammenfassen
|+6
Regel | +4x - 3ax
14x + 4x – 3ax = 0
(18 – 3a) x
= +0
Es gibt zwei Fälle:
18 – 3a = 0, also 18 = 3a oder a = 6
18 – 3a ≠ 0, also 18 ≠ 3a oder a ≠ 6
| Distributivgesetz
⇒ L = Q für a = 6
⇒ L = {0} für a ∈ Q\{6}
(Zum Zeichen \ siehe 5.1.2)
d) Max erhält doppelt soviel Taschengeld im Monat wie Moritz. Nach
20 Tagen besaß Moritz nur noch 245 seines Taschengeldes, während
Max erst 167 seines Taschengeldes ausgegeben hatte. Zu diesem
Zeitpunkt hatte Max € 22,-- mehr als Moritz.
Wieviel Taschengeld erhält Moritz im Monat ?
Moritz erhält x, Max 2x.
Ansatz: Geldvergleich nach 20 Tagen:
5
⇒ 22 = 169 ⋅ 2x −
x + 22 = (1 − 167 ) ⋅ 2 x
24
Schließlich erhält man in der Regel Gleichungen der Form:
a · x = b bzw. x · a = b
a : x = b, also die Gleichung a = b · x
x:a=b
Gleichung : a)
b)
c) 14 (x – 1) + 8
14x – 14 + 8
14x – 6
14x
22 =
x=
9⋅2⋅3 − 5⋅2
x
48
22 ⋅ 48
= 482
44
⇒ 22 =
44
38
5
24
x
x
7.1.3 Grundgleichung der Prozentrechnung:
Alle Fragen der Prozentrechnung lassen sich mit der Grundgleichung der
Prozentrechnung:
Pr ozentsatz ⋅ Grundwert = Pr ozentwert
Gleichung : die Lösungsmenge ist L = {b·a}
lösen, indem man die Gleichung nach der gesuchten Größe auflöst.
Regel Regel Regel a) 10 x – 7
10 x
4x
x
= 6 x – 12
|+7
=6x–5
| – 6x
=
–5
|:4
=
– 1,25
b) 12 x – 5
12 x
0x
L
= 6 x:0,5 – 1 | + 5
Regel = 12 x + 4
| – 12x
Regel =
+4
| : 0 kann man nicht dividieren! Regel =∅
⇒
= 24 [Euro]
Gleichung : die Gleichung b · x = a löst man wie Gleichung L = {ab }
Beispiele:
⇒
Bsp.: Der Preis für ein Paar Fußballschuhe wurde um 15 % auf 63,75 Euro
reduziert. Was kosteten sie vorher?
Sie kosten nun 85 % des Grundwertes:
0,85 ⋅ x = 63,75
x = 63,75 : 0,85
x = 75
Sie kosteten vorher 75 Euro.
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7.1.4 Multiplikation von Summen und binomische Formeln
Regel:
Man multipliziert zwei Summen miteinander, indem man jeden
Summanden der ersten Summe mit jedem Summanden der zweiten
Summe (unter Berücksichtigung der Vorzeichen) multipliziert und
diese Produkte addiert.
(a + b)·(c + d) = a·c + a·d + b·c + b·d
(a – b)·(– c + d) = – a·c + a·d + b·c – b·d
Beispiel:
(1
2a − 3b ) ⋅ (4 x − 5a − 6 y ) = 8ax − 10a 2 − 12ay − 12bx + 15ab + 18by
424
3 144244
3 14444444244444443
2 Summanden
2 ⋅ 3 = 6 Summanden
3 Summanden
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7.2
7.2.1 Grundkonstruktionen
1. Mittelsenkrechte (Symmetrieachse) zur Strecke
[AB], Mittelpunkt von [AB]
Konstruktion: Gegeben Punkte A, B
•
Wähle r so, dass die beiden Kreise um A und B
mit Radius r zwei Schnittpunkte S und T besitzen.
•
Die gesuchte Mittelsenkrechte m[AB] ist die Gerade
ST.
•
Der Schnittpunkt von AB mit der
Mittelsenkrechten ist der Mittelpunkt M.
Die binomischen Formeln
Quadrat einer Summe:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Quadrat einer Differenz:
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
3. Potenz einer Summe
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
3. Potenz einer Differenz
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Alle Punkte auf der Mittelsenkrechten m[AB]
haben von A und B gleichen Abstand.
