Grundwissen-Mathematik-7.Jahrgangsstufe (Algebra) G8

Grundwissen-Mathematik-7.Jahrgangsstufe (Algebra) G8
Terme
Eine Variable ist ein Platzhalter für eine Zahl.
Ein Term ist eine sinnvolle Abfolge von Rechenzeichen, Zahlen und Variablen.
Beispiel zur Berechnung von Termwerten:
T(x) = 5x² – 12x
T(2) = 5·2² - 12·2 = 5·4 - 12·2 = 20 - 24 = - 4
T(5)= 5·5² - 12·5 = 5·25 - 12·5 = 125 - 60 = 65
Umformen von Termen
- Vereinfachen von Termen
Beim Vereinfachen dürfen nur gleichartige Terme, d.h. gleiche Variablen in der jeweils gleichen
Potenz, zusammengefasst werden.
Beispiel: 2a – ab² – 5a + 3ab² = –3a + 2ab²
- Das Distributiv-Gesetz
a) Ausmultiplizieren: Werden Produkte mit Hilfe des Distributivgesetzes in Summen
umgeformt, so spricht man vom Ausmultiplizieren.
Beispiel: 3a⋅(2x + 4y - 8z) = 6ax + 12ay - 24az
b) Faktorisieren: Umgekehrt können Summen durch Anwendung des Distributivgesetzes
in Produkte umgeformt werden. Man nennt diesen Vorgang auch Ausklammern bzw.
Faktorisieren.
Beispiel: 20x² – 60xy + 45y² = 5⋅(4x² – 12xy + 9y²) = 5⋅(2x – 3y)²
- Auflösen von Klammern
a) Plusklammern
Die Klammer kann einfach weggelassen werden, die Rechenzeichen ändern sich nicht.
Beispiel: 5v + (4x + 3y – 7z) = 5v + 4x + 3y – 7z
b) Minusklammern
Wird eine Klammer, vor der ein Minuszeichen steht aufgelöst, so drehen sich alle
Vorzeichen, die in der Klammer standen um.
Beispiel: 5v - (4x + 3y - 7z) = 5v - 4x - 3y + 7z
- Ausmultiplizieren von Summen und Differenzen
Beispiel: (2x – 4y)⋅(3x + 13y) = 6x² – 12xy + 26xy – 52y² = 6x² + 14xy – 52y²
Lineare Gleichungen
Bei einer linearen Gleichung sind zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen verbunden. Die
Grundmenge G gibt die Zahlen vor, die in die Gleichung eingesetzt werden dürfen. Die Zahlen
der Grundmenge G, die beim Einsetzen in die Gleichung eine wahre Aussage ergeben, heißen
Lösungen dieser Gleichung und werden in der Lösungsmenge L zusammengefasst.
Die Lösungsmenge einer Gleichung ändert sich nicht, wenn man auf beiden Seiten denselben
Term addiert oder subtrahiert, oder beide Seiten mit demselben Term (╪ 0) multipliziert bzw.
beide Seiten durch denselben Term (╪ 0) dividiert. Solche Umformungen nennt man
Äquivalenzumformungen.
Beispiel:
19x – 3,5x – 8 = 2 – 1,5x – 11; G = ℚ
15,5x – 8 = –9 – 1,5x
17x = –1
x = − 171
L = {− 171 }
Beachte: G = ℕ
=>
L={}
Lösen von Sachaufgaben mit x-Ansatz
Beispiel:
In einem Rechteck ist eine Seite um 12cm länger als die andere. Wird die längere Seite
um 8cm verkleinert und gleichzeitig die kleinere Seite um 2cm vergrößert, so nimmt der
Flächeninhalt des Rechtecks um 22cm² ab.
Wie lang sind die Seiten des Rechtecks?
Länge der kleineren Seite (in cm): x
Länge der größeren Seite (in cm): x + 12
(x + 12 – 8)⋅(x + 2) + 22 = x⋅(x + 12)
x² + 6x + 30 = x² + 12x
30 = 6x
x=5
Die Seiten des ursprünglichen Rechtecks sind 5cm und 17cm lang.
Grundwissen-Mathematik-7.Jahrgangsstufe (Geometrie) G8
Konstruktionen
Bei einer Konstruktion dürfen nur Zirkel und Lineal (ohne Benutzung der cm-Einteilung)
verwendet werden.