2. Lot zur Geraden g durch den Punkt P (P auch auf g
möglich):
Konstruktion: Gegeben Punkt P, Gerade g
Plusminusformel: Die Differenz zweier Quadrate kann als Produkt einer
Summe und einer Differenz geschrieben werden:
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
Beispiele: a)
b)
(2x – 0,5y)2 = (2x)2 – 2·2x·0,5y + (0,5y)2 = 4x2 – 2xy + 0,25y2
(2x – 0,5y)( 2x + 0,5y) = 4x2 – 0,25y2
c)
(10a2 + 0,2b)2(10a2 – 0,2b)2 = [(10a2 + 0,2b)(10a2 – 0,2b)]2 =
4
2 2
8
4 2
Geometrie
•
Wähle r so, dass der Kreis um P mit Radius r die
Gerade g in zwei Punkten A und B schneidet.
•
Das Lot m ist die Mittelsenkrechte m[AB] zur
Strecke [AB]. Der Mittelpunkt M von [AB] heißt
hier auch Lotfußpunkt.
Das Lot m zu g durch P steht senkrecht auf g.
4
= (100a – 0,04b ) = 10000a – 8a b + 0,0016b
Ausklammern gemeinsamer Faktoren aus allen Gliedern
Regel 1: Enthalten alle Glieder einer Summe einen gemeinsamen Faktor, so
erhält man aus der Summe ein Produkt, indem man den gemeinsamen
Faktor mit der Summe der übrigen Faktoren multipliziert.
Beispiele: a)
b)
c)
100a2x2 + 25a3x – 75a4x3 = 25a2x·(4x + a – 3a2x2)
a·(x – 2y) – 3b·(x – 2y) = (x – 2y)·(a –3b)
2
ab + ac – b – bc = a(b + c) – b(b + c) = (b + c)·(a – b)
3. Parallele p zur Geraden g durch den Punkt P (mit
Rautenkonstruktion):
Konstruktion: Gegeben Punkt P, Gerade g
•
Wähle beliebigen Punkt A auf g. B ist
Schnittpunkt von g und Kreis (A; r = AP ).
•
Q ist Schnittpunkt von Kreis (B; r = AP ) und
Kreis (P; r = AP ). BAPQ ist eine Raute.
Alle Punkte auf der Parallelen p = PQ haben
von g den gleichen Abstand.
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4. Winkelhalbierende eines Winkels α :
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Satz:
Konstruktion: Gegeben Winkel α
•
•
Ein Kreis mit beliebigem Radius um den Scheitel S
des Winkels α schneidet die beiden Schenkel in
den Punkten A und B.
Die gesuchte Winkelhalbierende wα ist die
Mittelsenkrechte der Strecke [AB].
Alle Punkte auf wα haben von den Schenkeln des
Winkels α denselben Abstand.
7.2.2 Winkel an Geradenkreuzungen
1. Einfachkreuzung
Def.: 1. Zwei Geraden g und h, die sich in einem
Punkt S schneiden, bilden eine
Geradenkreuzung.
2. Zwei benachbarte Winkel einer
Geradenkreuzung heißen Nebenwinkel.
(α und β, β und γ, γ und δ, δ und α)
3. Zwei gegenüberliegende Winkel einer Geradenkreuzung heißen
Scheitelwinkel (α und γ bzw. β und δ).
Satz:
1. Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°.
2. Scheitelwinkel sind gleich groß.
2. Doppelkreuzung
Def.: 1. Werden zwei Geraden g und h von einer dritten
Geraden s geschnitten, so entstehen zwei
Geradenkreuzungen, auch Doppelkreuzung genannt.
2. Zwei Winkel, die gleichartig an der Doppelkreuzung
liegen, heißen Stufenwinkel oder F-Winkel (also α1
und α2, β1 und β2, γ1 und γ2, δ1 und δ2).
3. Zwei Winkel, die wie β1 und α2 bzw. γ1 und δ2
liegen, heißen Nachbarwinkel oder Ergänzungswinkel.
4. Zwei Winkel, die wie β1 und δ2 bzw. δ1 und β2 liegen, heißen
Wechselwinkel oder Z-Winkel.
Zwei Geraden einer Doppelkreuzung sind parallel
⇔
Zwei Stufenwinkel (F-Winkel) sind gleich groß.
⇔
Zwei Nachbarwinkel ergänzen sich zu 180°.
⇔
Zwei Wechselwinkel (Z-Winkel) sind gleich groß.
7.2.3 Dreieckstransversalen
Def.:
Die Mittelsenkrechten, Winkelhalbierenden, Seitenhalbierenden und
Höhen eines Dreiecks bezeichnet man als Dreieckstransversalen.
Satz:
1. Mittelsenkrechte (Symmetrieachse zu zwei Eckpunkten):
Jedes Dreieck besitzt einen Umkreis; sein Mittelpunkt ist der gemeinsame
Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten m[AB], m[BC] und m[CA].
2. Winkelhalbierende (Halbierungsgerade vom Innenwinkel):
Jedes Dreieck besitzt einen Inkreis; sein Mittelpunkt ist der gemeinsame
Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden wα, wβ und wγ.