Folgende Grundkonstruktionen werden als bekannt vorausgesetzt:
a) Streckenübertragung
b) Winkelübertragung
c) Halbierung einer Strecke (Konstruktion der Mittelsenkrechten)
d) Winkelhalbierende
e) Lot zu einer Geraden durch einen gegebenen Punkt
f) Dreieckskonstruktionen
Winkel
a) Geradenkreuzung
-
-
Nebenwinkel sind Winkel, die bei einer Geradenkreuzung nebeneinander liegen,
z.B. α und β. Es gilt: α + β = 180°
Scheitelwinkel sind Winkel, die bei einer Geradenkreuzung gegenüberliegen,
α und γ. Es gilt: α = γ
z.B.
b) Doppelkreuzung
-
Stufenwinkel: z.B. α1 und α2
Wechselwinkel: z.B. γ1 und α2
Nachbarwinkel: z.B. α2 und δ1
Stufenwinkel und Wechselwinkel sind genau dann gleich groß, wenn g und h parallel sind.
Nachbarwinkel ergänzen sich genau dann zu 180°, wenn g und h parallel sind.
Winkel in Dreiecken und n-Ecken
Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 180°.
Die Summe der Innenwinkel eines n-Ecks beträgt (n – 2) ⋅180° (n ≥ 3).
In jedem Dreieck liegt der größeren Seite der größere Winkel gegenüber und umgekehrt.
Abbildungen
Achsenspiegelung
Eine Abbildung heißt Achsenspiegelung an der Spiegelachse a, wenn jedem Punkt P
der Zeichenebene der Bildpunkt P* auf folgende Weise zugeordnet wird:
a) P ∉a => PP* ⊥a und [PP*] wird von a rechtwinklig halbiert
b) S ∈a => S = S*
Punktspiegelung
Eine Abbildung heißt Punktspiegelung am Zentrum Z, wenn jedem Punkt P der Zeichenebene der
Bildpunkt P* auf folgende Weise zugeordnet wird:
a) P ≠Z => P* ∈ PZ und ZP * = PZ
b) P = Z => P* = Z
Die Punktspiegelung an Z kann durch 2 Achsenspiegelungen an zwei zueinander senkrechten
Geraden mit dem Schnittpunkt Z ersetzt werden.
Achsen- und punktsymmetrische Vierecke:
Kongruenz
Lassen sich zwei Figuren A und B vollständig miteinander zur Deckung bringen, so heißen sie
deckungsgleich oder (zueinander) kongruent. Man schreibt dafür A ≅ B.
Kongruenzsätze für Dreiecke
Dreiecke sind kongruent, wenn sie
o in drei Seiten übereinstimmen (SSS-Satz).
o in zwei Seiten und dem Zwischenwinkel übereinstimmen (SWS-Satz).
o in einer Seite und zwei entsprechenden Winkeln übereinstimmen (WSW-Satz bzw.
SWW-Satz).
o in zwei Seiten und dem Gegenwinkel der größeren Seite übereinstimmen (SsW-Satz).
Besondere Dreiecke:
a) gleichschenkliges Dreieck
Die beiden gleich langen Seiten heißen Schenkel, die dritte Seite heißt Basis. Die Basiswinkel
sind gleich groß. Das gleichschenkelige Dreieck ist achsensymmetrisch.
b) gleichseitiges Dreieck
Alle 3 Seiten sind gleich groß, jeder Winkel beträgt 60°.
c) rechtwinkliges Dreieck
Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, heißt Hypotenuse, die beiden anderen Seiten
heißen Katheten. Der Mittelpunkt des Umkreises ist der Mittelpunkt der Hypotenuse. Dieser
Kreis heißt Thaleskreis.
Transversalen im Dreieck
a) Die 3 Mittelsenkrechten schneiden sich im Mittelpunkt des Umkreises.
b) Die 3 Winkelhalbierenden schneiden sich im Mittelpunkt des Inkreises.
c) Die 3 Seitenhalbierenden schneiden sich im Schwerpunkt des Dreiecks.
d) Die 3 Höhen schneiden sich in einem Punkt.
Graphiken aus: Schätz/Eisentraut, delta 7, Mathematik für Gymnasien, C.C. Buchners Verlag,
Duden Paetec Schulbuchverlag, 2005.