3. Seitenhalbierende (Verbindungsstrecke des Mittelpunkts einer Seite mit
der gegenüberliegenden Ecke):
In jedem Dreieck schneiden sich die drei Seitenhalbierenden in genau einem
Punkt, dem Schwerpunkt des Dreiecks.
4. Höhen (Lotstrecke von einem Eckpunkt auf die Gegengerade):
In jedem Dreieck schneiden sich die drei Höhen in genau einem Punkt, dem
Höhenschnittpunkt des Dreiecks.
Bemerkung zu 4.
Zeichnet man in einem Dreieck ABC die
Seitenmitten D, E, F ein und verbindet sie zu
einem Dreieck DEF,
so heißt es das Mittendreieck von ABC. Alle
vier entstandenen Dreiecke ADF, DBE, FEC
und EFD sind kongruent. Die Mittelsenkrechten
des Dreiecks ABC sind die Höhen des
Mittendreiecks.
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7.2.4 Dreiecke
Eckpunkte, Seiten und Winkel werden entgegen dem Uhrzeigersinn in
alphabetischer Reihenfolge beschriftet. Die einem Punkt gegenüberliegende
Seite wird meistens mit dem gleichen (kleinen) Buchstaben bezeichnet.
Def.:
1. Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten heißt
gleichschenkliges Dreieck. Die gleich langen Seiten
heißen Schenkel, die dritte Seite Basis, die
Innenwinkel an der Basis heißen Basiswinkel, die
Ecke, die der Basis gegenüberliegt, heißt Spitze.
7.2.5 Kongruenzabbildungen
Def.: 1. Eine Achsenspiegelung an einer Achse a ist eine Abbildung, bei der
jedem Punkt A der Zeichenebene ein Punkt A‘ so zugeordnet wird,
dass die Strecke [AA‘] von der Achse a senkrecht halbiert wird.
2. Eine Kongruenzabbildung K ist eine aus Achsenspiegelungen
zusammengesetzte Abbildung.
Beispiele für Kongruenzabbildungen:
1.
jede Achsenspiegelung
2. Ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten heißt
gleichseitiges Dreieck.
2.
jede Punktspiegelung
3. Ein Dreieck mit einem rechten Winkel heißt
rechtwinkliges Dreieck. Die Seiten am rechten
Winkel heißen Katheten, die dritte Seite
Hypotenuse.
3.
jede Verschiebung
4.
5.
jede Drehung
jede Mehrfachspiegelung an beliebigen Achsen
Wichtige Sätze:
1. Winkelsumme im Dreieck
In jedem Dreieck beträgt die Summe der Innenwinkel 180°.
2. Gleichschenkliges Dreieck:
a) Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein achsensymmetrisches Dreieck. Die
Mittelsenkrechte zur Basis ist zugleich Seitenhalbierende, Höhe und
Winkelhalbierende des Winkels an der Spitze.
b) Im gleichschenkligen Dreieck sind beide Basiswinkel gleich groß.
3. Gleichseitiges Dreieck:
a) Im gleichseitigen Dreieck betragen die Innenwinkel je 60°.
b) Alle Transversalen fallen entsprechend 2a) zusammen. Folglich sind
Schwerpunkt, Umkreismittelpunkt, Inkreismittelpunkt und Schnittpunkt
der Höhen identisch.
4. Der Satz des Thales:
Ein Dreieck ist rechtwinklig
⇔ Die Eckpunkte eines Dreiecks liegen auf einem Kreis, dessen
Mittelpunkt auf einer Dreiecksseite liegt.
(Der Kreis heißt Thaleskreis. Sein Mittelpunkt ist der Mittelpunkt der
Hypotenuse.)
Satz: Bei einer Achsenspiegelung und damit bei jeder Kongruenzabbildung
wird jede Strecke auf eine kongruente Strecke ( längentreue Abbildung ) und
jeder Winkel auf einen kongruenten Winkel abgebildet ( winkeltreue
Abbildung ). Diese Abbildungen sind zudem geradentreu und kreistreu.
( = Zweifachspiegelung an zueinander
senkrechten Achsen oder 180° Drehung )
Def.: Zwei Punktmengen F1 und F2 heißen kongruent, wenn sie durch eine
Kongruenzabbildung aufeinander abgebildet werden können.
Bezeichnung:
F1 ≅ F2
Für Dreiecke gelten die Kongruenzsätze:
SSS - Satz
SWS - Satz
WSW bzw. SWW- Satz ( besser: 2 Winkel und 1 Seite-Satz )
SsW - Satz ( Der Winkel liegt der größeren Seite gegenüber )
Stimmen zwei Dreiecke in drei solcher Größen überein, so sind sie kongruent
und damit sind sogar alle entsprechen Größen identisch.